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第四单元第5讲 三角函数的图象与性质
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：三角函数的定义域和值域
题型二：三角函数的周期性、奇偶性、对称性
题型三：求三角函数的单调区间
题型四：根据单调性求参数
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空2题 填空2题
解答3题 解答3题
一、【讲】
【讲知识】
1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
值域 [－1,1] [－1,1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 [2kπ－π，2kπ]
递减区间 [2kπ，2kπ＋π]
对称中心 (kπ，0)
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ
【讲方法】
1.求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数的图象.
2.求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值).
3.三角函数周期的一般求法
①公式法；
②不能用公式求周期的函数时，可考虑用图象法或定义法求周期.
(2)对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可.
(3)对于可化为f(x)＝Atan(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝(k∈Z)，求x即可.
(4)三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y＝Asin(ωx＋φ)中代入x＝0，若y＝0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数.若y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝＋kπ(k∈Z).
4.求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.
5.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷.
二、【练】
【练题型】
【题型一】三角函数的定义域和值域
【典例1】函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为________．
【解析】设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sin x·cos x，sin xcos x＝，
且－≤t≤.
∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1，
t∈[－，]．
当t＝1时，ymax＝1；
当t＝－时，ymin＝－.
∴函数的值域为.
【典例2】函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________．
【解析】由题意可得
f(x)＝－cos2x＋cos x＋
＝－2＋1.
∵x∈，
∴cos x∈[0,1]．
∴当cos x＝，即x＝时，f(x)取最大值为1.
【典例3】函数y＝lg(sin 2x)＋的定义域为________．
【解析】∵函数y＝lg(sin 2x)＋，
∴应满足
解得其中k∈Z，
∴－3≤x<－或0∴函数的定义域为∪.
【题型二】三角函数的周期性、奇偶性、对称性
【典例1】已知函数f(x)＝2sin是偶函数，则θ的值为________.
【解析】∵函数f(x)为偶函数，
∴θ＋＝kπ＋(k∈Z).
又θ∈，
∴θ＋＝，解得θ＝，经检验符合题意.
【典例2】已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的最小正周期为4π，且 x∈R有f(x)≤f成立，则f(x)图象的对称中心是________，对称轴方程是________.
【解析】由f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝，
因为f(x)≤f恒成立，所以f(x)max＝f，即×＋φ＝2kπ(k∈Z)，
又∵|φ|<，所以φ＝－，
故f(x)＝cos，
令x－＝＋kπ(k∈Z)，
得x＝＋2kπ(k∈Z)，
故f(x)图象的对称中心为
，k∈Z.
令x－＝kπ(k∈Z)，
得x＝2kπ＋(k∈Z)，
故f(x)图象的对称轴方程是
x＝2kπ＋，k∈Z.
【典例3】函数f(x)＝3sin，φ∈(0，π)，若f(x)为奇函数，则φ＝________.
【解析】若f(x)＝3sin为奇函数，
则－＋φ＝kπ，k∈Z，
即φ＝＋kπ，k∈Z，
又∵φ∈(0，π)，
∴φ＝.
【题型三】求三角函数的单调区间
【典例1】函数f(x)＝sin的单调递减区间为________．
【解析】f(x)＝sin＝sin＝－sin，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故所求函数的单调递减区间为(k∈Z)．
【典例2】函数f(x)＝tan的单调递增区间是____________．
【解析】由kπ－<2x＋得－所以函数f(x)＝tan的单调递增区间为(k∈Z)．
【典例3】函数y＝sin x＋cos x的单调递增区间是____________．
【解析】∵y＝sin x＋cos x＝sin，
由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．
∴函数的单调递增区间为(k∈Z)，
又x∈，∴函数的单调递增区间为.
【题型四】根据单调性求参数
【典例1】函数f(x)＝tan的单调递增区间是(　　)
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
【解析】由－＋kπ<－<＋kπ，k∈Z，
得2kπ－所以函数f(x)＝tan的单调递增区间是，k∈Z.
故选B.
【典例2】若函数f(x)＝3sin－2在区间上单调，则实数a的最大值是________．
【解析】方法一　令2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，即2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，所以函数f(x)在区间上单调递减，所以a的最大值为.
