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第四单元第7讲 正弦定理和余弦定理
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：利用正弦定理、余弦定理解三角形
题型二：三角形形状判断
题型三：和三角形面积有关的问题
题型四：求解几何计算问题
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空2题 填空2题
解答3题 解答3题
一、【讲】
【讲知识】
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 余弦定理 正弦定理
公式 a2＝b2＋c2－2bccos__A； b2＝c2＋a2－2cacos__B； c2＝a2＋b2－2abcos__C ＝＝＝2R
常见变形 cos A＝； cos B＝； cos C＝ (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin Ab a≤b
解的个数 一解 两解 一解 一解 无解
3.三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示a边上的高).
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A＝.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).
【讲方法】
1.解三角形问题的技巧
(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．
2.判断三角形形状的两种思路
(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
3.三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
4.平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使用函数思想．
二、【练】
【练题型】
【题型一】利用正弦定理、余弦定理解三角形
【典例1】已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bsin 2A＝asin B，且c＝2b，则等于(　　)
A.2 B.3 C. D.
【解析】由正弦定理及bsin 2A＝asin B，得2sin Bsin Acos A＝sin Asin B，又sin A≠0，sin B≠0，则cos A＝.又c＝2b，所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋4b2－4b2×＝3b2，得＝.
故选D.
【典例2】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________.
【解析】由正弦定理，得sin B＝＝＝，所以B＝45°或135°，因为b【典例3】在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A等于(　　)
A. B. C. D.
【解析】在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
∵b＝c，∴a2＝2b2(1－cos A)，又∵a2＝2b2(1－sin A)，
∴cos A＝sin A，∴tan A＝1，∵A∈(0，π)，∴A＝，
故选C.
【题型二】判断三角形的形状
【典例1】在△ABC中，＝sin2 (a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
【解析】由cos B＝1－2sin2 ，
得sin2 ＝，
所以＝，
即cos B＝.
方法一　由余弦定理得＝，
即a2＋c2－b2＝2a2，
所以a2＋b2＝c2.所以△ABC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等．
方法二　由正弦定理得cos B＝，
又sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
所以cos Bsin C＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
即sin Bcos C＝0，又sin B≠0，
所以cos C＝0，又角C为三角形的内角，
所以C＝，所以△ABC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等．
故选A.
【典例2】在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c依次成等差数列，且B＝，则△ABC的形状为(　　)
A.等边三角形
B.直角边不相等的直角三角形
C.等腰直角三角形
D.钝角三角形
【解析】因为a，b，c依次成等差数列，所以b＝.由余弦定理可得cos B＝＝，将b＝代入上式整理得(a－c)2＝0，所以a＝c.
又B＝，所以△ABC为等边三角形.
故选A.
【典例3】设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为________.
【解析】由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A.
∵A∈(0，π)，∴sin A>0，
∴sin A＝1，即A＝，
∴△ABC为直角三角形.
【题型三】和三角形面积有关的问题
【典例1】若AB＝2，AC＝BC，则S△ABC的最大值为(　　)
A．2 B. C. D．3
【解析】设BC＝x，则AC＝x.根据三角形的面积公式，
得S△ABC＝·AB·BCsin B＝x.①
根据余弦定理，得
cos B＝＝＝.②
将②代入①，得
S△ABC＝x＝.
由三角形的三边关系，得
解得2－2故当x＝2时，S△ABC取得最大值2.
故选A.
【典例2】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B.
(1)证明：A＝2B；
(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小．
【解析】(1)证明　由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B，故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，
于是sin B＝sin(A－B)．
又A，B∈(0，π)，故0所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，
因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.
(2)解　由S＝，得absin C＝，
故有sin Bsin C＝sin A＝sin 2B＝sin Bcos B，
由sin B≠0，得sin C＝cos B.
又B，C∈(0，π)，所以C＝±B.
当B＋C＝时，A＝；
当C－B＝时，A＝.
综上，A＝或A＝.
【典例3】在条件①btan A＝(2c－b)tan B，②cos 2A＋2cos2＝1，③sin B＝2sin C中任选一个，补充到下列问题中，并给出问题解答.
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，________，b＋c＝6，a＝2.
