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专题2.6 直角三角形+ 2.8 直角三角形全等的判定
模块1：学习目标
1、掌握直角三角形两个锐角互余的性质定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质定理；
2、会运用直角三角形的性质定理解决有关图形的论证计算等问题；
3、掌握直角三角形的判定定理:有两个角互余的三角形是直角三角形，会运用直角三角形的判定定理判定直角三角形。
4、掌握两个直角三角形全等的判定定理（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；
5、探索并证明定理：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
模块2：知识梳理
1、直角三角形的概念：有一个角是直角的三角形是直角三角形.直角三角形表示方法：Rt△.如下图，可以记作“Rt△ABC”.
要点：三角形有六个元素，分别是：三个角，三个边，在直角三角形中，有一个元素永远是已知的，就是有一个角是90°.直角三角形可分为等腰直角三角形和含有30°的直角三角形两种特殊的直角三角形，每种三角形都有其特殊的性质.
2、直角三角形的性质
1）直角三角形的两个锐角互余；2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；3）含有30°的直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.
3、直角三角形判定：两个角互余的三角形是直角三角形.
4、判定直角三角形全等的一般方法
由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理。
5、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理（HL）
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备。
6、角的平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
模块3：核心考点与典例
考点1、直角三角形的两锐角互余
例1．（2023春·湖南邵阳·八年级统考期末）如图，平分，，D为垂足，，的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据垂直的定义得到，再根据直角三角形两锐角互余求出，则由角平分线的定义可得．
【详解】解：∵，∴，∵，∴，
∵平分，∴，故选D．
【点睛】本题主要考查了垂直的定义，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，正确求出是解题的关键．
例2．（2023·湖南·统考中考真题）《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则______度．

【答案】//．
【分析】根据矩、宣、欘的概念计算即可．
【详解】解：由题意可知，矩，欘宣矩，
，故答案为：．
【点睛】本题考查了新概念的理解，直角三角形锐角互余，角度的计算；解题的关键是新概念的理解，并正确计算．
变式1．（2023·江西·统考中考真题）如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可得，进而根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．
【详解】解：依题意，，∴，
∵，∴，故选：C．
【点睛】本题考查直角三角形中两个锐角互余，入射角等于反射角，熟练掌握以上知识是解题的关键．
变式2．（2023春·上海宝山·七年级统考期末）如图，在中，、分别是、边上的高，、交于点O，如果，那么______°．

【答案】50
【分析】根据，，求出，根据，求出．
【详解】解：∵为边上的高，∴，
∵，∴，
∵为边上的高，∴，
∴．故答案为：50．
【点睛】本题主要考查了三角形的高，直角三角形两锐角互余，解题的关键在于根据高线定义推出和．
考点2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
例1．（2023春·河北廊坊·八年级校联考期末）如图，在中，为边的中点，若，则（　　）

A．3 B．4 C．5 D．
【答案】B
【分析】首先可得是直角三角形，由直角三角形斜边上中线的性质即可求得结果．
【详解】解：∵，∴，即是直角三角形，
∵D为边的中点，且，∴；故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形的判定，直角三角形斜边中线的性质，掌握这两个知识点是关键．
例2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，中，，，，线段的两个端点、分别在边，上滑动，且，若点、分别是、的中点，则的最小值为（　　）

A．2 B．3 C．3.5 D．4
【答案】B
【分析】根据三角形斜边中线的性质求得，，由当、、在同一直线上时，取最小值，即可求得的最小值为．
【详解】解：如图，连接、，中，，，，，
∵，点、分别是、的中点，∴，，
∵，∴当、、在同一直线上时，取最小值，
∴的最小值为：．故选：B．

【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，明确、、在同一直线上时，取最小值是解题的关键．
变式1．（2023·湖南·统考中考真题）一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由图求得的长度，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】解：由图可知，
在中，，点D为边的中点，,故选：B．
【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；解题的关键是熟练掌握该性质．
变式2．（2023春·成都市·八年级期末）如图，在中，，，平分，点是的中点，若，则的长为（ ）

A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】由题意推出，在中，，可求出的长，进而可求出的长．
【详解】解：∵，∴，
∵平分，∴，∴，∴，
∵点是的中点，∴，∴，∴．故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
变式3．（2023·山东·八年级假期作业）如图，一根竹竿，斜靠在竖直的墙上，点是中点，表示竹竿端沿墙向下滑动过程中的某个位置，则的长及在竹竿滑动过程中的情况是（ ）

A．下滑时，的长度增大 B．上升时，的长度减小
C．只要滑动，的长度就变化 D．无论怎样滑动，的长度不变
【答案】D
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出答案即可．
【详解】解：，为的中点，，
即的长在竹竿滑动过程中始终保持不变，故选：D．

【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线和两点之间的距离，能熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解此题的关键．
考点3、30°的角所对的直角边等于斜边的一半.
例1．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）如图，在中，，，，点是边上的动点，则的长不可能是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用垂线段最短分析最小不能小于；利用含度角的直角三角形的性质得出，可知最大不能大于．
【详解】解：根据垂线段最短，可知的长不可小于；
在中，，，，，
的长不能大于．故选：D．
【点睛】本题主要考查了垂线段最短的性质和含度角的直角三角形的理解和掌握，解答此题的关键是利用含度角的直角三角形的性质得出．
例2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，，D为上一点，，则的长为（ ）

A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】C
【分析】已知，根据等腰三角形的性质可得的度数，再求出的度数，然后根据角直角三角形的性质求得的长，再根据等角对等边可得到的长，即可求得的长．
【详解】解：∵，，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及角直角三角形的性质，熟练运用等腰三角形的性质和在直角三角形中角直角边等于斜边的一半，是解决问题的关键．
变式1．（2023春·广东佛山·八年级统考期末）如图，在中，，，，则边的长度是（　　）

A．3 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】根据含30度角的直角三角形的性质进行求解即可．
【详解】解：∵在中，，，，∴，故选B．
【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，熟知在含30度角的直角三角形中，30度角所对的直角边的长是斜边长的一半是解题的关键．
变式2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，，以点C为圆心，长为半径作弧，交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线交于点F，则的长为（ ）

