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2023年江苏省南通市启东市中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图是湖州市某日的天气预报，该天最高气温比最低气温高( )
A.
B.
C.
D.
2. 据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明球，芯片制造的核心是光刻技术，某科技公司刻技术水平已突破到，已知，则用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 下列调查中，最适合采用全面调查方式的是( )
A. 了解外地游客对圆陀角的印象 B. 了解一批圆珠笔的寿命
C. 了解某班学生的身高情况 D. 了解人们保护海洋的意识
5. 如图是从不同方向看某个立体图形所得到的平面图形，则这个立体图形是( )
A. 三棱柱 B. 三棱锥 C. 圆柱 D. 圆锥
6. 如图，四边形是菱形，对角线，交于点，是边的中点，过点作，，点，为垂足，若，，则的长为( )
A. B. C. D.
7. 九章算术是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金枚每枚黄金重量相同，乙袋中装有白银枚每枚白银重量相同，称重两袋相等，两袋互相交换枚后，甲袋比乙袋轻了两袋子重量忽略不计，问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重两，每枚白银重两，根据题意可列方程组为( )
A. B.
C. D.
8. 已知实数，满足，并且，，则的最大值( )
A. B. C. D.
9. 如图，正方形的边长为，动点的运动路线为，动点的运动路线为点与以相同的均匀速度分别从，两点同时出发，当一个点到达终点且停止运动时，另一个点也随之停止设点运动的路程为，的面积为，则随变化的函数图象大致是( )
A. B. C. D.
10. 在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一个动点，连结，的延长线交反比例函数的图象于点，过点作轴于点过点作，交反比例函数的图象于点，连结若，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共8小题，共30.0分）
11. 因式分解：______．
12. 若一个多边形的内角和比外角和大，则这个多边形的边数为______．
13. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
14. 如图所示的正方形网格中，，，，，是网格线交点，若弧与弧所在的圆心都为点，则弧与弧的长度之比为______ ．
15. 等腰三角形的一边长是，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为______．
16. 如图，平行四边形中，对角线、交于点，且，，、分别为、上两点，且，连接、，则与的面积比为______ ．
17. 在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点已知二次函数的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为，最大值为，则的取值范围是______ ．
18. 如图，在中，，，，是上一点，以为边作等边，点与点在的两侧，交于点，则线段的最大值为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
解分式方程：；
先化简，再求值：，其中．
20. 本小题分
如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处．点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点、、、在同一水平面上．
求的长．
求灯泡到地面的高度．
21. 本小题分
某校举行“疫情防控”知识问答竞赛，每班选名同学参加比赛，根数据答对的题目数量，得分等级分为分，分，分，分，学校将八年级甲班和乙班的成绩整理并绘制成统计图．
请把甲班知识问答成绩统计图补充完整；
通过统计得到如表，请求出表中数据，的值： ______ ， ______ ；
班级 平均数分 中位数分 众数分
甲班
乙班
根据的结果，你认为甲，乙两班哪个班级成绩更好？写出你的理由．
22. 本小题分
甲、乙两个不透明的盒子里分别装有张卡片，其中甲盒里张卡片分别标有数字、、；乙盒里张卡片分别标有数字、、，这些卡片除数字外其余都相同，将卡片充分摇匀．
从甲盒里随机抽取一张卡片，抽到的卡片上标有数字为偶数的概率是______；
从甲盒、乙盒里各随机抽取一张卡片，请用列表或树状图的方法，求抽到的两张卡片上标有数字之和不大于的概率．
23. 本小题分
已知为的直径，点，为上的两点，的延长线于的延长线交于点，连接，．
Ⅰ如图，若，，求的长；
Ⅱ如图，过点作的切线交于点，若，求的长．
24. 本小题分