(1)求角A的值；
(2)求△ABC的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【解析】(1)若选①，由于△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且btan A＝(2c－b)tan B，
∴由正弦定理得sin B·＝(2sin C－sin B)·.
∵sin B≠0，∴sin Acos B＝2sin Ccos A－sin Bcos A，
即sin(A＋B)＝2sin Ccos A，
即sin C＝2sin Ccos A.
∵sin C≠0，∴cos A＝.
又0＜A＜π，∴A＝.
若选②，∵cos 2A＋2cos2＝1，
化简可得2cos2A＋cos A＝1，
解得cos A＝或－1，且A∈(0，π)，
∴A＝.
若选③，∵sin B＝2sin C，
即sin B＝2sin C，
可得sin B＝2sin C，
即sin B·＝2sin C，
解得sin A＝.
又∵0＜A＜π，∴A＝或.
当A＝时，A是△ABC的最大内角，则边a为△ABC的最大力.则b＋c＝2a.
这与b＋c＝6，a＝2矛盾，
因此A＝不合题意，舍掉，则A＝.
(2)由(1)及余弦定理可得a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc.
由题知a＝2，b＋c＝6，∴bc＝4，
∴S△ABC＝bcsin A＝×4×sin ＝.
【题型四】求解几何计算问题
【典例1】在△ABC中，B＝30°，AC＝2，D是AB边上的一点，CD＝2，若∠ACD为锐角，△ACD的面积为4，则BC＝ .
【解析】依题意得S△ACD＝CD·AC·sin∠ACD＝2·sin∠ACD＝4，sin∠ACD＝.
又∠ACD是锐角，因此cos∠ACD＝＝ .在△ACD中，AD＝＝4，＝，sin A＝＝ .在△ABC中，＝，BC＝＝4.
【典例2】如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝，AD∶AB＝2∶3，BD＝，AB⊥BC.
(1)求sin∠ABD的值；
(2)若∠BCD＝，求CD的长．
【解析】(1)因为AD∶AB＝2∶3，所以可设AD＝2k，
AB＝3k.又BD＝，∠DAB＝，
所以由余弦定理，得()2＝(3k)2＋(2k)2－2×3k×2kcos ，解得k＝1，所以AD＝2，AB＝3，
sin∠ABD＝＝＝.
(2)因为AB⊥BC，所以cos∠DBC＝sin∠ABD＝，
所以sin∠DBC＝，所以＝，
所以CD＝＝.
【练真题】
【真题1】(2020·全国Ⅲ卷)在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则tan B＝(　　)
A. B.2 C.4 D.8
【解析】由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C＝42＋32－2×4×3×＝9，得AB＝3，所以AB＝BC.过点B作BD⊥AC，交AC于点D，则AD＝AC＝2，BD＝＝，
所以tan ∠ABD＝＝＝，
所以tan ∠ABC＝＝4.
故选C.
【真题2】(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝________.
【解析】由题意得S△ABC＝acsin B＝ac＝，则ac＝4，所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12，所以b2＝a2＋c2－2accos B＝12－2×4×＝8，则b＝2.
【真题3】(2021·全国甲卷)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝(　　)
A.1 B. C. D.3
【解析】由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B，得BC2＋2BC－15＝0，解得BC＝3或BC＝－5(舍去).
故选D.
【真题4】(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则＝(　　)
A．6　　　　　　　　　　　 B．5
C．4 D．3
【解析】由题意及正弦定理得，b2－a2＝－4c2，所以由余弦定理得，cos A＝＝＝－，得＝6.
故选A．
【真题5】(2020·高考天津卷节选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝2，b＝5，c＝.
(1)求角C的大小；
(2)求sin A的值．
【解析】(1)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，b＝5，c＝，有cos C＝＝.又因为C∈(0，π)，所以C＝.
(2)在△ABC中，由正弦定理及C＝，a＝2，c＝，可得sin A＝＝.
【真题6】(2021·新高考Ⅱ卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2.
(1)若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积；
(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
【解析】(1)因为2sin C＝3sin A，所以2c＝3a，又因为c＝a＋2，所以2(a＋2)＝3a，则a＝4，b＝a＋1＝5，c＝a＋2＝6，
所以cos C＝＝，所以C为锐角，则sin C＝＝，
因此S△ABC＝absin C＝×4×5×＝.