A．9 B．10 C．12 D．14
【答案】C
【分析】由作图知，可得，然后根据含直角三角形的性质求出和即可得出答案．
【详解】解：由作图知，，∵在中，，，，
∴，，∴，∴，
∴,故选：C．
【点睛】本题考查了尺规作垂线，含直角三角形的性质，熟知在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
考点4、直角三角形的判定（两锐角互余）
例1．（2022秋·山东济宁·八年级统考期中）在下列条件中：①；②；③，能确定是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【答案】C
【分析】根据三角形内角和为，求出三角形中最大角的度数，再根据直角三角形的定义判断从而得到答案．
【详解】解：①∵，∴，
∴，∴是直角三角形，故小题正确；
②∵，∴最大角，故小题正确；
③∵，∴，∴，故小题正确；
综上所述，是直角三角形的是①②③共3个．故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形的判定，根据三角形内角和定理结合已知条件，列出方程或者等式，求出三角形中最大的角是解决本题的关键．
例2．（2022秋·八年级课时练习）根据下列条件判断是不是直角三角形，并说明理由．
(1)有一个外角为．(2)，．(3)如图，与互余，．
【答案】(1)是直角三角形，理由见解析(2)是直角三角形，理由见解析
(3)是直角三角形，理由见解析
【分析】（1）根据三角形的外角性质得到与已知外角不相邻的两个内角之和等于90°，即可得出结论；（2）根据锐角互余的三角形是直角三角形可得出结论；
（3）根据已知可得出，再根据锐角互余的三角形是直角三角形可得出结论．
【详解】（1）解：是直角三角形．理由：
∵有一个外角为，∴与这个外角不相邻的两个内角之和等于90°，∴是直角三角形；
（2）解：是直角三角形．理由：∵，，
∴，∴是直角三角形；
（3）解：是直角三角形．理由：∵与互余，∴，
∵，∴，即，∴是直角三角形．
【点睛】本题考查直角三角形的判定、三角形的外角性质，熟知锐角互余的三角形是直角三角形是解答的关键．
变式1．（2023·广西·八年级假期作业）在△ABC中，满足下列条件：①；②；③；④，能确定是直角三角形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据三角形内角和以及题中各条件，求角度，若存在角度为时，则该条件符合题意，进而可得答案．
【详解】①∵；∴，
∵，∴，
则能确定是直角三角形，故本选项符合题意；
②∵，∴，∴，
则能确定是直角三角形，故本选项符合题意；
③∵，∴最大角，
则不能确定是直角三角形，故本选项不符合题意；
③∵，∴，∴，
则能确定是直角三角形，故本选项符合题意；故选C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理．解题的关键在于找出角度的数量关系．
变式2．（2023·浙江·八年级假期作业）已知：如图，在中，D是AB上一点，，．求证：是直角三角形．
【答案】见解析
【分析】利用三角形内角和定理可得，据此即可证明是直角三角形．
【详解】解：在中，D是AB上一点，，，
∵，∴，即，
∴，∴是直角三角形．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，掌握“三角形三个内角和等于”是解题的关键．
考点5、直角三角形全等的判定（HL添加条件）
例1．（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）如图，点，在线段上，，，，要根据“”证明，则还需添加的一个条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】已知，，得出，由，得出，再添加一组直角边对应相等即可证明，据此即可求解．
【详解】∵，，∴
∵，∴，即，
添加，在和中，
∴，故选：C．
【点睛】本题考查了证明三角形全等，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
变式1．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）如图，，要根据“”证明，则还需添加一个条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据利用“”证明，则需要有一直角边对应相等，斜边对应相等，结合已知条件进行分析即可
【详解】解：添加条件，根据现有条件只有一条边对应相等，不能用“”证明，故A不符合题意；
添加条件，根据现有条件只有两直角边对应相等，
不能用“”证明，故B不符合题意；
添加条件，理由是：∵，∴，
在和中，，∴，故C符合题意；
添加条件，根据现有条件只有一条边对应相等，不能用“”证明，故A不符合题意；故选：C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，注意用“”证明两直角三角形全等时，一定要有一直角边对应相等，斜边对应相等．
变式1．（2023春·四川达州·八年级校联考期中）如图， 于点 ， 于点 ，． 要根据证明，则还需要添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据直角三角形全等的判定方法进行判断．
【详解】解：∵于点D，于点F，∴，
∵，∴当添加时，根据“”判断．故选：D．
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
变式2．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）如图，已知∠ACB＝∠BDA＝90°，请你添加一个条件，使得．你添加的条件是：_____．（写出一个符合题意的即可）
【答案】AC＝BD（答案不唯一）
【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可．
【详解】解：添加的条件是AC＝BD（答案不唯一），理由如下：
∵∠ACB＝∠BDA＝90°，∴△ACB和△BDA是直角三角形，
在Rt△ACB和Rt△BDA中，，∴△ACB≌△BDA（HL），
故答案为：AC＝BD（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
考点6、直角三角形全等的判定（HL证明）
例1．（2023春·陕西西安·八年级西安市华山中学校考阶段练习）如图，在中，，，AD平分交BC于D，于E．求证：；

