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第四单元第6讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
题型二：由图象确定函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式
题型三：图象与性质的综合应用
题型四：函数的零点（方程的根）的问题
题型五：三角函数模型
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空2题 填空2题
解答3题 解答3题
一、【讲】
【讲知识】
1.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)一个周期内的简图时，要找五个关键点
x － －＋ －
ωx＋φ 0 π 2π
y＝Asin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
2.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径
3.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
【讲方法】
1.由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
2.当x的系数不为1时，特别注意先提取系数，再加减．
3.y＝Asin(ωx＋φ)中φ的确定方法
(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．
4.研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．
5.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
6.三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．
二、【练】
【练题型】
【题型一】函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
【典例1】(多选)已知函数f(x)＝sin.下列结论正确的是(　　)
A．f(x)的最小正周期为2π
B．f 是f(x)的最大值
C．把函数y＝sin x的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数y＝f(x)的图象
D．把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得到g(x)＝sin的图象
【典例2】设ω>0，将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度后，所得图象与原图象重合，则ω的最小值为(　　)
A．3 B．6 C．9 D．12
【典例3】要得到函数y＝cos的图象，可以把函数y＝sin的图象(　　)
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
【题型二】由图象确定函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式
【典例1】（多选）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋4φ）的部分图象如图所示，若将函数f（x）的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列命题正确的是（　　）
A.函数f（x）的解析式为f（x）＝2sin
B.函数g（x）的解析式为g（x）＝2sin
C.函数f（x）图象的一条对称轴是直线x＝－
D.函数g（x）在区间上单调递增
【典例2】已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋b
的大致图象如图所示，将函数f(x)的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，再向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的单调递增区间为(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
【典例3】把函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，已知函数g(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)等于(　　)
A．sin B．sin
C．sin D．sin
【题型三】图象与性质的综合应用
【典例1】已知函数f（x）＝sin（ωx＋θ）的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后得到偶函数g（x）的图象，则函数f（x）的一个单调递减区间为（　　）
A. B.
C. D.
【典例2】函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，A(0，)，C(2,0)，并且AB∥x轴．
(1)求ω和φ的值；
(2)求cos∠ACB的值．
【题型四】函数的零点（方程的根）的问题
【典例1】已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是　　　　Ｗ.
【典例2】若函数f（x）＝sin（ω>0）满足f（0）＝f，且函数在上有且只有一个零点，则f（x）的最小正周期为　　　　Ｗ.
【题型五】三角函数模型
【典例1】(多选)(2022·福州模拟)如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，则(　　)
A．点P第一次到达最高点需要20秒
B．当水轮转动155秒时，点P距离水面2米
C．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米
D．点P距离水面的高度h(米)与t(秒)的函数解析式为h＝4cos＋2
【典例2】如图，点A，B分别是圆心在坐标原点，半径为1和2的圆上的动点.动点A从初始位置A0开始，按逆时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动，同时点B从初始位置B0（2，0）开始，按顺时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动.记t时刻，点A，B的纵坐标分别为y1，y2.
（1）求t＝时，A，B两点间的距离；
（2）若y＝y1＋y2，求y关于时间t（t＞0）的函数关系式，并求当t∈时，y的取值范围.
【练真题】
【真题1】(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f ＝______.
【真题2】(2020·全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝cos在[－π，π]上的图象大致如下图，则f(x)的最小正周期为(　　)
A. B. C. D.
【真题3】(2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)＝(　　)
A.sin B.sin
C.sin D.sin
【真题4】(2018·全国Ⅲ)函数f(x)＝cos在[0，π]上的零点个数为______．
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 函数y＝sin在区间上的简图是(　　)
2. 函数y＝sin的图象向左平移φ个单位长度，得到的函数是偶函数，则φ的最小正值是(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
3. 函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f的值是(　　)
A．－　　　　　　　　　　 B．
C．1 D．
4. 已知P(1，2)是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)图象的一个最高点，B，C是与P相邻的两个最低点．设∠BPC＝θ，若tan＝，则f(x)图象的对称中心可以是(　　)
A．(0，0) B．(1，0)
C． D．
【多选题】
5. 分别对函数y＝sin x的图象进行如下变换：①先向左平移个单位长度，然后将其上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到y＝f(x)的图象；②先将其上各点的横坐标缩短到原来的倍，然后向左平移个单位长度，得到y＝g(x)的图象．则以下结论正确的是(　　)
A．f(x)与g(x)的图象重合
B.为f(x)图象的一个对称中心
C．直线x＝－为函数g(x)图象的一条对称轴
D．f(x)的图象向左平移个单位长度可得g(x)的图象
6. 如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)＝(　　)
A．sin B．sin
C．cos D．cos
【填空题】
7. 将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是________．
8. 函数y＝cos(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin的图象重合，则φ＝________．
【解答题】
9. 已知函数f（x）＝－cos＋1－2sin2x.
