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第01讲 集合的概念
1．通过实例了解集合的定义，体会元素与集合间的属于关系；
2．能通过自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，感受集合的意义和作用；
一、集合的含义与表示
1、元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．
2、集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．
二、元素的三个特性
1、确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．
【注意】如果元素的界限不明确，即不能构成集合。
例如：著名的科学家、比较高的人、好人、很难的题目等
2、互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．
3、无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．
三、元素与集合关系的判断及应用
1、属于与不属于概念：
（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．
（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a A．
2、常用数集及表示符号
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 或
四、集合的两种表示方法
1、列举法：把集合的所有元素一 一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
【注意】(1)元素与元素之间必须用“，”隔开；(2)集合中的元素必须是明确的．
(3)集合中的元素不能重复；(4)集合中的元素可以是任何事物．
2、描述法：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．
考点一：判断元素是否构成集合
例1．下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A．上课迟到的学生 B．2022年高考数学难题
C．所有有理数 D．小于x的正整数
【答案】B
【解析】对于B中难题没有一个确定的标准，对同一题有人觉得难，但有人觉得不难，
故2022年高考数学难题不能构成集合，组成它的元素是不确定的.
其它选项的对象都可以构成集合.故选：B
【变式训练】下列各选项中能构成集合的是（ ）
A．学生中的跑步能手 B．中国科技创新人才
C．地球周围的行星 D．唐宋散文八大家
【答案】D
【解析】对于A，学生中的跑步能手不具有确定性，所以不能构成集合，所以A错误，
对于B，中国科技创新人才不具有确定性，所以不能构成集合，所以B错误，
对于C，地球周围的行星不具有确定性，所以不能构成集合，所以C错误，
对于D，唐宋散文八大家分别为唐代柳宗元、韩愈和宋代欧阳修、苏洵、苏轼、苏辙、王安石、
曾巩八位，研究的对象是确定的，可能构成集合，所以D正确，故选：D
考点二：判断元素与集合的关系
例2．给出下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】是有理数，是无理数，均为实数，①正确，②错误；
，为自然数及有理数，③④正确.故选：C.
【变式训练】（多选）给出下列关系中正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】因为，，，，所以AD正确.故选：AD.
考点三：集合中元素互异性的应用
例3．设集合，若，则实数m=（ ）
A．0 B． C．0或 D．0或1
【答案】C
【解析】设集合，若，
，或，
当时，，此时；
当时，，此时；
所以或.故选：C
【变式训练】若，则实数a的取值集合为______．
【答案】
【解析】因为，故或或，
当时，，与元素的互异性矛盾，舍；
当时，，符合；
当时，或，根据元素的互异性，符合，
故a的取值集合为.
故答案为：
考点四：用列举法表示集合
例4．方程组的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由方程组，解得：，集合应是点集，正确的形式是.故选：D
【变式训练】集合用列举法表示为________．
【答案】
【解析】因为，，所以的取值可能为1，2，3，6，所以，
故答案为：.
考点五：用描述法表示集合
例5．（多选）集合用描述法可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】是无限集，A错误；
，B正确；
，C正确；
，D正确.故选：BCD.
【变式训练】所有正奇数组成的集合用描述当表示为_________．
【答案】
【解析】因为正奇数除以，余数为，
所以所有正奇数组成的集合用描述当表示为，
故答案为：
1．下列四组对象能构成集合的是（ ）
A．高一年级跑步很快的同学 B．晓天中学足球队的同学
C．晓天镇的大河 D．著名的数学家
【答案】B
【解析】集合元素具有确定性，
高一年级跑步很快的同学、晓天镇的大河、著名的数学家，这三组对象不确定，不能构成集合.
“晓天中学足球队的同学”满足集合元素的：确定性、互异性、无序性，
所以“晓天中学足球队的同学”能够构成集合.故选：B
2．已知集合,那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知集合，
故，故A正确，D错误，，故B错误，，故C错误，故选：A
3．（多选）已知集合，则下列属于集合A的元素有（ ）
A． B．3 C．4 D．6
【答案】CD
【解析】依题意，是的约数，而的约数有，
即，则，
因为，因此
所以CD正确，AB错误.故选：CD
4．（多选）下列说法中，正确的是（ ）
A．的近似值的全体构成集合 B．自然数集中最小的元素是0
C．在数集中，若，则 D．一个集合中可以有两个相同的元素
【答案】BC
【解析】对于A，的近似值的全体，元素不具有确定性，不能构成一个集合，故A错误；
对于B，由自然数的定义可得B正确；
对于C，若，则，故C正确；
对于D，由集合的互异性可知，一个集合中不可以有两个相同的元素，故D错误.故选:BC
5．（多选）以下命题中正确的是（ ）
A．所有正数组成的集合可表示为
B．大于2020小于2023的整数组成的集合为
C．全部三角形组成的集合可以写成{全部三角形}
D．中的元素比中的元素只多一个元素0，它们都是无限集
【答案】AD
【解析】正数均大于0，故所有正数的集合应表示为，故A正确；
大于2020小于2023的整数组成的集合应表示为
或，故B不正确；
全部三角形组成的集合应表示为{三角形}或{是三角形}，故C不正确；
为自然数集，为正整数集，故中的元素比中的元素只多一个元素0，
它们都是无限集，故D正确.故选：AD.
