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专题2.12 等腰三角形与直角三角形中的动态问题
模块1：学习目标
1、掌握两类等腰三角形的分类讨论问题；
2、掌握两类直角三角形的分类讨论问题。
模块2：知识储备
1、涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。
2、直角三角形中，优先考虑直角的分类讨论，再利用直角三角形的性质与勾股定理解题即可。
模块3：核心考点与典例
考点1、等腰三角形中的分类讨论：
1.无图需分类讨论
①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论；③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。
2.“两定一动”等腰三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）
即：如图：已知，两点是定点，找一点构成等腰
方法：两圆一线
具体图解：①当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外）
②当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外）
③当时，作的中垂线，点在该中垂线上（除外）
例1．（2022·杭州·八年级期中）一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（　　）
A．13cm B．14cm C．13cm或14cm D．以上都不对
解：当4cm为等腰三角形的腰时，
三角形的三边分别是4cm，4cm，5cm符合三角形的三边关系，∴周长为13cm；
当5cm为等腰三角形的腰时，
三边分别是，5cm，5cm，4cm，符合三角形的三边关系，∴周长为14cm，故选：C．
变式1．（2022·浙江·八年级期中）等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（　　）
A．30° B．30°或150° C．120°或150° D．30°或120°或150°
解：①如图，∵∠ADB＝90°，AD＝AB，∴∠B＝30°，
∵AC＝BC，∴∠CAB＝30°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
②如图，∵∠ADB＝90°，AD＝AC，∴∠ACD＝30°，
∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠B＝15°，∠ACB＝180°﹣30°＝150°．
③如图，∵∠ADB＝90°，AD＝BC，∴∠B＝30°，
∵AB＝BC，∴∠CAB＝∠C＝75°，∴∠B＝30°．故选：D．
例2．（2022·保定市初二期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】先计算OA的长，再以OA为腰或底分别讨论，进而得出答案．
【解析】解：如图，，当AO＝OP1，AO＝OP3时，P1（﹣，0），P3（，0），
当AP2＝OP2时，P2（1，0），当AO＝AP4时，P4（2，0），故符合条件的点有4个．故选：C．
【点睛】本题以平面直角坐标系为载体，主要考查了勾股定理和等腰三角形的定义，属于常考题型，全面分类、掌握解答的方法是关键．
变式2．（2022·安徽淮北·九年级阶段练习）如图，在中，，，．若点P为直线BC上一点，且为等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据勾股定理求出AB，分为三种情况：①AB＝AP，②AB＝BP，③AP＝BP，得出即可．
【详解】解：在△ABC中，∠B=90°，BC＝8，AC＝6，由勾股定理的：，
如图，以点A为圆心，以10为半径画圆，交直线BC于两点，即点B和点P1；
以点B为圆心，以10为半径画圆，交直线BC于两点，即点P2和P3；
作线段AB的垂直平分线交直线BC与一点，即点P4；即共4个点，故选：D
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和勾股定理的应用，关键要用分类讨论的思想．
例3．（2022·福建·厦门八年级期末）在平面直角坐标系中，点A（10，0）、B（0，3），以AB为边在第一象限作等腰直角△ABC，则点C的坐标为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意作出图形，分类讨论，根据三角形全等的性质与判定即可求得点的坐标
【详解】解：如图，
当为直角顶点时，则,作轴，
又,同理可得
根据三线合一可得是的中点，则，综上所述，点C的坐标为
故答案为：
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．
变式3．（2022·黑龙江密山·八年级期末）如图，直线MN与x轴、y轴分别相交于B、A两点，． (1)求A，B两点的坐标；(2)若点O到AB的距离为，求线段AB的长；(3)在（2）的条件下，x轴上是否存在点P，使△ABP是以AB为腰的等腰三角形，若存在请直接写出满足条件的点P的坐标．
【答案】(1)A（0，6），B（8，0）；(2)AB=10；(3)存在，（-8，0）、（-2，0）、（18，0）．
【分析】（1）由非负数的性质知OA=6，OB=8，据此可得点A和点B的坐标；（2）根据求解可得；（3）先设点P（a，0），根据A（0，6），B（8，0）得，再分PA=AB和AB=PB两种情况分别求解可得．
(1)
则A点的坐标为A（0，6），B点的坐标为（8，0）
(2)，
(3)存在点P，使△ABP是以AB为腰的等腰三角形 设点P（a，0），根据A（0，6），B（8，0）得
①若PA=AB，则，即，解得a=8(舍)或a= 8，此时点P( 8，0)；
②若AB=PB，即，即解得a=18或a= 2，此时点P(18，0)或( 2，0)；
综上，存在点P，使△ABP使以AB为腰的等腰三角形，其坐标为( 8，0)或(18，0)或( 2，0)．
【点睛】本题考察了非负数的性质、直角三角形的面积求法、勾股定理及等腰三角形的性质，分类讨论思想的运用是解决第3问的关键
例4．（2022·北京·八年级期中）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC为一边．在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为____．
【答案】或或．
【分析】根据题意分类讨论，①，②，③，分别作出图形，再结合已知条件勾股定理求解即可．
【详解】解：①如图，当时，
是等腰直角三角形，
,，；
②如图，当时，过点作，交的延长线于点，
，，是等腰直角三角形，
，，
又，是等腰直角三角形，，
在中，，，
在中，，在中，；
③如图，当时，
，是等腰直角三角形， ，
在中，，在中，．
综上所述，的长为：或或．故答案为：或或．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
变式4．（2022·河南·郑州市八年级阶段练习）如图，已知等腰△ABC中，ABAC5，BC8，E是BC上的一个动点，将△ABE沿着AE折叠到△ADE处，再将边AC折叠到与AD重合，折痕为AF，当△DEF是等腰三角形时，BE的长是___________．
【答案】或或．
【分析】分三种情况讨论：DE=DF，DE=EF，EF=DF．利用等腰三角形的性质和全等三角形解题．
【详解】解：由折叠可知，BE=DE，DF=CF，AD=AB=AC=5，
当DE=DF时，如图1，此时DE=DF=BE=CF，∵AB=AC，∴∠B=∠C，
在△ABE和△ACF中， ∴△ABE≌△ACF，
∴AE=AF，∴AD垂直平分EF，∴EH=FH，，
∴，∴，设，则，
则在直角△DHE中，，解得，
当DE=EF时，如图2，作AH⊥BC于H，连接BD，延长AE交BD于N，
可知BE=DE=EF，∵AH⊥BC，AB=AC，BC=8∴BH=CH=4，
∴，设，则，∴，即
∵AB=AD，∠BAN=∠DAN，∴AN⊥BD，BN=DN，∴，∴