共享电动车是一种新理念下的交通工具；主要面向的出行市场，现有，两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费元与骑行时间之间的对应关系，其中品牌收费方式对应，品牌的收费方式对应，请根据相关信息，解答下列问题：
说出图中函数、的图象交点表示的实际意义；
求、关于的函数解析式；
如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为那么小明选择______ 品牌共享电动车更省钱？填“”或“”
当为何值时，两种品牌共享电动车收费相差元？
25. 本小题分
已知，和都是等腰直角三角形，，是的中点，连接．
如图，点，，在同一条直线上，直接写出与的位置关系为______ ；
将图中的绕点逆时针旋转，当落在图所示的位置时，点，，恰好在同一条直线上．
在图中，按要求补全图形，并证明；
连接，交于点判断线段与的数量关系，并证明．
将绕点逆时针旋转，连接，当，时，在旋转过程中的最大值为
______ ．
26. 本小题分
在平面直角坐标系中，我们定义：点的“变换点”为，且规定：当时，点为当点为．
分别写出各点的“变换点”； ______ ； ______ ； ______ ；
当点的“交换点“在函数的图象上，求的值；
已知直线与坐标轴交于，两点，将直线上所有的“变换点“组成一新的图形，记为当抛物线与图形的交点个数个或个时，求出应的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意得：
．
故选：．
根据温差最高气温最低气温，列式计算．
本题主要考查了有理数减法，熟练掌握有理数减法法则，根据题意列出式子是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：，
故选：．
首先根据，把化成用表示的量，然后根据绝对值小于的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，把用科学记数法表示即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
3.【答案】
【解析】解：、，故本选项符合题意；
B、，故本选项不合题意；
C、，故本选项不合题意；
D、，故本选项不合题意；
故选：．
分别根据积的乘方运算法则，合并同类项法则，完全平方公式以及同底数幂的乘法法则逐一判断即可．
本题主要考查了积的乘方，同底数幂的乘法，完全平方公式以及合并同类项，熟记相关公式与运算法则是解答本题的关键．
4.【答案】
【解析】解：了解外地游客对圆陀角的印象，适合采用抽样调查的方式，故本选项不合题意；
B.了解一批圆珠笔的寿命，适合采用抽样调查的方式，故本选项不合题意；
C.了解某班学生的身高情况，适合采用普查的方式，故本选项符合题意；
D.了解人们保护海洋的意识，适合采用抽样调查的方式，故本选项不合题意．
故选：．
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
5.【答案】
【解析】
【分析】
由正面和左面看确定是柱体，锥体还是球体，再由上面看确定具体形状．
本题考查了从不同方向看物体来判断几何体，从正面和左边看大致轮廓为长方形的几何体为柱体，从上面看为三角形就是三棱柱．
【解答】
解：由正面和左面看为长方形判断出是柱体，由上面看是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：连接，
四边形是菱形，，，
，，，
在中，，
又是边的中点，
，
，，，
，
四边形为矩形，
．
故答案为：．
连接，根据菱形的性质可得，，，再由勾股定理可得，再根据是边的中点，可得，再证得四边形为矩形，即可求解．
本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：甲袋中装有黄金枚，乙袋中装有白银枚，称重两袋相等，
；
两袋互相交换枚后，甲袋比乙袋轻了两，
．
根据题意可列方程组．
故选：．
根据“甲袋中装有黄金枚，乙袋中装有白银枚，称重两袋相等；两袋互相交换枚后，甲袋比乙袋轻了两”，即可列出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：
，
，
，
，
，
即的最大值是，
故选：．
运用一次方程和一元一次不等式的解法进行求解、辨别．
此题考查了一次方程和一元一次不等式的解法的综合运用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算．
9.【答案】
【解析】解：点在上运动时，，如右图，
正方形的边长为，点与以相同的均匀速度分别从，两点同时出发，
作交于点，
则有，，
，，
的面积为：，
此时图象为抛物线开口方向向下；
点在上运动时，，如右图，
正方形的边长为，点与以相同的均匀速度分别从，两点同时出发，
作交于点，
则有，，
，，
的面积为：，
此时图象是抛物线一部分，开口方向向上，且随的增大而增大；
综上，只有选项B的图象符合，
故选：．
分两种情况：点在上运动和点在上运动时；分别求出解析式即可．
本题主要考查动点问题的函数图象，正确的求出函数解析式是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：点是反比例函数图象上的一个动点，轴于点，
