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第四单元第4讲 简单三角恒等变换
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：三角函数式的化简
题型二：给角求值
题型三：给值求角
题型四：三角恒等变换的综合应用
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空2题 填空2题
解答3题 解答3题
一、【讲】
【讲知识】
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝2sin αcos α.
(2)公式C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
(3)公式T2α：tan 2α＝.
2．常用的部分三角公式
(1)1－cos α＝2sin2,1＋cos α＝2cos2.(升幂公式)
(2)1±sin α＝2.(升幂公式)
(3)sin2α＝，cos2α＝，tan2α＝.(降幂公式)
(4)asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.(辅助角公式)
【讲方法】
1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则
一看角，二看名，三看式子结构与特征．
2.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．
3.给角求值与给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法．
4.给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再求角的范围确定角．
5.三角恒等变换的应用策略
(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．
(2)把形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．
二、【练】
【练题型】
【题型一】三角函数式的化简
【典例1】化简：＝ .
【解析】原式＝
＝
＝
＝cos 2x.
【典例2】已知0<θ<π，则＝ .
【解析】原式＝
＝cos ·
＝.
因为0<θ<π，
所以0<<，所以cos >0，
所以原式＝－cos θ.
【典例3】2＋等于(　　)
A．2cos 2 B．2sin 2
C．4sin 2＋2cos 2 D．2sin 2＋4cos 2
【解析】2＋
＝2＋
＝2＋
＝2|sin 2＋cos 2|＋2|cos 2|.
∵<2<π，
∴cos 2<0，
∵sin 2＋cos 2＝sin，0<2＋<π，
∴sin 2＋cos 2>0，
∴原式＝2(sin 2＋cos 2)－2cos 2＝2sin 2.
故选B.
【题型二】给角求值
【典例1】计算＝________.
【解析】　＝
＝－＝－＝－1.
【典例2】＝________.
【解析】原式＝
＝
＝＝
＝＝－4.
【典例3】cos 20°·cos 40°·cos 100°＝________.
【解析】cos 20°·cos 40°·cos 100°
＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°
＝－
＝－
＝－＝－
＝－＝－.
【题型三】给值求角
【典例1】设α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，则α＋β的值为(　　)
A. B. C. D.或
【解析】∵α，β为钝角，sin α＝，cos β＝－，
∴cos α＝－，sin β＝，
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝>0.
又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈，
∴α＋β＝.
故选C.
【典例2】已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________．
【解析】∵tan α＝tan[(α－β)＋β]
＝＝＝>0，
∴0<α<.
又∵tan 2α＝＝＝>0，
∴0<2α<，
∴tan(2α－β)＝＝＝1.
∵tan β＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，
∴2α－β＝－.
【典例3】已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β＝________.
【解析】因为α，β均为锐角，所以－<α－β<.
又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝.
又sin α＝，所以cos α＝，
所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝.
所以β＝.
【题型四】三角恒等变换的综合应用
【典例1】已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；
(2)若α∈(0，π)，且f ＝，求tan的值．
【解析】(1)因为f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x
＝cos 2xsin 2x＋cos 4x＝(sin 4x＋cos 4x)
＝sin，
所以函数f(x)的最小正周期T＝.
令2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得＋≤x≤＋，k∈Z.
所以函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
(2)因为f ＝，
所以sin＝1.
又α∈(0，π)，
所以－<α－<，
所以α－＝，
故α＝，
因此tan＝＝＝2－.
【典例2】已知函数f(x)＝sin＋·cos.
(1)求函数f(x)在区间上的最值；
(2)若cos θ＝，θ∈，求f 的值．
【解析】(1)由题意得f(x)＝·sin＋cos
＝×
＝－·sin.
因为x∈，所以x－∈，
所以sin∈，
所以－sin∈，即函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.
(2)因为cos θ＝，θ∈，
所以sin θ＝－，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－，
所以cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝－＝，
所以f ＝－sin
＝－·sin＝－(sin 2θ－cos 2θ)
＝(cos 2θ－sin 2θ)＝·＝.
