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第四单元第2讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：“知一求二”问题
题型二：sin α，cos α的齐次式问题
题型三：sin α±cos α，sin αcos α之间的关系
题型四：诱导公式的应用
题型五：综合应用
题型六：
题型七：
题型八：
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空2题 填空2题
解答3题 解答3题
一、【讲】
【讲知识】
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan α.
2．三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan α
口诀 奇变偶不变，符号看象限
【讲方法】
1.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
2.注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
3.诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
4.诱导公式的应用步骤
任意负角的三角函数任意正角的三角函数0～2π内的角的三角函数锐角三角函数．
5.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．注意角的范围对三角函数符号的影响．
二、【练】
【练题型】
【题型一】“知一求二”问题
【典例1】已知α∈(0，π)，cos α＝－，则tan α＝(　　)
A． B．－
C． D．－
【解析】因为cos α＝－且α∈(0，π)，
所以sin α＝＝，
所以tan α＝＝－.
故选D．
【典例2】已知cos＝，且α∈，则tan α＝(　　)
A． B．
C．－ D．±
【解析】因为cos＝，所以sin α＝－.又α∈，所以cos α＝－＝－，所以tan α＝＝.
故选B.
【题型二】sin α，cos α的齐次式问题
【典例1】已知＝－1，求下列各式的值：
(1)；
(2)sin2α＋sin αcos α＋2.
【解析】由已知得tan α＝.
(1)＝＝－.
(2)sin2α＋sin αcos α＋2＝＋2＝＋2＝＋2＝.
【典例2】若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α等于(　　)
A. B. C．1 D.
【解析】tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝＝＝.
故 A.
【典例3】已知sin＋3cos(π－θ)＝sin(－θ)，则sin θcos θ＋cos2θ＝(　　)
A. B. C. D.
【解析】由已知sin＋3cos(π－θ)＝sin(－θ) cos θ－3cos θ＝－sin θ tan θ＝2，
则sin θcos θ＋cos2θ＝＝＝.
故选C.
【题型三】sin α±cos α，sin αcos α之间的关系
【典例1】已知α∈(－π，0)，sin α＋cos α＝.
(1)求sin α－cos α的值；
(2)求的值．
【解析】(1)由sin α＋cos α＝，
平方得sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝，
整理得2sin αcos α＝－.
所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝.
由α∈(－π，0)，知sin α<0，又sin α＋cos α>0，
所以cos α>0，则sin α－cos α<0，
故sin α－cos α＝－.
(2)＝＝
＝＝－.
【典例2】已知sin αcos α＝，且＜α＜，则cos α－sin α的值为(　　)
A. B.± C.－ D.－
【解析】∵sin αcos α＝，
∴(cos α－sin α)2＝cos2α－2sin αcos α＋sin2α＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，
∵＜α＜，∴cos α＜sin α，
即cos α－sin α＜0，∴cos α－sin α＝－.
故选D.
【典例3】(多选)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则下列结论正确的是(　　)
A.sin θ＝ B.cos θ＝－
C.tan θ＝－ D.sin θ－cos θ＝
【解析】由题意知sin θ＋cos θ＝，
∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，
∴2sin θcos θ＝－＜0，
又∵θ∈(0，π)，∴＜θ＜π，
∴sin θ－cos θ＞0，
∴sin θ－cos θ＝
＝＝＝，
∴sin θ＝，cos θ＝－.
∴tan θ＝－，∴A、B、D正确.
故选ABD.
【题型四】诱导公式的应用
【典例1】sin(－1 200°)cos 1 290°＝________．
【解析】原式＝－sin 1 200°cos 1 290°
＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)
＝－sin 120°cos 210°
＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)
＝sin 60°cos 30°＝×＝.
【典例2】已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x－y＝0上，则等于________．
【解析】由题可知tan θ＝3，原式＝＝＝.
【典例3】已知sin＝，则cos的值等于________．
【解析】由sin＝，得cos＝cos＝sin＝.
【题型五】综合应用
【典例1】已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是(　　)
A. B. C. D.
【解析】由已知得
消去sin β，得tan α＝3，
∴sin α＝3cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，
化简得sin2α＝，则sin α＝(α为锐角)．
故选C.
【典例2】已知－π【解析】由已知，得sin x＋cos x＝，
两边平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，
整理得2sin xcos x＝－.
∵(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝，
由－π又sin xcos x＝－<0，
∴cos x>0，∴sin x－cos x<0，
故sin x－cos x＝－.
∴＝
＝
＝＝－.
【典例3】已知3sin＝－5cos，则tan等于(　　)
A．－ B．－ C. D.
【解析】由3sin＝－5cos，
得sin＝－cos，
所以tan＝＝＝－.