方法二　因为≤x≤a，所以＋≤x＋≤a＋，
又f(x)在上单调，
＋【典例3】若函数g(x)＝sin在区间和上均单调递增，则实数a的取值范围是________．
【解析】由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，可得
kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴g(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
又∵函数g(x)在区间和上均单调递增，
∴
解得≤a<.
【练真题】
【真题1】(2021·全国乙卷)函数f(x)＝sin ＋cos 最小正周期和最大值分别是(　　)
A．3π和 B．3π和2
C．6π和 D．6π和2
【解析】因为函数f(x)＝sin ＋cos
＝
＝
＝sin，
所以函数f(x)的最小正周期T＝＝6π，最大值为.
故选C.
【真题2】(2021·新高考全国Ⅰ)下列区间中，函数f(x)＝7sin的单调递增区间是
(　　)
A. B.
C. D.
【解析】令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.取k＝0，则－≤x≤.因为是的真子集，所以区间是函数f(x)的单调递增区间．
故选A.
【真题3】(2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝2sin x＋sin 2x，则f(x)的最小值是________．
【解析】f′(x)＝2cos x＋2cos 2x＝2cos x＋2(2cos2x－1)
＝2(2cos2x＋cos x－1)＝2(2cos x－1)(cos x＋1)．
∵cos x＋1≥0，
∴当cos x<时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当cos x>时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
∴当cos x＝时，f(x)有最小值．
又f(x)＝2sin x＋sin 2x＝2sin x(1＋cos x)，
∴当sin x＝－时，f(x)有最小值，
即f(x)min＝2××＝－.
【真题4】(2017·全国Ⅲ)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是(　　)
A．f(x)的一个周期为－2π
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x＋π)的一个零点为x＝
D．f(x)在上单调递减
【解析】A项，因为f(x)＝cos的周期为2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一个周期为－2π，A项正确；
B项，因为f(x)＝cos的图象的对称轴为直线x＝kπ－(k∈Z)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，B项正确；
C项，f(x＋π)＝cos.令x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ－(k∈Z)，当k＝1时，x＝，
所以f(x＋π)的一个零点为x＝，C项正确；
D项，因为f(x)＝cos的单调递减区间为(k∈Z)，
单调递增区间为(k∈Z)，
所以是f(x)的单调递减区间，是f(x)的单调递增区间，D项错误．
故选D.
【真题5】(2019·全国Ⅱ)下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是(　　)
A．f(x)＝|cos 2x| B．f(x)＝|sin 2x|
C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x|
【解析】A中，函数f(x)＝|cos 2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递增，故A正确；B中，函数f(x)＝|sin 2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递减，故B不正确；C中，函数f(x)＝cos|x|＝cos x的周期为2π，故C不正确；D中，f(x)＝sin|x|＝由正弦函数图象知，在x≥0和x<0时，f(x)均以2π为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D不正确．
故选A.
【真题6】(2019·全国Ⅰ)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数；
②f(x)在区间上单调递增；
③f(x)在[－π，π]上有4个零点；
④f(x)的最大值为2.
其中所有正确结论的编号是(　　)
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
【解析】f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故①正确；当f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，∴f(x)在上单调递减，故②不正确；f(x)在[－π，π]上的图象如图所示，
由图可知函数f(x)在[－π，π]上只有3个零点，故③不正确；∵y＝sin|x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，∴f(x)可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的编号是①④.
故选C.
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. y＝|cos x|的一个单调递增区间是(　　)
A. B．[0，π]
C. D.
【解析】将y＝cos x的图象位于x轴下方的部分关于x轴对称向上翻折，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得y＝|cos x|的图象(如图)．
故选D.
2. 函数f(x)＝的定义域为(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
【解析】由题意，得2sin x－1≥0，
x∈(k∈Z)，
则x∈(k∈Z)．
故选B.
3. 函数f(x)＝sincos是(　　)
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为2π的非奇非偶函数
D．最小正周期为π的非奇非偶函数
【解析】由题意可得
f(x)＝sincos
＝sincos
＝sin2，
∴f(x)＝－cos，
故f(x)的最小正周期T＝＝π，由函数奇偶性的定义易知，f(x)为非奇非偶函数．
故选D.