【答案】见解析
【分析】根据角平分线的性质得到，利用即可证明．
【详解】证明：，，
平分，，，
在和中，，．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定，熟记各性质并能熟练运用是解题的关键．
例2．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考阶段练习）已知：如图，点、、三点在同一条直线上，平分，，于，于．
(1)求证：；(2)若，，求的长.
【答案】(1)见解析(2)2
【分析】（1）根据角平分线的性质可得，即可证；
（2）由题意可证：，可得，由，可得的长．
（1）证明：平分，，，，，
在和中，，；
（2）解：在和中，，，，
，，
，，．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
变式1．（2023·全国·八年级假期作业）如图，四边形中，，，，，与相交于点F．
(1)求证：(2)判断线段与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)，理由见解析
【分析】（1）根据即可证明．（2）根据得到，结合得到，即可得结论．
【详解】（1）解：在和中，∴．
（2）解：．理由如下：∵，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，常用的判定方法有：、、、、等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
变式2．（2023秋·八年级单元测试）如图，、相交于点O，，．
(1)求证：．(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）由证明即可；
（2）由全等三角形的性质求出，由直角三角形的性质求出，即可得出所求．
【详解】（1）解：证明：．和是直角三角形，
在和中，，；
（2），，
，．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出是解题关键．
考点7、角平分线的判定
例1．（2023春·广东·八年级专题练习）如图所示，点在的内部，，，垂足分别为，，，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】由角平分线的判定定理可知，点在的平分线上，据此解题．
【详解】，，，
点在的平分线上，，故选：．
【点睛】本题考查角平分线的判定定理及角平分线的性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
变式1．（2023春·陕西西安·八年级校考期中）如图，若的平分线与的外角的平分线相交于点Р连接，若，则等于____度．
【答案】
【分析】先根据条件求出，过点P作于点N，交的延长线于点F，于点M，根据角平分线的性质与判定，可得到平分，故求得．
【详解】
过点P作于点N，交的延长线于点F，于点M
平分，平分，
∵，平分
故答案为：
【点睛】本题主要考查角平分线的性质及判定，正确作出辅助线是解题的关键．
变式2．（2023春·浙江八年级专题练习）如图，已知BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，BF交CE于D，且BD＝CD，求证：点D在∠BAC的平分线上．
【答案】见解析
【分析】由BF⊥AC，CE⊥AB得到∠DEB＝∠DFC＝90°，则可根据“AAS”判断△DBE≌△DCF，则DE＝DF，然后根据角平分线定理得到D点在∠BAC的平分线上．
【详解】证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
在△DBE和△DCF中， ，
∴△DBE≌△DCF（AAS），∴DE＝DF，
又∵BF⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为F、E，∴D点在∠BAC的平分线上
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判断三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应角相等，对应边相等，也考查了角平分线定理．
变式3．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，已知，，．求证：
【答案】证明见解析
【分析】根据角的平分线的判定“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”可知∠CAB=∠BAD，进而得到∠CBA=∠ABD，从而可证△CBE≌△BDE，可得CE=DE．
【详解】证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，BC=BD．
∴AB就是∠CAD的角平分线．∴∠CAB=∠BAD．
又∵∠ABC=90°-∠CAB，∠ABD=90°-∠BAD．∴∠ABC=∠ABD．
在△CBE和△BDE中， ∴△CBE≌△BDE（SAS）∴CE=DE．
【点睛】此题要主要考查角的平分线方面的知识，本题解题方法很多，平时做题时，要注意一题多解．
考点8、直角三角形全等的判定综合
例1．（2022·江西·八年级期末）已知：，，，．
（1）试猜想线段与的位置关系，并证明你的结论．
（2）若将沿方向平移至图2情形，其余条件不变，结论还成立吗？请说明理由．
（3）若将沿方向平移至图3情形，其余条件不变，结论还成立吗？请说明理由．
【答案】（1），见解析；（2）成立，理由见解析；（3）成立，理由见解析
【分析】（1）先用判断出，得出，进而判断出，即可得出结论；（2）同（1）的方法，即可得出结论；（3）同（1）的方法，即可得出结论．
【详解】解：（1）理由如下：∵，，∴
在和中∴，∴
∵，∴，∴，∴；
（2）成立，理由如下：∵，，∴，
在和中，
∴，∴，
∵，∴，∴，
在中，，∴；
（3）成立，理由如下：∵，，∴
在和中，∴，∴，
∵，∴，
在中，，∴．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，判断出是解本题的关键．
变式1．（2023·安徽合肥·校考三模）与关于直线对称，点，分别是边，上的点，且．

(1)如图1，若为直角，求证：；
(2)若为钝角如图2，为锐角如图3，是否还成立？请分别写出你的结论，并选择其中一个结论解答．若成立，请补全图形并证明；若不成立，请画出反例（画反例时保留作图痕迹）．
【答案】(1)证明见解析
(2)结论：若为钝角，成立；若为锐角，不一定成立，理由见解析
【分析】（1）根据对称的性质可得，，，证明，根据全等的性质可得，即可得证；
（2）结论是：若为钝角，成立；若为锐角，不一定成立．
当为钝角时，补全图形如图2：
过作，交的延长线于点，作，交的延长线于点，根据对称的性质可得，证明，，可得，，即可得证；
当为锐角时如图3，上述结论不一定成立，画出反例如图即可．
【详解】（1）证明：∵与关于直线对称，为直角，
∴，，，
在与中，，∴，∴，
又∵，∴，即．
（2）解：结论：若为钝角，成立；若为锐角，不一定成立．
证明：当为钝角时，补全图形如图2：
过作，交的延长线于点，作，交的延长线于点，
∴，
∵与关于直线对称，∴，
在与中，，∴，∴，，
在与中，，∴，
∴，∴，即；
当为锐角时如图3，上述结论不一定成立，画出反例如图，
以点为圆心，为半径画弧，交于点，交于点，，
可得：，．

【点睛】本题考查对称的性质，全等三角形的判定和性质，运用了分类讨论的思想．结合题意画出图形是解题的关键．
变式2．（2023春·山西临汾·八年级校联考阶段练习）菱形中，，为边，上的点，，相交于点．

(1)如图①，若，，求证：；(2)如图②，若．试探究此时和满足什么关系？并证明你的结论；(3)如图③，在（1）的条件下，平移线段到，使为的中点，连接交于点，连接，求的大小．
【答案】(1)见解析(2)，见解析(3)
【分析】（1）由菱形中和可得菱形是正方形，根据正方形性质得，再加上，得到，所以，即证得，即可证得；
（2）过D作于R，过C作于S，根据菱形的面积证得，推出，得到，由，推出；
（3）作AB的平行线，利用矩形、全等三角形、正方形等性质即可得到答案．
【详解】（1）∵菱形中，，
∴菱形是正方形，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴；
（2）；证明如下：
过D作于R，过C作于S，如图，

