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第四单元第1讲 任意角和弧度制及三角函数的概念
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：角及其表示
题型二：弧度制及其应用
题型三：三角函数定义的应用
题型四：三角函数线
题型五：判断三角函数值的符号
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空2题 填空2题
解答2题 解答3题
一、【讲】
【讲知识】
1.角的概念的推广
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形.
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
2.弧度制的定义和公式
(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad.
(2)公式
角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝°
弧长公式 弧长l＝|α|r
扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2
3.任意角的三角函数
(1)定义
前提 如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)
定义 正弦 y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y
余弦 x叫做α的余弦函数，记作cos α，即cos α＝x
正切 叫做α的正切函数，记作tan α，即tan α＝(x≠0)
三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数
(2)定义的推广
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝；cos α＝，tan α＝(x≠0).
【讲方法】
1.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角．
2.确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法：
先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在位置．
3.应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
4.利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置．
5.判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
二、【练】
【练题型】
【题型一】角及其表示
【典例1】(多选)下列命题正确的是(　　)
A．终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α|α＝2kπ，k∈Z}
B．终边落在y轴上的角的集合为{α|α＝90°＋kπ，k∈Z}
C．第三象限角的集合为
D．在－720°～0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－315°
【典例2】集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)
【典例3】下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)
A．2kπ＋45°(k∈Z)
B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．kπ＋(k∈Z)
【题型二】弧度制及其应用
【典例1】(多选)已知扇形的周长是6，面积是2，下列选项可能正确的有(　　)
A.圆的半径为2
B.圆的半径为1
C.圆心角的弧度数是1
D.圆心角的弧度数是2
【典例2】中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图，在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD，用扇环形ABDC(图中阴影部分)制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC的面积为S1，扇形OAB的面积为S2，当S1与S2的比值为时，扇面的形状较为美观，则此时扇形OCD的半径与半圆O的半径之比为(　　)
A. B.
C.3－ D.－2
【典例3】《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的一只手臂长约为米，整个肩宽约为米．“弓”所在圆的半径约为1.25米．则掷铁饼者双手之间的距离约为(参考数据：≈1.414，≈1.73)(　　)
A．1.612米 B．1.768米
C．1.868米 D．2.045米
【题型三】三角函数定义的应用
【典例1】已知角α的终边与单位圆的交点为P，则sin α·tan α等于(　　)
A．－ B．± C．－ D．±
【典例2】已知角θ的终边经过点P(4，m)，且sin θ＝，则m等于(　　)
A．－3 B．3 C. D．±3
【题型四】三角函数线
【典例1】函数y＝lg(3－4sin2 x)的定义域为________．
【典例2】满足cos α≤－的角的集合是________．
【典例3】若－<α<－，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小关系是________．
【题型五】判断三角函数值的符号
【典例1】若sin αcos α>0，cos αtan α<0，则α的终边落在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【典例2】若sin x<0，且sin(cos x)>0，则角x是　(　　)
A．第一象限角　　　　　　　 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【典例3】设θ是第三象限角，且＝－cos ，则是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【练真题】
【真题1】（2020·全国Ⅱ卷）若α为第四象限角，则(　　)
A.cos 2α>0 B.cos 2α<0
C.sin 2α>0 D.sin 2α<0
【真题2】（2018·高考北京卷）在平面直角坐标系中，，，，是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tan αA． B．
C． D．
【真题3】(2022·上海横峰中学月考)终边为第一象限和第三象限的平分线的角的集合是(　　)
A．{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝－135°＋k·180°，k∈Z}
C．{α|α＝－135°＋k·360°，k∈Z}
D．{α|α＝135°＋k·180°，k∈Z}
【真题4】(2022·扬州中学月考)若α＝－5，则(　　)
A．sin α>0，cos α>0
B．sin α>0，cos α<0
C．sin α<0，cos α>0
D．sin α<0，cos α<0
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 下列说法中正确的是(　　)
A．第一象限角一定不是负角
B．不相等的角，它们的终边必不相同
C．钝角一定是第二象限角
D．终边与始边均相同的两个角一定相等
2. 已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是(　　)
A．1 B．4 C．1或4 D．2或4
3. 设θ是第三象限角，且＝－cos ，则是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
4. 点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
【多选题】
5. 在平面直角坐标系xOy中，角α顶点在原点O，以x轴的非负半轴为始边，终边经过点P(1，m)(m＜0)，则下列各式的值恒大于0的是(　　)
A. B.cos α－sin α
C.sin αcos α D.sin α＋cos α
6. 下列结论中正确的是(　　)
A.若角α的终边过点P(3k，4k)(k≠0)，则sin α＝
B.若α是第一象限角，则为第一或第三象限角
C.若扇形的周长为6，半径为2，则其圆心角的大小为1弧度
D.若0＜α＜，则sin α＜tan α
【填空题】
7. 已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos α＝x，则x＝________.