4. 函数f(x)＝在[－π，π]的图象大致为(　　)
【解析】由f(－x)＝
＝＝－f(x)，得f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，排除A；
又f ＝＝>1，
f(π)＝>0，排除B，C.
故选D.
【多选题】
5. 已知函数f(x)＝sin 2x＋2cos2x，则(　　)
A.f(x)的最大值为3
B.f(x)的图象关于直线x＝对称
C.f(x)的图象关于点对称
D.f(x)在上单调递增
【解析】f(x)＝sin 2x＋2cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝sin＋1，则f(x)的最大值为＋1，故A错误；
f＝sin＋1＝＋1，
则f(x)的图象关于直线x＝对称，故B正确；
f＝sin＋1＝1，则f(x)的图象关于点对称，故C正确；
当x∈时，2x＋∈，故当2x＋∈，即x∈时，函数单调递增；
当2x＋∈，即x∈时，函数单调递减，故D错误.
故选BC.
6. 已知函数f(x)＝sin4x－cos4x，则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)的最大值为2
C.f(x)的图象关于y轴对称
D.f(x)在区间上单调递增
【解析】∵f(x)＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos2x，
∴函数f(x)的最小正周期T＝π，f(x)的最大值为1.
∵f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x)，
∴f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称.
∵y＝cos 2x在上单调递减，
∴f(x)＝－cos 2x在上单调递增.
故选ACD.
【填空题】
7. 函数y＝的定义域为________．
【解析】要使函数有意义必须有tan≠0，
则
所以x－≠，k∈Z，
所以x≠＋，k∈Z，
所以原函数的定义域为.
8. 已知函数f(x)＝2sin＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，其中ω为常数，且ω∈(1,2)，则函数f(x)的最小正周期为________．
【解析】由函数f(x)＝2sin＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，可得ωπ－＝kπ＋，k∈Z，
∴ω＝k＋，又ω∈(1,2)，∴ω＝，
∴得函数f(x)的最小正周期为＝.
【解答题】
9. 已知函数f(x)＝cos－2sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求证：当x∈时，f(x)≥－.
【解析】(1)解　f(x)＝cos 2x＋sin 2x－sin 2x
＝sin 2x＋cos 2x
＝sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)证明　因为－≤x≤，
所以－≤2x＋≤.
所以sin≥sin＝－.
所以当x∈时，f(x)≥－.
10. 已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；
(2)讨论函数f(x)在上的单调性．
【解析】(1)∵f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin(ω>0)，且T＝π，
∴ω＝2，f(x)＝sin.
令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，
即函数f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．因为x∈，所以令k＝0，得函数f(x)在上的单调递增区间为；令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)，令k＝0，得f(x)在上的单调递减区间为.
11. 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π.
(1)当f(x)为偶函数时，求φ的值；
(2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间.
【解析】因为f(x)的最小正周期为π，
所以T＝＝π，即ω＝2.
所以f(x)＝sin(2x＋φ).
(1)当f(x)为偶函数时，φ＝＋kπ(k∈Z)，
因为0＜φ＜，所以φ＝.
(2)当f(x)的图象过点时，
sin＝，
即sin＝.
又因为0＜φ＜，所以＜＋φ＜π.
所以＋φ＝，即φ＝.
所以f(x)＝sin.
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z).
所以f(x)的单调递增区间为
(k∈Z).
【测能力】
【单选题】
1. 定义运算：a*b＝例如1*2=1，则函数f(x)＝sin x*cos x的值域为(　　)
A. B．[－1,1]
C. D.
【解析】根据三角函数的周期性，我们只看两函数在一个最小正周期内的情况即可，设x∈[0,2π]，当≤x≤时，sin x≥cos x，此时f(x)＝cos x，f(x)∈，当0≤x<或sin x，此时f(x)＝sin x，f(x)∈∪[－1,0]．综上知f(x)的值域为.
故选D.