∵，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴；
（3）过H作交于T，交于K，连接，如图，
由（1）知，又G为的中点是的垂直平分线
易知，四边形是矩形，
四边形是正方形，是对角线，
，，
在和，，
又，，
又，
【点睛】此题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，垂直平分线的定义和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：90分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋·湖北武汉·八年级校联考期中）在下列条件中不能判定为直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】判定三角形是否为直角三角形，即计算各个角的度数，有一角为直角就是直角三角形，若无直角就不是直角三角形．
【详解】解：A、，，所以，即是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意；
B、，,，所以是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意；
C、，可得，，所以，解得，，，都不是直角，不能判定三角形是直角三角形，符合题意；
D、，可得，，所以，解得，即是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意 故答案为：C
【点睛】本题考查了直角三角形的定义及判定，根据三个角的数量关系进行细致的计算是解题的关键．
2．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）已知，点在直线上，点在直线上，于点，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质和直角三角形两锐角互余分析计算求解．
【详解】解：∵，∴，
∵，∴，故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质和直角三角形两锐角互余，掌握两直线平行，内错角相等以及直角三角形两锐角互余是解题关键．
3．（2023春·湖北·八年级统考期末）如图，在中，，于D，，E是斜边的中点，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可求出，即．根据直角三角形斜边中线的性质可得出，从而可证．再根据，即得出，即，进而可求出，最后即可求出．
【详解】解：∵，，
∴，即．
∵E是斜边的中点，∴,∴．
∵，∴，即，
∴，∴，∴．故选B．
【点睛】本题主要考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质等知识．利用数形结合的思想是解题关键．
4．（2023春·陕西榆林·八年级校考期末）如图，在中，，过点A作交于点D，，则的长为（ ）

A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【分析】由所对的直角边等于斜边的一半得，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵，，∴，∴，故选：D．
【点睛】本题考查了所对的直角边等于斜边的一半．解题的关键在于明确线段之间的数量关系．
5．（2023春·广东深圳·八年级校联考期中）若一个等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则此等腰三角形的底角的度数是（　　）
A． B． C．或 D．无法确定
【答案】C
【分析】分两种情况，画出相应的图形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，结合等边三角形的判定和性质求出顶角度数，即可得到等腰三角形底角的度数．
【详解】解：当为锐角三角形时，作于点D，取的中点E，连接，如图：

则，∵E为的中点，∴，
∵，∴，∴为等边三角形，
∴，∴，∵，∴；
当为钝角三角形时，作，交的延长线于点D，取的中点，连接，如图：

则，∵E为的中点，∴，
∵，∴为等边三角形，∴，
∴，∴，
∵，∴；
综上分析可知，此等腰三角形的底角的度数是或，故C正确．故选：C．
【点睛】本题考查解直角三角形、等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等边三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答．
6．（2022春·八年级单元测试）如图，，，要使得．若以“”为依据，需添加的条件是（　 　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据“”判断三角形全等的方法进行解答即可．
【详解】解：∵，，∴，
∴和是直角三角形，∵和有公共直角边，
∴以“”为依据判断，需要使，故A正确．故选：A．
【点睛】本题主要考查了用“”为依据判断三角形全等，解题的关键是熟练掌握一条直角边和一条斜边对应相等的两个直角三角形全等．
7．（2023春·广东茂名·八年级校考期中）下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（　　）
A．两个锐角对应相等 B．斜边和一直角边分别对应相等
C．两条直角边分别对应相等 D．一条直角边相等且另一条直角边上的中线对应相等
【答案】A
【分析】根据三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，逐条排除即可．
【详解】解：A．两锐角对应相等的两个直角三角形，不能判定全等，故此选项符合题意；
B．斜边和一直角边分别对应相等的两个直角三角形，根据能判定全等，故此选项不符合题意；
C．两条直角边对应相等的两个直角三角形，根据能判定全等，故此选项不符合题意；
D．一条直角边相等且另一条直角边上的中线对应相等，先根据，再用可判定全等，故此选项不符合题意．故选：A．
【点睛】本题考查直角三角形全等的判定方法，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
8．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，中，，点E为的中点，点D在上，且，相交于点F，若，则等于（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质可得，进而可得，再根据三角形外角的定义和性质即可求解．
【详解】解：中，，点E为的中点，
，，
，，，
，故选B．
【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义和性质，解题的关键是掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半；等腰三角形中等边对等角；三角形中任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
9．（2022 杭州市八年级期中）如图，∠ACD是△ABC的外角，∠BAC＝80°，∠ABC和∠ACD的平分线相交于点E，连接AE，则∠CAE的度数是（ ）
A．35° B．40° C．50° D．55°
【答案】C
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义列式并整理得到∠BAC=2∠BEC，过点E作EF⊥BA交延长线于F，作EG⊥AC于G，作EH⊥BD于H，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得EF=FH，EG=EH，然后求出EF=EG，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出AE是∠CAF的平分线，再根据角平分线的定义解答即可．
【解析】解：∵∠ABC与∠ACD的角平分线相交于点E，
∴∠CBE=∠ABC，∠ECD=∠ACD，
由三角形的外角性质得，∠ACD=∠ABC+∠BAC， ∠ECD=∠BEC+∠CBE，
∴ ∠ACD=∠BEC+∠ABC， ∴ （∠ABC+∠BAC）=∠BEC+∠ABC，
整理得，∠BAC=2∠BEC， ∵∠BAC=80°， ∴∠BEC=40°，
过点E作EF⊥BA交延长线于F，作EG⊥AC于G，作EH⊥BD于H，
∵BE平分∠ABC， ∴EF=EH， ∵CE平分∠ACD， ∴EG=EH，
∴EF=EG， ∴AE是∠CAF的平分线，
∴∠CAE=（180°-∠BAC）= （180°-80°）=50°． 故选C．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的性质定理与角平分线的判定定理，难点在于作辅助线并判断出AE是外角的平分线．
10．（2023春·江西抚州·八年级统考期末）如图，中，，，的平分线交于点F，平分，给出下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）个．