在△AHE和△BNE中， ∴△AHE≌△BNE，∴AE=BE，
设，则，在直角△AEH中，，解得，
当DF=EF时，如图3，过A作AH⊥BC于H，延长AF交DC于M，
同理∴故答案为：或或．
【点睛】本题考查折叠问题，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，注意分类讨论是解题的关键．
例4．（2022·江西宜春·八年级期末）规定：在直角三角形中，如果直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角为30°．等腰三角形ABC中，于点D，若，则底角的度数为______．
【答案】或或
【分析】分两种情况：①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可．
【详解】①BC为腰，∵AD⊥BC于点D，，∴∠ACD=30°，
如图1，AD在△ABC内部时，底角∠B=75°；
如图2，延长BC，过A作AD⊥BC于D，AD在△ABC外部时，底角∠B==15°；
②BC为底，如图3，∵AD⊥BC于点D，，∴AD=BD=CD，
∴△ABC是等腰直角三角形，∴底角∠B=45°，
综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为或或．故答案为：或或．
【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
变式4．（2022·重庆市八年级期中）如图1，一副直角三角板△ABC和△DEF，∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，点B、D、C、F在同一直线上，点A在DE上．如图2，△ABC固定不动，将△EDF绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜135°）得△E′DF'，当直线E′F′与直线AC、BC所围成的三角形为等腰三角形时，α的大小为___．
【答案】7.5°或75°或97.5°或120°
【分析】设直线E′F′与直线AC、BC分别交于点P、Q，根据△CPQ为等腰三角形，分三种情况：①当∠PCQ为顶角时，∠CPQ=∠CQP，如图1，可求得α=7.5°；如图2，△CPQ为等腰三角形中，∠PCQ为顶角，可求得α=∠EDE′=90°+7.5°=97.5°；②当∠CPQ为顶角时，∠CQP=∠PCQ=45°，可得∠CPQ=90°，如图3，进而求得α=90°-15°=75°；③如图4，当∠CQP为顶角时，∠CPQ=∠PCQ=45°，可得∠CQP=90°，进而求得α=∠EDE′=∠EDQ+∠QDE′=90°+30°=120°．
【详解】解：设直线E′F′与直线AC、BC分别交于点P、Q，
∵△CPQ为等腰三角形，∴∠PCQ为顶角或∠CPQ为顶角或∠CQP为顶角，
①当∠PCQ为顶角时，∠CPQ=∠CQP，如图1，
∵∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，∴∠E′DF′=90°，∠ACB=45°，∠E′F′D=30°，
∵∠CPQ+∠CQP=∠ACB=45°，∴∠CQP=22.5°，
∵∠E′F′D=∠CQP+∠F′DQ，∴∠F′DQ=∠E′F′D-∠CQP=30°-22.5°=7.5°，∴α=7.5°；
如图2，∵△CPQ为等腰三角形中，∠PCQ为顶角，∴∠CPQ=∠CQP=67.5°，
∵∠E′DF′=90°，∠F′=30°，∴∠E′=60°，∴∠E′DQ=∠CQP-∠E′=67.5°-60°=7.5°，
∴α=∠EDE′=90°+7.5°=97.5°；
②当∠CPQ为顶角时，∠CQP=∠PCQ=45°，∴∠CPQ=90°，如图3，
∵∠DE′F′=∠CQP+∠QDE′，∴∠QDE′=∠DE′F′-∠CQP=60°-45°=15°，∴α=90°-15°=75°；
③如图4，当∠CQP为顶角时，∠CPQ=∠PCQ=45°，
∴∠CQP=90°，∴∠QDF′=90°-∠DF′E′=60°，∴∠QDE′=∠E′DF′-∠QDF′=30°，
∴α=∠EDE′=∠EDQ+∠QDE′=90°+30°=120°；综上所述，α的大小为7.5°或75°或97.5°或120°．
故答案为：7.5°或75°或97.5°或120°．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形性质，旋转的性质，三角形内角和定理等，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想思考解决问题．
考点2、直角三角形中的分类讨论：
【解题技巧】
1.无图需分类讨论——经典运用：已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论。
2.“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）
即：如图：已知，两点是定点，找一点构成
方法：两线一圆
具体图解：①当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外）
②当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外）
③当时，以为直径作圆，点在该圆上（，除外）
例1．（2022·江西九江·八年级期末）已知在平面直角坐标系中A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，2）．点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为________．
【答案】（0，0），（，0），（﹣2，0）
【分析】因为点P、A、B在x轴上，所以P、A、B三点不能构成三角形．再分Rt△PAC和Tt△PBC两种情况进行分析即可．
【详解】解：∵点P、A、B在x轴上，∴P、A、B三点不能构成三角形．
设点P的坐标为（m，0）．当△PAC为直角三角形时，
①∠APC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）；
②∠ACP＝90°时，如图，∵∠ACP＝90°∴AC2＋PC2＝AP2，
，解得，m＝，∴点P的坐标为（，0）；
当△PBC为直角三角形时，①∠BPC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）；
②∠BCP＝90°时，∵∠BCP＝90°，CO⊥PB，∴PO＝BO＝2，∴点P的坐标为（﹣2，0）．
综上所述点P的坐标为（0，0），（，0），（﹣2，0）．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了数形结合和分类讨论思想．解题的关键是不重复不遗漏的进行分类．
变式1.（2022春·浙江宁波·八年级校联考期末）如图，已知直线与轴交于点与直线交于点，点为轴上的一点，若为直角三角形，则点的坐标为__________．
【答案】(2，0)或（5，0）
【分析】先求出A，再求出，解得，则点B（2，3），分类讨论直角顶点，当点C为直角顶点时，当点B为直角顶点时，根据△ABC为等腰直角三角形即可求出点C坐标．
【详解】与轴交于点，∴y=0，x=-1，∴A(-1，0)，
直线与直线交于点，，解得，∴B（2，3），
当点C为直角顶点时，∴BC⊥AC，∴BC∥y轴，B、C横坐标相同，C（2，0），
当点B为直角顶点时，∴BC⊥AB，
，k=1，∴∠BAC=45°，∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=，AC==6，AO=1，CO=AC-AO=5，C（5，0），
C点坐标为（2，0）或（5，0）．故答案为：（2，0）或（5，0）．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，掌握直角三角形的顶点分两种情况讨论解决问题是关键．
例2．（2022·江苏兴化·八年级期中）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D、E在边BC所在的直线上，且AB=DB，AC=EC，则∠DAE的度数为________．