2. 已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋1，其图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为，若f(x)>1对任意x∈恒成立，则φ的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】由题意可得函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋1的最大值为3.∵f(x)的图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为，∴f(x)的周期T＝，∴＝，解得ω＝3，∴f(x)＝2cos(3x＋φ)＋1.∵f(x)>1对任意x∈恒成立，∴2cos(3x＋φ)＋1>1，即cos(3x＋φ)>0对任意x∈恒成立，∴－＋φ≥2kπ－且＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得φ≥2kπ－且φ≤2kπ，k∈Z，即2kπ－≤φ≤2kπ，k∈Z.结合|φ|<可得，当k＝0时，φ的取值范围为.
故选B.
3. 若函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则ω的取值范围为(　　)
A.(5，8) B.(5，8]
C.(5，11] D.[5，11)
【解析】由题意，函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin，因为x∈，可得＜ωx＋＜(1＋ω)，要使得函数f(x)在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则满足π＜(1＋ω)≤，解得5＜ω≤8，所以ω的取值范围为(5，8].
故选B.
4. 设函数f(x)＝sin(ω>0)，已知f(x)在[0,2π]内有且仅有2个零点，则下列结论不成立的有(　　)
A．函数y＝f(x)＋1在(0,2π)内没有零点
B．y＝f(x)－1在(0,2π)内有且仅有1个零点
C．f(x)在上单调递增
【解析】如图，由函数f(x)的草图可知，A选项不正确，B选项正确；
若函数f(x)在[0,2π]内有且仅有2个零点，
则≤2π<，
得≤ω<，
当x∈时，
t＝ωx－∈ ，此时函数单调递增，故CD正确．
故选A.
【多选题】
5. 已知函数f(x)＝sin－2sin·cos，则下列关于函数f(x)的描述正确的是(　　)
A．f(x)在区间上单调递增
B．f(x)图象的一个对称中心是
C．f(x)图象的一条对称轴是x＝－
D．将f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得函数图象关于y轴对称
【解析】f(x)＝sin－2sincos
＝cos 2x＋sin 2x＋sin2x－cos2x
＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x＝sin，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kx＋(k∈Z)，
当k＝0时， ，故A正确；
f ＝sin ＝1≠0，故B不正确；
f ＝－sin ＝－1，故C正确；
将f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y＝sin的图象，显然不关于y轴对称，故D不正确．
故选AC.
6. 已知函数f(x)＝sin，则(　　)
A．函数f 是偶函数
B．x＝－是函数f(x)的一个零点
C．函数f(x)在区间上单调递增
D．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
【解析】对于A选项，
令g(x)＝f ＝sin
＝sin，
则g＝0，
g＝sin≠0，
故函数f 不是偶函数，A错；
对于B选项，因为f ＝sin 0＝0，
故x＝－是函数f(x)的一个零点，B对；
对于C选项，当－≤x≤时，
－≤2x＋≤，
所以函数f(x)在区间上单调递增，C对；
对于D选项，因为对称轴满足2x＋＝＋kπ，k∈Z，
解得x＝＋，k∈Z，k＝0时，x＝，D对．
故选BCD.
【填空题】
7. 如果圆x2＋(y－1)2＝m2至少覆盖函数f(x)＝2sin2－cos(m>0)的一个最大值点和一个最小值点，则m的取值范围是________．
【解析】化简f(x)＝2sin2－cos得f(x)＝2sin ＋1，所以，函数f(x)的图象靠近圆心(0,1)的最大值点为，最小值点为.
所以只需解得m≥.
8. 已知函数f(x)＝cos(2x＋θ)在上单调递增，若f≤m恒成立，则实数m的取值范围为________．
【解析】f(x)＝cos(2x＋θ)，
当x∈时，－＋θ≤2x＋θ≤－＋θ，
由函数f(x)在上是增函数得k∈Z，
则2kπ－≤θ≤2kπ＋(k∈Z)．
又0≤θ≤，
∴0≤θ≤，
∵f＝cos，
又≤θ＋≤，
∴fmax＝0，
∴m≥0.
【解答题】
9. 设函数f(x)＝2sin＋m的图象关于直线x＝π对称，其中0<ω<.