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据同角的余角相等即可证明①正确；由角平分线定义可得，然后利用三角形外角的性质求出，进而可得，②正确；求出时，，而不一定等于，故③错误；求出，，先证明，得到，再证明，得到，根据平行线的判定可得，④正确；由，，而不一定等于，可知不一定等于，⑤错误．
【详解】解：∵，，∴，，
∴，①正确；∵是的平分线，∴，
∵，，，
∴，∴，②正确；
若，则，∵，
∴，而不一定等于，则③错误；
∵是的平分线，，∴，，
在与中，，∴，∴，
又∵，，∴，
∴，，∴，④正确；
∵，，而不一定等于，
∴不一定等于，⑤错误；综上，正确的结论有3个，故选：B．
【点睛】本题主要考查了同角的余角相等，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，灵活运用相关性质定理进行推理论证是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，，，，则_________．

【答案】/30度
【分析】利用同角的余角相等进行求解即可．
【详解】解：∵，∴，
∵，∴，∴；故答案为：．
【点睛】本题考查垂直的定义，互余关系．熟练掌握同角的余角相等，是解题的关键．
12．（2023春·湖南株洲·八年级统考期末）已知在含有角的直角三角形中，斜边长为，则这个三角形的最短边长为___________．
【答案】
【分析】先根据含度的直角三角形三边的关系得到斜边的长，即可求解．
【详解】∵在含有角的直角三角形中，斜边长为，
∴最短的边的长为，故答案为：．
【点睛】本题考查了含度角的直角三角形性质，解题关键是掌握30度角所对的直角边等于斜边一半的性质．
13．（2023春·山东泰安·八年级统考期末）如图，在中，，，，于点，是的中点，则的长为________．

【答案】1
【分析】首先求出，然后利用三角形的外角性质求出，从而在中，利用“30°角所对的直角边为斜边的一半”求解即可．
【详解】解：∵E是中斜边的中点，，
∴，∴，∴，∠ECD=30°
在中，，∴，故答案为1．
【点睛】本题考查含的直角三角形的基本性质，直角三角形斜边上的中线的性质，熟记并灵活运用与直角三角形相关的性质是解题关键．
14．（2023春·浙江台州·八年级统考期末）如图，在四边形中，O是中点，，，若，则______．

【答案】/75度
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再利用可得是等边三角形，从而得到，利用等腰三角形的性质三线合一可得，从而得到，再利用，得到．
【详解】解：∵O是中点，∴，
又∵，即，∴，∴是等边三角形，∴，
∵O是中点，∴，(三线合一)∴，
又∵，∴，故答案是：．
【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，掌握相关定理求出是解题的关键．
15．（2023·河北石家庄·校联考一模）我们定义：在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的3倍，这样的三角形我们称之为“和谐三角形”．如：三个内角分別为的三角形是“和谐三角形”．概念理解：如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与重合），则的度数为___________，___________（选填“是”或“不是”）“和谐三角形”．

【答案】 是
【分析】根据三角形内角和求出，由此得到．
【详解】解：∵，∴，∵，∴；
∴，∴是“和谐三角形”故答案为：，是．
【点睛】此题考查了直角三角形两锐角互余的性质，垂直的性质，正确掌握直角三角形的性质是解题的关键．
16．（2023·江苏苏州·一模）中，，点在射线上，且，连接，若，则___________．
【答案】，，
【分析】分三种情形：①如图1中，当在线段上时，作于，．②如图2中，当在的延长线上时，作于，于．③如图3中，当是钝角时，在的延长线上时，作作于，于．利用全等三角形的性质解决问题即可．
【详解】解：①如图1中，在线段上时，作于，于．
，，
，，，，，
又，，，，
，．
②如图2中，当在的延长线上时，作于，于．
同法可证，，
，，．
③如图3中，当是钝角时，在的延长线上时，作作于，于．
同法可证，，
设，，
，，，故答案为：，，．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本性质，属于中考填空题中的压轴题．
17．（2022 西湖区校级期末）如图，AD为∠CAF的角平分线，BD＝CD，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠CBD．其中正确结论的序号有　 　．
【思路点拨】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再利用“HL”证明Rt△CDE和Rt△BDF全等，根据全等三角形对应边相等可得CE＝AF，利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝AF，然后求出CE＝AB+AE；根据全等三角形对应角相等可得∠DBF＝∠DCE，利用“8字型”证明∠BDC＝∠BAC；∠DAE＝∠CBD，再根据全等三角形对应角相等可得∠DAE＝∠DAF，然后求出∠DAF＝∠CBD．
【答案】解：∵AD平分∠CAF，DE⊥AC，DF⊥AB，∴DE＝DF，
在Rt△CDE和Rt△BDF中，，∴Rt△CDE≌Rt△BDF（HL），故①正确；
∴CE＝AF，在Rt△ADE和Rt△ADF中，，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AE＝AF，∴CE＝AB+AF＝AB+AE，故②正确；
∵Rt△CDE≌Rt△BDF，∴∠DBF＝∠DCE，
∵∠AOB＝∠COD，（设AC交BD于O），∴∠BDC＝∠BAC，故③正确；∴∠DAE＝∠DCB，
∵∠DBC＝∠DCB，∴∠DAE＝∠DBC，
∵Rt△ADE≌Rt△ADF，∴∠DAE＝∠DAF，∴∠DAF＝∠CBD，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②③④共4个．故答案为：①②③④
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图判断出全等的三角形是解题的关键，难点在于需要二次证明三角形全等．
18．（2022秋·山西晋城·八年级统考期末）如图，E是的中点，，，平分．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是______．（填序号）
【答案】①②④
【分析】过点E作，根据角平分线的性质可得，再根据可证；再根据角平分线的判定可证；证明，，即可证明，．
【详解】解：如图，过点E作，，，平分，，
∵点E是的中点，，，
平分，，故①正确；
，，故③错误；
在和中，，，，
在和中，，，，
，，故④正确；
，，又，
，，，故②正确，故答案为①②④．
【点睛】本题考查了角平分线的性质和判定、全等三角形的性质和判定，熟练掌握角平分线的性质和判定，正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，平分，，如果，，求的长度及的度数．

