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第四单元第3讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：两角和与差的三角函数公式
题型二：两角和与差的三角函数公式的逆用与变形
题型三：三角函数公式中变“角”
题型四：三角函数公式中变“名”
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空2题 填空2题
解答3题 解答3题
一、【讲】
【讲知识】
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；
(2)公式C(α＋β)：
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；
(3)公式S(α－β)：
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；
(4)公式S(α＋β)：
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝.
2．辅助角公式
asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.
【讲方法】
1.使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.
2.使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.
3.运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.
4.对asin x＋bcos x化简时，辅助角φ的值如何求要清楚.
5.当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
6.当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
7.常见的角变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝＋，＋α＝－，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，＋＝等.
二、【练】
【练题型】
【题型一】两角和与差的三角函数公式
【典例1】已知cos α＋cos＝1，则cos等于(　　)
A. B.
C. D.
【典例2】化简：①sin x＋cos x＝ .
【典例3】已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　)
A．－ B. C. D．－
【题型二】两角和与差的三角函数公式的逆用与变形
【典例1】若α＋β＝－，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝ .
【典例2】已知α∈，tan α＝sin 76°cos 46°－cos 76°sin 46°，则sin α等于(　　)
A. B．－ C. D．－
【典例3】(1＋tan 20°)(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)(1＋tan 25°)＝ .
【题型三】三角函数公式中变“角”
【典例1】已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝________．
【典例2】已知sin α＝，sin(β－α)＝－，α，β均为锐角，则β等于(　　)
A. B. C. D.
【典例3】已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝ .
【题型四】三角函数公式中变“名”
【典例1】求值：－sin 10°.
【典例2】求4sin 20°＋tan 20°的值为________．
【练真题】
【真题1】(2020·全国Ⅲ)已知sin θ＋sin＝1，则sin等于(　　)
A. B. C. D.
【真题2】(2021·全国乙卷)cos2－cos2＝(　　)
A. B. C. D.
【真题3】(2021·全国甲卷)若α∈，tan 2α＝，则tan α＝(　　)
A. B. C. D.
【真题4】(2018·全国Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝ .
【真题5】(2019·高考全国卷Ⅱ)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝(　　)
A． B．
C． D．
【真题6】(2020·高考全国卷Ⅱ)若sin x＝－，则cos 2x＝____________．
【真题7】(2020·高考全国卷Ⅲ)已知2tan θ－tan ＝7，则tan θ＝(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
【真题8】(2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ＝－2，则＝(　　)
A.－ B.－ C. D.
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. tan 105°等于(　　)
A．2－ B．－2－
C.－2 D．－
2. 已知点P(x，2)是角α终边上一点，且cos α＝－，则cos等于(　　)
A．－ B.
C. D.
3. 等于(　　)
A．1 B.
C. D.
4. 已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β等于(　　)
A. B.或
C. D．2kπ＋(k∈Z)
【多选题】
5. 下列各式中，值为的是(　　)
A. 　　 B.tan 15°cos215°
C.cos2－sin2 　　 D.
6. 下列四个选项中，化简正确的是(　　)
A.cos(－15°)＝
B.cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝0
C.cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)·sin(25°＋α)＝
D.sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝
【填空题】
7. 已知tan θ＝2，则tan＝ .
8. 化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝ .
【解答题】
9. 已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，求cos.
10. 已知0＜β＜＜α＜π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)的值．
11. 已知α，β均为锐角，且sin α＝，tan(α－β)＝－.
(1)求sin(α－β)的值；
(2)求cos β的值．
【测能力】
【单选题】
1. 已知α为第二象限角，且tan α＋tan ＝2tan αtan －2，则sin＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
2. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，则＝(　　)
A．8 B．4
C．2 D．1
3. 若cos2α－cos2β＝a，则sin(α＋β)sin(α－β)等于(　　)
A．－ B. C．－a D．a
4. 已知cos＝2cos(π－α)，则tan等于(　　)
A．－3 B.
C．－ D．3
【多选题】
5. 已知cos(α＋β)＝－，cos 2α＝－，其中α，β为锐角，以下判断正确的是(　　)
A．sin 2α＝ B．cos(α－β)＝
C．cos αcos β＝ D．tan αtan β＝
6. 已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法正确的是(　　)
A．cos(β－α)＝
B．cos(β－α)＝
C．β－α＝－
D．β－α＝
【填空题】
7. 已知coscos＝，则sin4θ＋cos4θ的值为________．
8. 已知0<α<，且sin α＝，则tan＝________；＝________．
【解答题】
9. 已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.