故选A.
【练真题】
【真题1】(2021·新高考全国Ⅰ)若tan θ＝－2，则等于(　　)
A．－ B．－ C. D.
【解析】方法一　因为tan θ＝－2，
所以角θ的终边在第二或第四象限，
所以或
所以＝
＝sin θ(sin θ＋cos θ)
＝sin2θ＋sin θcos θ
＝－＝.
方法二　(弦化切法)因为tan θ＝－2，
所以
＝
＝sin θ(sin θ＋cos θ)
＝
＝＝＝.
故选C.
【真题2】(2020·全国Ⅰ卷)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝(　　)
A. B. C. D.
【解析】由3cos 2α－8cos α＝5，
得3(2cos2α－1)－8cos α＝5，
即3cos2α－4cos α－4＝0，
解得cos α＝－或cos α＝2(舍去).
又因为α∈(0，π)，
所以sin α＝＝＝.
故选A.
【真题3】(2022·天津西青区模拟)已知sin α＋cos α＝－，则tan α＋等于(　　)
A．2 B. C．－2 D．－
【解析】由已知得1＋2sin αcos α＝2，
∴sin αcos α＝，
∴tan α＋＝＋
＝＝＝2.
故选A.
【真题4】(2022·河北六校联考)若sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，则等于(　　)
A. B. C. D.
【解析】方程5x2－7x－6＝0的两根为
x1＝－，x2＝2，则sin α＝－.
原式＝＝－＝.
故选AB.
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. sin 1 050°等于(　　)
A. B.－ C. D.－
【解析】sin 1 050°＝sin(3×360°－30°)＝－sin 30°＝－.
故选B.
2. 已知sin＝，则cos的值是(　　)
A.－ B. C. D.－
【解析】∵sin＝，∴cos＝cos＝－sin＝－.
故选A.
3. 若点P(cos α，sin α)在直线y＝－2x上，则sin的值等于(　　)
A.－ B. C.－ D.
【解析】由点P(cos α，sin α)在直线y＝－2x上，得tan α＝－2，故sin＝cos 2α＝＝＝－.
故选A.
4. 已知sin α＋cos α＝－，则tan α＋等于(　　)
A.2 B. C.－2 D.－
【解析】由已知得1＋2sin αcos α＝2，
∴sin αcos α＝，
∴tan α＋＝＋
＝＝＝2.
故选A.
【多选题】
5. 若cos(π－α)＝－，则(　　)
A.sin(－α)＝ B.sin＝－
C.cos(π＋α)＝－ D.cos(α－π)＝－
【解析】由cos(π－α)＝－可得cos α＝，则sin α＝±.
A中，sin(－α)＝－sin α＝±，不正确.
B中，sin＝cos α＝，不正确.
C中，cos(π＋α)＝－cos α＝－，正确.
D中，cos(α－π)＝－cos α＝－，正确.
故选CD.
6. 已知sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)，θ∈，则θ可能等于(　　)
A.－ B.－ C. D.
【解析】∵sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)，
∴－sin θ＝cos θ，∴tan θ＝－，
∵θ∈，∴θ＝－或θ＝.
故选AD.
【填空题】
7. cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 177°＋cos 178°＋cos 179°＝ .
【解析】因为cos(180°－α)＝－cos α，于是得
cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 89°＋cos 90°＋cos 91°＋…＋cos 177°＋cos 178°＋cos 179°
＝cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 89°＋cos 90°－cos 89°－…－cos 3°－cos 2°－cos 1°
＝cos 90°＝0.
8. 设f(θ)＝，则f ＝ .
【解析】∵f(θ)＝
＝，
又cos ＝cos
＝cos ＝，
∴f ＝＝－.
【解答题】
9. 已知k∈Z，化简：.
【解析】当k＝2n(n∈Z)时，
原式＝
＝
＝＝－1；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，
原式＝
＝
＝＝－1.
综上，原式＝－1.
10. 已知sin(3π＋α)＝2sin，求下列各式的值：
(1)；(2)sin2α＋sin 2α.
【解析】由已知得sin α＝2cos α.
(1)原式＝＝－.
(2)原式＝＝＝.
11. 已知角θ的终边与单位圆x2＋y2＝1在第四象限交于点P，且点P的坐标为.
(1)求tan θ的值；
(2)求的值．
【解析】(1)由θ为第四象限角，终边与单位圆交于点P，得＋y2＝1，y<0，
解得y＝－，所以tan θ＝＝－.
(2)因为tan θ＝－，
所以
＝＝＝＝2－.
