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第02讲 集合间的基本关系
1．能识别给定集合的子集，理解子集、真子集的概念，并掌握其记法和读法；
2．理解两个集合相等的含义，会用子集的观点来解释两个集合相等；
3．在具体情境中了解空集的含义并理解空集是任何集合的子集这一规定；
4．初步认识Venn图，会用Venn图来表示两个集合的关系。
一、子集的概念
1、子集的定义：对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B(或B A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)．
2、真子集：如果集合A是集合B的子集，但存在元素x∈B，且，就称集合A是集合B的真子集。记作AB或(BA)
3、集合相等：一般地，如果集合A的任何一个元素都是B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作
二、空集
1、定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集．
2、0，{0}，，的关系
与0 与{0} 与
相同点 都表示无 的意思 都是集合 都是集合
不同点 是集合； 0是实数 中不含任何元素； {0}含一个元素0 不含任何元素； 含一个元素，该元素是
关系 { }或 ∈{ }
三、子集的性质
（1）规定：空集是任意一个集合的子集．也就是说，对任意集合A，都有 A.
（2）任何一个集合A都是它本身的子集，即A A.
（3）如果A B，B C，则A C.
（4）如果AB，BC，则AC.
【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A B(B≠ )的含参数的问题时，要注意讨论A＝ 和A≠ 两种情况，前者常被忽视1，造成思考问题不全面．
四、子集的个数
如果集合A中含有n个元素，则有
（1）A的子集的个数有2n个．
（2）A的非空子集的个数有2n－1个．
（3）A的真子集的个数有2n－1个．
（4）A的非空真子集的个数有2n－2个．
五、Venn图
用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线。
韦恩图可以直观、形象地表示出集合之间的关系
考点一：判断两个集合的包含关系
例1．下列各式：①，②，③，④，
⑤，其中错误的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练】设，，则（ ）
A． B． C． D．
考点二：确定集合的子集与真子集
例2．集合的真子集的个数是（ ）
A．8 B．7 C．3 D．5
【变式训练】已知集合且，则集合A的子集的个数为（ ）
A．15 B．16 C．31 D．32
考点三：利用集合相等求参数
例3．集合，且，则实数m=________.
【变式训练】设，集合，则___________．
考点四：空集的概念与判断
例4．下列集合中为的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
考点五：根据集合包含关系求参数
例5．（多选）已知集合，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】已知集合.
（1）若，则实数a的值是多少
（2）若，则实数a的取值范围是多少
（3）若B A，则实数a的取值范围是多少
1．下面五个式子中：①；②；③；④；⑤，正确的有（ ）
A．②③④ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．①⑤
2．已知集合，则含有元素0的A的子集个数是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．集合的子集个数为（ ）．
A．4 B．7 C．8 D．16
4．已知集合，表示空集，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．设，，若，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．
6．（多选）下列关系式正确的为（ ）
A． B． C． D．
7．（多选）下列选项中正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．设，，，若，则______．
9．已知集合，，若，则__________.
10．已知集合，且，则实数a的值是_________．
1．如果，那么（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合和，那么（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知集合，则下列集合中是集合A的真子集的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知非空集合M {1，2，3，4，5}，若a∈M，则6-a∈M，那么集合M的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．已知，，若，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
7．（2022·高一课时练习）下列四个集合中，是空集的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知集合，，若，则实数______．
9．（2022秋·高一课时练习）若a，，则________，________.