【答案】，
【分析】根据角平分线的性质可得，，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求出的度数．
【详解】解：∵中，，平分，，
∴，，
∴，∴．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理和直角三角形的两个锐角互余，属于基础题型，熟练掌握角平分线的点到一个角的两边距离相等是解题关键．
20．（2023·广东深圳·八年级学校考期中）如图，在中，，，过点作，恰好是的平分线，求证：(1)．(2)若，求的长．

【答案】(1)见解析(2)6
【分析】（1）根据垂直的定义得到，由角平分线的定义得到，利用可证明，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到，等量代换得到，求得，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵，∴，
∵恰好是的平分线，∴，
∵，∴，∴；
（2）解：∵，∴，∵，∴，
∵，，∴，
在直角三角形中，，∴，∵，∴．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．也考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角和为的性质．
21．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在中，于点F，于点E，M为的中点．
(1)求证：是等腰三角形；(2)若，，求的长度．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线的性质即可得出结论；
（2）利用直角三角形中三十度角所对的直角边等于斜边的一半即可得出．
【详解】（1）证明：∵，，∴与都为直角三角形，
∵M为的中点，∴、为斜边的中点，
∴，，∴，∴是等腰三角形；
（2）解：在中，∵，∴．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的判定，含角的直角三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．
22．（2023春·广东云浮·八年级校考期中）如图，点P，M，N分别在等边三角形的各边上，且于点P，于点M，于点N．

(1)求证：是等边三角形；(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）先求得．得．则，再求得．即可得到结论；
（2）由得到．由得到，则．由得到．即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，∴．
∵，∴．
∴．
∴．∴是等边三角形．
（2）解：∵是等边三角形，∴．
在和中，，
∴．∴．
∵，∴．∴．
∵，∴．∴．
【点睛】此题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质等知识，证明是等边三角形是解题的关键．
23．（2023春·全国·七年级专题练习）阅读并理解下面内容，解答问题．
三角形的内心
定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心．
如图1，已知AM，BN，CP是△ABC的三条内角平分线．
求证：AM，BN，CP相交于一点．
证明：如图2，设AM，BN相交于点O，
过点O分别作，，，垂足分别为点D，E，F．
∵点O是∠BAC的平分线AM上的一点，
∴，（依据1）
同理，．
∴．（依据2）
∵CP是∠ACB的平分线，
∴点O在CP上，（依据3）
∴AM，BN，CP相交于一点．
请解答以下问题：
（1）上述证明过程中的“依据1”“依据2”“依据3”分别是指什么？
（2）如果，，，，请直接用a，b，c，r表示△ABC的面积．
【答案】（1）依据1：角平分线上的点到角的两边的距离相等；依据2：等量代换；依据3：角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；（2）或．
【分析】（1）根据题意可直接进行作答；
（2）由（1）可得OD=OE=OF，然后根据等积法进行求解即可．
【详解】解：（1）由题意得：依据1：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
依据2：等量代换．依据3：角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
（2）由（1）得：OD=OE=OF=r，
，，，
，
△ABC的面积表示为：．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理及判定定理，熟练掌握角平分线的性质定理及判定定理是解题的关键．
24．（2023春·四川达州·七年级统考期末）已知．

(1)如图1，按如下要求用尺规作图：①作出的中线；②延长至E，使，连接；（不要求写出作法，但要保留作图痕迹．）(2)如图2，若是中线．试探究与之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，若是的中线，过点B作于E，交于点F，连接．若，求的长．
【答案】(1)作图见详解(2)．证明见详解(3)2
【分析】（1）①根据三角形的中线的定义作出图形即可．②根据要求作出图形即可；
（2）结论：．利用全等三角形的判定和性质证明即可；
（3）利用全等三角形的性质证明，再利用（3）中结论解决问题．
【详解】（1）解：①如图1所示，线段即为所求．
作法：1．分别以为圆心，大于为半径画弧，交于两点，
2．连接这两点与交于点，3．连接，线段即为所求．
②如图1中，线段，即为所求．

作法：1．延长线段至点，使，
2．连接，线段，即为所求；
（2）解：与的数量关系是：，理由如下：
如图，延长至，使，连接，

是中线，，
在和中，，，
，，，，
，，
在和中，，
，，
，．
（3）解：如图3中，

，，
，，，
，是中线，，
，，，
在和中，，，，
，，．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的中线的定义，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题关键是学会倍长中线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
25．（2023·陕西咸阳·统考三模）【观察发现】（1）如图1，在中，点P为内一点，连接，若，则______；
【问题拓展】（2）如图2，直角三角尺如图放置，，，，直线l经过点A交于点E，点D在的延长线上，若，，求与的面积之和；
【实践应用】（3）如图3，四边形是一个避暑山庄的平面示意图，米，米，，是一条彩灯带，点D到所在直线的距离相等，区域是绿化区域，点E、F分别在上，米，．为吸引游客，现要对绿化区域进行改造，设计师计划在上找点P，将以点P、C、E为顶点的三角形区域改建成绿化区，要求改建前后的绿化区面积相等（即与的面积相等），请你帮助设计师确定点P的位置，并求出此时的长．

【答案】（1）40；（2）30；（3）见解析，米
【分析】（1）先求出，再根据三角形的内角和定理求解；
（2）先得出，求出，再根据三角形面积公式求解即可；
（3）先推出是等腰三角形，得出m，在上截取m，连接，过点H作交于点P，则与的面积相等，即与的面积相等，则点P即为满足题意的位置；然后证明是等边三角形，得出，求出，进而得出m，从而可得．
【详解】解：（1）∵，∴；
∴；故答案为：40；
（2）∵，，，∴，，
∵，∴，
∵，∴；
（3）∵点D到所在直线的距离相等，∴平分，
∵，∴，∵，∴，
∴，∴m，