8. 已知点P(sin θ，cos θ)是角α终边上的一点，其中θ＝，则与角α终边相同的最小正角为________．
【解答题】
9. 已知＝－，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
10. 如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．
(1)若点B的横坐标为－，求tan α的值；
(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合．
【测能力】
【单选题】
1. 已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A(2sin α，3)(sin α≠0)，则cos α＝(　　)
A． B．－
C． D．－
2. 若sin θ·cos θ>0，sin θ＋cos θ<0，则θ在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3. sin 2·cos 3·tan 4的值(　　)
A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在
4. 已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为(　　)
A．－ B．－ C. D.
【多选题】
5. 如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为(1，0)，∠BOA＝60°，质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则(　　)
A.经过1 s后，∠BOA的弧度数为＋3
B.经过 s后，扇形AOB的弧长为
C.经过 s后，扇形AOB的面积为
D.经过 s后，A，B在单位圆上第一次相遇
6. 关于角度，下列说法正确的是(　　 )
A．时钟经过两个小时转过的角度是60°
B．钝角大于锐角
C．三角形的内角必是第一或第二象限角
D．若α是第二象限角，则是第一或第三象限角
【填空题】
7. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径长为4的弧田(如图所示)，按照上述公式计算出弧田的面积为________．
8. 已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________________．
【解答题】
9. 已知＝－，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
10. 若角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)．
(1)求sin θ＋cos θ的值；
(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．
11. 如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为(1,0)，∠BOA＝60°.质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动．
(1)求经过1 s后，∠BOA的弧度；
(2)求质点A，B在单位圆上第一次相遇所用的时间．
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第四单元第1讲 任意角和弧度制及三角函数的概念
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：角及其表示
题型二：弧度制及其应用
题型三：三角函数定义的应用
题型四：三角函数线
题型五：判断三角函数值的符号
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空2题 填空2题
解答2题 解答3题
一、【讲】
【讲知识】
1.角的概念的推广
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形.
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
2.弧度制的定义和公式
(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad.
(2)公式
角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝°
弧长公式 弧长l＝|α|r
扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2
3.任意角的三角函数
(1)定义
前提 如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)
定义 正弦 y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y
余弦 x叫做α的余弦函数，记作cos α，即cos α＝x
正切 叫做α的正切函数，记作tan α，即tan α＝(x≠0)
三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数
(2)定义的推广
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝；cos α＝，tan α＝(x≠0).
【讲方法】
1.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角．
2.确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法：
先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在位置．
3.应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
4.利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置．
5.判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
二、【练】
【练题型】
【题型一】角及其表示
【典例1】(多选)下列命题正确的是(　　)
A．终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α|α＝2kπ，k∈Z}
B．终边落在y轴上的角的集合为{α|α＝90°＋kπ，k∈Z}
C．第三象限角的集合为
D．在－720°～0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－315°
【解析】B项，终边落在y轴上的角的集合为，角度与弧度不能混用，故错误；
C项，第三象限角的集合为，故错误；
D项，所有与45°角终边相同的角可表示为β＝45°＋k·360°，k∈Z，
令－720°≤45°＋k·360°≤0°(k∈Z)，
解得－≤k≤－(k∈Z)，
从而当k＝－2时，β＝－675°；
当k＝－1时，β＝－315°，故正确．
故选AD.
【典例2】集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)
【解析】当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；当k＝2n＋1 (n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α表示的范围与π＋≤α≤π＋表示的范围一样.
故选C.
【典例3】下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)
A．2kπ＋45°(k∈Z)
B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．kπ＋(k∈Z)
【解析】与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)或k·360°＋45°(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，排除A，B，易知D错误，C正确．
故选C.