（1）用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数f（x）在[0，π]上的图象；
（2）先将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）图象的对称中心.
10. 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期是π，且当x＝时，f(x)取得最大值2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)；
(3)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？
11. 已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）＋1，函数f（x）的图象上两相邻对称轴之间的距离为，　　　　.
（1）在①函数f（x）的图象的一条对称轴为直线x＝－，②函数f（x）的图象的一个对称中心为点，③函数f（x）的图象经过点这三个条件中任选一个补充至横线上，然后确定函数的解析式；
（2）若动直线x＝t，t∈[0，π]与函数f（x）和函数g（x）＝2sin xcos x的图象分别交于P，Q两点，求线段PQ长度的最大值及此时t的值.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【测能力】
【单选题】
1. 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象如图，则f(x)的解析式和S＝f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＋f(2 023)的值分别为(　　)
A．f(x)＝sin 2πx＋1，S＝2 023
B．f(x)＝sin 2πx＋1，S＝2 023
C．f(x)＝sin x＋1，S＝2 024
D．f(x)＝sin x＋1，S＝2 024
2. 设函数f（x）＝sin（ω＞0）的部分图象如图所示，且满足f（2）＝0.则f（x）的最小正周期为（　　）
A. B.16 C. D.
3. 将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数g(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象．已知函数g(x)的部分图象如图所示，则(　　)
A．函数f(x)的最小正周期为，最大值为2
B．函数f(x)的最小正周期为π，图象关于点中心对称
C．函数f(x)的最小正周期为，图象关于直线x＝对称
D．函数f(x)的最小正周期为π，在区间上单调递减
4. 将函数f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＋的图象向左或向右平移a(a>0)个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，若g＝g(x)对任意实数x成立，则实数a的最小值为(　　)
A. B. C. D.
【多选题】
5. 关于函数f(x)＝2cos2x－cos－1的描述正确的是(　　)
A．其图象可由y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到
B．f(x)在上单调递增
C．f(x)在[0，π]上有3个零点
D．f(x)在上的最小值为－
6. 已知P(1，2)是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)图象的一个最高点，B，C是与P相邻的两个最低点．设∠BPC＝θ，若tan＝，则下列说法正确的是(　　)
A．A＝2
B．f(x)的最小正周期为6
C．φ＝
D.是f(x)图象的一个对称中心
【填空题】
7. 定义运算＝a1a4－a2a3，将函数f(x)＝(ω>0)的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则ω的最小值是________．
8. 如图，将绘有函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若A，B之间的空间距离为，则f(－1)＝________．
【解答题】
9. 设函数f(x)＝sin＋sin，其中0<ω<3.已知f＝0.
(1)求ω；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．
10. 如图，点A，B分别是圆心在坐标原点，半径为1和2的圆上的动点．动点A从初始位置A0开始，按逆时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动，同时点B从初始位置B0(2，0)开始，按顺时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动．记t时刻，点A，B的纵坐标分别为y1，y2.
(1)求t＝时，A，B两点间的距离；
(2)若y＝y1＋y2，求y关于时间t(t＞0)的函数关系式，并求当t∈时，y的取值范围．
11. 已知函数f(x)＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx＋b＋1.