(1)求函数f(x)的最小正周期．
(2)若函数y＝f(x)的图象过点(π，0)，求函数f(x)在上的值域．
【解析】(1)由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，
可得sin＝±1，
∴2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，
即ω＝＋(k∈Z)．
又0<ω<，
∴ω＝，
∴函数f(x)的最小正周期为3π.
(2)由(1)知f(x)＝2sin＋m，
∵f(π)＝0，
∴2sin＋m＝0，
∴m＝－2，
∴f(x)＝2sin－2，
当0≤x≤时，－≤x－≤，
－≤sin≤1.
∴－3≤f(x)≤0，
故函数f(x)在上的值域为.
10. 已知函数f(x)＝sin(2π－x)sin－cos2x＋.
(1)求f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；
(2)当x∈时，求f(x)的最小值和最大值.
【解析】(1)由题意，
得f(x)＝(－sin x)(－cos x)－cos2 x＋
＝sin xcos x－cos2x＋
＝sin 2x－(cos 2x＋1)＋
＝sin 2x－cos 2x＋
＝sin＋，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π；
令2x－＝kπ＋(k∈Z)，
得x＝＋(k∈Z)，
故所求图象的对称轴方程为
x＝＋(k∈Z).
(2)当0≤x≤时，－≤2x－≤，
由函数图象(图略)可知，
－≤sin≤1.
即0≤sin＋≤.
故f(x)的最小值为0，最大值为.
11. 已知．
(1)若，求使函数为偶函数；
(2)在（1）成立的条件下，求满足，的的集合．
【解析】（1）解：
，
因为函数为偶函数，
所以，即，
因为，所以
（2）解：在（1）成立的条件下，，
所以由得，
因为，所以，
所以或或或，
所以或或或，
所以，满足题意的的集合为
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第四单元第5讲 三角函数的图象与性质
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：三角函数的定义域和值域
题型二：三角函数的周期性、奇偶性、对称性
题型三：求三角函数的单调区间
题型四：根据单调性求参数
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空2题 填空2题
解答3题 解答3题
一、【讲】
【讲知识】
1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
值域 [－1,1] [－1,1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 [2kπ－π，2kπ]
递减区间 [2kπ，2kπ＋π]
对称中心 (kπ，0)
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ
【讲方法】
1.求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数的图象.
2.求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值).
3.三角函数周期的一般求法
①公式法；
②不能用公式求周期的函数时，可考虑用图象法或定义法求周期.
(2)对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可.
(3)对于可化为f(x)＝Atan(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝(k∈Z)，求x即可.
(4)三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y＝Asin(ωx＋φ)中代入x＝0，若y＝0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数.若y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝＋kπ(k∈Z).
4.求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.
5.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷.
二、【练】
【练题型】
【题型一】三角函数的定义域和值域
【典例1】函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为________．
【典例2】函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________．
【典例3】函数y＝lg(sin 2x)＋的定义域为________．
【题型二】三角函数的周期性、奇偶性、对称性
【典例1】已知函数f(x)＝2sin是偶函数，则θ的值为________.
【典例2】已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的最小正周期为4π，且 x∈R有f(x)≤f成立，则f(x)图象的对称中心是________，对称轴方程是________.
【典例3】函数f(x)＝3sin，φ∈(0，π)，若f(x)为奇函数，则φ＝________.
【题型三】求三角函数的单调区间
【典例1】函数f(x)＝sin的单调递减区间为________．
【典例2】函数f(x)＝tan的单调递增区间是____________．
【典例3】函数y＝sin x＋cos x的单调递增区间是____________．
【题型四】根据单调性求参数
【典例1】函数f(x)＝tan的单调递增区间是(　　)
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
【典例2】若函数f(x)＝3sin－2在区间上单调，则实数a的最大值是________．
【典例3】若函数g(x)＝sin在区间和上均单调递增，则实数a的取值范围是________．
【练真题】
【真题1】(2021·全国乙卷)函数f(x)＝sin ＋cos 最小正周期和最大值分别是(　　)
A．3π和 B．3π和2
C．6π和 D．6π和2
【真题2】(2021·新高考全国Ⅰ)下列区间中，函数f(x)＝7sin的单调递增区间是
(　　)