【典例3】已知sin α－cos α＝，π<α<2π，求tan 和tan α的值．
【解析】∵sin α－cos α＝，
∴－＝，
化简得tan2＋4tan －3＝0.
∴tan ＝＝－2±，
∵π<α<2π，
∴<<π，
∴tan <0，即tan ＝－2－，
tan α＝＝＝＝＝.
【练真题】
【真题1】(2021·全国甲卷)若α∈，tan 2α＝，则tan α等于(　　)
A. B. C. D.
【解析】方法一　因为tan 2α＝＝，
且tan 2α＝，所以＝，解得sin α＝.因为α∈，
所以cos α＝，tan α＝＝.
方法二　因为tan 2α＝＝＝＝，且tan 2α＝，所以＝，
解得sin α＝.因为α∈，
所以cos α＝，tan α＝＝.
故选A.
【真题2】(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α等于(　　)
A.　 B. C. D.
【解析】由3cos 2α－8cos α＝5，
得3(2cos2α－1)－8cos α＝5，
即3cos2α－4cos α－4＝0，
解得cos α＝－或cos α＝2(舍去)．
又因为α∈(0，π)，所以sin α>0，
所以sin α＝＝＝.
故选A.
【真题3】(2021·全国乙卷)cos2－cos2等于(　　)
A. B. C. D.
【解析】因为cos ＝sin＝sin ，
所以cos2－cos2＝cos2－sin2
＝cos＝cos ＝.
故选D.
【真题4】(2019·全国Ⅱ)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α等于(　　)
A. B. C. D.
【解析】由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin2α.
因为α∈，所以cos α＝，
所以2sin α＝1－sin2α，
解得sin α＝.
故选B.
【真题5】(2019·高考江苏卷)已知＝－，则sin的值是________．
【解析】＝＝－，解得tan α＝2或tan α＝－，当tan α＝2时，sin 2α＝＝＝，cos 2α＝＝＝－，此时sin 2α＋cos 2α＝，同理当tan α＝－时，sin 2α＝－，cos 2α＝，此时sin 2α＋cos 2α＝，所以sin(2α＋)＝(sin 2α＋cos 2α)＝.
【真题6】(2021·浙江卷)设函数f(x)＝sin x＋cos x(x∈R).
(1)求函数y＝的最小正周期；
(2)求函数y＝f(x)f在上的最大值.
【解析】(1)因为f(x)＝sin x＋cos x，
所以f＝sin＋cos
＝cos x－sin x，
所以y＝＝(cos x－sin x)2
＝1－sin 2x.
所以函数y＝的最小正周期
T＝＝π.
(2)f＝sin＋cos＝sin x，
所以y＝f(x)f
＝sin x
＝(sin xcos x＋sin2x)
＝
＝sin＋.
当x∈时，2x－∈，
所以当2x－＝，即x＝时，
函数y＝f(x)f在上取得最大值，且ymax＝1＋.
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 已知tan α＝3，则cos等于(　　)
A．－ B.
C．－ D.
【解析】cos＝－sin 2α＝－2sin αcos α
＝
＝＝＝－.
故选C.
2. 已知θ∈，tan θ＝，则cos 2θ等于(　　)
A．－ B.
C．－ D.
【解析】cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝－.
故选C.
3. tan 67.5°－的值为(　　)
A．1 B. C．2 D．4
【解析】tan 67.5°－＝－＝－
＝＝＝2.
故选C.
4. 若cos(30°－α)－sin α＝，则sin(30°－2α)等于(　　)
A. B．－
C. D．－
【解析】由cos(30°－α)－sin α＝，
得cos α－sin α＝，
即cos(30°＋α)＝，
所以sin(30°－2α)＝cos(60°＋2α)
＝2cos2(30°＋α)－1＝2×－1
＝－.
故选D.
【多选题】
5. 已知函数f(x)＝sin x·sin－，则f(x)的值不可能是(　　)
A．－ B. C．－2 D．2
【解析】方法一　f(x)＝sin xsin－
＝sin x－
＝sin2x＋sin xcos x－
＝·＋sin 2x－
＝sin 2x－cos 2x
＝
＝sin，
∴f(x)∈.