(1)求sin(α＋π)的值；
(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值．
10. 已知cos＝－，sin＝，且＜α＜π，0＜β＜，求cos(α＋β).
11.如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点在坐标原点，以x轴非负半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆O分别交于A，B两点，x轴的非负半轴与单位圆O交于点M，已知S△OAM＝，点B的纵坐标是.
(1)求cos(α－β)的值；
(2)求2α－β的值．
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第四单元第3讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：两角和与差的三角函数公式
题型二：两角和与差的三角函数公式的逆用与变形
题型三：三角函数公式中变“角”
题型四：三角函数公式中变“名”
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空2题 填空2题
解答3题 解答3题
一、【讲】
【讲知识】
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；
(2)公式C(α＋β)：
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；
(3)公式S(α－β)：
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；
(4)公式S(α＋β)：
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝.
2．辅助角公式
asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.
【讲方法】
1.使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.
2.使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.
3.运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.
4.对asin x＋bcos x化简时，辅助角φ的值如何求要清楚.
5.当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
6.当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
7.常见的角变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝＋，＋α＝－，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，＋＝等.
二、【练】
【练题型】
【题型一】两角和与差的三角函数公式
【典例1】已知cos α＋cos＝1，则cos等于(　　)
A. B.
C. D.
【解析】∵cos α＋cos＝1，
∴cos α＋cos α＋sin α＝cos α＋sin α
＝
＝cos＝1，
∴cos＝.
故选D.
【典例2】化简：①sin x＋cos x＝ .
【解析】sin x＋cos x＝2
＝2sin.
【典例3】已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　)
A．－ B. C. D．－
【解析】∵α∈，
∴cos α＝－，tan α＝－，
又tan(π－β)＝，
∴tan β＝－，
∴tan(α－β)＝＝＝－.
故选A.
【题型二】两角和与差的三角函数公式的逆用与变形
【典例1】若α＋β＝－，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝ .
【解析】tan＝tan(α＋β)＝＝1，所以1－tan αtan β＝tan α＋tan β，所以1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2，即(1＋tan α)·(1＋tan β)＝2.
【典例2】已知α∈，tan α＝sin 76°cos 46°－cos 76°sin 46°，则sin α等于(　　)
A. B．－ C. D．－
【解析】由tan α＝sin 76°cos 46°－cos 76°sin 46°＝sin(76°－46°)＝sin 30°＝，
∵α∈，
∴α∈，
联立
解得sin α＝.
故选A.
【典例3】(1＋tan 20°)(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)(1＋tan 25°)＝ .
【解析】(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1＋tan(20°＋25°)(1－tan 20°tan 25°)＋tan 20°tan 25°＝2，同理可得(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2，所以原式＝4.
【题型三】三角函数公式中变“角”
【典例1】已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝________．
【解析】由题意知，α＋β∈，sin(α＋β)＝－<0，所以cos(α＋β)＝，因为β－∈，所以cos＝－，cos＝cos＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin＝－.
【典例2】已知sin α＝，sin(β－α)＝－，α，β均为锐角，则β等于(　　)
A. B. C. D.
【解析】因为sin α＝，sin(β－α)＝－，且α，β均为锐角，所以cos α＝，cos(β－α)＝，所以sin β＝sin[α＋(β－α)]＝sin α·cos(β－α)＋cos αsin(β－α)＝×＋×＝＝，所以β＝.
故选C.
【典例3】已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝ .
【解析】由题意知，α＋β∈，sin(α＋β)＝－<0，所以cos(α＋β)＝，
因为β－∈，
所以cos＝－，
cos＝cos
＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin＝－.
【题型四】三角函数公式中变“名”
【典例1】求值：－sin 10°.
【解析】原式＝－sin 10°
＝－sin 10°·
＝－sin 10°·
＝－2cos 10°＝
＝
＝＝＝.
【典例2】求4sin 20°＋tan 20°的值为________．
【解析】原式＝4sin 20°＋
＝＝
＝＝.
【练真题】
【真题1】(2020·全国Ⅲ)已知sin θ＋sin＝1，则sin等于(　　)
A. B. C. D.
【解析】因为sin θ＋sin
＝sin＋sin
＝sincos －cossin ＋sincos ＋cossin
＝2sincos ＝sin＝1.
所以sin＝.
故选B.
【真题2】(2021·全国乙卷)cos2－cos2＝(　　)
A. B. C. D.
【解析】因为cos＝sin＝sin ，所以cos2－cos2＝cos2－sin2＝cos＝cos ＝.
故选D.