(2)显然c>b>a，若△ABC为钝角三角形，则C为钝角，
故由余弦定理可得cos C＝
＝＝
<0，又a>0，
故解得0又由三角形三边关系可得a＋a＋1>a＋2，可得a>1，故1又a为正整数，故a＝2.
【真题7】(2020·高考全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2＋cos A＝.
(1)求A；
(2)若b－c＝a，证明：△ABC是直角三角形．
【解析】(1)由已知得sin2A＋cos A＝，
即cos2A－cos A＋＝0.
所以＝0, cos A＝.
由于0(2)证明：由正弦定理及已知条件可得sin B－sin C＝sin A.
由(1)知B＋C＝，
所以sin B－sin＝sin.
即sin B－cos B＝，sin＝.
由于0【真题8】(2020·北京卷)在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
(1)a的值；
(2)sin C和△ABC的面积.
条件①：c＝7，cos A＝－；
条件②：cos A＝，cos B＝.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
【解析】选条件①：c＝7，cos A＝－，
且a＋b＝11.
(1)在△ABC中，由余弦定理，得
cos A＝＝＝－，
解得a＝8.
(2)∵cos A＝－，A∈(0，π)，∴sin A＝＝＝.
在△ABC中，由正弦定理，得
sin C＝＝＝.
∵a＋b＝11，a＝8，∴b＝3，
∴S△ABC＝absin C＝×8×3×＝6.
选条件②：cos A＝，cos B＝，
且a＋b＝11.
(1)∵A∈(0，π)，B∈(0，π)，cos A＝，cos B＝，
∴sin A＝＝＝，sin B＝＝＝.
在△ABC中，由正弦定理，可得
＝＝＝.
又∵a＋b＝11，∴a＝6，b＝5.
(2)sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B
＝×＋×＝＝.
∴S△ABC＝absin C＝×6×5×＝.
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin B－sin A(sin C＋cos C)＝0，a＝2，c＝，则角C＝(　　)
A. B.
C. D.
【解析】因为A＋C＝π－B，所以sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，因为sin B－sin A(sin C＋cos C)＝0，所以cos Asin C－sin Asin C＝0，因为C∈(0，π)，所以sin C＞0，所以cos A＝sin A，又A∈(0，π)，所以A＝，由正弦定理得＝，又a＝2，c＝，所以sin C＝，因为a＞c，所以C＝.
故选B.
2. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若C＝，a＝4，S△ABC＝2，则＝(　　)
A． B．2
C．2 D．2
【解析】因为C＝，a＝4，S△ABC＝2，所以S△ABC＝absin ＝×4×b×＝2，解得b＝.由余弦定理可得c2＝b2＋a2－2bacos ＝10，c＝.由正弦定理可得＝＝＝2.
故选B.
3. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝且bA．3　　　　　　　　　　 B．2
C．2 D．
【解析】由余弦定理b2＋c2－2bccos A＝a2，得b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4，因为b故选C．
4. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝，c＝4，cos A＝，则△ABC的面积等于(　　)
A．3　　　　　　　　　　 B．
C．9 D．
【解析】因为cos A＝，则sin A＝，所以S△ABC＝×bcsin A＝.
故选B．
【多选题】
5. 已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是(　　)
A.若tan A＋tan B＋tan C＞0，则△ABC是锐角三角形
B.若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰三角形
C.若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形
D.若＝＝，则△ABC是等边三角形
【解析】∵tan A＋tan B
＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)，
∵tan A＋tan B＋tan C＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)＋tan C＝－tan C(1－tan Atan B)＋tan C＝tan Atan Btan C＞0，∴A，B，C均为锐角，∴选项A正确；
由acos A＝bcos B及正弦定理，可得sin 2A＝sin 2B，∴A＝B或A＋B＝，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，∴选项B错误；
由bcos C＋ccos B＝b及正弦定理，
可知sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin B，
∴sin A＝sin B，∴A＝B，则△ABC是等腰三角形，∴选项C正确；
由已知和正弦定理，易知tan A＝tan B＝tan C，A＝B＝C，则△ABC是等边三角形，∴选项D正确.
故选ACD.
6. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c,2bsin A＝acos B，
AB＝2，AC＝2，D为BC的中点，E为AC上的点，且BE为∠ABC的平分线，下列结论正确的是(　　)
A．cos∠BAC＝－ B．S△ABC＝3
C．BE＝2 D．AD＝
【解析】由正弦定理可知
2sin Bsin A＝sin Acos B，
∵sin A≠0，
∴2sin B＝cos B.
又sin2B＋cos2B＝1，
∴sin B＝，cos B＝，
在△ABC中，
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B，
得BC＝6.
A项，
cos∠BAC＝＝
＝－；
B项，S△ABC＝AB·BCsin B＝×2×6×＝2；
C项，由角平分线性质可知＝＝，
∴AE＝.
BE2＝AB2＋AE2－2AB·AEcos A＝4＋－2×2××＝，
∴BE＝；
D项，在△ABD中，
AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos B
＝4＋9－2×2×3×＝5，
∴AD＝.
故选AD.
【填空题】
7. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的值为 ．
【解析】由余弦定理，得＝cos B，
结合已知等式得cos B·tan B＝，
∴sin B＝，又08. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sin B＝，C＝，则b＝ .
【解析】因为sin B＝且B∈(0，π)，
所以B＝或B＝.
又C＝，B＋C<π，
所以B＝，A＝π－B－C＝.
又a＝，由正弦定理得＝，
即＝，
解得b＝1.
【解答题】
9. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C．
(1)求A；
(2)若a＋b＝2c，求C．
【解析】(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.
由余弦定理得cos A＝＝.
因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.
(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，即＋cos C＋sin C＝2sin C，可得cos(C＋60°)＝－.
由于0°＜C＜120°，所以C＋60°＝135°，
即C＝75°.
10. 现给你三个条件．
①tan A＋tan C＝.②b＝sin B．③c＝.
请你选择一个条件，填入下列问题的横线上，并完成问题的解答．
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知______，若△ABC面积的最大值为，求a.
【解析】若选①，由tan A＋tan C＝得＝.
而sin(A＋C)＝sin(180°－B)＝sin B>0，
所以cos C＝，又C∈(0，π)．所以C＝.
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C．
＝a2＋b2－ab≥ab.
所以S△ABC＝absin C≤c2·＝c2.
当且仅当a＝b时，取等号．
由题意得c2＝.所以c＝.此时，a＝b＝c＝.
若选②，b＝sin B由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B．
2sin2 B＝a2＋c2－2accos B≥2ac(1－cos B)，
所以ac≤＝1＋cos B．所以S△ABC＝acsin B≤·(1＋cos B)sin B．当且仅当a＝c时取等号．
由题意得sin B＝.
(1＋cos B)sin B－＝0
令f(B)＝sin B＋sin Bcos B－，B∈(0，π)．
f′(B)＝cos B＋cos2 B－sin2B＝2cos2 B＋cos B－1
＝(cos B＋1)(2cos B－1)，
f′(B)＝0时，B＝.
f′(B)<0时，f′(B)>0时，0即f(B)＝sin B＋sin Bcos B－在上单调递增．
在上单调递减，所以f(B)max＝f＝0.
即f(B)仅有一个零点B＝.
即方程(1＋cos B)sin B－＝0，有B＝.
所以b＝sin ＝，a＝c＝＝.
若选③，c＝.
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C．
所以≥2ab(1－cos C)．所以ab≤.
当且仅当a＝b时取等号，S△ABC＝absin C≤.
由题意得，＝.
即sin C＋cos C＝.所以sin ＝，
由于所以C＋＝.所以C＝.
所以a＝b＝＝.
11. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos B＝bcos A．
(1)求cos B的值；
(2)若a＝2，cos C＝－，求△ABC外接圆的半径R.
【解析】(1)因为cos B＝bcos A，
所以结合正弦定理，得cos B＝sin Bcos A，
所以sin Ccos B＝sin(A＋B)＝sin
C．又因为sin C≠0，所以cos B＝.
(2)由(1)知，sin B＝＝.
因为cos C＝－，
所以sin C＝＝，
所以sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝×＋×＝，
所以R＝·＝×＝.