10．（2022·高一课时练习）已知集合．
（1）若，，求实数的取值范围；
（2）若，，求实数的取值范围．
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第02讲 集合间的基本关系
1．能识别给定集合的子集，理解子集、真子集的概念，并掌握其记法和读法；
2．理解两个集合相等的含义，会用子集的观点来解释两个集合相等；
3．在具体情境中了解空集的含义并理解空集是任何集合的子集这一规定；
4．初步认识Venn图，会用Venn图来表示两个集合的关系。
一、子集的概念
1、子集的定义：对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B(或B A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)．
2、真子集：如果集合A是集合B的子集，但存在元素x∈B，且，就称集合A是集合B的真子集。记作AB或(BA)
3、集合相等：一般地，如果集合A的任何一个元素都是B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作
二、空集
1、定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集．
2、0，{0}，，的关系
与0 与{0} 与
相同点 都表示无 的意思 都是集合 都是集合
不同点 是集合； 0是实数 中不含任何元素； {0}含一个元素0 不含任何元素； 含一个元素，该元素是
关系 { }或 ∈{ }
三、子集的性质
（1）规定：空集是任意一个集合的子集．也就是说，对任意集合A，都有 A.
（2）任何一个集合A都是它本身的子集，即A A.
（3）如果A B，B C，则A C.
（4）如果AB，BC，则AC.
【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A B(B≠ )的含参数的问题时，要注意讨论A＝ 和A≠ 两种情况，前者常被忽视1，造成思考问题不全面．
四、子集的个数
如果集合A中含有n个元素，则有
（1）A的子集的个数有2n个．
（2）A的非空子集的个数有2n－1个．
（3）A的真子集的个数有2n－1个．
（4）A的非空真子集的个数有2n－2个．
五、Venn图
用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线。
韦恩图可以直观、形象地表示出集合之间的关系
考点一：判断两个集合的包含关系
例1．下列各式：①，②，③，④，
⑤，其中错误的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由元素与集合的关系可知，故①错误；
由集合与集合的关系可知，故②错误；
任何集合都是自身的子集，故③正确；
空集是任何非空集合的子集，故④正确；
集合中的元素具有互异性和无序性，故⑤正确；
综上可得，只有①②错误．故选B．
【变式训练】设，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，因为，
所以集合是由所有奇数的一半组成，
而集合是由所有整数的一半组成，故.故选：B
考点二：确定集合的子集与真子集
例2．集合的真子集的个数是（ ）
A．8 B．7 C．3 D．5
【答案】B
【解析】集合中有3个元素，所以集合的真子集个数为个.故选：B
【变式训练】已知集合且，则集合A的子集的个数为（ ）
A．15 B．16 C．31 D．32
【答案】D
【解析】因为且，可知，集合中含有5个元素，
所以集合的子集个数为.故选：D.
考点三：利用集合相等求参数
例3．集合，且，则实数m=________.
【答案】1或/或1
【解析】因为，且，所以，
由，得，解得或
故答案为：1或
【变式训练】设，集合，则___________．
【答案】2
【解析】根据题意，集合，
又，，即，
故，，则，
故答案为：
考点四：空集的概念与判断
例4．下列集合中为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于A中，由集合中有一个元素，不符合题意；
对于B中，由集合中有一个元素，不符合题意；
对于C中，由方程，即，此时方程无解，可得，符合题意；
对于D中，不等式，解得，，不符合题意.故选：C.
【变式训练】已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】根据元素与集合、集合与集合关系：
是的一个元素，故，①正确；
是任何非空集合的真子集，故、，②③正确；
没有元素，故，④正确；且、，⑤错误，⑥正确；
所以①②③④⑥正确.故选：C
考点五：根据集合包含关系求参数
例5．（多选）已知集合，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】对于A，时，，有，故选项A正确；
对于B，时，，有，故选项B正确；
对于C，时，，有，故选项C正确；
对于D，时，，集合不满足集合元素的互异性，故选项D不正确.故选：ABC.
【变式训练】已知集合.
（1）若，则实数a的值是多少
（2）若，则实数a的取值范围是多少
（3）若B A，则实数a的取值范围是多少
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）因为集合，，所以.
（2）因为，如图，
由图可知，即实数a的取值范围是.
（3）因为B A，如图，
由图可知，即实数a的取值范围是.
1．下面五个式子中：①；②；③；④；⑤，正确的有（ ）
A．②③④ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．①⑤
【答案】C
【解析】①中，是集合中的一个元素，，所以①错误；
②中，空集是任一集合的子集，所以②正确；
③中，是的子集，，所以③错误；
④中，任何集合是其本身的子集，所以④正确；
⑤中，是的元素，所以⑤正确.故选：C.