(1)若函数f(x)的图象关于直线x＝对称，且ω∈[0，3]，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)在(1)的条件下，当x∈[0，]时，函数f(x)有且只有一个零点，求实数b的取值范围．
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第四单元第6讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
题型二：由图象确定函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式
题型三：图象与性质的综合应用
题型四：函数的零点（方程的根）的问题
题型五：三角函数模型
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空2题 填空2题
解答3题 解答3题
一、【讲】
【讲知识】
1.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)一个周期内的简图时，要找五个关键点
x － －＋ －
ωx＋φ 0 π 2π
y＝Asin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
2.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径
3.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
【讲方法】
1.由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
2.当x的系数不为1时，特别注意先提取系数，再加减．
3.y＝Asin(ωx＋φ)中φ的确定方法
(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．
4.研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．
5.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
6.三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．
二、【练】
【练题型】
【题型一】函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
【典例1】(多选)已知函数f(x)＝sin.下列结论正确的是(　　)
A．f(x)的最小正周期为2π
B．f 是f(x)的最大值
C．把函数y＝sin x的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数y＝f(x)的图象
D．把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得到g(x)＝sin的图象
【解析】T＝＝2π，故A正确．
当x＋＝＋2kπ(k∈Z)，
即x＝＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，故B错误．
y＝sin x的图象y＝sin的图象，故C正确．
f(x)＝sin图象上所有点的g(x)＝sin的图象，故D错误．
故选AC.
【典例2】设ω>0，将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度后，所得图象与原图象重合，则ω的最小值为(　　)
A．3 B．6 C．9 D．12
【解析】将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度后，所得图象与原图象重合，
故为函数y＝sin的周期，
即＝(k∈N*)，
则ω＝12k(k∈N*)，
故当k＝1时，ω取得最小值12.
故选D.
【典例3】要得到函数y＝cos的图象，可以把函数y＝sin的图象(　　)
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
【解析】函数y＝cos
＝sin
＝sin
＝sin，
所以只需将y＝sin的图象向左平移个单位长度就可以得到y＝cos的图象．
故选D.
【题型二】由图象确定函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式
【典例1】（多选）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋4φ）的部分图象如图所示，若将函数f（x）的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列命题正确的是（　　）
A.函数f（x）的解析式为f（x）＝2sin
B.函数g（x）的解析式为g（x）＝2sin
C.函数f（x）图象的一条对称轴是直线x＝－
D.函数g（x）在区间上单调递增
【解析】由题图可知，A＝2，＝π，
所以T＝4π＝，
解得ω＝，故f（x）＝2sin.
因为图象过点C（0，1），
所以1＝2sin 4φ，即sin 4φ＝.
因为0＜φ＜，所以0＜4φ＜，
所以4φ＝，
故f（x）＝2sin.故A正确；
若其纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，
所得到的函数解析式为y＝2sin，
再向右平移个单位长度，所得到的函数解析式为
g（x）＝2sin＝2sin，故B正确；
当x＝－时，f＝2sin 0＝0，
即x＝－时，
f（x）不是最值，故x＝－不是函数f（x）的一条对称轴，故C错误；
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋（k∈Z），
得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），
故函数g（x）的单调递增区间是
（k∈Z），
当k＝1时，g（x）在区间上单调递增.
故D正确.
故选ABD.
【典例2】已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋b
的大致图象如图所示，将函数f(x)的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，再向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的单调递增区间为(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
【解析】依题意，
解得
故f(x)＝2cos(ωx＋φ)－1，
而f ＝1，f ＝－1，
∴＝－＝，
故T＝π＝，则ω＝2；
∴2cos－1＝1，
故＋φ＝2kπ(k∈Z)，
又|φ|<，故φ＝－，
∴f(x)＝2cos－1；
将函数f(x)的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，
得到y＝2cos－1，
再向左平移个单位长度，
得到g(x)＝2cos－1
＝2cos－1，
令－π＋2kπ≤x＋≤2kπ(k∈Z)，故－＋3kπ≤x≤－＋3kπ(k∈Z)，故函数g(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
故选C.
【典例3】把函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，已知函数g(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)等于(　　)
A．sin B．sin
C．sin D．sin
【解析】先根据函数图象求函数g(x)＝Asin(ωx＋φ)的解析式，
由振幅可得A＝1，
显然＝－＝，
所以T＝π，所以＝π，所以ω＝2，
所以g(x)＝sin(2x＋φ)，
再由g＝sin＝0，
由|φ|<可得φ＝－，
所以g(x)＝sin，
反向移动先向左平移个单位长度可得
sin＝sin，
再将横坐标伸长到原来的2倍可得
f(x)＝sin.
故选D.