【测能力】
【单选题】
1. 在△ABC中，已知2acos B＝c, sin Asin B(2－cos C)＝sin2＋，则△ABC为(　　)
A．等边三角形
B．等腰直角三角形
C．锐角非等边三角形
D．钝角三角形
【解析】将已知等式2acos B＝c利用正弦定理化简得2sin Acos B＝sin C，
因为sin C＝sin＝sin Acos B＋cos Asin B，
所以2sin Acos B＝sin Acos B＋cos Asin B，
即sin Acos B－cos Asin B＝sin(A－B)＝0，
因为A与B都为△ABC的内角，
所以A－B＝0，即A＝B.
因为sin Asin B(2－cos C)＝sin2＋，
所以sin Asin B(2－cos C)＝(1－cos C)＋＝1－cos C，
所以－(2－cos C)＝1－cos C，
所以－(－cos C－1)(2－cos C)＝1－cos C，
即(cos C＋1)(2－cos C)＝2－cos C，
整理得cos2C－2cos C＝0，即cos C(cos C－2)＝0，所以cos C＝0或cos C＝2(舍去)，所以C＝90°，则△ABC为等腰直角三角形.
故选B.
2. 在△ABC中，a2＋b2＋c2＝2absin C，则△ABC的形状是(　　)
A．不等腰的直角三角形
B．等腰直角三角形
C．钝角三角形
D．正三角形
【解析】易知a2＋b2＋c2＝a2＋b2＋a2＋b2－2abcos C＝2absin C，即a2＋b2＝2absin，由于a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号，所以2absin≥2ab，sin≥1，故只能a＝b且C＋＝，所以△ABC为正三角形．
故选D.
3. 已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，a＝3，则△ABC的周长的最大值为(　　)
A．2 B．6 C. D．9
【解析】∵a2＝b2＋c2－bc，∴bc＝b2＋c2－a2，∴cos A＝＝，∵A∈(0，π)，∴A＝.∵a＝3，∴由正弦定理得＝＝＝＝2，∴b＝2 sin B，c＝2 sin C，则a＋b＋c＝3＋2sin B＋2 sin C＝3＋2sin B＋2sin＝3＋3sin B＋3cos B＝3＋6sin，∵B∈，∴当B＝时周长取得最大值9.
故选D.
4. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－bc＝a2，bc＝a2，则角C的大小是(　　)
A.或 B.
C. D.
【解析】由b2＋c2－bc＝a2，得b2＋c2－a2＝bc，
则cos A＝＝＝，
因为0由bc＝a2及正弦定理，
得sin Bsin C＝sin2A＝×＝，
即4sin(π－C－A)sin C＝，
即4sin(C＋A)sin C＝4sinsin C＝，
整理得cos 2C＝sin 2C，则tan 2C＝，又0<2C<，
即2C＝或，即C＝或.
故选A.
【多选题】
5. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝ccos A，角A的平分线交BC于点D，AD＝1，cos A＝，则以下结论正确的是(　　)
A．AC＝ B．AB＝8
C．＝ D．△ABD的面积为
【解析】在△ABC中，根据余弦定理得，cos A＝＝，即b2＋a2＝c2，所以C＝，由二倍角公式得cos∠BAC＝2cos2∠CAD－1＝，解得cos∠CAD＝.
在Rt△ACD中，AC＝ADcos∠CAD＝，故选项A正确；
在Rt△ABC中，cos∠BAC＝＝，解得AB＝6，故选项B错误；＝＝，则＝＝，故选项C正确；
在△ABD中，由cos∠BAD＝得，sin∠BAD＝，所以S△ABD＝AD·AB·sin∠BAD＝×1×6×＝，故选项D正确．
故选ACD.
6. 中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即S＝(S为三角形的面积，a，b，c为三角形的三边)．现有△ABC满足sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶，且△ABC的面积S△ABC＝6，则下列结论正确的是(　　)
A．△ABC的周长为10＋2
B．△ABC的三个内角满足A＋B＝2C
C．△ABC的外接圆半径为
D．△ABC的中线CD的长为3
【解析】A项，设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
因为sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶，
所以由正弦定理可得a∶b∶c＝2∶3∶，
设a＝2t，b＝3t，c＝t(t>0)，
因为S△ABC＝6，
所以6＝，
解得t＝2，则a＝4，b＝6，c＝2，
故△ABC的周长为10＋2，A正确；
B项，因为
cos C＝＝＝，
所以C＝，A＋B＝π－＝＝2C，
故B正确；
C项，因为C＝，所以sin C＝，
由正弦定理得2R＝＝＝，
R＝，
C错误；
D项，由余弦定理得
cos B＝＝＝，
在△BCD中，BC＝4，BD＝，
由余弦定理得cos B＝＝，
解得CD＝，D错误．
故选AB.