【题型二】弧度制及其应用
【典例1】(多选)已知扇形的周长是6，面积是2，下列选项可能正确的有(　　)
A.圆的半径为2
B.圆的半径为1
C.圆心角的弧度数是1
D.圆心角的弧度数是2
【解析】设扇形半径为r，圆心角弧度数为α，
则由题意得解得或
可得圆心角的弧度数是4或1.
故选ABC.
【典例2】中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图，在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD，用扇环形ABDC(图中阴影部分)制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC的面积为S1，扇形OAB的面积为S2，当S1与S2的比值为时，扇面的形状较为美观，则此时扇形OCD的半径与半圆O的半径之比为(　　)
A. B.
C.3－ D.－2
【解析】设∠AOB＝θ，半圆的半径为r，扇形OCD的半径为r1，依题意，有＝，即＝，所以＝＝＝，从而得＝.
故选B.
【典例3】《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的一只手臂长约为米，整个肩宽约为米．“弓”所在圆的半径约为1.25米．则掷铁饼者双手之间的距离约为(参考数据：≈1.414，≈1.73)(　　)
A．1.612米 B．1.768米
C．1.868米 D．2.045米
【解析】由题意得，“弓”所在的弧长为
l＝＋＋＝，R＝1.25＝，
∴其所对的圆心角α＝＝＝，
∴两手之间的距离d＝＝×1.25≈1.768.
故选B.
【题型三】三角函数定义的应用
【典例1】已知角α的终边与单位圆的交点为P，则sin α·tan α等于(　　)
A．－ B．± C．－ D．±
【解析】由OP2＝＋y2＝1，
得y2＝，y＝±.
当y＝时，sin α＝，tan α＝－，
此时，sin α·tan α＝－.
当y＝－时，sin α＝－，tan α＝，
此时，sin α·tan α＝－.
所以sin α·tan α＝－.
故选C.
【典例2】已知角θ的终边经过点P(4，m)，且sin θ＝，则m等于(　　)
A．－3 B．3 C. D．±3
【解析】sin θ＝＝，且m>0，解得m＝3.
故选B.
【题型四】三角函数线
【典例1】函数y＝lg(3－4sin2 x)的定义域为________．
【解析】因为3－4sin2x>0，所以sin2x<，所以－所以x∈(k∈Z)．
【典例2】满足cos α≤－的角的集合是________．
【解析】作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为.
【典例3】若－<α<－，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小关系是________．
【解析】如图，作出角α的正弦线，余弦线，正切线，
观察可知sin α【题型五】判断三角函数值的符号
【典例1】若sin αcos α>0，cos αtan α<0，则α的终边落在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】由sin αcos α>0，得α的终边落在第一或第三象限，由cos αtan α＝cos α·＝sin α<0，得α的终边落在第三或第四象限，综上α的终边落在第三象限．
故选C．
【典例2】若sin x<0，且sin(cos x)>0，则角x是　(　　)
A．第一象限角　　　　　　　 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【解析】因为－1≤cos x≤1，且sin(cos x)>0，所以0又sin x<0，所以角x为第四象限角.
故选D．
【典例3】设θ是第三象限角，且＝－cos ，则是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【解析】由θ是第三象限角知，为第二或第四象限角，
∵＝－cos ，∴cos <0，
综上可知，为第二象限角．
故选B.
【练真题】
【真题1】（2020·全国Ⅱ卷）若α为第四象限角，则(　　)
A.cos 2α>0 B.cos 2α<0
C.sin 2α>0 D.sin 2α<0
【解析】∵α是第四象限角，∴sin α<0，cos α>0，∴sin 2α＝2sin αcos α<0.
故选D.
【真题2】（2018·高考北京卷）在平面直角坐标系中，，，，是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tan αA． B．
C． D．
【解析】设点P的坐标为(x，y)，利用三角函数的定义可得0，所以P所在的圆弧是.
故选C．
【真题3】(2022·上海横峰中学月考)终边为第一象限和第三象限的平分线的角的集合是(　　)
A．{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝－135°＋k·180°，k∈Z}
C．{α|α＝－135°＋k·360°，k∈Z}
D．{α|α＝135°＋k·180°，k∈Z}
【解析】终边为第一象限的平分线的角的集合是
{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}，①
终边为第三象限的平分线的角的集合是
{α|α＝－135°＋k·360°，k∈Z}，②
由①②得{α|α＝－135°＋k·180°，k∈Z}．
故选B.
