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专题12.3角平分线的性质[解析版]
知识点清单：
知识点1:角平分线的作法
平分一个角的方法有很多，如度量法、折鑫法，实际上根据尺规作图也可以作出一个角的角平分线.
知识点2:角平分线的性质
角平分线上的点到角两边的距离相等.
知识点3:角平分线的判定
角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
考点精讲与训练
考点一：画角平分线
[巩固练习]
1．（2021八上·江城期中）如图，在中，求作：的角平分线交于点D．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【答案】解：如图所示，线段即为所求．
【解析】【分析】根据角平分线的作法作出图象即可。
2．（2021八上·鞍山月考）如图，过点N作射线NM∥OA，并在直线NM上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等．（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程）
【答案】解：如图，点P为所作．
【解析】【分析】在OB上方作，作的角平分线交MN于点P，射线NM，点P即为所作。
3．（2021八上·丹徒月考）用尺规作图法作的角平分线．（请填空，图上保留作图痕迹即可）
已知：．
求作：的角平分线．
作法：
（1）以 为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
（2）分别以点 为圆心，　　为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．
（3）画射线OC，射线OC即为所求．
【答案】作法：
（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
（2）分别以点M、N为圆心，MN 为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．
（3）画射线OC，射线OC即为所求．
【解析】【分析】利用角平分线的尺规作图法，作图即可.
4．（2022八上·南昌月考）用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹．
（1）在图1中，BD是△ABC的角平分线，作△ABC的平分内角∠BCA的角平分线；
（2）在图2中，AD是∠BAC的角平分线，作△ABC的∠BCA相邻的外角的角平分线．
【答案】（1）解：图1，线段CE为所求；
（2）解：如图2，线段CD为所求．
【解析】【分析】根据要求作出图象即可。
考点二：角平分线的性质
[巩固练习]
1．如图，在中，平分交于点，，垂足为若，，则的面积为　 　.
【答案】2
【解析】【解答】解：过D点作DF⊥AC于F，如图，
平分，，，
，
的面积.
故答案为：2.
【分析】过D点作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得DF=DE=1，进而根据三角形面积计算方法算出答案.
2．如图，在中，，三角形的两个外角和的平分线交于点E．则　 　．
【答案】26°
【解析】【解答】解：如图，过点作三边的垂线段，
三角形的两个外角和的平分线交于点E
在的角平分线上，即是的角平分线
故答案为：26°
【分析】过点E作EM⊥AB于M、EN⊥BC于N、EO⊥AC于O，根据角平分线的性质即可得出EM=EO=EN，结合EM⊥AB于M、EN⊥BC于N，即可得出BE平分∠ABC，再根据角平分线的定义即可得出结论。
3．如图．点P是的角平分线上的一点，于点E，已知，则点P到的距离是（　　）
A．18 B．12 C．6 D．9
【答案】D
【解析】【解答】解：平分，，
∴P到的距离，
故答案为：D
【分析】利用角平分线的性质可得P到的距离。
4．如图，的三边、、长分别是30、40、50，和的角平分线交于O，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：过O分别作，，，
BO是平分线，
，
CO是平分线，
，
，
，，，
.
故答案为：D.
【分析】过O分别作EOAB，FOCB，ODAC，由角平分线上的点到角两边的距离相等可得EO=FO=DO，于是根据S△ABO：S△BCO：S△CAO=AB×EO：CB×FO：AC×DO可求解.
5．如图，在 中， 是高， 是角平分线， ， 交于点F， ＝ 0°， ＝70°，求 的度数
【答案】解：∵ 是高线，
∴ ＝ ，
∵ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∵ 是角平分线，
∴ ＝ ＝ ，
在 中， ＝ ＝ ＝ ．
【解析】【分析】根据高线的定义可得 ＝ ，然后根据直角三角形两锐角互余求出 ，再根据角平分线的定义求出 ，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
6．已知 ABC的三条角平分线相交于点O，过点O作OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB.求证：OD=OE=OF.
【答案】证明：连接BO、CO、AO，
∵BO是 的角平分线，且OD⊥BC，OF⊥AB，
∴ ，
同理可得 ， ，
∴ .
【解析】【分析】连接BO、CO、AO，由角平分线上的点到角两边距离相等得OD=OF，OD=O，OE=OF，据此证明.