方法二　f(x)＝sin xsin－
＝－－
＝－－
＝－cos＋－
＝－cos
∴f(x)∈.
6. 下列各式中，值为的是(　　)
A．cos2－sin2
B.
C．2sin 195°cos 195°
D.
【解析】cos2－sin2＝cos
＝cos ＝，
故A错误；
＝·
＝tan 45°＝，故B正确；
2sin 195°cos 195°＝2sin(180°＋15°)cos(180°＋15°)＝2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，
故C正确；
＝＝≠，
故D错误．
故选BC.
【填空题】
7. 已知sin＝，则cos＝________.
【解析】cos＝cos
＝2cos2－1＝2cos2－1＝2sin2－1＝2×－1＝－.
8. 已知α∈，若sin＝，则tan α的值为________.
【解析】∵sin＝cos 2α＝，α∈，
∴sin α＝＝，
cos α＝＝，
∴tan α＝＝.
【解答题】
9. 已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.
(1)求sin(α＋π)的值；
(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值．
【解析】(1)由角α的终边过点P，
得sin α＝－.
所以sin(α＋π)＝－sin α＝.
(2)由角α的终边过点P，
得cos α＝－.
由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±.
由β＝(α＋β)－α，
得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，
所以cos β＝－或cos β＝.
10. 已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x(x∈R)．
(1)求f的值；
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．
【解析】(1)由sin ＝，cos ＝－，得
f＝2－2－2××＝2.
(2)由cos 2x＝cos2x－sin2x与sin 2x＝2sin xcos x，
得f(x)＝－cos 2x－sin 2x＝－2sin.
所以f(x)的最小正周期是π.
由正弦函数的性质，得
＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
11. 已知函数f(x)＝4tan x·sin·cos－.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性．
【解析】(1)f(x)的定义域为.
f(x)＝4tan xcos xcos－
＝4sin xcos－
＝4sin x－
＝2sin xcos x＋2sin2x－
＝sin 2x＋(1－cos 2x)－
＝sin 2x－cos 2x＝2sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为x∈，
所以2x－∈，
由y＝sin x的图象可知，当2x－∈，
即x∈时，f(x)单调递减；
当2x－∈，即x∈时，f(x)单调递增．
所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．
【测能力】
【单选题】
1. 设α∈，β∈，且tan α＝，则下列结论中正确的是(　　)
A．α－β＝ B．α＋β＝
C．2α－β＝ D．2α＋β＝
【解析】tan α＝＝＝＝＝tan.
因为α∈，β＋∈，
所以α＝β＋，即α－β＝.
故选A.
2. 设θ∈R，则“0<θ<”是“sin θ＋cos 2θ>1”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】sin θ＋cos 2θ>1 sin θ>1－cos 2θ＝2sin2θ (2sin θ－)sin θ<0 01的充分不必要条件．
故选A.
3. “－≤θ≤”是“cos2θ－sin 2θ≥”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】由cos2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＋≥，
得cos≥，
所以－＋kπ≤θ≤＋kπ(k∈Z)，
因此“－≤θ≤”是“cos2θ－sin 2θ≥”的充分不必要条件．
故选A.
4. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，则等于(　　)
A．8 B．4 C．2 D．1
【解析】因为m＝2sin 18°，m2＋n＝4，所以n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cos218°.
所以＝＝＝＝＝2.
故选C.
【多选题】
5. 在△ABC中，已知a＝2b，且，则（ ）
A．a，c，b成等比数列
B．
C．若a＝4，则
D．A，B，C成等差数列
【解析】因为，
所以，
即，即.
对选项A，因为，所以、、成等比数列，故A正确；
对选项B，因为，，即，所以，
即，故B正确；
对选项C，若，则，，
则，
因为，所以.
故，故C正确.
对选项D，若、、成等差数列，则.
又因为，则.
因为，设，，，，
则，故D错误.