【填空题】
7. 在平面四边形ABCD中，BC⊥CD，∠B＝，AB＝3，AD＝2，若AC＝3，则CD为 ．
【解析】因为在△ABC中，∠B＝，AB＝3，
AC＝3，
由正弦定理可得＝，
所以sin∠ACB＝＝＝，
又BC⊥CD，所以∠ACB与∠ACD互余，
因此cos∠ACD＝sin∠ACB＝，
在△ACD中，AD＝2，AC＝3，
由余弦定理可得
cos∠ACD＝＝＝，
所以CD2－6CD＋5＝0，
解得CD＝1或CD＝5.
8. 托勒密(Ptolemy)是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知凸四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC，BD是其两条对角线，AB＝AD，∠BAD＝120°，AC＝6，则四边形ABCD的面积为 ．
【解析】在△ABD中，设AB＝a，由余弦定理得
BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD＝3a2，所以BD＝a，
由托勒密定理可得a(BC＋CD)＝AC·a，
即BC＋CD＝AC，
又∠ABD＝∠ACD＝30°，
所以四边形ABCD的面积
S＝BC·ACsin 30°＋CD·ACsin 30°
＝(BC＋CD)·AC＝AC2＝9.
【解答题】
9. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acos B＋bcos A＝ac，sin 2A＝sin A.
(1)求A及a；
(2)若b－c＝2，求BC边上的高．
【解析】(1)因为acos B＋bcos A＝ac，
所以由正弦定理得sin Acos B＋sin Bcos A＝asin C，
所以sin(A＋B)＝asin C，又A＋B＝π－C，所以sin C＝asin C，又sin C＞0，
所以a＝.
因为sin 2A＝sin A，所以2sin Acos A＝sin A，又sin A＞0，所以cos A＝，
因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2)由(1)及余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
得b2＋c2－bc＝7.
将b＝c＋2，代入b2＋c2－bc＝7，得c2＋2c－3＝0，
解得c＝1或c＝－3(舍去)，所以b＝3.
因为＝，所以sin C＝＝，
设BC边上的高为h，则h＝bsin C＝.
10. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2－(b－c)2＝(2－)bc，且sin B＝1＋cos C，BC边上的中线AM的长为.
(1)求角A和角B的大小；
(2)求△ABC的面积．
【解析】(1)由a2－(b－c)2＝(2－)bc，
得a2－b2－c2＝－bc，即b2＋c2－a2＝bc，
∴cos A＝＝，
又0又sin B＝1＋cos C,0∴cos C<0，即C为钝角，
∴B为锐角，且B＋C＝，
则sin＝1＋cos C，化简得cos＝－1，
解得C＝，∴B＝.
(2)由(1)知，a＝b，sin C＝，cos C＝－，
在△ACM中，由余弦定理得
AM2＝b2＋2－2b··cos C
＝b2＋＋＝()2，解得b＝2，
故S△ABC＝absin C＝×2×2×＝.
11. 在①(2a＋b)sin A＋(2b＋a)sin B＝2csin C，②a＝csin A－acos C，③△ABC的面积S△ABC＝(a2＋b2－c2)这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，作为问题的条件，再解答这个问题．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＝，且________，探究三角形ABC的周长l是否存在最大值？若存在，求出l的最大值；若不存在，说明理由．
【解析】若选①，因为(2a＋b)sin A＋(2b＋a)sin B＝2csin C，
所以由正弦定理可得(2a＋b)a＋(2b＋a)b＝2c2，
即a2＋b2－c2＝－ab，所以cos C＝＝－，
因为C∈(0，π)，所以C＝.
