分式与根式讲义-2023年暑期初升高数学衔接教材

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分式与根式讲义-2023年暑期初升高数学衔接教材

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初升高之分式与根式
资料编号:202307140905
本节衔接概况
在初中阶段,我们就已经学习了分式的概念和性质,并能进行一些简单的分式的运算或分式与整式的混合运算,通过学习,我们知道了因式分解在分式的学习中始终扮演着非常重要的角色,分式的化简与通分、分式的运算等都要用到因式分解.由于我们学习的因式分解的方法和掌握的乘法公式有限,导致我们所能解决的问题比较单一.在前面,我们补充学习了因式分解的其它方法并拓展了乘法公式,所以再进行分式的运算时,我们能解决的问题也丰富了.
在这一节,我们还要补充繁分式的概念,并利用分式的性质对繁分式进行化简.
在初中阶段,我们已经学习了二次根式的概念和性质,三次根式的概念和性质,并会进行一些简单的根式的运算,但这远远不够,在本节,我们还要补充学习次根式的概念和性质.
在本节,会给出有理化因式的概念,你既要学会分母有理化,还要学会分子有理化.
本节知识要点
(1)分式的概念和性质;
(2)利用分式的性质进行分式的化简与运算;
(3)繁分式的概念与化简;
(4)二次根式的概念和性质;
(5)二次根式的化简与运算;
(6)分母(子)有理化;
(7)次根式的概念及其性质.
分式的概念和性质
形如(B中含有字母,且)的式子,叫做分式.
分式有意义的条件是.
分式具有如下的两条性质:
性质1 (); 性质2 ().
性质1主要用于分式的通分,把异分母分式化为同分母分式;性质2主要用于分式的化简,把分式化为最简分式.
例1. 计算:.
分析: 在进行分式的运算时,要对分子和分母分解因式.
我们用十字相乘法对多项式分解因式,逆用立方和公式对多项式分解因式,这些是你们在初中不能做到的.
解:原式
.
例2. 先化简,再求值:,其中.
分析: 中括号外面的分式,其分子逆用完全立方和公式可分解为,其分母的分解使用分组分解法.
解:
当时
原式.
例3. 已知,求的值.
分析: 本题考查分式的条件求值,要用到下面的结论:
.
该结论在高中还常写作:.
解:∵
∴,


.
例4.(1)若,求常数A、B的值;
(2)证明:(其中是正整数).
(1)解:
∴,解之得:;
(2)证明:.
例5.求分式的最小值.
解:
∵对于任意实数,≥1
∴≤2
∴≤,即4≤
∴分式的最小值为4.(另解见后面)
例6.已知,求的值.
解:∵


.
例7.已知,,求证:.
分析:根据两个已知条件消去,即可得的关系式.
证明:∵,




∴.
例8.已知,求证:
证明:∵
∴均不为0

.
例9.阅读材料:
对某些分式,经过一系列的变形之后,可以把分子中的字母“分离”出来,如:
(1);
(2)
.
按照上面的变形方法,把下列分式中的字母从分子中“分离”出来:
(1); (2).
解:(1);
(2)
.
繁分式的概念和化简
分子或分母中含有分式的分式叫做繁分式.
如都是繁分式.
利用分式的性质可以把繁分式化为普通的分式.
例10.化简:.
解:.
例11.化简:.
解:原式.
例12.化简:.
分析: 题目中出现了很多的,考虑到,为了简化运算,可设.
解:设,则:
原式
.
二次根式的概念和性质
形如(≥0)的式子,叫做二次根式.
二次根式具有如下的性质:
性质1(双重非负性) ≥0且≥0.
性质2 (≥0).
性质3 .
性质1主要用于求解二次根式有意义的条件,性质2主要用于二次根式的计算,性质3主要用于二次根式的化简.
二次根式的运算性质:
性质4 (≥0,≥0).
性质5 (≥0,0).
例13.若,化简.
解:∵
∴原式
.
例14.化简:.
分析: 题目涉及到双重二次根式的化简,应考虑最外面根号下的被开方式是否为完全平方式.如:.
结论:对于二次根式,若是完全平方数,则也是完全平方数.
有些二次根式的化简,需要先变形为,然后再进行化简.
解:原式
.
例15.化简:.
解:原式
.
尝试化简:(1); (2).
分母(子)有理化
把分母(子)中的根号化去,叫做分母(子)有理化.
为了进行分母(子)有理化,需要补充有理化因式的概念:两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积中不含二次根式,我们就称这两个代数式互为有理化因式.
如,则与互为有理化因式.
分母有理化是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分母中的根号的过程;分子有理化是分子和分母都乘以分子的有理化因式,化去分子中的根号的过程.
例16.化简:
(1);(2)();(3).
分析:对于(1),分子和分母分别乘以分母的有理化因式即可;
对于(2),分子和分母分别乘以分母的有理化因式,注意;
对于(3),先把两个分子分别化为、,然后逆用立方差、立方和公式分解因式,即可达到化简的目的.
解:(1);
(2)方法一:∵,∴
∴.
方法二:.
(3)
.
例16.化简:.
分析:化简要分为两种情况:和.
解:当时,原式;
当时,
∴原式.
例17.计算:.
解:原式
.
例18.已知,求的值.
解:
∴原式
.
例19.已知,且,其中。
求证:.
证明: ∵

两边分别平方得:
整理得:
两边再分别平方得:
整理得:


两边分别除以得:.
分子有理化的问题
例20.已知,求的值.
分析:要积极发现已知和未知之间的联系.
注意到这一事实,于是得到:
,
或者
也可求解.
解:∵


∴.
例21.已知,(≥1),比较M、N的大小.
解: ∵,


∴.
尝试练习: 比较和的大小.
次根式的概念及其性质
一般地,如果,那么叫做的次方根.
当是偶数时,正数的偶次方根表示为.
次根式的性质:
正数有两个相反的偶次方根,负数没有偶次方根;任意一个实数都有唯一一个与它同号的奇次方根.
(1).
(2)当为奇数时,;
当为偶数时,.
(3)(≥0);
(≥0,≥0)
(≥0,)
从指数的角度看,,规定:,则.
例22.求下列各式的值:
(1); (2); (3); (4).
解:(1);
(2);
(3);
(4).
尝试练习: 求下列各式的值:
(1); (2); (3); (4).
例23.求值:
(1); (2).
解:(1);
(2).
例24.当时,化简的值.
解: ∵
∴原式.
例25.已知(常数),求的值.
解: ∵

.
例26.已知,试求的值.
解:∵


∴.
尝试练习:已知,求下列各式的值:
(1); (2).
例27.已知,求的值.
解: ∵
∴.
例28.已知,求的值.
解: ∵
∴.
例29.化简:().
解:原式
.
尝试练习:化简:.
提示:,.

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