资源简介 初升高之分式与根式资料编号:202307140905本节衔接概况在初中阶段,我们就已经学习了分式的概念和性质,并能进行一些简单的分式的运算或分式与整式的混合运算,通过学习,我们知道了因式分解在分式的学习中始终扮演着非常重要的角色,分式的化简与通分、分式的运算等都要用到因式分解.由于我们学习的因式分解的方法和掌握的乘法公式有限,导致我们所能解决的问题比较单一.在前面,我们补充学习了因式分解的其它方法并拓展了乘法公式,所以再进行分式的运算时,我们能解决的问题也丰富了.在这一节,我们还要补充繁分式的概念,并利用分式的性质对繁分式进行化简.在初中阶段,我们已经学习了二次根式的概念和性质,三次根式的概念和性质,并会进行一些简单的根式的运算,但这远远不够,在本节,我们还要补充学习次根式的概念和性质.在本节,会给出有理化因式的概念,你既要学会分母有理化,还要学会分子有理化.本节知识要点(1)分式的概念和性质;(2)利用分式的性质进行分式的化简与运算;(3)繁分式的概念与化简;(4)二次根式的概念和性质;(5)二次根式的化简与运算;(6)分母(子)有理化;(7)次根式的概念及其性质.分式的概念和性质形如(B中含有字母,且)的式子,叫做分式.分式有意义的条件是.分式具有如下的两条性质:性质1 (); 性质2 ().性质1主要用于分式的通分,把异分母分式化为同分母分式;性质2主要用于分式的化简,把分式化为最简分式.例1. 计算:.分析: 在进行分式的运算时,要对分子和分母分解因式.我们用十字相乘法对多项式分解因式,逆用立方和公式对多项式分解因式,这些是你们在初中不能做到的.解:原式.例2. 先化简,再求值:,其中.分析: 中括号外面的分式,其分子逆用完全立方和公式可分解为,其分母的分解使用分组分解法.解:当时原式.例3. 已知,求的值.分析: 本题考查分式的条件求值,要用到下面的结论:.该结论在高中还常写作:.解:∵∴,∴∴.例4.(1)若,求常数A、B的值;(2)证明:(其中是正整数).(1)解:∴,解之得:;(2)证明:.例5.求分式的最小值.解:∵对于任意实数,≥1∴≤2∴≤,即4≤∴分式的最小值为4.(另解见后面)例6.已知,求的值.解:∵∴∴.例7.已知,,求证:.分析:根据两个已知条件消去,即可得的关系式.证明:∵,∴∴∴∴∴.例8.已知,求证:证明:∵∴均不为0∴.例9.阅读材料:对某些分式,经过一系列的变形之后,可以把分子中的字母“分离”出来,如:(1);(2).按照上面的变形方法,把下列分式中的字母从分子中“分离”出来:(1); (2).解:(1);(2).繁分式的概念和化简分子或分母中含有分式的分式叫做繁分式.如都是繁分式.利用分式的性质可以把繁分式化为普通的分式.例10.化简:.解:.例11.化简:.解:原式.例12.化简:.分析: 题目中出现了很多的,考虑到,为了简化运算,可设.解:设,则:原式.二次根式的概念和性质形如(≥0)的式子,叫做二次根式.二次根式具有如下的性质:性质1(双重非负性) ≥0且≥0.性质2 (≥0).性质3 .性质1主要用于求解二次根式有意义的条件,性质2主要用于二次根式的计算,性质3主要用于二次根式的化简.二次根式的运算性质:性质4 (≥0,≥0).性质5 (≥0,0).例13.若,化简.解:∵∴原式.例14.化简:.分析: 题目涉及到双重二次根式的化简,应考虑最外面根号下的被开方式是否为完全平方式.如:.结论:对于二次根式,若是完全平方数,则也是完全平方数.有些二次根式的化简,需要先变形为,然后再进行化简.解:原式.例15.化简:.解:原式.尝试化简:(1); (2).分母(子)有理化把分母(子)中的根号化去,叫做分母(子)有理化.为了进行分母(子)有理化,需要补充有理化因式的概念:两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积中不含二次根式,我们就称这两个代数式互为有理化因式.如,则与互为有理化因式.分母有理化是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分母中的根号的过程;分子有理化是分子和分母都乘以分子的有理化因式,化去分子中的根号的过程.例16.化简:(1);(2)();(3).分析:对于(1),分子和分母分别乘以分母的有理化因式即可;对于(2),分子和分母分别乘以分母的有理化因式,注意;对于(3),先把两个分子分别化为、,然后逆用立方差、立方和公式分解因式,即可达到化简的目的.解:(1);(2)方法一:∵,∴∴.方法二:.(3).例16.化简:.分析:化简要分为两种情况:和.解:当时,原式;当时,∴原式.例17.计算:.解:原式.例18.已知,求的值.解:∴原式.例19.已知,且,其中。求证:.证明: ∵∴两边分别平方得:整理得:两边再分别平方得:整理得:∵∴两边分别除以得:.分子有理化的问题例20.已知,求的值.分析:要积极发现已知和未知之间的联系.注意到这一事实,于是得到:,或者也可求解.解:∵∴∴∴.例21.已知,(≥1),比较M、N的大小.解: ∵,∴∵∴.尝试练习: 比较和的大小.次根式的概念及其性质一般地,如果,那么叫做的次方根.当是偶数时,正数的偶次方根表示为.次根式的性质:正数有两个相反的偶次方根,负数没有偶次方根;任意一个实数都有唯一一个与它同号的奇次方根.(1).(2)当为奇数时,;当为偶数时,.(3)(≥0);(≥0,≥0)(≥0,)从指数的角度看,,规定:,则.例22.求下列各式的值:(1); (2); (3); (4).解:(1);(2);(3);(4).尝试练习: 求下列各式的值:(1); (2); (3); (4).例23.求值:(1); (2).解:(1);(2).例24.当时,化简的值.解: ∵∴原式.例25.已知(常数),求的值.解: ∵∴.例26.已知,试求的值.解:∵∴∴∴.尝试练习:已知,求下列各式的值:(1); (2).例27.已知,求的值.解: ∵∴.例28.已知,求的值.解: ∵∴.例29.化简:().解:原式.尝试练习:化简:.提示:,. 展开更多...... 收起↑ 资源预览