6．下列各种对象的全体可以构成集合的是______．（填写序号）
①高一（1）班优秀的学生； ②高一年级身高超过1.60m的男生；
③高一（2）班个子较高的女生； ④数学课本中的难题．
【答案】②
【解析】①中“优秀”，③中“个子较高”，④中“难题”不满足构成集合元素的确定性，
而②满足集合元素的性质，故②正确，
故答案为：②.
7．已知集合，，则集合中的元素个数为________．
【答案】
【解析】由题意得：，
中元素个数为.
故答案为：.
8．已知，则实数_______.
【答案】
【解析】若，则，不符合集合元素的互异性，排除；
若，则，可得或（舍），
所以，此时.
故答案为：
9．表示下列集合：
（1）请用列举法表示方程的解集；
（2）请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合；
（3）请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合；
（4）请用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合．
【答案】（1）；（2）；（3），；（4）
【解析】（1）方程的解集为.
（2）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为.
（3）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为，
（4）用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合
为．
10．已知集合.
（1）若A中只有一个元素，求的值；
（2）若A中至少有一个元素，求的取值范围.
【答案】（1）或；（2）
【解析】（1）由题意，当时，，得，
集合A只有一个元素，满足条件；当时，
为一元二次方程，，得，
集合A只有一个元素
A中只有一个元素时或.
（2）由A中至少有一个元素包含两种情况，一个元素和两个元素，
A中有两个元素时，并且，得且，
再结合A中一个元素的情况，的取值范围为.
1．①联合国安全理事会常任理事国；②充分接近的所有实数；③方程的实数解；④中国著名的高等院校.以上对象能构成集合的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③④
【答案】B
【解析】对①，联合国安全理事会常任理事国包括中国、法国、美国、俄罗斯、英国，能构成集合.
对②，充分接近的所有实数，不满足集合的确定性，不能构成集合，
对③，方程，，方程无实根，集合为空集，
对④，中国著名的高等院校，不满足集合的确定性，不能构成集合，故选：B
2．下列元素与集合的关系中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】N表示自然数集，-1不是自然数，故A错；
表示正整数集，0不是正整数，故B正确；
Q表示有理数集，不是有理数，故C错；
R表示实数集，是实数，故D错.故选：B.
3．已知集合 ，，则（ ）
A．-1 B．-3或-1 C．3 D．-3
【答案】D
【解析】由题意， 或 ，
由①得， ，或 ，由② ；
当 时， ，不符合集合描述规则，舍去，
；故选：D.
4．下列说法：①集合用列举法可表示为{－1，0，1}；②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或；③一次函数y＝x＋2和y＝－2x＋8的图像象交点组的集合为{x＝2，y＝4}，正确的个数为（）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】D
【解析】由，得，解得x＝0或x＝1或x＝－1，
又因为，故集合{x∈N|x3＝x}用列举法可表示为{0，1}，故①不正确．
集合表示中的“{}”已包含“所有”“全体”等含义，
而“”表示所有的实数组成的集合，故实数集正确表示应为{x|x为实数}或，故②不正确．
联立，解得，∴一次函数与y＝－2x＋8的图像交点为（2，4），
∴所求集合为且，故③不正确．故选：D.
5．（多选）下列说法中，正确的是（ ）
A．若，则 B．中最小的元素是0
C．的近似值的全体构成一个集合 D．一个集合中不可以有两个相同的元素
【答案】AD
【解析】若，则－a也是整数，即，故A正确；
因为实数集中没有最小的元素，所以B错误；
因为“的近似值”不具有确定性，所以不能构成集合，故C错误；
同一集合中的元素是互不相同的，故D正确.故选：AD.
6．由下列对象组成的集体属于集合的是_____(填序号).
①不超过的所有正整数;②高一(6)班中成绩优秀的同学;③中央一套播出的好看的电视剧;④平方后不等于自身的数.
【答案】①④
【解析】①④中的对象是确定的，可以组成集合，②③中的对象是不确定的，不能组成集合.
