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11.1 与三角形有关的线段
11.1.3 三角形的稳定性
【知识重点】
1. 三角形的稳定性
(1)如果三角形的三边长确定，这个三角形的形状、大小就确定了，这就是三角形的稳定性.
(2)四边形及四边以上的图形不具有稳定性.
2. 三角形稳定性的应用
(1)稳定性是三角形特有的，在生产和生活中具有广泛的应用，有很多需要保持稳定的物体都被制成三角形的形状，如起重机、钢架桥等.
(2)四边形及四边以上的图形不具有稳定性，四边形的不稳定性在生活中也有广泛的应用，如活动挂架、伸缩门等.
【经典例题】
【例】李明家有一个由六根钢管连接而成的钢架ABCDEF，如图，为了使这个钢架稳固，他计划用三根钢管来连接使它不变形. 请帮李明解决这个问题.
解题秘方：根据三角形的稳定性，将钢架分割成三角形，紧扣“三角形的稳定性”进行解答.
解法提醒：为了保证四边形及四边以上的图形稳定，最简单的方法是连接对角线(不相邻两个顶点的连线).
【同步练习】
一、选择题
1．如图，在建筑工地上，我们经常可以看见工人们用木条EF固定矩形门框ABCD的情形，这种做法的根据是(　　)
A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线
C．三角形的稳定性 D．矩形的四个角是直角
　 　
第1题图　 第5题图 第7题图
2．下列设备,没有利用三角形的稳定性的是( )
A．活动的四边形衣架 B．起重机
C．屋顶三角形钢架 D．索道支架
3．下列图形中具有稳定性的是(　　)
A．①②③④　　B．①③　 C．②④　　D．①②③
4．不是利用三角形的稳定性的是(　　)
A．自行车的三脚架 B．三角形房架
C．照相机的三脚架 D．门框的长方形架
5．如图,一扇窗户打开后,用窗钩AB可将其固定,这里所运用的几何原理是( )
A.三角形的稳定性 B.两点之间线段最短 C.两点确定一条直线 D.垂线段最短
6．王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，要使这个木架不变形，他至少要再钉上几根木条(　　)
A．0根 B．1根 C．2根 D．3根
7．如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E，F，G，H分别是四条边上的中点，为了使它更加稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在(　　)
A．A，C两点之间 B ．E，G两点之间 C．B，F两点之间 D．G，H两点之间
8．如图所示的五角星是用螺栓将两端打有孔的5根木条连接而构成的，它的形状不稳定．如果用在图中木条交叉点打孔加装螺栓的办法来达到使其形状稳定的目的，那么至少需要添加螺栓(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．三角形________稳定性，四边形________稳定性．
10．如图，某中学电动大门栅栏是应用了四边形的 性质．
11．如图，小明做了一个长方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最好的加固方案是________(填序号)．
12．如图，_________应用了三角形的稳定性，______应用了四边形的不稳定性(填序号)．
三、解答题
13．如图①是用四根木条钉的四边形，为了使它不变形，小芳加了木条AE，如图②所示．小芳的做法对吗？并说明理由．
14．根据所了解的平面图形的特性说明下列设计中的数学原理：
(1)用两个钉子把木条固定在墙上；
(2)有一个不稳当的凳子，一名同学找来两根木条钉成如图①所示的样子；
(3)如图②，用三个边长相同的四边形做成的挂衣架．
15．如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条．要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使六边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，又至少要钉多少根木条？
(1)请完成下表：
多边形木架的边数 4 5 6 … n
至少钉木条的根数 1 …
(2)要使十二边形木架不变形，至少要钉______根木条；
(3)有一个多边形木架，至少要钉18根木条才能使它不变形，则这个多边形的边数是________．
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参考答案
【知识重点】
1. 三角形的稳定性
(1)如果三角形的三边长确定，这个三角形的形状、大小就确定了，这就是三角形的稳定性.
(2)四边形及四边以上的图形不具有稳定性.