又c＝，所以由正弦定理可得＝＝＝2，所以a＝2sin A，b＝2sin B，
则l＝a＋b＋c＝2sin A＋2sin B＋＝2sin A＋2sin＋＝sin A＋cos A＋＝2sin＋，
因为0＜A＜，所以2＜2sin＋≤2＋，
即△ABC的周长l存在最大值，且最大值为2＋.
若选②，因为a＝csin A－acos C，
所以由正弦定理可得sin A＝sin Csin A－sin Acos C，
因为sin A≠0，所以sin C－cos C＝1，
所以sin＝，又0＜C＜π，故C＝，
又c＝，所以由正弦定理可得＝＝＝2，所以a＝2sin A，b＝2sin B，
则l＝a＋b＋c＝2sin A＋2sin B＋＝2sin A＋2sin＋＝3sin A＋cos A＋＝2sin＋，
因为0＜A＜，所以2＜2sin＋≤3，
即△ABC的周长l存在最大值，且最大值为3.
若选③，因为△ABC的面积S△ABC＝(a2＋b2－c2)，
所以absin C＝(a2＋b2－c2)，所以sin C＝×，
由余弦定理可得sin C＝cos C，即tan C＝，
又因为0＜C＜π，故C＝，
又c＝，所以由正弦定理可得＝＝＝2，所以a＝2sin A，b＝2sin B，
则l＝a＋b＋c＝2sin A＋2sin B＋＝2sin A＋2sin＋＝2sin＋，
因为0＜A＜，所以2＜2sin＋≤3，
即△ABC的周长l存在最大值，且最大值为3.
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第四单元第7讲 正弦定理和余弦定理
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：利用正弦定理、余弦定理解三角形
题型二：三角形形状判断
题型三：和三角形面积有关的问题
题型四：求解几何计算问题
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空2题 填空2题
解答3题 解答3题
一、【讲】
【讲知识】
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 余弦定理 正弦定理
公式 a2＝b2＋c2－2bccos__A； b2＝c2＋a2－2cacos__B； c2＝a2＋b2－2abcos__C ＝＝＝2R
常见变形 cos A＝； cos B＝； cos C＝ (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin Ab a≤b
解的个数 一解 两解 一解 一解 无解
3.三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示a边上的高).
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A＝.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).
【讲方法】
1.解三角形问题的技巧
(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．
2.判断三角形形状的两种思路
(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
3.三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
4.平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使用函数思想．
二、【练】
【练题型】
【题型一】利用正弦定理、余弦定理解三角形
【典例1】已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bsin 2A＝asin B，且c＝2b，则等于(　　)
A.2 B.3 C. D.
【典例2】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________.
【典例3】在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A等于(　　)
A. B. C. D.
【题型二】判断三角形的形状
【典例1】在△ABC中，＝sin2 (a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
【典例2】在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c依次成等差数列，且B＝，则△ABC的形状为(　　)
A.等边三角形
B.直角边不相等的直角三角形
C.等腰直角三角形
D.钝角三角形
【典例3】设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为________.
【题型三】和三角形面积有关的问题
【典例1】若AB＝2，AC＝BC，则S△ABC的最大值为(　　)
A．2 B. C. D．3
【典例2】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B.
(1)证明：A＝2B；
(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小．
【典例3】在条件①btan A＝(2c－b)tan B，②cos 2A＋2cos2＝1，③sin B＝2sin C中任选一个，补充到下列问题中，并给出问题解答.
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，________，b＋c＝6，a＝2.
(1)求角A的值；
(2)求△ABC的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【题型四】求解几何计算问题
【典例1】在△ABC中，B＝30°，AC＝2，D是AB边上的一点，CD＝2，若∠ACD为锐角，△ACD的面积为4，则BC＝ .
【典例2】如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝，AD∶AB＝2∶3，BD＝，AB⊥BC.
(1)求sin∠ABD的值；
(2)若∠BCD＝，求CD的长．
【练真题】
【真题1】(2020·全国Ⅲ卷)在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则tan B＝(　　)
A. B.2 C.4 D.8
【真题2】(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝________.
【真题3】(2021·全国甲卷)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝(　　)
A.1 B. C. D.3
【真题4】(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则＝(　　)
A．6　　　　　　　　　　　 B．5
C．4 D．3
【真题5】(2020·高考天津卷节选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝2，b＝5，c＝.