【题型三】图象与性质的综合应用
【典例1】已知函数f（x）＝sin（ωx＋θ）的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后得到偶函数g（x）的图象，则函数f（x）的一个单调递减区间为（　　）
A. B.
C. D.
【解析】因为函数f（x）＝sin（ωx＋θ）的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，所以＝，即T＝π，即＝π，ω＝2，得f（x）＝sin（2x＋θ），将f（x）的图象向左平移个单位长度后，得到g（x）＝sin的图象，因为g（x）为偶函数，所以＋θ＝kπ＋（k∈Z），解得θ＝kπ＋（k∈Z）.
又因为－≤θ≤，所以θ＝，
所以f（x）＝sin.
令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ（k∈Z），
解得＋kπ≤x≤＋kπ（k∈Z）.
当k＝0时，得到一个单调递减区间为.
又 .
故选B.
【典例2】函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，A(0，)，C(2,0)，并且AB∥x轴．
(1)求ω和φ的值；
(2)求cos∠ACB的值．
【解析】(1)由已知得f(0)＝2sin φ＝，又|φ|<，
所以φ＝，所以f(x)＝2sin.因为f(2)＝0，即2sin＝0，所以2ω＋＝kπ，k∈Z，
解得ω＝π－，k∈Z，而0<ω<，所以ω＝.
(2)由(1)知，f(x)＝2sin，令f(x)＝，
得x＋＝2kπ＋或x＋＝2kπ＋，k∈Z，
所以x＝6k或x＝6k＋1，k∈Z.由题图可知，B(1，)．所以＝(－2，)，＝(－1，)，所以||＝，||＝2，所以cos∠ACB＝＝＝.
【题型四】函数的零点（方程的根）的问题
【典例1】已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是　　　　Ｗ.
【解析】方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0可转化为m＝1－2sin2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x＝2sin，x∈.设2x＋＝t，则t∈，所以题目条件可转化为＝sin t，t∈有两个不同的实数根.所以y1＝和y2＝sin t，t∈的图象有两个不同交点，如图：
由图象观察知，的取值范围是，故m的取值范围是（－2，－1）.
【典例2】若函数f（x）＝sin（ω>0）满足f（0）＝f，且函数在上有且只有一个零点，则f（x）的最小正周期为　　　　Ｗ.
【解析】因为f（0）＝f，所以x＝是f（x）图象的一条对称轴，所以f＝±1，所以ω＋＝＋kπ，k∈Z，所以ω＝6k＋2，k∈Z，所以T＝（k∈Z）.又f（x）在上有且只有一个零点，所以≤≤－，所以≤T≤，所以≤≤（k∈Z），所以－≤k≤，又因为k∈Z，所以k＝0，所以T＝π.
【题型五】三角函数模型
【典例1】(多选)(2022·福州模拟)如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，则(　　)
A．点P第一次到达最高点需要20秒
B．当水轮转动155秒时，点P距离水面2米
C．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米
D．点P距离水面的高度h(米)与t(秒)的函数解析式为h＝4cos＋2
【解析】设点P距离水面的高度h(米)和时间t(秒)的函数解析式为
h＝Asin(ωt＋φ)＋B，
由题意得
解得
故h＝4sin＋2.故D错误；
对于A，令h＝6，即h＝4sin＋2＝6，
解得t＝20，故A正确；
对于B，令t＝155，代入h＝4sin＋2，
解得h＝2，故B正确；
对于C，令t＝50，代入h＝4sin＋2，
解得h＝－2，故C正确．
故选ABC.
【典例2】如图，点A，B分别是圆心在坐标原点，半径为1和2的圆上的动点.动点A从初始位置A0开始，按逆时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动，同时点B从初始位置B0（2，0）开始，按顺时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动.记t时刻，点A，B的纵坐标分别为y1，y2.
（1）求t＝时，A，B两点间的距离；
（2）若y＝y1＋y2，求y关于时间t（t＞0）的函数关系式，并求当t∈时，y的取值范围.
【解析】（1）连接AB，OA，OB（图略），
当t＝时，∠xOA＝＋＝，∠xOB＝，
所以∠AOB＝.
又OA＝1，OB＝2，
所以AB2＝12＋22－2×1×2cos ＝7，
即A，B两点间的距离为.