2. 三角形稳定性的应用
(1)稳定性是三角形特有的，在生产和生活中具有广泛的应用，有很多需要保持稳定的物体都被制成三角形的形状，如起重机、钢架桥等.
(2)四边形及四边以上的图形不具有稳定性，四边形的不稳定性在生活中也有广泛的应用，如活动挂架、伸缩门等.
【经典例题】
【例】李明家有一个由六根钢管连接而成的钢架ABCDEF，如图，为了使这个钢架稳固，他计划用三根钢管来连接使它不变形. 请帮李明解决这个问题.
解题秘方：根据三角形的稳定性，将钢架分割成三角形，紧扣“三角形的稳定性”进行解答.
解：答案不唯一，只要将图形分割成三角形即可. 供参考的两种方法如图①②所示.
解法提醒：为了保证四边形及四边以上的图形稳定，最简单的方法是连接对角线(不相邻两个顶点的连线).
【同步练习】
一、选择题
1．如图，在建筑工地上，我们经常可以看见工人们用木条EF固定矩形门框ABCD的情形，这种做法的根据是(　C　)
A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线
C．三角形的稳定性 D．矩形的四个角是直角
　 　
第1题图　 第5题图 第7题图
2．下列设备,没有利用三角形的稳定性的是( A )
A．活动的四边形衣架 B．起重机
C．屋顶三角形钢架 D．索道支架
3．下列图形中具有稳定性的是(　B　)
A．①②③④　　B．①③　 C．②④　　D．①②③
4．不是利用三角形的稳定性的是(　D　)
A．自行车的三脚架 B．三角形房架
C．照相机的三脚架 D．门框的长方形架
5．如图,一扇窗户打开后,用窗钩AB可将其固定,这里所运用的几何原理是( A )
A.三角形的稳定性 B.两点之间线段最短
C.两点确定一条直线 D.垂线段最短
6．王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，要使这个木架不变形，他至少要再钉上几根木条(　B　)
A．0根 B．1根 C．2根 D．3根
7．如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E，F，G，H分别是四条边上的中点，为了使它更加稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在(　B　)
A．A，C两点之间 B ．E，G两点之间
C．B，F两点之间 D．G，H两点之间
【答案】选项A，C，D中都构成了三角形，增加了稳定性；选项B中，木条钉在E，G两点之间，没有构成三角形．故选B.
8．如图所示的五角星是用螺栓将两端打有孔的5根木条连接而构成的，它的形状不稳定．如果用在图中木条交叉点打孔加装螺栓的办法来达到使其形状稳定的目的，那么至少需要添加螺栓(　A　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．三角形________稳定性，四边形________稳定性．
【答案】具有 不具有
10．如图，某中学电动大门栅栏是应用了四边形的 性质．
【答案】不稳定
11．如图，小明做了一个长方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最好的加固方案是________(填序号)．
【答案】③
12．如图，_________应用了三角形的稳定性，______应用了四边形的不稳定性(填序号)．
【答案】①②③ ④
三、解答题
13．如图①是用四根木条钉的四边形，为了使它不变形，小芳加了木条AE，如图②所示．小芳的做法对吗？并说明理由．
解：小芳的做法对．理由略．
14．根据所了解的平面图形的特性说明下列设计中的数学原理：
(1)用两个钉子把木条固定在墙上；
解：两点确定一条直线．
(2)有一个不稳当的凳子，一名同学找来两根木条钉成如图①所示的样子；
解：三角形具有稳定性．
(3)如图②，用三个边长相同的四边形做成的挂衣架．
四边形具有不稳定性．
15．如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条．要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使六边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，又至少要钉多少根木条？
(1)请完成下表：
多边形木架的边数 4 5 6 … n
至少钉木条的根数 1 2 3 … n-3
(2)要使十二边形木架不变形，至少要钉______根木条；
【答案】9
(3)有一个多边形木架，至少要钉18根木条才能使它不变形，则这个多边形的边数是________．
【答案】21

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