(1)求角C的大小；
(2)求sin A的值．
【真题6】(2021·新高考Ⅱ卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2.
(1)若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积；
(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
【真题7】(2020·高考全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2＋cos A＝.
(1)求A；
(2)若b－c＝a，证明：△ABC是直角三角形．
【真题8】(2020·北京卷)在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
(1)a的值；
(2)sin C和△ABC的面积.
条件①：c＝7，cos A＝－；
条件②：cos A＝，cos B＝.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin B－sin A(sin C＋cos C)＝0，a＝2，c＝，则角C＝(　　)
A. B.
C. D.
2. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若C＝，a＝4，S△ABC＝2，则＝(　　)
A． B．2
C．2 D．2
3. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝且bA．3　　　　　　　　　　 B．2
C．2 D．
4. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝，c＝4，cos A＝，则△ABC的面积等于(　　)
A．3　　　　　　　　　　 B．
C．9 D．
【多选题】
5. 已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是(　　)
A.若tan A＋tan B＋tan C＞0，则△ABC是锐角三角形
B.若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰三角形
C.若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形
D.若＝＝，则△ABC是等边三角形
6. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c,2bsin A＝acos B，
AB＝2，AC＝2，D为BC的中点，E为AC上的点，且BE为∠ABC的平分线，下列结论正确的是(　　)
A．cos∠BAC＝－ B．S△ABC＝3
C．BE＝2 D．AD＝
【填空题】
7. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的值为 ．
8. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sin B＝，C＝，则b＝ .
【解答题】
9. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C．
(1)求A；
(2)若a＋b＝2c，求C．
10. 现给你三个条件．
①tan A＋tan C＝.②b＝sin B．③c＝.
请你选择一个条件，填入下列问题的横线上，并完成问题的解答．
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知______，若△ABC面积的最大值为，求a.
11. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos B＝bcos A．
(1)求cos B的值；
(2)若a＝2，cos C＝－，求△ABC外接圆的半径R.
【测能力】
【单选题】
1. 在△ABC中，已知2acos B＝c, sin Asin B(2－cos C)＝sin2＋，则△ABC为(　　)
A．等边三角形
B．等腰直角三角形
C．锐角非等边三角形
D．钝角三角形
2. 在△ABC中，a2＋b2＋c2＝2absin C，则△ABC的形状是(　　)
A．不等腰的直角三角形
B．等腰直角三角形
C．钝角三角形
D．正三角形
3. 已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，a＝3，则△ABC的周长的最大值为(　　)
A．2 B．6 C. D．9
4. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－bc＝a2，bc＝a2，则角C的大小是(　　)
A.或 B.
C. D.
【多选题】
5. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝ccos A，角A的平分线交BC于点D，AD＝1，cos A＝，则以下结论正确的是(　　)
A．AC＝ B．AB＝8
C．＝ D．△ABD的面积为
6. 中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即S＝(S为三角形的面积，a，b，c为三角形的三边)．现有△ABC满足sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶，且△ABC的面积S△ABC＝6，则下列结论正确的是(　　)
A．△ABC的周长为10＋2
B．△ABC的三个内角满足A＋B＝2C
C．△ABC的外接圆半径为
D．△ABC的中线CD的长为3
【填空题】
7. 在平面四边形ABCD中，BC⊥CD，∠B＝，AB＝3，AD＝2，若AC＝3，则CD为 ．
8. 托勒密(Ptolemy)是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知凸四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC，BD是其两条对角线，AB＝AD，∠BAD＝120°，AC＝6，则四边形ABCD的面积为 ．
【解答题】
9. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acos B＋bcos A＝ac，sin 2A＝sin A.
(1)求A及a；
(2)若b－c＝2，求BC边上的高．
10. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2－(b－c)2＝(2－)bc，且sin B＝1＋cos C，BC边上的中线AM的长为.
(1)求角A和角B的大小；
(2)求△ABC的面积．
11. 在①(2a＋b)sin A＋(2b＋a)sin B＝2csin C，②a＝csin A－acos C，③△ABC的面积S△ABC＝(a2＋b2－c2)这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，作为问题的条件，再解答这个问题．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＝，且________，探究三角形ABC的周长l是否存在最大值？若存在，求出l的最大值；若不存在，说明理由．
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