（2）依题意，y1＝sin，y2＝－2sin 2t，
所以y＝sin－2sin 2t＝cos 2t－sin 2t＝cos，
即函数关系式为y＝cos（t＞0），
当t∈时，2t＋∈，
所以cos∈，
故当t∈时，y∈.
【练真题】
【真题1】(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f ＝______.
【解析】由题意可得，T＝－＝，
∴T＝π，ω＝＝2，
当x＝时，ωx＋φ＝2×＋φ＝2kπ，k∈Z，
∴φ＝2kπ－π(k∈Z)．
令k＝1可得φ＝－，
据此有f(x)＝2cos，
f ＝2cos＝2cos ＝－.
【真题2】(2020·全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝cos在[－π，π]上的图象大致如下图，则f(x)的最小正周期为(　　)
A. B. C. D.
【解析】由题图知，f＝0且f(－π)<0，f(0)>0，
所以－ω＋＝－(ω>0)，解得ω＝，
所以f(x)的最小正周期为T＝＝.
故选C.
【真题3】(2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)＝(　　)
A.sin B.sin
C.sin D.sin
【解析】依题意，将y＝sin的图象向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f(x)的图象，
所以y＝sin的图象
f（x）＝sin的图象．
故选B.
【真题4】(2018·全国Ⅲ)函数f(x)＝cos在[0，π]上的零点个数为______．
【解析】由题意可知，当3x＋＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)＝cos＝0.
∵x∈[0，π]，
∴3x＋∈，
∴当3x＋的取值为，，时，f(x)＝0，
即函数f(x)＝cos在[0，π]上的零点个数为3.
故选BCD.
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 函数y＝sin在区间上的简图是(　　)
【解析】令x＝0，得y＝sin＝－，排除B，D.令x＝，得y＝sin＝0，排除C.
故选A.
2. 函数y＝sin的图象向左平移φ个单位长度，得到的函数是偶函数，则φ的最小正值是(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
【解析】函数y＝sin向左平移φ个单位长度可得y＝sin，
因为y＝sin是偶函数，
所以2φ＋＝＋kπ，k∈Z，φ＝＋，k∈Z，
由k＝0可得φ的最小正值是.
故选A.
3. 函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f的值是(　　)
A．－　　　　　　　　　　 B．
C．1 D．
【解析】由题意可知该函数的周期为，所以＝，ω＝2，f(x)＝tan 2x，所以f＝tan＝.
故选D.
4. 已知P(1，2)是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)图象的一个最高点，B，C是与P相邻的两个最低点．设∠BPC＝θ，若tan＝，则f(x)图象的对称中心可以是(　　)
A．(0，0) B．(1，0)
C． D．
【解析】如图，连接BC，设BC的中点为D，E，F为与点P最近的函数f(x)的图象与x轴的交点，即函数f(x)图象的两个对称中心，连接PD，则由题意知|PD|＝4，∠BPD＝∠CPD＝，PD⊥BC，所以tan∠BPD＝tan＝＝＝，所以|BD|＝3.由函数f(x)图象的对称性知xE＝1－＝－，xF＝1＋＝，所以E，F，所以函数f(x)图象的对称中心可以是.
故选D．
【多选题】
5. 分别对函数y＝sin x的图象进行如下变换：①先向左平移个单位长度，然后将其上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到y＝f(x)的图象；②先将其上各点的横坐标缩短到原来的倍，然后向左平移个单位长度，得到y＝g(x)的图象．则以下结论正确的是(　　)
A．f(x)与g(x)的图象重合
B.为f(x)图象的一个对称中心
C．直线x＝－为函数g(x)图象的一条对称轴
D．f(x)的图象向左平移个单位长度可得g(x)的图象
【解析】①将y＝sin x的图象向左平移个单位长度得到y＝sin的图象，再将y＝sin的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到f(x)＝sin的图象；②将y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到y＝sin 2x的图象，再将其图象向左平移个单位长度，得到g(x)＝sin＝sin的图象．故选项A不正确．令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝π－(k∈Z)，令k＝1，则可知选项B正确；令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，令k＝－1，则可知选项C正确．又g(x)＝sin＝sin＝f，所以f(x)的图象向左平移个单位长度可得g(x)的图象，故选项D正确.
故选BCD.