【答案】45°或135°
【分析】分四种情况：若点D、E在线段BC上时；若点D在线段BC上，点E在BC的延长线上时；若点D在CB的延长线上点E在BC的延长线上时；若点D在CB的延长线上，点E在线段BC上时讨论，即可求解．
【详解】解：如图，若点D、E在线段BC上时，
∵AB=DB，AC=EC，∴∠BAD=∠ADB，∠CAE=∠AEC，
∴∠BAE+∠DAE=∠CAD+∠C，∠CAD+∠DAE=∠BAE+∠B，
∴∠BAE+∠CAD+2∠DAE=∠CAD+∠BAE+∠B+∠C，∴2∠DAE=∠B+∠C，
∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠DAE=45°；
如图，若点D在线段BC上，点E在BC的延长线上时，
∵AC=EC，∴可设∠E=∠CAE =x，∴∠ACB=∠E+∠CAE=2x，∵∠BAC=90°，∴∠B=90°-∠ACB=90°-2x，
∵AB=DB，∴ ，∵∠ADB=∠DAE+∠E，∴∠DAE=45°；
如图，若点D在CB的延长线上，点E在BC的延长线上时，
∵AC=EC，∴∠E=∠CAE，∴∠ACB=∠E+∠CAE=2∠CAE，
∵AB=DB，∴∠D=∠BAD，∴∠ABC=∠D+∠BAD=2∠BAD，
∵∠BAC=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∴2∠CAE+2∠BAD=90°，∴∠CAE+∠BAD=45°，
∴∠DAE=∠CAE+∠BAD+∠BAC=135°；如图，若点D在CB的延长线上，点E在线段BC上时，
∵AB=DB，∴可设∠D=∠BAD=y，∴∠ABC=∠D+∠BAD=2y，∴∠ABC=2y，
∵∠BAC=90°，∴∠C=90°-2y，∵AC=EC，∴∠AEC=∠CAE= ，
∵∠AEC=∠D+∠DAE，∴∠DAE=45°综上所述，∠DAE的度数为45°或135°．故答案为：45°或135°
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
变式2.（2022·广东广州·八年级阶段练习）在中，若过顶点的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点的二分割线．例如：如图，在中，，，若过顶点的一条直线交于点，且，则直线是的关于点的二分割线．如图，已知，同时满足：①为最小角；②存在关于点的二分割线，则的度数为______．
【答案】或或
【解析】
【分析】根据关于点B的二分割线的定义即可得到结论．
【详解】解：如图2所示：，
如图3所示：，
如图所示：，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查直角三角形，等腰三角形的性质，正确理解“△ABC的关于点B的二分割线”是解题的关键。
例3．（2022·浙江·义乌市八年级期中）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P是BC边上的一个动点，点B与B′是关于直线AP的对称点，当△CPB'是直角三角形时，BP的长＝_______．
【答案】1或
【分析】根据题意分三种情形：①∠PCB′＝90°，②∠CPB′＝90°，进而利用勾股定理构建方程求解即可，③反证法证明的情形不成立．
【详解】解：①如图1中，当∠PCB′＝90°时，设PB＝PB′＝x．
∵AC＝3，CB＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝5，
由翻折的性质可知，AB＝AB′＝5，在Rt△PCB′中，PC2+CB′2＝PB′2，
∴（4﹣x）2+22＝x2，∴x＝，∴PB＝．
②如图2中，当∠CPB′＝90°，设PB＝y．
过点A作AT⊥B′P交B′P的延长线于点T，则四边形ACPT是矩形，
∴PT＝AC＝3，AT＝CP＝4﹣y，在Rt△ATB′中，AB′2＝AT2+B′T2，
∴52＝（4﹣y）2+（y+3）2，解得y＝1或0（0舍弃），∴PB＝1，
③若，如图点C与C′是关于直线AP的对称点，连接
由题意可得
若， 根据对称性可得
, 根据平行线之间的距离相等，
若，则到的距离等于4 而不平行假设不成立
综上所述，PB的值为：1或．
【点睛】本题考查翻折变换以及勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．
变式3．（2022·江西萍乡·二模）如图，在△ABC 中，AB＝BC＝2，AO＝BO，P 是射线 CO 上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP 的长为____．
【答案】或或1
【分析】利用分类讨论，当∠ABP=90°时，如图2，由对顶角的性质可得∠AOC=∠BOP=60°，易得∠BPO=30°，易得BP的长，利用勾股定理可得AP的长；当∠APB=90°时，分两种情况讨论，情况一：如图1，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出PO=BO，易得△BOP为等边三角形，利用勾股定理可得AP的长；情况二：如图3，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得结论．
【详解】当∠ABP=90°时（如图2），
∵∠AOC=∠BOP=60°，∴∠BPO=30°，∴OP=2OB=2，
∴BP=，在直角三角形ABP中，AP=；
当∠APB=90°时，分两种情况，情况一，（如图1），∵AO=BO，∴PO=BO，
∵∠AOC=60°，∴∠BOP=60°，∴△BOP为等边三角形，∴BP=OB=1，
∵AB=BC=2，∴AP=；
情况二，如图3，∵AO=BO，∠APB=90°，∴PO=AO，
∵∠AOC=60°，∴△AOP为等边三角形，∴AP=AO=1，故答案为：或或1．
．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，等边三角形的判定及性质，含30°直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，分类讨论，数形结合是解答此题的关键．
例4．（2022·河北承德·八年级期末）如图，，，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，嘉琪在研究过程中发现，随着点Р运动，形状在发生变化，设点P的运动时间为t秒．
（1）当是直角三角形时，t的值为______；（2）当是钝角三角形时，t满足的条件是_______．
【答案】 和6 或
【分析】（1）分两种情况讨论：当∠APB=90°时；当∠BAP=90°时，结合直角三角形的性质，即可求解；
（2）由（1）得，当时，∠APB＞90°；当时，∠BAP＞90°，即可求解．
【详解】解：（1）如图，当∠APB=90°时，
∵，∴∠BAP=30°，∴AB=2BP，∵，∴，此时；
如图，当∠BAP=90°时，
∵，∴∠BPA=30°，∴BP=2AB=6，此时t=6；综上所述，t的值为和6；
故答案为：和6；
（2）由（1）得，当时，∠APB＞90°；当时，∠BAP＞90°；
∴当是钝角三角形时，t满足的条件是或．故答案为：或
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
变式4．（2022·河南·郑州市八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4cm，AC=3cm，动点P从点B出发沿射线BA以2cm/s的速度运动．设运动时间为t，则当t=__秒时，△BPC为直角三角形．
【答案】2.5或1.6
【分析】分两种情况讨论：①当∠BCP为直角时，点P与点A重合，根据勾股定理即可求得跑PB，进而得到t；②当∠BPC为直角时，利用三角形面积即可求解PC，然后根据勾股定理即可求解BP，进而求得t．
【详解】∵∠C＝90°，BC=4cm，AC=3cm，，
∴在，．
①当∠BCP为直角时，点P与点A重合， ∴t＝5÷2＝2.5s．