，
，
点、点到的距离相等，
，
，
作于，
，
∽，
，
，
，
；
故选：．
利用反比例函数系数的几何意义得出，由根据平行线间的距离相等，得出，作于，利用∽，得，即可得出答案．
本题主要考查了反比例函数的几何意义，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：原式，
故答案为：．
直接利用平方差公式进行分解即可．
此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握平方差公式：．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，注意利用多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是是解题的关键．
根据多边形的内角和公式，外角和等于列出方程求解即可．
【解答】
解：设多边形的边数是，
根据题意得，，
解得．
故答案为．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了分式有意义的条件，绝对值，掌握分式有意义的条件：分母不等于是解题的关键．
根据分式有意义的条件：分母不等于即可得出答案．
【解答】
解：，
．
故答案为：．
14.【答案】：
【解析】解：由勾股定理得，，
则，
，
与的长度之比：：，
故答案为：：．
根据勾股定理分别求出、，根据勾股定理的逆定理得到，根据弧长公式计算，得到答案．
本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键．
15.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查了根的判别式、一元二次方程的解、等腰三角形的性质、三角形三边关系，分为腰长及为底边长两种情况，求出值是解题的关键．当为腰长时，将代入原一元二次方程可求出的值，将值代入原方程可求出方程的解，利用较小两边之和大于第三边可得出符合题意；当为底边长时，利用等腰三角形的性质可得出根的判别式，解之可得出值，将值代入原方程可求出方程的解，利用较小两边之和大于第三边可得出符合题意．
【解答】
解：当为腰长时，将代入，得：，
解得：，
当时，原方程为，
解得：，，
，，
符合题意；
当为底边长时，关于的方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
当时，原方程为，
解得：，
，，
符合题意．
的值为或．
故答案是：或．
16.【答案】
【解析】解：如图，过点作，于点，，
，，
∽，
：：：，
，
，
，
，
则与的面积比为．
故答案为：．
过点作，于点，，证明∽，可得：：：，根据三角形的面积即可得与的面积比为．
本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
17.【答案】
【解析】解：，即，
由题意可得，图象上有且只有一个完美点，
，则，
方程根为，
，．
函数，该二次函数顶点坐标为，
与轴交点为，根据对称规律，
点也是该二次函数图象上的点．
在左侧，随的增大而增大；在右侧，随的增大而减小；且当时，函数的最小值为，最大值为，则．
故答案为：．
由完美点的概念可得：，即，由只有一个完美点可得判别式，得方程根为，从而求得，，所以函数，由此解析式可求得此抛物线的顶点坐标以及与坐标轴的交点坐标，根据函数值，可求得的取值范围．
本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式的知识，利用数形结合和分类讨论是解题关键．
18.【答案】
【解析】解：如图，过点作于点，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
点、在的两侧，
当时，最小，最大，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
综上所述的最大值为．
故答案为：．
过点作于点，依次求出，，，再根据时，最大即可．
本题考查了等边三角形的性质，求最大，转化成求线段最小是本题的关键．
19.【答案】解：去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得，
检验，当时，，
所以原方程无解；
，
当时，
原式
．
【解析】根据解分式方程的一般步骤解出方程，检验判断解的情况；
根据多项式乘多项式、多项式除单项式的运算法则把原式化简，把的值代入计算即可．
本题考查了分式方程的解法、整式的化简求值，掌握解分式方程的一般步骤、整式的混合运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：由题意可得：，
则∽，
故，
即，
解得：；
，
，
光在镜面反射中的入射角等于反射角，
，
又，
∽，
，
，
解得：，
答：灯泡到地面的高度为．
【解析】直接利用相似三角形的判定与性质得出的长；
根据相似三角形的性质列方程进而求出的长．
此题主要考查了相似三角形的应用，正确找到相似三角形是解题关键．
21.【答案】
【解析】解：甲班得分为分的人数为人，
补全图形如下：
，；