6. 如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)＝(　　)
A．sin B．sin
C．cos D．cos
【解析】由题图可知，函数的最小正周期T＝2＝π，所以＝π，ω＝±2.当ω＝2时，y＝sin(2x＋φ)，将点代入得，sin＝0，所以2×＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，故y＝sin.由于y＝sin＝sin[π－(2x＋)]＝sin，故选项B正确；y＝sin(－2x)＝cos ＝cos，选项C正确；对于选项A，当x＝时，sin＝1≠0，错误；对于选项D，当x＝＝时，cos＝1≠－1，错误．当ω＝－2时，y＝sin(－2x＋φ)，将代入，得sin(－2×＋φ)＝0，结合函数图象，知－2×＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，得φ＝＋2kπ，k∈Z，所以y＝sin，但当x＝0时，y＝sin(－2x＋)＝－＜0，与图象不符合，舍去．综上.
故选BC.
【填空题】
7. 将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是________．
【解析】y＝sin xy＝
siny＝sin.
8. 函数y＝cos(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin的图象重合，则φ＝________．
【解析】把函数y＝cos (2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移个单位后，得到y＝cos (2x－π＋φ)的图象，
与函数y＝sin的图象重合，则cos (2x－π＋φ)＝sin，
即sin＝sin，所以－＋φ＝－，则φ＝，
【解答题】
9. 已知函数f（x）＝－cos＋1－2sin2x.
（1）用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数f（x）在[0，π]上的图象；
（2）先将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）图象的对称中心.
【解析】（1）f（x）＝－cos＋1－2sin2x＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.
列表如下：
x 0 π
f（x） 1 2 0 －2 0 1
描点、连线，函数f（x）在区间[0，π]上的图象如图.
（2）将函数f（x）＝2sin的图象向右平移个单位后得到y＝2sin＝2sin的图象，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g（x）＝2sin的图象.
由－＝kπ（k∈Z）得x＝2kπ＋（k∈Z），故g（x）图象的对称中心为
（k∈Z）.
10. 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期是π，且当x＝时，f(x)取得最大值2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)；
(3)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？
【解析】(1)因为函数f(x)的最小正周期是π，
所以ω＝2.
又因为当x＝时，
f(x)取得最大值2，所以A＝2，
同时2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
φ＝2kπ＋，k∈Z，
因为－<φ<，
所以φ＝，
所以f(x)＝2sin.
(2)因为x∈[0，π]，
所以2x＋∈.
列表如下，
2x＋ π 2π
x 0 π
f(x) 1 2 0 －2 0 1
描点、连线得图象．
(3)将y＝sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，
再将y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，
得到函数y＝sin的图象，
再将y＝sin上所有点的纵坐标伸长2倍(横坐标不变)，
得到f(x)＝2sin的图象．
11. 已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）＋1，函数f（x）的图象上两相邻对称轴之间的距离为，　　　　.
（1）在①函数f（x）的图象的一条对称轴为直线x＝－，②函数f（x）的图象的一个对称中心为点，③函数f（x）的图象经过点这三个条件中任选一个补充至横线上，然后确定函数的解析式；
（2）若动直线x＝t，t∈[0，π]与函数f（x）和函数g（x）＝2sin xcos x的图象分别交于P，Q两点，求线段PQ长度的最大值及此时t的值.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【解析】（1）函数f（x）的图象上两相邻对称轴之间的距离为，得该函数的最小正周期
T＝2×＝π，
∴ω＝＝＝2，
此时f（x）＝2sin（2x＋φ）＋1.
若选①函数f（x）的图象的一条对称轴为直线x＝－，则－＋φ＝＋kπ（k∈Z），得φ＝＋kπ（k∈Z）.
∵|φ|<，∴当k＝－1时，φ＝，
此时f（x）＝2sin＋1.
若选②函数f（x）的图象的一个对称中心为点，则＋φ＝kπ（k∈Z），
得φ＝kπ－（k∈Z）.
∵|φ|<，∴当k＝1时，φ＝，
此时f（x）＝2sin＋1.
若选③函数f（x）的图象经过点，
则f＝2sin＋1＝0，
得sin＝－.
∵|φ|<，∴<＋φ<，
∴＋φ＝，解得φ＝，
此时f（x）＝2sin＋1.
（2）由（1）可知，函数f（x）的解析式为
f（x）＝2sin＋1.