②∠BPC为直角时，在Rt△ABC中，，
即，解得
在Rt△BPC中，∴t＝3.2÷2＝1.6s．
综上，当t＝2.5s或1.6s时，△BPC为直角三角形．故答案为：2.5或1.6．
【点睛】本题考查了三角形的动点问题，掌握以及勾股定理是解题的关键．
模块4：同步培优题库
1．在△ABC中，AB＝10，AC＝2，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于（　　）
A．10 B．8 C．6或10 D．8或10
解：根据题意画出图形，如图所示，如图1所示，AB＝10，AC＝2，AD＝6，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定理得：BD＝＝8，CD＝＝2，
此时BC＝BD+CD＝8+2＝10；如图2所示，AB＝10，AC＝2，AD＝6，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定理得：BD＝＝8，CD＝＝2，此时BC＝BD﹣CD＝8﹣2＝6，则BC的长为6或10．故选：C．
2．（2022·黑龙江·哈尔滨八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】先计算OA的长，再以OA为腰或底分别讨论，进而得出答案．
【详解】解：如图，，
当AO＝OP1，AO＝OP3时，P1（﹣，0），P3（，0），
当AP2＝OP2时，P2（1，0），当AO＝AP4时，P4（2，0），
故符合条件的点有4个．故选：C．
【点睛】本题以平面直角坐标系为载体，主要考查了勾股定理和等腰三角形的定义，属于常考题型，全面分类、掌握解答的方法是关键．
3．（2022·山东·八年级课时练习）如图，在中，，，，．是边上的一个动点，点与点关于直线对称，当为直角三角形时，的长为________．
【答案】7或17
【分析】分当E在线段AD上时，当E在线段BD上时分别求解即可．
【详解】解：当E在线段AD上时，连接CE，作A关于CE的对称点F，连接AF，EF，CF，
∵∠AEF=90°，∴∠AEC=∠FEC==135°，∴∠CED=45°，
∴CD=ED=5，∴AE=AD-ED=12-5=7；
当E在线段BD上时，连接CE，作A关于CE的对称点F，连接EF，CF，AF，
∵∠AEF=90°，∴∠CEF=∠CEA=45°，
∴ED=CD=5，∴AE=AD+DE=17，故答案为：7或17．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，解本题的关键是注意运用数形结合的思想解决问题．
4．（2022·河南平顶山·八年级期末）如图，中，，，的平分线与线段交于点，且有，点是线段上的动点（与A、不重合），连接，当是等腰三角形时，则的长为___________．
【答案】4或##或4
【分析】现根据已知条件得出，再根据BC=6，分别求出AB、AC、BD、AD、CD的长，然后分类讨论即可．
【详解】解：∵ABC中BD平分ABC，∴CBD=ABD，
∵BD=AD，∴ABD=BAD，∴CBD=ABD=BAD，
∵ACB=90°，∴CBD+ABD+BAD=90°，∴CBD=ABD=BAD=30°,
∵BC=6，∴AB=2BC=12，AC=，
∵，且BC=6，∴BD=2CD，∵BD2=CD2+BC2，即(2CD)2=CD2+62，
∴CD=， BD== AD；
（1）当BE=BD=时，如图：
（2）当BE=DE，如图：
∵BE=DE，∴EDB=ABD=30°，∴AED=EDB+ABD=60°，
∴ADE=180°-AED-A=180°-60°-30°=90°，∴ADE为直角三角形，
又∵且AD=，∴DE=4，∴BE=4；
（3）当BD=DE，时，点E与A重合，不符合题意；
综上所述，BE为4或．故答案为：4或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理的应用，30°直角三角形的性质的应用，按三种不同的情况进行讨论是解题的关键．
5.（2022 海州区八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝BC＝6，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为　 　．
解：当∠APB＝90°时（如图1），∵AO＝BO，∴PO＝BO，
∵∠AOC＝60°，∴∠BOP＝60°，∴△BOP为等边三角形，
∵AB＝BC＝6，∴AP＝6×＝3；当∠ABP＝90°时（如图2），
∵∠AOC＝∠BOP＝60°，∴∠BPO＝30°，∴BP＝3，
在直角三角形ABP中，AP＝＝3；如图3，∵AO＝BO，∠APB＝90°，∴PO＝AO，
∵∠AOC＝60°，∴△AOP为等边三角形，∴AP＝AO＝3，故答案为3或3或3．
6．（2022·河南南阳·二模）如图，在的纸片中，，，．点在边上，以为折痕将折叠得到，与边交于点．若为直角三角形，则的长是_______．
【答案】7或
【分析】由勾股定理可以求出BC的长，由折叠可知对应边相等，对应角相等，当△DEB′为直角三角形时，可以分为两种情况进行考虑，分别利用勾股定理可求出BD的长．
【详解】解：在中，，
（1）当时，如图1，
过点作，交的延长线于点，由折叠得：，，
设，则，，在中，由勾股定理得：，
即：，解得：（舍去），，因此，．
（2）当时，如图2，此时点与点重合，
由折叠得：，则，设，则，，
在△中，由勾股定理得：，解得：，
因此．故答案为：7或．
【点睛】本题考查了轴对称的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，分类讨论思想的应用注意分类的原则是不遗漏、不重复．
7．（2022·上海普陀·八年级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，点D为边BC上一点，将△ACD沿直线AD翻折得到△AED，点C的对应点为点E，联结BE，如果△BDE是以BD为直角边的等腰直角三角形，那么BC的长等于______．
【答案】12或
【分析】根据题意可知，需要分两种情况，，，画出对应的图形，再根据折叠的性质及等腰直角三角形的性质可求解．
【详解】解：①当时，如图，
此时，四边形是正方形，则，
又是等腰直角三角形，，所以；
②当时，如图，
设，则，，由折叠可知，，
由题意可知，，，，
即是等腰直角三角形，，，
，，解得，
．故答案为：12或．
【点睛】本题考查了翻折变换、勾股定理、解直角三角形、等腰直角三角形的性质与判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题．
8．（2022·河南·郑州市三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P是边AC上一动点，把△ABP沿直线BP折叠，使得点A落在图中点A′处，当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长是_________．
【答案】4或3
【分析】分类讨论分别当∠AA′C=90°时，当∠ACA′=90°时，根据折叠的性质函数直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：如图1，当∠AA′C=90°时，
∵以直线BP为轴把△ABP折叠，使得点A落在图中点A′处，∴AP=A′P，∴∠PAA′=∠AA′P，
∵∠ACA′+∠PAA′=∠CA′P+∠AA′P=90°，∴∠PCA′=∠PA′C，∴PC=PA′，∴PC=AC=4，
如图2，当∠ACA′=90°时，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=8，BC=6．∴AB=10，
∵以直线BP为轴把△ABP折叠，使得点A落在图中点A′处，∴A′B=AB=10，PA=PA′，∴A′C=4，
设PC=x，∴AP=8-x，∵A′C2+PC2=PA′2，∴42+x2=（8-x）2，解得：x=3，∴PC=3，
综上所述：当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长是4或3，故答案为：4或3．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