【真题4】(2022·扬州中学月考)若α＝－5，则(　　)
A．sin α>0，cos α>0
B．sin α>0，cos α<0
C．sin α<0，cos α>0
D．sin α<0，cos α<0
【解析】因为－2π<α＝－5<－π，
所以α＝－5为第一象限的角，
所以sin α>0，cos α>0.
故选A.
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 下列说法中正确的是(　　)
A．第一象限角一定不是负角
B．不相等的角，它们的终边必不相同
C．钝角一定是第二象限角
D．终边与始边均相同的两个角一定相等
【解析】因为－330°＝－360°＋30°，所以－330°角是第一象限角，且是负角，所以A错误；同理－330°角和30°角不相等，但它们终边相同，所以B错误；因为钝角的取值范围为(90°，180°)，所以C正确；0°角和360°角的终边与始边均相同，但它们不相等，所以D错误．
故选C.
2. 已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是(　　)
A．1 B．4 C．1或4 D．2或4
【解析】设扇形的半径为r，弧长为l，
则解得或
从而α＝＝＝4或α＝＝＝1.
故选C.
3. 设θ是第三象限角，且＝－cos ，则是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【解析】由θ是第三象限角知，为第二或第四象限角，
∵＝－cos ，∴cos <0，
综上可知，为第二象限角．
故选B.
4. 点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
【解析】点P旋转的弧度数也为，由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足x＝cos ＝－，y＝sin ＝.
故选A.
【多选题】
5. 在平面直角坐标系xOy中，角α顶点在原点O，以x轴的非负半轴为始边，终边经过点P(1，m)(m＜0)，则下列各式的值恒大于0的是(　　)
A. B.cos α－sin α
C.sin αcos α D.sin α＋cos α
【解析】由题意知sin α＜0，cos α＞0，tan α＜0，则＞0，故A正确；
cos α－sin α＞0，故B正确；
sin αcos α＜0，故C错误；
sin α＋cos α的符号不确定，故D错误.
故选AB.
6. 下列结论中正确的是(　　)
A.若角α的终边过点P(3k，4k)(k≠0)，则sin α＝
B.若α是第一象限角，则为第一或第三象限角
C.若扇形的周长为6，半径为2，则其圆心角的大小为1弧度
D.若0＜α＜，则sin α＜tan α
【解析】当k＝－1时，P(－3，－4)，则sin α＝－，故A错误；
∵2kπ＜α＜2kπ＋，k∈Z，∴kπ＜＜kπ＋，k∈Z，∴为第一或第三象限角，故B正确；
|α|＝＝＝1，故C正确；
∵0＜α＜，∴sin α＜tan α sin α＜ cos α＜1，故D正确.
故选BCD.
【填空题】
7. 已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos α＝x，则x＝________.
【解析】依题意，得cos α＝＝x<0，
由此解得x＝－.
8. 已知点P(sin θ，cos θ)是角α终边上的一点，其中θ＝，则与角α终边相同的最小正角为________．
【解析】因为θ＝，故P，故α为第四象限角且cos α＝，所以α＝2kπ＋，k∈Z，所以与角α终边相同的最小正角为.
【解答题】
9. 已知＝－，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
【解析】(1)由＝－，得sin α<0，
由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，
所以α是第四象限角．
(2)因为|OM|＝1，所以＋m2＝1，解得m＝±.
又α为第四象限角，故m<0，从而m＝－，
sin α＝＝＝＝－.
10. 如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．
(1)若点B的横坐标为－，求tan α的值；
(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合．
【解析】(1)由题意可得B，
根据三角函数的定义得tan α＝＝－.
(2)若△AOB为等边三角形，则∠AOB＝，
故与角α终边相同的角β的集合为
.
【测能力】
【单选题】
1. 已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A(2sin α，3)(sin α≠0)，则cos α＝(　　)
A． B．－
C． D．－
【解析】由三角函数定义得tan α＝，即＝，得3cos α＝2sin2α＝2(1－cos2α)，解得cos α＝或cos α＝－2(舍去)．
故选A.