【真题3】(2021·全国甲卷)若α∈，tan 2α＝，则tan α＝(　　)
A. B. C. D.
【解析】因为tan 2α＝＝，且tan 2α＝，
所以＝，解得sin α＝.
因为α∈，所以cos α ＝，tan α＝＝.
故选A.
【真题4】(2018·全国Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝ .
【解析】∵sin α＋cos β＝1，①
cos α＋sin β＝0，②
∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，
∴sin αcos β＋cos αsin β＝－，
∴sin(α＋β)＝－.
【真题5】(2019·高考全国卷Ⅱ)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝(　　)
A． B．
C． D．
【解析】由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin2α.因为α∈，所以cos α＝，
所以2sin α＝1－sin2 α，
解得sin α＝.
故选B．
【真题6】(2020·高考全国卷Ⅱ)若sin x＝－，则cos 2x＝____________．
【解析】因为sin x＝－，所以由二倍角公式，得cos 2x＝1－2sin2x＝1－2×＝.
【真题7】(2020·高考全国卷Ⅲ)已知2tan θ－tan ＝7，则tan θ＝(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
【解析】由已知得2tan θ－＝7，得tan θ＝2.
故选D.
【真题8】(2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ＝－2，则＝(　　)
A.－ B.－ C. D.
【解析】因为tan θ＝－2，
所以＝
＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝
＝＝＝.
故选C.
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. tan 105°等于(　　)
A．2－ B．－2－
C.－2 D．－
【解析】　tan 105°＝tan(60°＋45°)
＝
＝
＝
＝＝－2－.
故选B.
2. 已知点P(x，2)是角α终边上一点，且cos α＝－，则cos等于(　　)
A．－ B.
C. D.
【解析】因为点P(x，2)是角α终边上一点，
则有cos α＝＝，
而cos α＝－，
于是得＝－，解得x＝－1，
则sin α＝＝，
因此，cos＝cos cos α－sin sin α
＝×－×
＝－，
所以cos＝－.
故选A.
3. 等于(　　)
A．1 B.
C. D.
【解析】
＝
＝
＝
＝.
故选B.
4. 已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β等于(　　)
A. B.或
C. D．2kπ＋(k∈Z)
【解析】由sin α＝，cos β＝，
且α，β为锐角，
可知cos α＝，sin β＝，
故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×
＝，
又0<α＋β<π，故α＋β＝.
故选C.
【多选题】
5. 下列各式中，值为的是(　　)
A. 　　 B.tan 15°cos215°
C.cos2－sin2 　　 D.
【解析】∵＝tan 45°＝，
tan 15°·cos215°＝sin 15°cos 15°
＝sin 30°＝，
cos2－sin2＝cos ＝，
＝sin 30°＝.
故选ACD.
6. 下列四个选项中，化简正确的是(　　)
A.cos(－15°)＝
B.cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝0
C.cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)·sin(25°＋α)＝
D.sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝
【解析】对于A，法一　原式＝cos(30°－45°)＝cos 30°·cos 45°＋sin 30°sin 45°＝×＋×＝，A错误.
法二　原式＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝×＋×＝.
对于B，原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0，B正确.
对于C，原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝.
对于D，原式＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60°＝.
故选BCD.
【填空题】
7. 已知tan θ＝2，则tan＝ .
【解析】∵tan θ＝2，∴tan＝＝＝＝.
8. 化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝ .
【解析】sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)
＝sin(α＋β)cos(β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)
＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ)．
【解答题】
9. 已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，求cos.
【解析】因为α，β∈，
所以<α＋β<2π，
<β－<，
因为sin(α＋β)＝－，
sin＝，
所以cos(α＋β)＝，
cos＝－，
所以cos
＝cos
＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin
＝×＋×
＝－.
10. 已知0＜β＜＜α＜π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)的值．
【解析】∵0＜β＜＜α＜π，
∴－＜－β＜，
＜α－＜π，
∴cos＝＝，
sin＝＝，
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×
＝，
∴cos(α＋β)＝2cos2－1＝2×－1＝－.
11. 已知α，β均为锐角，且sin α＝，tan(α－β)＝－.
(1)求sin(α－β)的值；
(2)求cos β的值．
【解析】(1)∵α，β∈，∴－＜α－β＜.
又∵tan(α－β)＝－＜0，
∴－＜α－β＜0.
∴sin(α－β)＝－.
(2)由(1)可得，cos(α－β)＝.
∵α为锐角，且sin α＝，∴cos α＝.
∴cos β＝cos [α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝.