9．（2022·全国·八年级专题练习）如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当_____s时，是等腰三角形；当_____s时，是直角三角形．
【答案】 或5 4或10
【分析】根据是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点在上，或点在上；根据是直角三角形，分两种情况进行讨论：，或，据此进行计算即可．
【详解】解：如图，当时，是等腰三角形，
，，当时，，解得；
如图，当时，是等腰三角形，
，，当时，，解得；
如图，当时，是直角三角形，且，
，，当时，，解得；
如图，当时，是直角三角形，且，
，，当时，，解得：t=10．
故答案为：或5；4或10．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复．
10．（2022·浙江·诸暨市八年级期中）如图∠MAN＝60°，若△ABC的顶点 B在射线AM上，且AB＝6，动点C从点A出发，以每秒1个单位沿射线AN运动，当运动时间 t是_______秒时，△ABC是直角三角形．
【答案】3或12
【分析】分∠ACB＝90°和∠ABC＝90°两种情况，据含30°角的直角三角形的性质求出AC，再求出答案即可．
【详解】解：如图：当△ABC是以∠ACB＝90°的直角三角形时，
∵∠MAN＝60°，∴∠ABC＝30°，∴AC=，∴运动时间 t=秒，
当△ABC是以∠ABC＝90°的直角三角形时，
∵∠MAN＝60°，∴∠ACB＝30°，∴AC=，∴运动时间 t=秒，
当运动时间 t是3或12秒时，△ABC是直角三角形．故答案为：3或12
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和含30°角的直角三角形的性质，能熟记含30°角的直角三角形的性质是解此题的关键．
11．（2022·上虞市初二月考）在如图所示的三角形中，∠A＝30°，点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点，分别连接BP和PQ，把△ABC分割成三个三角形△ABP，△BPQ，△PQC，若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠C有可能的值有________个．
【答案】7
【分析】①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时；②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时；③当APB，PB=BQ，PQ=CQ时；④AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时；根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
【解析】解：如图所示，共有9种情况，∠C的度数有7个，分别为80°，40°，35°，20°，25°，100°，50°．
①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时；②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时，
③当AP=AB，PQ=CQ，PB=PQ时．④当AP=AB，PQ=PC，BQ=PQ时，
⑤当AP=BP，CP=CQ，QB=PQ时，⑥当AP=PB，PB=BQ，PQ=CQ时；
⑦AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时．⑧AP=PB，QB=PQ，PQ=CC时．⑨BP=AB，PQ=BQ，PQ=PC时．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
12．已知某直角三角形的两边为3，4，则第三边长等于　　 ．
解：设第三边为x，
（1）若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：32+42＝x2，所以x＝5；
（2）若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得：32+x2＝42，所以x＝；
所以第三边的长为5或
13.（2023 海安市月考）已知a，b，c为一个直角三角形的三边长，且，则该直角三角形的斜边长为　 　
解：∵，∴a﹣3＝0，b﹣2＝0，解得：a＝3，b＝2，
①以a为斜边时，斜边长为3；
②以a，b为直角边的直角三角形的斜边长为＝，
综上所述，即直角三角形的斜边长为3或．
14．（2023 海州区校级一模）如图，在△ABC中，AB＝BC＝6，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为　　 ．
解：当∠APB＝90°时（如图1），
∵AO＝BO，∴PO＝BO，∵∠AOC＝60°，∴∠BOP＝60°，∴△BOP为等边三角形，
∵AB＝BC＝6，∴AP=6×＝3；
当∠ABP＝90°时（如图2），
∵∠AOC＝∠BOP＝60°，∴∠BPO＝30°，∴BP＝＝3，
在直角三角形ABP中，AP＝＝3；
如图3，∵AO＝BO，∠APB＝90°，∴PO＝AO，∵∠AOC＝60°，∴△AOP为等边三角形，
∴AP＝AO＝3，故答案为3或3或3．
15．（2023 金牛区校级月考）如图，已知线段AB＝8，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝60°，P点是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，则BP＝　 ．
解：当∠APB＝90°时，分两种情况讨论，情况一：如图1，∵AO＝BO，∴PO＝BO，
∵∠1＝60°，∴△BOP为等边三角形，∴∠OBP＝60°，∴∠PAB＝30°，∴BP＝AB＝4；
情况二：如图2，∵AO＝BO，∠APB＝90°，∴PO＝BO，
∵∠1＝60°，∴∠B＝30°，∴AP＝AB＝4，在Rt△APB中，BP＝＝＝4；
当∠BAP＝90°时，如图3，∵∠1＝60°，∴∠AOP＝60°，∴∠APO＝30°，∴OP＝2AO＝8，
在Rt△OAP中，AP＝＝＝4，
在Rt△BAP中，BP＝＝＝4；
当∠ABP＝90°时，如图4，∵∠1＝60°，∴∠P＝30°，∴OP＝2OB＝8，
在Rt△OBP中，BP＝＝＝4．故答案为：4或4或4．
16．如图：长方形ABCD中，AD＝10，AB＝4，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，当△BPQ是等腰三角形时，AP的长为　　．
解：∵四边形ABCD为矩形，且AD＝10，∴BQ＝5，
当BP＝PQ时，过P作PM⊥BQ，交BQ于点M，如图1，
则BM＝MQ＝2.5，且四边形ABMP为矩形，∴AP＝BM＝2.5，
当BQ＝BP时，则BP＝5，在Rt△ABP中，AB＝4，由勾股定理可求得AP＝3，
当PQ＝BQ时，以点Q为圆心，BQ为半径作圆，于AD交于R、S两点，如图2，
过Q作QN⊥RS，交RS于点N，则可知RN＝SN，
在Rt△RNQ中，可求得RN＝SN＝3，则AR＝2，AS＝8，
即R、S为满足条件的P点的位置，∴AP＝2或8，
综上可知AP为2或2.5或3或8
17．一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30°，求这个三角形的三个内角的度数．
解：①当都是底角时，设其为x，则x＝2x﹣30°，x＝30°，所以三个角为30°，30°，120°
②当底角比顶角2倍少30°时，设顶角为x，则x+2（2x﹣30°）＝180°，
解得x＝48°，三个角为48°，66°，66°；
③当顶角比底角2倍少30°时，设底角为x，则2x+2x﹣30°＝180°，
解得x＝52.5°，三个角为52.5°，52.5°，75°．
18．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，求这个等腰三角形的底角的度数．