7．如图所示，已知点P是△ABC三条角平分线的交点，PD⊥AB，若PD=5，△ABC的周长为20，求△ABC的面积．
【答案】解: 过P做PE⊥BC于E，PF⊥AC于F ∵PA是∠BAC的角平分线 ∴PD=PF=5 同理PE=PD=5 ∴S△ABC=S△ABP+S△BCP+S△ACP = × (AB×DP+BC×EP+AC×FP) = ×5×(AB+BC+AC) =50
【解析】【分析】过P做PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，由角平分线的性质，可得PE=PD=PF=5,然后，将使用三角形面积公式求出三角形APB, 三角形CPB, 三角形APC的面积，然后求和即可发现做的思路.
考点三：角平分线的判定
[巩固练习]
1．如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE＝DF，若∠DBC＝50°，则∠ABC＝　 　．
【答案】100°
【解析】【解答】根据到角的两边的距离相等的点在角平分线上可得BD平分∠ABC，再根据∠DBC=50°可得∠ABC=2∠DBC=2×50°=100°．
【分析】根据到角的两边的距离相等的点在角平分线上，可得BD平分∠ABC，从而得出∠ABC=2∠DBC，即可求解.
2．如图，如果点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA，PB⊥OB，PB=9，则PA=　 　
【答案】9
【解析】【解答】解：∵点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA，PB⊥OB，
∴PA=PB=9，
故答案为9.
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PA=PB.
3．如图，直线a，b，c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有　 　处。（填数字）
【答案】4
【解析】【解答】∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
∴△ABC内角平分线的交点满足条件；如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点，
过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，
∴PE=PF，PF=PD，
∴PE=PF=PD，
∴点P到△ABC的三边的距离相等，
∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；
综上，到三条公路的距离相等的点有4个，
∴可供选择的地址有4个．
故答案是：4．
【分析】由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可供选择的地址有4个．
4．如图，点P到AE、AD、BC的距离相等，则下列说法：①点P在∠BAC的平分线上②点P在∠CBE的平分线上③点P在∠BCD的平分线上 ④点P是 ∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分线的交点，其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②③④ C．②③ D．④
【答案】B
【解析】【解答】解：∵点P到AE、AD、BC的距离相等，
∴点P在∠BAC的平分线上，故①符合题意；
点P在∠CBE的平分线上，故②符合题意；
点P在∠BCD的平分线上，故③符合题意；
点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上，故④符合题意，
综上所述，正确的是①②③④．
故答案为：B．
【分析】根据角平分线的判定逐项判定即可。
5．如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围城的一块三角形平地 上修建一个度假村。要使这个度假村到三条公路的距离相等，应该修在（　　）
A． 三边中线的交点 B． 三个角的平分线的交点
C． 三边高线的交点 D． 三边垂直平分线的交点
【答案】B
【解析】【解答】要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在△ABC内角平分线的交点，
故答案为：B．
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得度假村的修建位置在∠ABC和∠CAB的角平分线的交点处．
6．如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE＝BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．
【答案】证明：过D作DN⊥AC，DM⊥AB，
△DBF的面积为： BF·DM，
△DCE的面积为： DN·CE，
∵△DCE和△DBF的面积相等，
∴ BF·DM＝ DN·CE，
∵CE＝BF，
∴DM＝DN，
又∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴AD平分∠BAC（到角两边距离相等的点在角的平分线上）．
【解析】【分析】 过D作DN⊥AC，DM⊥AB， 利用三角形的面积公式即可得到 BF·DM＝ DN·CE， 即可得到 DM＝DN， 再根据角平分线的判定求解即可。
7．已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，DE交AB于点E，DF∥AB，DF交AC于点F．求证：DA平分∠EDF．
【答案】证明：∵DE∥AC，
∴∠ADE=∠DAF，
∵DF∥AB，
∴∠ADF=∠DAE，
又∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAE=∠DAF，
∴∠ADE=∠ADF．
DA平分∠EDF．
【解析】【分析】根据平行线的性质可得：∠ADE=∠DAF，∠ADF=∠DAE，再结合角平分线的性质可得∠ADE=∠ADF，即可得到结论。
8．如图，P是内一点，于点A，于点B，连接，．求证：平分．
【答案】证明：∵，
∴．
∵于点A，于点B，
∴P在的角平分线上，
∴平分．
【解析】【分析】根据等角对等边的性质可得PA=PB，再结合于点A，于点B，即可得到平分。
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专题12.3角平分线的性质
知识点清单：
知识点1:角平分线的作法
平分一个角的方法有很多，如度量法、折鑫法，实际上根据尺规作图也可以作出一个角的角平分线.