故选：ABC
6. 1807年法国数学家傅里叶指出任何音乐声都是形如的纯音合成的复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．在区间上单调递增
D．当时，最小值为0，则
【解析】由题意，函数，
对于选项A，因为，
所以不是函数的最小正周期，故选项A错误；
对于选项B，因为，
，
所以直线是函数的一条对称轴，故选项B正确；
对于选项C，因为，
当，单调递增，且，
因为当时，函数单调递增，
当时，函数单调递减，
由复合函数的单调性可知：函数在区间先增后减，故选项C错误；
对于选项D，由选项C可知，当时，函数单调递增，
当时，函数单调递减，
当时，函数，当时，函数，当时，函数，
因为时，时，，
由复合函数的单调性可知：当时，最小值为0，则，
故选项D正确，
故选：BD.
【填空题】
7. 已知0＜β＜α＜，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝，则log5tan2β－logtan α＝________．
【解析】log5tan2β－logtan α＝2log5tan β－2log5tan α
＝2log5.因为0＜β＜α＜，所以0＜α－β＜，
又因为cos(α－β)＝，所以sin(α－β)＝，
因为sin(α＋β)＝，所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝，
又因为sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，
所以两式相加得sin αcos β＝，两式相减得cos αsin β＝，则＝，
分子、分母同时除以cos βcos α，得＝，
所以log5tan2β－logtan α＝2log5＝－2.
8. 若θ∈，且2sin2θ＋sin 2θ＝－，则tan＝________．
【解析】由2sin2θ＋sin 2θ＝－，得1－cos 2θ＋sin 2θ＝－，得cos 2θ－sin 2θ＝，2cos＝，即cos＝，又θ∈，所以2θ＋∈，则tan＝，所以tan＝tan＝＝.
【解答题】
9. 已知函数f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＋1(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
(2)若f(x0)＝，x0∈，求cos 2x0的值．
【解析】(1)由f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＋1，
得f(x)＝(2sin xcos x)－(2cos2x－1)
＝sin 2x－cos 2x＝2sin，
所以函数f(x)的最小正周期为π.
易知f(x)＝2sin在区间上为增函数，
在区间上为减函数，
又f(0)＝－1，f＝2，f＝－1，所以函数f(x)在上的最大值为2，最小值为－1.
(2)∵2sin＝，
∴sin＝.
又x0∈，
∴2x0－∈，
∴cos＝.
∴cos 2x0＝cos
＝coscos －sinsin
＝×－×＝.
10. 如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？
【解析】连接OB(图略)，设∠AOB＝θ，
则AB＝OBsin θ＝20sin θ，OA＝OBcos θ＝20cos θ，且θ∈.
因为A，D关于原点O对称，
所以AD＝2OA＝40cos θ.
设矩形ABCD的面积为S，则
S＝AD·AB＝40cos θ·20sin θ＝400sin 2θ.
因为θ∈，所以当sin 2θ＝1，
即θ＝时，Smax＝400(m2)．
此时AO＝DO＝10(m)．
故当点A，D到圆心O的距离为10 m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2.
11. 已知函数f(x)＝Acos，x∈R，且f＝.
(1)求A的值；
(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．
【解析】(1)因为f＝Acos＝Acos＝A＝，所以A＝2.
(2)由f＝2cos＝2cos＝－2sin α＝－，
得sin α＝，又α∈，
所以cos α＝.
由f＝2cos(β－＋)＝2cos β＝，
得cos β＝，又β∈，所以sin β＝，
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－.
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第四单元第4讲 简单三角恒等变换
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：三角函数式的化简
题型二：给角求值
题型三：给值求角
题型四：三角恒等变换的综合应用
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空2题 填空2题
解答3题 解答3题
一、【讲】
【讲知识】
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝2sin αcos α.
(2)公式C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
(3)公式T2α：tan 2α＝.
2．常用的部分三角公式
(1)1－cos α＝2sin2,1＋cos α＝2cos2.(升幂公式)
(2)1±sin α＝2.(升幂公式)
(3)sin2α＝，cos2α＝，tan2α＝.(降幂公式)
(4)asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.(辅助角公式)
【讲方法】
1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则
一看角，二看名，三看式子结构与特征．
2.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．
3.给角求值与给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法．
4.给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再求角的范围确定角．
5.三角恒等变换的应用策略
(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．
(2)把形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．
二、【练】
【练题型】
【题型一】三角函数式的化简
【典例1】化简：＝ .