解：分两种情况讨论：
①若∠A＜90°，如图1所示：∵BD⊥AC，∴∠A+∠ABD＝90°，
∵∠ABD＝50°，∴∠A＝90°﹣50°＝40°，
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣40°）＝70°；
②若∠A＞90°，如图2所示：同①可得：∠DAB＝90°﹣50°＝40°，∴∠BAC＝180°﹣40°＝140°，
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣140°）＝20°；
综上所述：等腰三角形底角的度数为70°或20°
19．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径绕△ABC运动一周，且速度为每秒2cm，设运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分；（2）当t为何值时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，请求此时CP的长；（3）当t为何值时，△BCP为等腰三角形？
解：（1）△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，
∴AB＝10cm，∴△ABC的周长＝8+6+10＝24cm，
∴当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，
此时CA+AP＝BP+BC＝12cm，∴t＝12÷2＝6（秒）；
（2）当点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，
此时CA+AP＝8+5＝13（cm），∴t＝13÷2＝6.5（秒），∴CP＝AB＝×10＝5cm；
（3）△BCP为等腰三角形时，当点P在边AC上时，CP＝CB，∵CP＝6cm，此时t＝6÷2＝3（秒）；
当点P在边AB上时．①如图1，CP＝CB，作AB边上的高CD，
∵AC×BC＝AB×CD．∴CD＝＝4.8，
在Rt△CDP中，根据勾股定理得，DP＝＝3.6，
∴BP＝2DP＝7.2，∴AP＝2.8，∴t＝（AC+AP）÷2＝（8+2.8）÷2＝5.4（秒）
②BC＝BP，∴BP＝6cm，CA+AP＝8+10﹣6＝12（cm），∴t＝12÷2＝6（秒）；
③PB＝PC，∴点P在BC的垂直平分线与AB的交点处，即在AB的中点，
此时CA+AP＝8+5＝13（cm），t＝13÷2＝6.5（秒）；
综上可知，当t＝3秒或5.4秒或6秒或6.5秒时，△BCP为等腰三角形．
20.（2022 郑州期中）定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝2.5，MN＝6.5，BN＝6，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．（2）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝14，AM＝4，求BN的长．
【答案】 （1） 是 （2）① 4.2；． ② BN＝4.2或5.8
【解答】解：（1）点M、N是线段AB的勾股分割点．理由如下：
∵AM2+BN2＝2.52+62＝42.25，MN2＝6.52＝42.25，
∴AM2+NB2＝MN2，∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，
∴点M、N是线段AB的勾股分割点；
（2）设BN＝x，则MN＝14﹣AM﹣BN＝10﹣x，
①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2+NB2，
即（10﹣x）2＝x2+16，解得x＝4.2；
②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2+MN2．即x2＝16+（10﹣x）2，解得x＝5.8．
综上所述，BN＝4.2或5.8．
21．（2022·广东中山·八年级期末）如图，中，厘米，如果点M从点C出发，点N从点B出发，沿着三角形三边以4厘米/秒的速度运动，当点N第一次到达C点时，M，N两点同时停止运动．运动时间为t（秒）．
(1)当且为直角三角形时，求t的值；(2)当t为何值，为等边三角形．
【答案】(1)或(2)或
【分析】（1）根据题意可知当时，点M在BC上，点N在AB上，根据为直角三角形，则或，分类讨论，根据含30度角的直角三角形的性质，列出一元一次方程，解方程求解即可；（2）点N第一次到达C点时，M，N两点同时停止运动，则，分①时，②时两种情况，根据等边三角形的性质，列出一元一次方程，解方程求解即可；
(1)当，点M在BC上，点N在AB上，
，，
为直角三角形，则或，
①当时，，，即，解得：．
②当时，，，即，解得：．
综上，或时，为直角三角形．
(2)点N第一次到达C点时，M，N两点同时停止运动，则，
①在时，当时，为等边三角形此时，，解得：．
②在时，为等边三角形，只能点M与点A重合，点N与点C重合，此时，．
综上，或时，为等边三角形．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
22．（2022·浙江余杭·八年级期中）如图，已知在中，，，，若动点P从点B开始，按的路径运动，且速度为每秒2个单位长度，设出发的时间为t秒． (1)出发2秒后，求CP的长．(2)出发几秒钟后，CP恰好平分的周长．(3)当t为何值时，为等腰三角形？
【答案】(1)PC =(2)出发3秒钟后，CP恰好平分△ABC的周长(3)t＝3或5.4或6或6.5时，△BCP为等腰三角形
【分析】（1）勾股定理求得的长，进而根据速度求得出发2秒后的长，中勾股定理求解即可；（2）由于CP恰好平分的周长，则P点不可能位于线段BC和AC上，即对P点在线段AB上进行探究，根据题意列出一元一次方程，解方程求解即可；（3）①当P在AB上时，若BP＝BC时，②当P在AC上时，若BP＝BC时，③当P在AC上时，若CB＝CP时，④当P在AB上时，若PC＝PB时，根据题意列出一元一次方程解方程求解即可
(1)由∠B＝90°，AC＝10，BC＝6， ∴AB＝8，
∵P从点B开始，按B→A→C→B，且速度为2，∴出发2秒后，则BP＝4，AP＝6，
∵∠B＝90°，∴在中，由勾股定理得PC＝ ；
(2)P点不可能位于线段BC和AC上，即对P点在线段AB上进行探究，
根据题意可得，6＋2t＝10＋8－2t ；解得t＝3 出发3秒钟后，CP恰好平分△ABC的周长
(3)①当P在AB上时，若BP＝BC时，得到2t＝6；则t＝3，
②当P在AC上时，若BP＝BC时，过点作，则
在中，在中，
即解得
③当P在AC上时，若CB＝CP时，即解得
④当P在AC上时，若PC＝PB时，得到2t＝6；则t＝6.5．
综上可得t＝3或5.4或6或6.5时，△BCP为等腰三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理，一元一次方程的应用，等腰三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．
23．（2022·山东·周村二中八年级期中）在同一平面内，若点P与△ABC三个顶点中的任意两个顶点连接形成的三角形都是等腰三角形，则称点P是△ABC的巧妙点．
（1）如图，求作△ABC的巧妙点P（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
（2）如图，在△ABC中，∠A＝80°，AB＝AC，若点P是△ABC的巧妙点，则符合条件的点P一共有几个？请直接写出每种情况下∠BPC的度数．
（3）等边三角形的巧妙点的个数有（ ）
A．2个 B．6个 C．10个 D．12个
【答案】（1）见解析；（2）6个；∠BPC的度数为40°或160°或140°或80°；（3）C．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，作AB、AC的垂直平分线，交点P即为所求；