2．已知集合，则含有元素0的A的子集个数是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【解析】含有元素0的A的子集有，，，，，，，，
故含有元素0的A的子集个数为8.故选：D.
3．集合的子集个数为（ ）．
A．4 B．7 C．8 D．16
【答案】C
【解析】因为，
所以该集合的子集的个数为，故选：C．
4．已知集合，表示空集，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，，，A，B，D正确，
∵表示以为元素的集合，而集合A中不含元素，
∴不是A的子集。故C不对，故选：C.
5．设，，若，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，此不等式组无解.故选：D.
6．（多选）下列关系式正确的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】对于A.元素与集合间是属于与不属于的关系，故A错误；
对于B.含有一个元素0，不是空集，故B错误；
对于C.集合的元素具有无序性，以及任何集合都是它本身的子集，故C正确；
对于D.空集是任何集合的子集，故D正确.故选：CD．
7．（多选）下列选项中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】对A，空集没有任何元素，故A错误；
对B，空集是任何集合的子集，故B正确；
对C，方程无解，故C正确；
对D，由元素构成的集合并不是空集，故D错误.故选：BC
8．设，，，若，则______．
【答案】0或
【解析】当时，，满足，则；
当时，，满足，则；
故答案为：0或
9．已知集合，，若，则__________.
【答案】
【解析】由元素的互异性可得，
当时，，解得，舍去；
当时，，此时，，
此时需要满足，即；
.
故答案为：.
10．已知集合，且，则实数a的值是_________．
【答案】-3
【解析】因为，，，
所以是方程的解，
即，解得.
经检验，符合题意，所以.
故答案为：.
1．如果，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A：是元素，所以故与集合的关系是，故A错误；
对于B：是集合，所以与集合的关系是，故B错误，D正确，
对于C：是集合，所以，故C错误，故选：D．
2．已知集合和，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，得到，
所以，
又，所以，故选：C.
3．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为集合，集合，
所以集合与集合都是奇数集，所以，故选：C.
4．已知集合，则下列集合中是集合A的真子集的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对A，两集合相等，故A选项不是集合A的真子集，
对B，由真子集定义知，是集合A的真子集，
C和D选项的集合里含有不属于集合A的元素，故C,D错误，故选：B.
5．已知非空集合M {1，2，3，4，5}，若a∈M，则6-a∈M，那么集合M的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】∵a∈M，6-a∈M，M {1，2，3，4，5}，
∴3在M中可单独出现，1和5，2和4必须成对出现，逐个分析集合M元素个数：
一个元素时，为{3}；
两个元素时，为{1，5}，{2，4}；
三个元素时，为{3，1，5}，{3，2，4}；
四个元素时，为{1，5，2，4}；
五个元素时，为{1，5，3，2，4}，共7个.故选：C
6．已知，，若，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【解析】若，则或，解得或或，
由集合中元素的互异性，得，
则，故选：C．
7．（2022·高一课时练习）下列四个集合中，是空集的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】选项A，；
选项B，；
选项C，；
选项D，，方程无解，.选:D.
8．已知集合，，若，则实数______．
【答案】1
【解析】由题知,若,则或,
当时,方程无解;
当时,,解得:,
此时,,符合题意,所以.
故答案为：1.
9．（2022秋·高一课时练习）若a，，则________，________.
【答案】；0
【解析】由题意得，，所以，即.
由集合相等得，，所以.
当，时，不满足集合元素的互异性，舍去；
当，时，符合题意.故，.
故答案为：；.
10．（2022·高一课时练习）已知集合．
（1）若，，求实数的取值范围；
（2）若，，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由题可知，，，
①若，则，即；
②若，则，解得：；
综合①②，得实数的取值范围是．
（2）已知，，，
则，解得：，
所以实数的取值范围是．
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