令h（x）＝f（x）－g（x）
＝2sin＋1－2sin xcos x
＝2＋1－sin 2x
＝cos 2x＋1≥0，
∴|PQ|＝h（t）＝cos 2t＋1.
∵t∈[0，π]，∴2t∈[0，2π]，
当2t＝0或2t＝2π，即当t＝0或t＝π时，线段PQ的长取到最大值2.
【测能力】
【单选题】
1. 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象如图，则f(x)的解析式和S＝f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＋f(2 023)的值分别为(　　)
A．f(x)＝sin 2πx＋1，S＝2 023
B．f(x)＝sin 2πx＋1，S＝2 023
C．f(x)＝sin x＋1，S＝2 024
D．f(x)＝sin x＋1，S＝2 024
【解析】由图象知
又T＝4，
∴ω＝，b＝1，A＝，
∴f(x)＝sin＋1.
由f(x)的图象过点得
sin＋1＝，
∴cos φ＝1.
∴φ＝2kπ，k∈Z，取k＝0得φ＝0.
∴f(x)＝sin x＋1，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)
＝＋＋＋＝4.
又2 024＝4×506，
∴S＝4×506＝2 024.
故选D.
2. 设函数f（x）＝sin（ω＞0）的部分图象如图所示，且满足f（2）＝0.则f（x）的最小正周期为（　　）
A. B.16 C. D.
【解析】∵f（2）＝0，∴sin＝0，
∴2ω－＝kπ（k∈Z），
∴ω＝kπ＋（k∈Z）.
设函数f（x）＝sin（ω＞0）的最小正周期为T，
由图可知
∵ω＞0，∴∴π＜ω＜，
∵ω＝kπ＋（k∈Z），∴＜k＜.
∵k∈Z，∴k＝2，
∴ω＝π，因此T＝＝.
故选A.
3. 将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数g(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象．已知函数g(x)的部分图象如图所示，则(　　)
A．函数f(x)的最小正周期为，最大值为2
B．函数f(x)的最小正周期为π，图象关于点中心对称
C．函数f(x)的最小正周期为，图象关于直线x＝对称
D．函数f(x)的最小正周期为π，在区间上单调递减
【解析】对于g(x)，由题图可知，A＝2，T＝4＝，所以ω＝＝3，则g(x)＝2sin(3x＋φ)，又由g＝2可得φ＝－＋2kπ，k∈Z，而|φ|<，所以φ＝－.
所以g(x)＝2sin，所以f(x)＝2sin.
所以f(x)的最小正周期为π，选项A，C错误．
对于选项B，令2x＋＝kπ(k∈Z)，所以x＝－，k∈Z，所以函数f(x)图象的对称中心为(k∈Z)，所以选项B是错误的；当x∈时，2x＋∈，所以f(x)在上单调递减，所以选项D正确．
故选D.
4. 将函数f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＋的图象向左或向右平移a(a>0)个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，若g＝g(x)对任意实数x成立，则实数a的最小值为(　　)
A. B. C. D.
【解析】因为f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＋＝sin 2x－cos 2x＝2sin，
则g(x)＝2sin，
由g＝g(x)得函数g(x)的对称轴为x＝，
所以－±2a＝kπ＋，k∈Z，
所以±a＝π＋，k∈Z，
因为a>0，所以当k＝－1时，可得－a＝－，
即a＝，即a的最小值为.
故选D.
【多选题】
5. 关于函数f(x)＝2cos2x－cos－1的描述正确的是(　　)
A．其图象可由y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到
B．f(x)在上单调递增
C．f(x)在[0，π]上有3个零点
D．f(x)在上的最小值为－
【解析】f(x)＝2cos2x－cos－1
＝sin 2x＋cos 2x＝sin，
对于A，由y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，
得到y＝sin＝sin，
故选项A正确；
对于B，令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z，
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，故选项B不正确；
对于C，令f(x)＝0，得2x＋＝kπ，k∈Z，
解得x＝－，k∈Z，
因为x∈，
所以k＝1，x＝π；
k＝2，x＝π，所以f(x)在[0，π]上有2个零点，故选项C不正确；
对于D，因为x∈，
所以2x＋∈，
所以sin∈，
所以f(x)∈，
所以f(x)在上的最小值为－，
故选项D正确．
故选AD.