（2）分别以点B、C为圆心，BC为半径画圆，以点A、B为圆心画圆，作出BC、AB的垂直平分线，交于P5，图中P1、P2、P3、P4、P5、P6即为所求，根据等腰三角形的性质分别求出∠BPC的度数即可得答案；
（3）根据（2）中作图方法画出图形，即可得答案．
【详解】（1）点P为所求，
（2）如图：分别以点B、C为圆心，BC为半径画圆，以点A、B为圆心画圆，作出BC、AB的垂直平分线，交于P5，图中P1、P2、P3、P4、P5、P6即为所求，共6个，
∵∠BAC=80°，AB=AC，P1P6是BC的垂直平分线，
∴∠ABC=∠ACB=50°，∠BP1A=∠CP1A，∠BAP5=∠BAC=40°，
∵AP1=AB，
∴∠P1BA=∠BP1A，
∴∠BAP5=2∠P1BA=40°
∴∠P1BA=20°，
∴∠BP1C=2∠P1BA=40°，
∵AP2=AC，BP2=BC，
∴∠AP2C=∠ACP2，∠BP2C=∠BCP2，
∴∠AP2C+∠BP2C=∠ACP2+∠BCP2，
∴∠BP2A=∠BCA=50°，
∴∠ABP2=∠ABC=50°，
∴∠P2BC=100°，
∴∠BP2C=（180°-∠P2BC）=40°，
同理可得：∠BP3C=40°，
∵∠BAP5=40°，AP5=BP5，
∴∠ABP5=∠BAP5=40°
∵∠ABP5=∠BAP5=40°，
∴∠P5BC=∠ABC-∠ABP5=10°，
∵BP5=CP5，
∴∠BPC=180°-2∠P5BC=160°，
∵AC=AP4，∠CAP4=40°，
∴∠APC=70°，
∴∠BPC=2∠APC=140°，
∵AC=CP6，
∴∠AP6C=∠CAP6=40°，
∴∠BP6C=2∠AP6C=80°．
综上所述：∠BPC的度数40°或80°或140°或160°．
（3）如图所示，分别以等边三角形的三条边作其对应边的垂直平分线，再分别以等边三角形的三个顶点为圆心，等边三角形的边长为半径画圆，分别与三条边的垂直平分线的交点和三条垂直平分线的交点即为等边三角形的巧妙点，共有10个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，构建等腰三角形的作法：定顶点，定圆心；定腰，定半径；以及等边三角形的性质等．熟练掌握相关性质是解题关键．
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专题2.12 等腰三角形与直角三角形中的动态问题
模块1：学习目标
1、掌握两类等腰三角形的分类讨论问题；
2、掌握两类直角三角形的分类讨论问题。
模块2：知识储备
1、涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。
2、直角三角形中，优先考虑直角的分类讨论，再利用直角三角形的性质与勾股定理解题即可。
模块3：核心考点与典例
考点1、等腰三角形中的分类讨论：
1.无图需分类讨论
①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论；③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。
2.“两定一动”等腰三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）
即：如图：已知，两点是定点，找一点构成等腰
方法：两圆一线
具体图解：①当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外）
②当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外）
③当时，作的中垂线，点在该中垂线上（除外）
例1．（2022·杭州·八年级期中）一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（　　）
A．13cm B．14cm C．13cm或14cm D．以上都不对
变式1．（2022·浙江·八年级期中）等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（　　）
A．30° B．30°或150° C．120°或150° D．30°或120°或150°
例2．（2022·保定市初二期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
变式2．（2022·安徽淮北·九年级阶段练习）如图，在中，，，．若点P为直线BC上一点，且为等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例3．（2022·福建·厦门八年级期末）在平面直角坐标系中，点A（10，0）、B（0，3），以AB为边在第一象限作等腰直角△ABC，则点C的坐标为_______．
变式3．（2022·黑龙江密山·八年级期末）如图，直线MN与x轴、y轴分别相交于B、A两点，． (1)求A，B两点的坐标；(2)若点O到AB的距离为，求线段AB的长；(3)在（2）的条件下，x轴上是否存在点P，使△ABP是以AB为腰的等腰三角形，若存在请直接写出满足条件的点P的坐标．
例4．（2022·北京·八年级期中）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC为一边．在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为____．
变式4．（2022·河南·郑州市八年级阶段练习）如图，已知等腰△ABC中，ABAC5，BC8，E是BC上的一个动点，将△ABE沿着AE折叠到△ADE处，再将边AC折叠到与AD重合，折痕为AF，当△DEF是等腰三角形时，BE的长是___________．
例5．（2022·江西宜春·八年级期末）规定：在直角三角形中，如果直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角为30°．等腰三角形ABC中，于点D，若，则底角的度数为______．
变式5．（2022·重庆市八年级期中）如图1，一副直角三角板△ABC和△DEF，∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，点B、D、C、F在同一直线上，点A在DE上．如图2，△ABC固定不动，将△EDF绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜135°）得△E′DF'，当直线E′F′与直线AC、BC所围成的三角形为等腰三角形时，α的大小为___．
考点2、直角三角形中的分类讨论：
【解题技巧】
1.无图需分类讨论——经典运用：已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论。
2.“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）
即：如图：已知，两点是定点，找一点构成
方法：两线一圆
具体图解：①当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外）
②当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外）
③当时，以为直径作圆，点在该圆上（，除外）
例1．（2022·江西九江·八年级期末）已知在平面直角坐标系中A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，2）．点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为________．
变式1.（2022春·浙江宁波·八年级校联考期末）如图，已知直线与轴交于点与直线交于点，点为轴上的一点，若为直角三角形，则点的坐标为__________．
例2．（2022·江苏兴化·八年级期中）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D、E在边BC所在的直线上，且AB=DB，AC=EC，则∠DAE的度数为________．