故答案无为：，；
甲班成绩更好，理由如下：
在甲、乙班平均得分相等的前提下，甲班成绩的中位数大于乙班，
所以甲班高分人数多于乙班，
甲班成绩更好答案不唯一．
根据各得分人数和为求出得分为分的人数即可补全图形；
根据平均数与众数的定义求解即可；
根据中位数、众数的意义求解即可答案不唯一．
本题考查扇形统计图、统计表的意义和表示数据的特征，理解平均数、中位数、众数的意义是正确解答的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
22.【答案】
【解析】解：从甲盒里随机抽取一张卡片，抽到的卡片上标有数字为偶数的概率是，
故答案为：；
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中两张卡片的数字之和不大于 的结果有种，
抽到的两张卡片上标有数字之和不大于的概率为．
由概率公式即可得出结果；
画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与抽到的两张卡片上标有的数字之和大于的情况，再由概率公式即可求得答案．
本题考查了树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
23.【答案】解：Ⅰ如图，，．
，
连接，
，
，
，
，
，
；
答：的长为；
Ⅱ如图，连接，
，．
为的直径，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
．
答：的长为．
【解析】Ⅰ根据，可得，连接，可得，根据，和勾股定理即可求出的长；
Ⅱ连接，根据题意可以证明是等边三角形，可得，根据切线的性质和含度角的直角三角形即可求出的长．
本题考查切线的性质、圆周角定理，直角三角形中度角所对的直角边等于斜边的一半，锐角三角函数等知识，解题的关键是利用切线的性质，属于中考常考题型．
24.【答案】
【解析】解：由图象可得，，
交点表示的实际意义是：当骑行时间为时，，两种品牌的共享电动车收费都为元；
设，
将点代入得，，
解得：，
，
由图象可知，当时，，
设当时，，
将点，代入得，，
解得：，
当时，，
；
小明从家骑行到工厂所需时间为，
品牌所需费用为元，
品牌所需费用为元，
，
选择品牌共享电动车更省钱；
故答案为：；
当时，，
，
解得：，
当时，或，
或，
解得：舍去或，
综上，当的值为或时，两种品牌共享电动车收费相差元．
根据函数图象可得交点的坐标，结合，所表示的实际意义即可解答；
利用待定系数法即可求解，注意为分段函数；
先根据“时间路程速度”求出小明从家骑行到工厂所需时间，再分别求出选择和品牌共享电动车所需费用，比较即可求解；
分两种情况讨论：当时，；当时，或以此列出方程，求解即可．
本题主要考查一次函数的应用、用待定系数法求一次函数解析式、解一元一次方程，利用待定系数法正确求出函数解析式，并学会利用分类讨论思想解决问题．
25.【答案】互相垂直
【解析】解：，点是的中点，
，
故答案为：互相垂直；
证明：如图，
由知：，
，
，
，
，
；
解：如图，
，理由如下：
作于点，
，
由知：，
，
≌，
，
，点是的中点，
，
，
，，
≌，
；
，
当时，的面积最大，最大值为：，
故答案为：．
根据等腰三角形的性质可得出结果；
由，得出结论；
作于点，可证得≌，从而，进而证得≌，从而得出结论；
当时，的面积最大，进而求得结果．
本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
26.【答案】
【解析】解：由“变换点”的定义可得的变换点为，
的变换点为，
的变换点为，
故答案为：，，；
当时，点的变换点为，
把代入，得：，
解得：；
当时，点的变换点为，
把代入，得：，
解得：；
综上所述，；
设直线的解析式为，
将、代入得：，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
解得：，
点，点的变换点的坐标为，
点的变换点的坐标为，
点的变换点的坐标为，
当时，所有变换点组成的图形是以为端点，过的一条射线，即：，其中，
当时，所有变换点组成的图形是以为端点，过的一条射线，即：，其中，
新的图形是以为端点的两条射线组成的图形，
如图所示：
由得：，
由得：，
讨论一元二次方程根的判别式及抛物线与点的位置关系可得：
Ⅰ当方程无实数根，且方程有两个不相等的实数根时，即：当时，抛物线与图形有两个交点；
Ⅱ当方程有两个相等的实数根或抛物线恰好经过点时，即：当或时，抛物线与图形有三个交点；
Ⅲ当时，抛物线与图形有两个交点；
综上所述，的取值范围是或．
由变换点的定义可求得答案；
由变换点的定义可求得的变换点，代入函数解析式可求得的值；
先求得直线与直线的交点坐标，然后分为当和两种情况，求得的关系式，然后再画出的大致图象，再将抛物线与图形的函数关系式组成方程组，利用一元二次方程根的判别式进行判断即可．
本题主要考查了二次函数的综合运用，一次函数图象和性质，一元二次方程根的判别式应用，待定系数法，新定义的理解和应用等，熟练掌握一次函数和二次函数图象和性质，正确理解新定义是解题关键．
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