6. 已知P(1，2)是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)图象的一个最高点，B，C是与P相邻的两个最低点．设∠BPC＝θ，若tan＝，则下列说法正确的是(　　)
A．A＝2
B．f(x)的最小正周期为6
C．φ＝
D.是f(x)图象的一个对称中心
【解析】如图，连接BC，设BC的中点为D，E，F为与点P最近的函数f(x)的图象与x轴的交点，即函数f(x)图象的两个对称中心，连接PD，则由题意知A＝2，A正确；|PD|＝4，∠BPD＝∠CPD＝，PD⊥BC，所以tan∠BPD＝tan ＝＝＝，所以|BD|＝3，|BC|＝6，f(x)的最小正周期为6，B正确；ω＝＝，×1＋φ＝＋2kπ，k∈Z，φ＝＋2kπ，k∈Z，又|φ|＜，故φ＝，C错误；由函数f(x)图象的对称性知，xF＝1＋＝，所以F是f(x)图象的一个对称中心，D正确．
故选ABD.
【填空题】
7. 定义运算＝a1a4－a2a3，将函数f(x)＝(ω>0)的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则ω的最小值是________．
【解析】f(x)＝cos ωx－sin ωx
＝－2sin，
图象向左平移个单位长度得，
g(x)＝－2sin，
g(x)为奇函数，
则－＝kπ，k∈Z，
解得ω＝＋k，k∈Z，
所以ω的最小值为.
8. 如图，将绘有函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若A，B之间的空间距离为，则f(－1)＝________．
【解析】由题设并结合图形可知，
AB＝＝
＝＝，得＝4，则ω＝，
所以f(－1)＝sin(－＋)＝sin ＝.
【解答题】
9. 设函数f(x)＝sin＋sin，其中0<ω<3.已知f＝0.
(1)求ω；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．
【解析】(1)因为f(x)＝sin＋sin，
所以f(x)＝sin ωx－cos ωx－cos ωx
＝sin ωx－cos ωx
＝
＝sin.
由题设知f＝0，所以－＝kπ，k∈Z.
故ω＝6k＋2，k∈Z，又0＜ω＜3，
所以ω＝2.
(2)由(1)得f(x)＝sin，
所以g(x)＝sin＝sin.
因为x∈，所以x－∈，
当x－＝－，
即x＝－时，g(x)取得最小值－.
10. 如图，点A，B分别是圆心在坐标原点，半径为1和2的圆上的动点．动点A从初始位置A0开始，按逆时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动，同时点B从初始位置B0(2，0)开始，按顺时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动．记t时刻，点A，B的纵坐标分别为y1，y2.
(1)求t＝时，A，B两点间的距离；
(2)若y＝y1＋y2，求y关于时间t(t＞0)的函数关系式，并求当t∈时，y的取值范围．
【解析】(1)连接AB，OA，OB，当t＝时，∠xOA＝＋＝，∠xOB＝，所以∠AOB＝.
又OA＝1，OB＝2，所以AB2＝12＋22－2×1×2cos＝7，
即A，B两点间的距离为.
(2)依题意，y1＝sin，y2＝－2sin 2t，
所以y＝sin－2sin 2t＝cos 2t－sin 2t＝cos，
即函数关系式为y＝cos(t＞0)，
当t∈时，2t＋∈，所以cos∈，故当t∈时，y∈.
11. 已知函数f(x)＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx＋b＋1.
(1)若函数f(x)的图象关于直线x＝对称，且ω∈[0，3]，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)在(1)的条件下，当x∈[0，]时，函数f(x)有且只有一个零点，求实数b的取值范围．
【解析】(1)函数f(x)＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx＋b＋1
＝sin 2ωx＋＋b＋1＝sin(2ωx＋)＋＋b.
因为函数f(x)的图象关于直线x＝对称，所以2ω·＋＝kπ＋，k∈Z，且ω∈[0，3]，所以ω＝1.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
(2)由(1)知f(x)＝sin(2x＋)＋＋b.
因为x∈[0，]，所以2x＋∈[，]．
当2x＋∈[，]，即x∈[0，]时，函数f(x)单调递增；当2x＋∈[，]，即x∈[，]时，函数f(x)单调递减．
又f(0)＝f()，所以当f()>0≥f()或f()＝0时，函数f(x)有且只有一个零点，即sin≤－b－21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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