在上截取m，连接，则与的面积相等，
过点H作交于点P，连接，则与的面积相等，即与的面积相等，则点P即为满足题意的位置；
∵m，∴，
∵，∴是等边三角形，
∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴m，
∴m．
根据对称性可知：当点P靠近点A时，点P在的延长线上，不符合题意，∴米．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、30度角的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、两平行线间的距离的实际应用等知识，正确理解题意、熟练掌握相关图形的判定和性质、添加合适的辅助线是解题的关键．
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专题2.6 直角三角形+ 2.8 直角三角形全等的判定
模块1：学习目标
1、掌握直角三角形两个锐角互余的性质定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质定理；
2、会运用直角三角形的性质定理解决有关图形的论证计算等问题；
3、掌握直角三角形的判定定理:有两个角互余的三角形是直角三角形，会运用直角三角形的判定定理判定直角三角形。
4、掌握两个直角三角形全等的判定定理（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；
5、探索并证明定理：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
模块2：知识梳理
1、直角三角形的概念：有一个角是直角的三角形是直角三角形.直角三角形表示方法：Rt△.如下图，可以记作“Rt△ABC”.
要点：三角形有六个元素，分别是：三个角，三个边，在直角三角形中，有一个元素永远是已知的，就是有一个角是90°.直角三角形可分为等腰直角三角形和含有30°的直角三角形两种特殊的直角三角形，每种三角形都有其特殊的性质.
2、直角三角形的性质
1）直角三角形的两个锐角互余；2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；3）含有30°的直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.
3、直角三角形判定：两个角互余的三角形是直角三角形.
4、判定直角三角形全等的一般方法
由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理。
5、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理（HL）
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备。
6、角的平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
模块3：核心考点与典例
考点1、直角三角形的两锐角互余
例1．（2023春·湖南邵阳·八年级统考期末）如图，平分，，D为垂足，，的度数是（ ）

A． B． C． D．
例2．（2023·湖南·统考中考真题）《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则______度．

变式1．（2023·江西·统考中考真题）如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
变式2．（2023春·上海宝山·七年级统考期末）如图，在中，、分别是、边上的高，、交于点O，如果，那么______°．

考点2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
例1．（2023春·河北廊坊·八年级校联考期末）如图，在中，为边的中点，若，则（　　）

A．3 B．4 C．5 D．
例2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，中，，，，线段的两个端点、分别在边，上滑动，且，若点、分别是、的中点，则的最小值为（　　）

A．2 B．3 C．3.5 D．4
变式1．（2023·湖南·统考中考真题）一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则（ ）

A． B． C． D．
变式2．（2023春·成都市·八年级期末）如图，在中，，，平分，点是的中点，若，则的长为（ ）

A．7 B．8 C．9 D．10
变式3．（2023·山东·八年级作业）如图，一根竹竿，斜靠在竖直的墙上，点是中点，表示竹竿端沿墙向下滑动过程中的某个位置，则的长及在竹竿滑动过程中的情况是（ ）

A．下滑时，的长度增大 B．上升时，的长度减小
C．只要滑动，的长度就变化 D．无论怎样滑动，的长度不变
考点3、30°的角所对的直角边等于斜边的一半.
例1．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）如图，在中，，，，点是边上的动点，则的长不可能是（ ）

A． B． C． D．
例2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，，D为上一点，，则的长为（ ）

A．8 B．7 C．6 D．5
变式1．（2023春·广东佛山·八年级统考期末）如图，在中，，，，则边的长度是（　　）

A．3 B．4 C． D．
变式2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，，以点C为圆心，长为半径作弧，交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线交于点F，则的长为（ ）

A．9 B．10 C．12 D．14
考点4、直角三角形的判定（两锐角互余）
例1．（2022秋·山东济宁·八年级统考期中）在下列条件中：①；②；③，能确定是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
例2．（2022秋·八年级课时练习）根据下列条件判断是不是直角三角形，并说明理由．
(1)有一个外角为．(2)，．(3)如图，与互余，．
变式1．（2023·广西·八年级假期作业）在△ABC中，满足下列条件：①；②；③；④，能确定是直角三角形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式2．（2023·浙江·八年级假期作业）已知：如图，在中，D是AB上一点，，．求证：是直角三角形．
考点5、直角三角形全等的判定（HL添加条件）
例1．（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）如图，点，在线段上，，，，要根据“”证明，则还需添加的一个条件是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）如图，，要根据“”证明，则还需添加一个条件是（　　）
A． B． C． D．
变式1．（2023春·四川达州·八年级校联考期中）如图， 于点 ， 于点 ，． 要根据证明，则还需要添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）如图，已知∠ACB＝∠BDA＝90°，请你添加一个条件，使得．你添加的条件是：_____．（写出一个符合题意的即可）
考点6、直角三角形全等的判定（HL证明）
例1．（2023春·陕西西安·八年级西安市华山中学校考阶段练习）如图，在中，，，AD平分交BC于D，于E．求证：；

例2．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考阶段练习）已知：如图，点、、三点在同一条直线上，平分，，于，于．
(1)求证：；(2)若，，求的长.
变式1．（2023·全国·八年级假期作业）如图，四边形中，，，，，与相交于点F．
(1)求证：(2)判断线段与的位置关系，并说明理由．
变式2．（2023秋·八年级单元测试）如图，、相交于点O，，．
(1)求证：．(2)若，求的度数．
考点7、角平分线的判定
例1．（2023春·广东·八年级专题练习）如图所示，点在的内部，，，垂足分别为，，，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
变式1．（2023春·陕西西安·八年级校考期中）如图，若的平分线与的外角的平分线相交于点Р连接，若，则等于____度．
变式2．（2023春·浙江八年级专题练习）如图，已知BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，BF交CE于D，且BD＝CD，求证：点D在∠BAC的平分线上．
变式3．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，已知，，．求证：
考点8、直角三角形全等的判定综合
例1．（2022·江西·八年级期末）已知：，，，．
（1）试猜想线段与的位置关系，并证明你的结论．
（2）若将沿方向平移至图2情形，其余条件不变，结论还成立吗？请说明理由．
（3）若将沿方向平移至图3情形，其余条件不变，结论还成立吗？请说明理由．
变式1．（2023·安徽合肥·校考三模）与关于直线对称，点，分别是边，上的点，且．