知识点2:角平分线的性质
角平分线上的点到角两边的距离相等.
知识点3:角平分线的判定
角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
考点精讲与训练
考点一：画角平分线
[例题精讲]（2022八上·洪泽月考）用圆规和直尺作图：已知∠AOB（如图），求作：∠AOB的平分线OC．（要求保留作图痕迹，不写作法和证明过程）．
【答案】解：如图所示，射线OC即为所求．
【解析】【分析】以任意长度为半径，顶点为圆心画圆弧，交角两边于M、N，分别以M、N为圆心，大于长度为半径画圆弧，两弧交于点P，连接OP至C并延长，则OC即为∠AOB的平分线.
[巩固练习]
1．如图，在中，求作：的角平分线交于点D．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
2．如图，过点N作射线NM∥OA，并在直线NM上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等．（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程）
3．用尺规作图法作的角平分线．（请填空，图上保留作图痕迹即可）
已知：．
求作：的角平分线．
作法：
（1）以 为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
（2）分别以点 为圆心，　　为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．
（3）画射线OC，射线OC即为所求．
4．用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹．
（1）在图1中，BD是△ABC的角平分线，作△ABC的平分内角∠BCA的角平分线；
（2）在图2中，AD是∠BAC的角平分线，作△ABC的∠BCA相邻的外角的角平分线．
考点二：角平分线的性质
[例题精讲]如图，在中，，平分交于点，垂足为E.若，，则的长为　 　.
【解析】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴.
故答案为： .
【分析】根据角平分线的性质可得CD=DE，然后根据BD=BC-CD进行计算.
[巩固练习]
1．如图，在中，平分交于点，，垂足为若，，则的面积为　 　.
2．如图，在中，，三角形的两个外角和的平分线交于点E．则　 　．
3．如图．点P是的角平分线上的一点，于点E，已知，则点P到的距离是（　　）
A．18 B．12 C．6 D．9
4．如图，的三边、、长分别是30、40、50，和的角平分线交于O，则等于（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在 中， 是高， 是角平分线， ， 交于点F， ＝ 0°， ＝70°，求 的度数
6．已知 ABC的三条角平分线相交于点O，过点O作OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB.求证：OD=OE=OF.
7．如图所示，已知点P是△ABC三条角平分线的交点，PD⊥AB，若PD=5，△ABC的周长为20，求△ABC的面积．
考点三：角平分线的判定
[例题精讲]如图， 是 上一点， 于 ， 于 . 、 分别是 、 上的点，且 ， .
（1）求证： 是 的平分线.
（2）若 ，且 ， ，求 的长.
【答案】（1）解：∵ ， ， ， ，
∴
∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，
是 的角平分线
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴
∴
【解析】【分析】（1）利用“HL”证明Rt△PFD和Rt△PGE全等，根据全等三角形对应边相等可得PD=PE，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可．（2）在Rt△PFD中，求出PD即可解决问题；
[巩固练习]
1．如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE＝DF，若∠DBC＝50°，则∠ABC＝　 　．
2．如图，如果点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA，PB⊥OB，PB=9，则PA=　 　
3．如图，直线a，b，c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有　 　处。（填数字）
4．如图，点P到AE、AD、BC的距离相等，则下列说法：①点P在∠BAC的平分线上②点P在∠CBE的平分线上③点P在∠BCD的平分线上 ④点P是 ∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分线的交点，其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②③④ C．②③ D．④
5．如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围城的一块三角形平地 上修建一个度假村。要使这个度假村到三条公路的距离相等，应该修在（　　）
A． 三边中线的交点 B． 三个角的平分线的交点
C． 三边高线的交点 D． 三边垂直平分线的交点
6．如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE＝BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．
7．已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，DE交AB于点E，DF∥AB，DF交AC于点F．求证：DA平分∠EDF．
8．如图，P是内一点，于点A，于点B，连接，．求证：平分．
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