【典例2】已知0<θ<π，则＝ .
【典例3】2＋等于(　　)
A．2cos 2 B．2sin 2
C．4sin 2＋2cos 2 D．2sin 2＋4cos 2
【题型二】给角求值
【典例1】计算＝________.
【典例2】＝________.
【典例3】cos 20°·cos 40°·cos 100°＝________.
【题型三】给值求角
【典例1】设α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，则α＋β的值为(　　)
A. B. C. D.或
【典例2】已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________．
【典例3】已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β＝________.
【题型四】三角恒等变换的综合应用
【典例1】已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；
(2)若α∈(0，π)，且f ＝，求tan的值．
【典例2】已知函数f(x)＝sin＋·cos.
(1)求函数f(x)在区间上的最值；
(2)若cos θ＝，θ∈，求f 的值．
【典例3】已知sin α－cos α＝，π<α<2π，求tan 和tan α的值．
【练真题】
【真题1】(2021·全国甲卷)若α∈，tan 2α＝，则tan α等于(　　)
A. B. C. D.
【真题2】(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α等于(　　)
A.　 B. C. D.
【真题3】(2021·全国乙卷)cos2－cos2等于(　　)
A. B. C. D.
【真题4】(2019·全国Ⅱ)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α等于(　　)
A. B. C. D.
【真题5】(2019·高考江苏卷)已知＝－，则sin的值是________．
【真题6】(2021·浙江卷)设函数f(x)＝sin x＋cos x(x∈R).
(1)求函数y＝的最小正周期；
(2)求函数y＝f(x)f在上的最大值.
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 已知tan α＝3，则cos等于(　　)
A．－ B.
C．－ D.
2. 已知θ∈，tan θ＝，则cos 2θ等于(　　)
A．－ B.
C．－ D.
3. tan 67.5°－的值为(　　)
A．1 B. C．2 D．4
4. 若cos(30°－α)－sin α＝，则sin(30°－2α)等于(　　)
A. B．－
C. D．－
【多选题】
5. 已知函数f(x)＝sin x·sin－，则f(x)的值不可能是(　　)
A．－ B. C．－2 D．2
6. 下列各式中，值为的是(　　)
A．cos2－sin2
B.
C．2sin 195°cos 195°
D.
【填空题】
7. 已知sin＝，则cos＝________.
8. 已知α∈，若sin＝，则tan α的值为________.
【解答题】
9. 已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.
(1)求sin(α＋π)的值；
(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值．
10. 已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x(x∈R)．
(1)求f的值；
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．
11. 已知函数f(x)＝4tan x·sin·cos－.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性．
【测能力】
【单选题】
1. 设α∈，β∈，且tan α＝，则下列结论中正确的是(　　)
A．α－β＝ B．α＋β＝
C．2α－β＝ D．2α＋β＝
2. 设θ∈R，则“0<θ<”是“sin θ＋cos 2θ>1”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3. “－≤θ≤”是“cos2θ－sin 2θ≥”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，则等于(　　)
A．8 B．4 C．2 D．1
【多选题】
5. 在△ABC中，已知a＝2b，且，则（ ）
A．a，c，b成等比数列
B．
C．若a＝4，则
D．A，B，C成等差数列
6. 1807年法国数学家傅里叶指出任何音乐声都是形如的纯音合成的复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．在区间上单调递增
D．当时，最小值为0，则
【填空题】
7. 已知0＜β＜α＜，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝，则log5tan2β－logtan α＝________．
8. 若θ∈，且2sin2θ＋sin 2θ＝－，则tan＝________．
【解答题】
9. 已知函数f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＋1(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
(2)若f(x0)＝，x0∈，求cos 2x0的值．
10. 如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？
11. 已知函数f(x)＝Acos，x∈R，且f＝.
(1)求A的值；
(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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