【测能力】
【单选题】
1. 已知α为第二象限角，且tan α＋tan ＝2tan αtan －2，则sin＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
【解析】tan α＋tan ＝2tan αtan －2 ＝－2 tan＝－2，因为α为第二象限角，所以sin＝，cos＝－，则sin＝－sin＝－sin＝cossin －sin·cos ＝－.
故选C.
2. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，则＝(　　)
A．8 B．4
C．2 D．1
【解析】因为m＝2sin 18°，m2＋n＝4，
所以n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cos218°.
所以＝＝＝＝＝2.
故选C．
3. 若cos2α－cos2β＝a，则sin(α＋β)sin(α－β)等于(　　)
A．－ B. C．－a D．a
【解析】sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)·(sin αcos β－cos αsin β)＝sin2αcos2β－cos2αsin2β＝(1－cos2α)cos2β－cos2α(1－cos2β)＝cos2β－cos2α＝－a.
故选C.
4. 已知cos＝2cos(π－α)，则tan等于(　　)
A．－3 B.
C．－ D．3
【解析】由cos＝2cos(π－α)得
sin α＝－2cos α，即tan α＝－2，
∴tan＝
＝＝－.
故选C.
【多选题】
5. 已知cos(α＋β)＝－，cos 2α＝－，其中α，β为锐角，以下判断正确的是(　　)
A．sin 2α＝ B．cos(α－β)＝
C．cos αcos β＝ D．tan αtan β＝
【解析】因为cos(α＋β)＝－，
cos 2α＝－，其中α，β为锐角，
所以sin 2α＝＝，故A正确；
因为sin(α＋β)＝，
所以cos(α－β)＝cos [2α－(α＋β)]
＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)
＝×＋×＝，
故B错误；
cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]
＝＝，
故C正确；
sin αsin β＝[cos(α－β)－cos(α＋β)]
＝＝，
所以tan αtan β＝，故D错误．
故选AC.
6. 已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法正确的是(　　)
A．cos(β－α)＝
B．cos(β－α)＝
C．β－α＝－
D．β－α＝
【解析】由题意知，sin γ＝sin β－sin α，
cos γ＝cos α－cos β，
将两式分别平方后相加，
得1＝(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2
＝2－2(sin βsin α＋cos βcos α)，
∴cos(β－α)＝，即选项A正确，B错误；
∵γ∈，
∴sin γ＝sin β－sin α>0，
∴β>α，而α，β∈，
∴0<β－α<，
∴β－α＝，
即选项D正确，C错误．
故选AD.
【填空题】
7. 已知coscos＝，则sin4θ＋cos4θ的值为________．
【解析】因为coscos
＝
＝(cos2θ－sin2θ)＝cos 2θ＝.
所以cos 2θ＝.
故sin4θ＋cos4θ＝＋＝＋＝.
8. 已知0<α<，且sin α＝，则tan＝________；＝________．
【解析】因为0<α<，且sin α＝，所以cos α＝＝，所以tan α＝＝，
则tan＝tan(α＋)＝＝7.
＝
＝＝＝.
【解答题】
9. 已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.
(1)求sin(α＋π)的值；
(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值．
【解析】(1)由角α的终边过点P，得sin α＝－，所以sin(α＋π)＝－sin α＝.
(2)由角α的终边过点P，得cos α＝－，
由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±.
由β＝(α＋β)－α得
cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，
所以cos β＝－或cos β＝.
10. 已知cos＝－，sin＝，且＜α＜π，0＜β＜，求cos(α＋β).
【解析】由已知，得＜α－＜π，0＜－β＜，
∴sin＝，cos＝，
∴cos ＝cos
＝coscos
＋sinsin
＝×＋×＝.
则cos(α＋β)＝2cos2－1＝－.
11.如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点在坐标原点，以x轴非负半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆O分别交于A，B两点，x轴的非负半轴与单位圆O交于点M，已知S△OAM＝，点B的纵坐标是.
(1)求cos(α－β)的值；
(2)求2α－β的值．
【解析】(1)由题意知，|OA|＝|OM|＝1，因为S△OAM＝|OA|·|OM|sin α＝，所以sin α＝，又α为锐角，所以cos α＝.因为点B是钝角β的终边与单位圆O的交点，且点B的纵坐标是，所以sin β＝，cos β＝－，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－.
(2)因为sin α＝，cos α＝，cos(α－β)＝－，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝－，所以sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]＝sin αcos(α－β)＋cos αsin(α－β)＝－，
因为α为锐角，
sin α＝>，
所以α∈，所以2α∈，
又β∈，
所以2α－β∈，
所以2α－β＝－.
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