【测能力】
【单选题】
1. 已知角α为第二象限角，则cos α·＋sin2α ＝(　　)
A．1 B．－1 C．0 D．2
【解析】因为角α为第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α ＝cos α ＝cos α·＝－1－sin α，sin2α＝sin2α＝sin2α＝sin2α＝sin2α＝sin α，所以cos α ＋sin2α＝－1－sin α＋sin α＝－1.
故选B.
2. 已知θ为直线y＝3x－5的倾斜角，若A(cos θ，sin θ)，B(2cos θ＋sin θ，5cos θ－sin θ)，则直线AB的斜率为(　　)
A．3 B．－4
C． D．－
【解析】由题意知tan θ＝3，kAB＝＝＝－.
故选D．
3. 若sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，则等于(　　)
A. B. C. D.
【解析】方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2，则sin α＝－.
原式＝＝－＝.
故选B.
4. 若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为(　　)
A．1＋ B．1－ C．1± D．－1－
【解析】由题意知sin θ＋cos θ＝－，sin θcos θ＝，
又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，
∴＝1＋，
解得m＝1±，又Δ＝4m2－16m≥0，
∴m≤0或m≥4，∴m＝1－.
【多选题】
5. 已知角θ的终边与坐标轴不重合，式子化简的结果为－cos θ，则(　　)
A．sin θ>0，tan θ>0 B．sin θ<0，tan θ>0
C．sin θ<0，tan θ<0 D．sin θ>0，tan θ<0
【解析】＝＝＝|cos θ|＝－cos θ，所以cos θ<0，角θ的终边落在第二或三象限，所以sin θ>0，tan θ<0或sin θ<0，tan θ>0.
故选BD.
6. 若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是(　　)
A．cos(A＋B)＝cos C B．sin(A＋B)＝－sin C
C．cos＝sin D．sin＝cos
【解析】因为A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C，＝，＝，所以cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，cos＝cos＝sin ，sin＝sin＝cos.
故选CD.
【填空题】
7. 若|sin θ|＋|cos θ|＝，则sin4θ＋cos4θ＝________．
【解析】|sin θ|＋|cos θ|＝，两边平方得，1＋|sin 2θ|＝，所以|sin 2θ|＝，所以sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－2sin2θcos2θ＝1－sin2 2θ＝1－×＝.
8. 已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝ .
【解析】因为θ是第四象限角，且sin＝，
所以θ＋为第一象限角，
所以cos＝，
所以cos＝sin＝，
sin＝cos＝，
则tan＝－tan＝－＝－＝－.
【解答题】
9. 是否存在α∈，β∈使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
【解析】假设存在角α，β满足条件．
由已知条件可得
由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2.
所以sin2α＝，所以sin α＝±.
因为α∈，所以α＝±.
当α＝时，由②式知cos β＝，
又β∈(0，π)，所以β＝，此时①式成立；
当α＝－时，由②式知cos β＝，又β∈(0，π)，
所以β＝，此时①式不成立，故舍去．
所以存在α＝，β＝满足条件．
10. 在△ABC中，
(1)求证：cos2＋cos2 ＝1；
(2)若cossintan(C－π)＜0，求证：△ABC为钝角三角形．
【解析】(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，
所以＝－，
所以cos＝cos＝sin ，
所以cos2＋cos2＝1.
(2)若cossintan(C－π)＜0，
所以(－sin A)(－cos B)tan C＜0，
即sin Acos Btan C＜0.
因为在△ABC中，0＜A＜π，0＜B＜π，0＜C＜π且sin A＞0，
所以或
所以B为钝角或C为钝角，所以△ABC为钝角三角形．
11. 已知cos＋sin＝1.
求cos2＋cos β－1的取值范围．
【解析】由已知得cos β＝1－sin α.
∵－1≤cos β≤1，
∴－1≤1－sin α≤1，
又－1≤sin α≤1，
可得0≤sin α≤1，
∴cos2＋cos β－1
＝sin2α＋1－sin α－1＝sin2α－sin α
＝2－.(*)
又0≤sin α≤1，
∴当sin α＝时，(*)式取得最小值－，
当sin α＝0或sin α＝1时，(*)式取得最大值0，
故所求范围是.
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第四单元第2讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：“知一求二”问题
题型二：sin α，cos α的齐次式问题
题型三：sin α±cos α，sin αcos α之间的关系
题型四：诱导公式的应用
题型五：综合应用
题型六：
题型七：
题型八：
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空2题 填空2题
解答3题 解答3题
一、【讲】
【讲知识】
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan α.