2. 若sin θ·cos θ>0，sin θ＋cos θ<0，则θ在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】∵sin θ·cos θ>0，∴sin θ>0，cos θ>0或sin θ<0，cos θ<0.当sin θ>0，cos θ>0时，θ为第一象限角，当sin θ<0，cos θ<0时，θ为第三象限角．∵sin θ＋cos θ<0，∴θ为第三象限角．
故选C.
3. sin 2·cos 3·tan 4的值(　　)
A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在
【解析】∵sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，
∴sin 2·cos 3·tan 4<0.
故选A.
4. 已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为(　　)
A．－ B．－ C. D.
【解析】由题意得点P(－8m，－3)，r＝，
所以cos α＝＝－，解得m＝±，
又cos α＝－<0，所以－8m<0，即m>0，
所以m＝.
故选C.
【多选题】
5. 如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为(1，0)，∠BOA＝60°，质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则(　　)
A.经过1 s后，∠BOA的弧度数为＋3
B.经过 s后，扇形AOB的弧长为
C.经过 s后，扇形AOB的面积为
D.经过 s后，A，B在单位圆上第一次相遇
【解析】经过1 s后，质点A运动1 rad，质点B运动2 rad，此时∠BOA的弧度数为＋3，故A正确；
经过 s后，∠AOB＝＋＋2×＝，故扇形AOB的弧长为×1＝，故B正确；
经过 s后，∠AOB＝＋＋2×＝，故扇形AOB的面积为S＝××12＝，故C不正确；
设经过t s后，A，B在单位圆上第一次相遇，则t(1＋2)＋＝2π，解得t＝(s)，故D正确.
故选ABD.
6. 关于角度，下列说法正确的是(　　 )
A．时钟经过两个小时转过的角度是60°
B．钝角大于锐角
C．三角形的内角必是第一或第二象限角
D．若α是第二象限角，则是第一或第三象限角
【解析】对于A，时钟经过两个小时转过的角度是－60°，故错误；
对于B，钝角一定大于锐角，显然正确；
对于C，若三角形的内角为90°，则是终边在y轴正半轴上的角，故错误；
对于D，∵角α的终边在第二象限，
∴2kπ＋<α<2kπ＋π，k∈Z，
∴kπ＋<当k＝2n，n∈Z时，2nπ＋<<2nπ＋，n∈Z，得是第一象限角；
当k＝2n＋1，n∈Z时，(2n＋1)π＋<<(2n＋1)π＋，n∈Z，得是第三象限角，故正确．
故选BD.
【填空题】
7. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径长为4的弧田(如图所示)，按照上述公式计算出弧田的面积为________．
【解析】由题意可得∠AOB＝，OA＝4.在Rt△AOD中，易得∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝OA＝×4＝2，可得矢＝4－2＝2.由AD＝AOsin ＝4×＝2，可得弦AB＝2AD＝4.所以弧田面积＝(弦×矢＋矢2)＝×(4×2＋22)＝4＋2.
8. 已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________________．
【解析】∵在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为，
∴所求角的集合为.
【解答题】
9. 已知＝－，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
【解析】(1)由＝－，得sin α<0，
由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，
所以α是第四象限角．
(2)因为|OM|＝1，所以＋m2＝1，解得m＝±.
又α为第四象限角，故m<0，从而m＝－，
sin α＝＝＝＝－.
10. 若角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)．
(1)求sin θ＋cos θ的值；
(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．
【解析】(1)因为角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)，
所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，
当a＞0时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝－.
当a＜0时，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝.
(2)当a＞0时，sin θ＝∈，
cos θ＝－∈，
则cos(sin θ)·sin(cos θ)
＝cos ·sin＜0；
当a＜0时，sin θ＝－∈，
cos θ＝∈，
则cos(sin θ)·sin(cos θ)
＝cos·sin ＞0.
综上，当a＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a＜0时，cos(sin θ)·sin (cos θ)的符号为正．
11. 如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为(1,0)，∠BOA＝60°.质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动．
(1)求经过1 s后，∠BOA的弧度；
(2)求质点A，B在单位圆上第一次相遇所用的时间．
【解析】(1)经过1 s后，质点A运动1 rad，质点B运动2 rad，
此时∠BOA的弧度为＋3.
(2)设经过t s后质点A，B在单位圆上第一次相遇，则t(1＋2)＋＝2π，解得t＝，即经过 s后质点A，B在单位圆上第一次相遇．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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