A. B.
C. D.
【真题3】(2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝2sin x＋sin 2x，则f(x)的最小值是________．
【真题4】(2017·全国Ⅲ)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是(　　)
A．f(x)的一个周期为－2π
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x＋π)的一个零点为x＝
D．f(x)在上单调递减
【真题5】(2019·全国Ⅱ)下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是(　　)
A．f(x)＝|cos 2x| B．f(x)＝|sin 2x|
C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x|
【真题6】(2019·全国Ⅰ)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数；
②f(x)在区间上单调递增；
③f(x)在[－π，π]上有4个零点；
④f(x)的最大值为2.
其中所有正确结论的编号是(　　)
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. y＝|cos x|的一个单调递增区间是(　　)
A. B．[0，π]
C. D.
2. 函数f(x)＝的定义域为(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
3. 函数f(x)＝sincos是(　　)
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为2π的非奇非偶函数
D．最小正周期为π的非奇非偶函数
4. 函数f(x)＝在[－π，π]的图象大致为(　　)
5. 已知函数f(x)＝sin 2x＋2cos2x，则(　　)
A.f(x)的最大值为3
B.f(x)的图象关于直线x＝对称
C.f(x)的图象关于点对称
D.f(x)在上单调递增
6. 已知函数f(x)＝sin4x－cos4x，则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)的最大值为2
C.f(x)的图象关于y轴对称
D.f(x)在区间上单调递增
【填空题】
7. 函数y＝的定义域为________．
8. 已知函数f(x)＝2sin＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，其中ω为常数，且ω∈(1,2)，则函数f(x)的最小正周期为________．
【解答题】
9. 已知函数f(x)＝cos－2sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求证：当x∈时，f(x)≥－.
10. 已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；
(2)讨论函数f(x)在上的单调性．
11. 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π.
(1)当f(x)为偶函数时，求φ的值；
(2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间.
【测能力】
【单选题】
1. 定义运算：a*b＝例如1*2=1，则函数f(x)＝sin x*cos x的值域为(　　)
A. B．[－1,1]
C. D.
2. 已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋1，其图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为，若f(x)>1对任意x∈恒成立，则φ的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
3. 若函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则ω的取值范围为(　　)
A.(5，8) B.(5，8]
C.(5，11] D.[5，11)
4. 设函数f(x)＝sin(ω>0)，已知f(x)在[0,2π]内有且仅有2个零点，则下列结论不成立的有(　　)
A．函数y＝f(x)＋1在(0,2π)内没有零点
B．y＝f(x)－1在(0,2π)内有且仅有1个零点
C．f(x)在上单调递增
【多选题】
5. 已知函数f(x)＝sin－2sin·cos，则下列关于函数f(x)的描述正确的是(　　)
A．f(x)在区间上单调递增
B．f(x)图象的一个对称中心是
C．f(x)图象的一条对称轴是x＝－
D．将f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得函数图象关于y轴对称
6. 已知函数f(x)＝sin，则(　　)
A．函数f 是偶函数
B．x＝－是函数f(x)的一个零点
C．函数f(x)在区间上单调递增
D．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
【填空题】
7. 如果圆x2＋(y－1)2＝m2至少覆盖函数f(x)＝2sin2－cos(m>0)的一个最大值点和一个最小值点，则m的取值范围是________．
8. 已知函数f(x)＝cos(2x＋θ)在上单调递增，若f≤m恒成立，则实数m的取值范围为________．
【解答题】
9. 设函数f(x)＝2sin＋m的图象关于直线x＝π对称，其中0<ω<.
(1)求函数f(x)的最小正周期．
(2)若函数y＝f(x)的图象过点(π，0)，求函数f(x)在上的值域．
10. 已知函数f(x)＝sin(2π－x)sin－cos2x＋.
(1)求f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；
(2)当x∈时，求f(x)的最小值和最大值.
11. 已知．
(1)若，求使函数为偶函数；
(2)在（1）成立的条件下，求满足，的的集合．
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