2．三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan α
口诀 奇变偶不变，符号看象限
【讲方法】
1.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
2.注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
3.诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
4.诱导公式的应用步骤
任意负角的三角函数任意正角的三角函数0～2π内的角的三角函数锐角三角函数．
5.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．注意角的范围对三角函数符号的影响．
二、【练】
【练题型】
【题型一】“知一求二”问题
【典例1】已知α∈(0，π)，cos α＝－，则tan α＝(　　)
A． B．－
C． D．－
【典例2】已知cos＝，且α∈，则tan α＝(　　)
A． B．
C．－ D．±
【题型二】sin α，cos α的齐次式问题
【典例1】已知＝－1，求下列各式的值：
(1)；
(2)sin2α＋sin αcos α＋2.
【典例2】若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α等于(　　)
A. B. C．1 D.
【典例3】已知sin＋3cos(π－θ)＝sin(－θ)，则sin θcos θ＋cos2θ＝(　　)
A. B. C. D.
【题型三】sin α±cos α，sin αcos α之间的关系
【典例1】已知α∈(－π，0)，sin α＋cos α＝.
(1)求sin α－cos α的值；
(2)求的值．
【典例2】已知sin αcos α＝，且＜α＜，则cos α－sin α的值为(　　)
A. B.± C.－ D.－
【典例3】(多选)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则下列结论正确的是(　　)
A.sin θ＝ B.cos θ＝－
C.tan θ＝－ D.sin θ－cos θ＝
【题型四】诱导公式的应用
【典例1】sin(－1 200°)cos 1 290°＝________．
【典例2】已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x－y＝0上，则等于________．
【典例3】已知sin＝，则cos的值等于________．
【题型五】综合应用
【典例1】已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是(　　)
A. B. C. D.
【典例2】已知－π【典例3】已知3sin＝－5cos，则tan等于(　　)
A．－ B．－ C. D.
【练真题】
【真题1】(2021·新高考全国Ⅰ)若tan θ＝－2，则等于(　　)
A．－ B．－ C. D.
【真题2】(2020·全国Ⅰ卷)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝(　　)
A. B. C. D.
【真题3】(2022·天津西青区模拟)已知sin α＋cos α＝－，则tan α＋等于(　　)
A．2 B. C．－2 D．－
【真题4】(2022·河北六校联考)若sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，则等于(　　)
A. B. C. D.
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. sin 1 050°等于(　　)
A. B.－ C. D.－
2. 已知sin＝，则cos的值是(　　)
A.－ B. C. D.－
3. 若点P(cos α，sin α)在直线y＝－2x上，则sin的值等于(　　)
A.－ B. C.－ D.
4. 已知sin α＋cos α＝－，则tan α＋等于(　　)
A.2 B. C.－2 D.－
【多选题】
5. 若cos(π－α)＝－，则(　　)
A.sin(－α)＝ B.sin＝－
C.cos(π＋α)＝－ D.cos(α－π)＝－
6. 已知sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)，θ∈，则θ可能等于(　　)
A.－ B.－ C. D.
【填空题】
7. cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 177°＋cos 178°＋cos 179°＝ .
8. 设f(θ)＝，则f ＝ .
【解答题】
9. 已知k∈Z，化简：.
10. 已知sin(3π＋α)＝2sin，求下列各式的值：
(1)；(2)sin2α＋sin 2α.
11. 已知角θ的终边与单位圆x2＋y2＝1在第四象限交于点P，且点P的坐标为.
(1)求tan θ的值；
(2)求的值．
【测能力】
【单选题】
1. 已知角α为第二象限角，则cos α·＋sin2α ＝(　　)
A．1 B．－1 C．0 D．2
2. 已知θ为直线y＝3x－5的倾斜角，若A(cos θ，sin θ)，B(2cos θ＋sin θ，5cos θ－sin θ)，则直线AB的斜率为(　　)
A．3 B．－4
C． D．－
3. 若sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，则等于(　　)
A. B. C. D.
4. 若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为(　　)
A．1＋ B．1－ C．1± D．－1－
【多选题】
5. 已知角θ的终边与坐标轴不重合，式子化简的结果为－cos θ，则(　　)
A．sin θ>0，tan θ>0 B．sin θ<0，tan θ>0
C．sin θ<0，tan θ<0 D．sin θ>0，tan θ<0
6. 若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是(　　)
A．cos(A＋B)＝cos C B．sin(A＋B)＝－sin C
C．cos＝sin D．sin＝cos
【填空题】
7. 若|sin θ|＋|cos θ|＝，则sin4θ＋cos4θ＝________．
8. 已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝ .
【解答题】
9. 是否存在α∈，β∈使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
10. 在△ABC中，
(1)求证：cos2＋cos2 ＝1；
(2)若cossintan(C－π)＜0，求证：△ABC为钝角三角形．
11. 已知cos＋sin＝1.
求cos2＋cos β－1的取值范围．
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