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第一章 空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第1课时 用空间向量解决距离问题
一、学习目标
课程标准 学科素养
1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题. 2.掌握将空间6类距离转化为点点距、点线距、点面距的方法. 1. 直观想象； 2. 数学运算。
二、预习提纲：（阅读教材P33P34，完成下列填空，在教材相应位置进行标注后，识记相关内容）
1.点到直线的距离
设直线l的单位方向向量为，A∈l，Pl，设＝，
则点P到直线l的距离d＝
2.点到平面的距离
已知平面α的法向量为，A∈α，Pα，则点P到平面α的距离为d＝
3.用空间向量解决立体几何问题的步骤
与用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”类似，我们可以得出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”:
(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题;
(2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题; (3)把向量运算的结果“翻译"成相应的几何结论.
【思考交流】(1)空间距离有几种形式， 它们之间有何关系
(2)能否将线面距离及两平行平面间的距离转化为点到平面的距离
三、合作探究，深度学习
学习目标一： 求点到直线的距离
例1 已知直线l 过点A(1，1，2)，且直线l 的一个方向向量为= (3, 0, 4)，
求点P(3，5，0)到直线l的距离.
学习目标二： 求点到面的距离或线到面的距离
例2 如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD 中，侧棱PA 底面ABCD，BC∥AD，ABC= 90，PA=AB=BC=2，AD=1，则AD到平面PBC的距离为 .
例3 如图，在棱长为1的正方体ABCD- A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点.
（1）求点B到直线AC1的距离；
（2）求直线FC到平面AEC1的距离.
学习目标三： 求面到面的距离
例4 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面A1DB到平面D1CB1的距离.
四、归纳小结：
1.知识点:
2.方法技巧：
3.数学思想：
五、当堂检测：
1.判断.(正确的画“ √”,错误的画“×”)
(1)平面外一点A到平面的距离，就是点A与平面内任一点B所成向量的长度.( )
(2)若直线l∥平面，则直线l到平面的距离就是直线l上任一点到平面的距离. ( )
(3)若平面∥平面β,则两平面α，β间的距离可转化为平面α内某点到平面β的距离.( )
2.已知平面∥平面β,直线l ，与β之间的距离为d，有下列四个命题：
①β内有且仅有一条直线与l 的距离为d；
②β内所有的直线与l的距离都等于d；
③β内有无数条直线与 l的距离为d；
④β内所有直线与的距离都等于d.
其中真命题是( ) A.① B.② C.①④ D.③④
参考答案：
二、预习提纲：
【思考交流】
提示：(1)空间距离有6种形式，它们分别是点点距、点线距、点面距、线线距、线面距和面面距. 它们一般都可以转化为点点距、点线距、点面距，其中点点距、点线距最终都可用空间向量的模来求解，而点面距则可由平面的法向量来求解.
(2)能. 直线与它的平行平面的距离可转化为直线上任一点到平面的距离，两平行平面间的距离可转化为一个平面内任一点到另一个平面的距离.
三、合作探究，深度学习
例1
例2
例3 课本P34例6；
例4
五、当堂检测：
1. 判断 (1) × (2) √ (3) √
2.D

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