故答案为：①④
7．已知集合中含有两个元素和．
（1）若是集合中的元素，试求实数的值；
（2）能否为集合中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由．
【答案】（1）1或；（2）不能，理由见解析
【解析】（1）因为是集合中的元素，
所以或．
若，则，
此时集合含有两个元素，，符合要求；
若，则，
此时集合中含有两个元素，，符合要求．
综上所述，满足题意的实数的值为或．
（2）不能．理由如下：
若为集合中的元素，则或．
当时，解得，此时，显然不满足集合中元素的互异性；
当时，解得，此时显然不满足集合中元素的互异性．
综上，不能为集合中的元素．
8．用另一种方法表示下列集合:
（1）;
（2）;
（3）已知，，写出集合P;
（4）集合，，写出集合B.
【答案】（1）且；（2）
（3）；（4）
【解析】（1）因为均为奇数，所以利用描述法表示为且.
（2）因为均平方形式，所以利用描述法表示为.
（3）因为，，
所以利用列举法表示出.
（4）因为集合，，所以.
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第01讲 集合的概念
1．通过实例了解集合的定义，体会元素与集合间的属于关系；
2．能通过自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，感受集合的意义和作用；
一、集合的含义与表示
1、元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．
2、集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．
二、元素的三个特性
1、确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．
【注意】如果元素的界限不明确，即不能构成集合。
例如：著名的科学家、比较高的人、好人、很难的题目等
2、互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．
3、无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．
三、元素与集合关系的判断及应用
1、属于与不属于概念：
（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．
（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a A．
2、常用数集及表示符号
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 或
四、集合的两种表示方法
1、列举法：把集合的所有元素一 一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
【注意】(1)元素与元素之间必须用“，”隔开；(2)集合中的元素必须是明确的．
(3)集合中的元素不能重复；(4)集合中的元素可以是任何事物．
2、描述法：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．
考点一：判断元素是否构成集合
例1．下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A．上课迟到的学生 B．2022年高考数学难题
C．所有有理数 D．小于x的正整数
【变式训练】下列各选项中能构成集合的是（ ）
A．学生中的跑步能手 B．中国科技创新人才
C．地球周围的行星 D．唐宋散文八大家
考点二：判断元素与集合的关系
例2．给出下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练】（多选）给出下列关系中正确的有（ ）
A． B． C． D．
考点三：集合中元素互异性的应用
例3．设集合，若，则实数m=（ ）
A．0 B． C．0或 D．0或1
【变式训练】若，则实数a的取值集合为______．
考点四：用列举法表示集合
例4．方程组的解集是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】集合用列举法表示为________．
考点五：用描述法表示集合
例5．（多选）集合用描述法可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】所有正奇数组成的集合用描述当表示为_________．
1．下列四组对象能构成集合的是（ ）
A．高一年级跑步很快的同学 B．晓天中学足球队的同学
C．晓天镇的大河 D．著名的数学家
2．已知集合,那么（ ）
A． B． C． D．
3．（多选）已知集合，则下列属于集合A的元素有（ ）
A． B．3 C．4 D．6
4．（多选）下列说法中，正确的是（ ）
A．的近似值的全体构成集合 B．自然数集中最小的元素是0
C．在数集中，若，则 D．一个集合中可以有两个相同的元素
5．（多选）以下命题中正确的是（ ）
A．所有正数组成的集合可表示为
B．大于2020小于2023的整数组成的集合为
C．全部三角形组成的集合可以写成{全部三角形}
D．中的元素比中的元素只多一个元素0，它们都是无限集
6．下列各种对象的全体可以构成集合的是______．（填写序号）
①高一（1）班优秀的学生； ②高一年级身高超过1.60m的男生；
③高一（2）班个子较高的女生； ④数学课本中的难题．
7．已知集合，，则集合中的元素个数为________．
8．已知，则实数_______.
9．表示下列集合：
（1）请用列举法表示方程的解集；
（2）请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合；
（3）请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合；
（4）请用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合．
10．已知集合.
（1）若A中只有一个元素，求的值；
（2）若A中至少有一个元素，求的取值范围.
1．①联合国安全理事会常任理事国；②充分接近的所有实数；③方程的实数解；④中国著名的高等院校.以上对象能构成集合的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③④
2．下列元素与集合的关系中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合 ，，则（ ）
A．-1 B．-3或-1 C．3 D．-3
4．下列说法：①集合用列举法可表示为{－1，0，1}；②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或；③一次函数y＝x＋2和y＝－2x＋8的图像象交点组的集合为{x＝2，y＝4}，正确的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
5．（多选）下列说法中，正确的是（ ）
A．若，则 B．中最小的元素是0
C．的近似值的全体构成一个集合 D．一个集合中不可以有两个相同的元素
6．由下列对象组成的集体属于集合的是_____(填序号).
①不超过的所有正整数;②高一(6)班中成绩优秀的同学;③中央一套播出的好看的电视剧;④平方后不等于自身的数.
7．已知集合中含有两个元素和．
（1）若是集合中的元素，试求实数的值；
（2）能否为集合中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由．
8．用另一种方法表示下列集合:
（1）;
（2）;
（3）已知，，写出集合P;
（4）集合，，写出集合B.
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