(1)如图1，若为直角，求证：；
(2)若为钝角如图2，为锐角如图3，是否还成立？请分别写出你的结论，并选择其中一个结论解答．若成立，请补全图形并证明；若不成立，请画出反例（画反例时保留作图痕迹）．
变式2．（2023春·山西临汾·八年级校联考阶段练习）菱形中，，为边，上的点，，相交于点．

(1)如图①，若，，求证：；(2)如图②，若．试探究此时和满足什么关系？并证明你的结论；(3)如图③，在（1）的条件下，平移线段到，使为的中点，连接交于点，连接，求的大小．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：90分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋·湖北武汉·八年级校联考期中）在下列条件中不能判定为直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）已知，点在直线上，点在直线上，于点，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
3．（2023春·湖北·八年级统考期末）如图，在中，，于D，，E是斜边的中点，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
4．（2023春·陕西榆林·八年级校考期末）如图，在中，，过点A作交于点D，，则的长为（ ）

A．6 B．8 C．10 D．12
5．（2023春·广东深圳·八年级校联考期中）若一个等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则此等腰三角形的底角的度数是（　　）
A． B． C．或 D．无法确定
6．（2022春·八年级单元测试）如图，，，要使得．若以“”为依据，需添加的条件是（　 　）
A． B． C． D．
7．（2023春·广东茂名·八年级校考期中）下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（　　）
A．两个锐角对应相等 B．斜边和一直角边分别对应相等
C．两条直角边分别对应相等 D．一条直角边相等且另一条直角边上的中线对应相等
8．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，中，，点E为的中点，点D在上，且，相交于点F，若，则等于（　　）

A． B． C． D．
9．（2022 杭州市八年级期中）如图，∠ACD是△ABC的外角，∠BAC＝80°，∠ABC和∠ACD的平分线相交于点E，连接AE，则∠CAE的度数是（ ）
A．35° B．40° C．50° D．55°
10．（2023春·江西抚州·八年级统考期末）如图，中，，，的平分线交于点F，平分，给出下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）个．

A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，，，，则_________．

12．（2023春·湖南株洲·八年级统考期末）已知在含有角的直角三角形中，斜边长为，则这个三角形的最短边长为___________．
13．（2023春·山东泰安·八年级统考期末）如图，在中，，，，于点，是的中点，则的长为________．

14．（2023春·浙江台州·八年级统考期末）如图，在四边形中，O是中点，，，若，则______．

15．（2023·河北石家庄·校联考一模）我们定义：在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的3倍，这样的三角形我们称之为“和谐三角形”．如：三个内角分別为的三角形是“和谐三角形”．概念理解：如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与重合），则的度数为___________，___________（选填“是”或“不是”）“和谐三角形”．

16．（2023·江苏苏州·一模）中，，点在射线上，且，连接，若，则___________．
17．（2022 西湖区校级期末）如图，AD为∠CAF的角平分线，BD＝CD，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠CBD．其中正确结论的序号有　 　．
18．（2022秋·山西晋城·八年级统考期末）如图，E是的中点，，，平分．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是______．（填序号）
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，平分，，如果，，求的长度及的度数．

20．（2023·广东深圳·八年级学校考期中）如图，在中，，，过点作，恰好是的平分线，求证：(1)．(2)若，求的长．

21．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在中，于点F，于点E，M为的中点．(1)求证：是等腰三角形；(2)若，，求的长度．
22．（2023春·广东云浮·八年级校考期中）如图，点P，M，N分别在等边三角形的各边上，且于点P，于点M，于点N．
(1)求证：是等边三角形；(2)若，求的长．

23．（2023春·全国·七年级专题练习）阅读并理解下面内容，解答问题．
三角形的内心
定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心．
如图1，已知AM，BN，CP是△ABC的三条内角平分线．
求证：AM，BN，CP相交于一点．
证明：如图2，设AM，BN相交于点O，
过点O分别作，，，垂足分别为点D，E，F．
∵点O是∠BAC的平分线AM上的一点，
∴，（依据1）
同理，．
∴．（依据2）
∵CP是∠ACB的平分线，
∴点O在CP上，（依据3）
∴AM，BN，CP相交于一点．
请解答以下问题：
（1）上述证明过程中的“依据1”“依据2”“依据3”分别是指什么？
（2）如果，，，，请直接用a，b，c，r表示△ABC的面积．
24．（2023春·四川达州·七年级统考期末）已知．

(1)如图1，按如下要求用尺规作图：①作出的中线；②延长至E，使，连接；（不要求写出作法，但要保留作图痕迹．）(2)如图2，若是中线．试探究与之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，若是的中线，过点B作于E，交于点F，连接．若，求的长．
25．（2023·陕西咸阳·统考三模）【观察发现】（1）如图1，在中，点P为内一点，连接，若，则______；
【问题拓展】（2）如图2，直角三角尺如图放置，，，，直线l经过点A交于点E，点D在的延长线上，若，，求与的面积之和；
【实践应用】（3）如图3，四边形是一个避暑山庄的平面示意图，米，米，，是一条彩灯带，点D到所在直线的距离相等，区域是绿化区域，点E、F分别在上，米，．为吸引游客，现要对绿化区域进行改造，设计师计划在上找点P，将以点P、C、E为顶点的三角形区域改建成绿化区，要求改建前后的绿化区面积相等（即与的面积相等），请你帮助设计师确定点P的位置，并求出此时的长．

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