变式2.（2022·广东广州·八年级阶段练习）在中，若过顶点的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点的二分割线．例如：如图，在中，，，若过顶点的一条直线交于点，且，则直线是的关于点的二分割线．如图，已知，同时满足：①为最小角；②存在关于点的二分割线，则的度数为______．
例3．（2022·浙江·义乌市八年级期中）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P是BC边上的一个动点，点B与B′是关于直线AP的对称点，当△CPB'是直角三角形时，BP的长＝_______．
变式3．（2022·江西萍乡·二模）如图，在△ABC 中，AB＝BC＝2，AO＝BO，P 是射线 CO 上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP 的长为____．
例4．（2022·河北承德·八年级期末）如图，，，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，嘉琪在研究过程中发现，随着点Р运动，形状在发生变化，设点P的运动时间为t秒．
（1）当是直角三角形时，t的值为_____；（2）当是钝角三角形时，t满足的条件是_______．
变式4．（2022·河南·郑州市八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4cm，AC=3cm，动点P从点B出发沿射线BA以2cm/s的速度运动．设运动时间为t，则当t=__秒时，△BPC为直角三角形．
模块4：同步培优题库
1．在△ABC中，AB＝10，AC＝2，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于（　　）
A．10 B．8 C．6或10 D．8或10
2．（2022·黑龙江·哈尔滨八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（2022·山东·八年级课时练习）如图，在中，，，，．是边上的一个动点，点与点关于直线对称，当为直角三角形时，的长为_______．
4．（2022·河南平顶山·八年级期末）如图，中，，，的平分线与线段交于点，且有，点是线段上的动点（与A、不重合），连接，当是等腰三角形时，则的长为___________．
5.（2022 海州区八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝BC＝6，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为　 　．
6．（2022·河南南阳·二模）如图，在的纸片中，，，．点在边上，以为折痕将折叠得到，与边交于点．若为直角三角形，则的长是_______．
7．（2022·上海普陀·八年级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，点D为边BC上一点，将△ACD沿直线AD翻折得到△AED，点C的对应点为点E，联结BE，如果△BDE是以BD为直角边的等腰直角三角形，那么BC的长等于______．
8．（2022·河南·郑州市三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P是边AC上一动点，把△ABP沿直线BP折叠，使得点A落在图中点A′处，当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长是_________．
9．（2022·全国·八年级专题练习）如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当_____s时，是等腰三角形；当_____s时，是直角三角形．
10．（2022·浙江·诸暨市八年级期中）如图∠MAN＝60°，若△ABC的顶点 B在射线AM上，且AB＝6，动点C从点A出发，以每秒1个单位沿射线AN运动，当运动时间 t是_______秒时，△ABC是直角三角形．
11．（2022·上虞市初二月考）在如图所示的三角形中，∠A＝30°，点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点，分别连接BP和PQ，把△ABC分割成三个三角形△ABP，△BPQ，△PQC，若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠C有可能的值有________个．
12．已知某直角三角形的两边为3，4，则第三边长等于　　 ．
13.（2023 海安市月考）已知a，b，c为一个直角三角形的三边长，且，则该直角三角形的斜边长为　 　
14．（2023 海州区校级一模）如图，在△ABC中，AB＝BC＝6，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为　　 ．
15．（2023 金牛区校级月考）如图，已知线段AB＝8，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝60°，P点是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，则BP＝　 ．
16．如图：长方形ABCD中，AD＝10，AB＝4，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，当△BPQ是等腰三角形时，AP的长为　　．
17．一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30°，求这个三角形的三个内角的度数．
18．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，求这个等腰三角形的底角的度数．
19．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径绕△ABC运动一周，且速度为每秒2cm，设运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分；（2）当t为何值时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，请求此时CP的长；（3）当t为何值时，△BCP为等腰三角形？
20.（2022 郑州期中）定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝2.5，MN＝6.5，BN＝6，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．（2）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝14，AM＝4，求BN的长．
21．（2022·广东中山·八年级期末）如图，中，厘米，如果点M从点C出发，点N从点B出发，沿着三角形三边以4厘米/秒的速度运动，当点N第一次到达C点时，M，N两点同时停止运动．运动时间为t（秒）．
(1)当且为直角三角形时，求t的值；(2)当t为何值，为等边三角形．
22．（2022·浙江余杭·八年级期中）如图，已知在中，，，，若动点P从点B开始，按的路径运动，且速度为每秒2个单位长度，设出发的时间为t秒． (1)出发2秒后，求CP的长．(2)出发几秒钟后，CP恰好平分的周长．(3)当t为何值时，为等腰三角形？
23．（2022·山东·周村二中八年级期中）在同一平面内，若点P与△ABC三个顶点中的任意两个顶点连接形成的三角形都是等腰三角形，则称点P是△ABC的巧妙点．
（1）如图，求作△ABC的巧妙点P（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
（2）如图，在△ABC中，∠A＝80°，AB＝AC，若点P是△ABC的巧妙点，则符合条件的点P一共有几个？请直接写出每种情况下∠BPC的度数．
（3）等边三角形的巧妙点的个数有（ ）
A．2个 B．6个 C．10个 D．12个
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