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第03讲 集合的基本运算
1．理解并集、交集、补集、全集的概念与表示；
2．了解并集、交集、补集的一些简单性质，会求两个简单集合的交集与并集，会求给定集合的补集；
3．掌握并集、交集、补集的基本运算与混合运算；
4．通过Venn图来描述集合的相关运算，进一步体会数形结合思想的作用。
一、并集的概念与运算
1、文字语言：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集，
记作A∪B，读作“A并B”
2、符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
3、图形语言：阴影部分为A∪B
4、性质：A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪ ＝ ∪A＝A，如果A B，则A∪B＝B.
二、交集的概念与运算
1、文字语言：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”
2、符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
3、图形语言：阴影部分为A∩B
4、性质：A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩ ＝ ∩A＝ ，如果A B，则A∩B＝A
三、全集与补集的概念与运算
1、全集
（1）文字语言：一般地，如果一个集合包含所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记为U.
（2）符号语言：若，则为全集.
（3）图形语言：
2、补集
（1）文字语言：若集合A是全集U的一个子集，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作.
（2）符号语言：
（3）符号语言：
（4）性质：A∪ UA＝U；A∩ UA＝ ； U( UA)＝A.
四、德摩根律与容斥原理
1、德摩根定律：设集合U为全集，A、B为U的子集，则有
（1）
（2）
2、容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论：
（1）
（2）
五、区间及相关概念
1、一般区间的表示：设a，b是两个实数，而且a在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示.
定义 名称 符号 数轴表示
闭区间
开区间
半开半闭区间
半开半闭区间
2、实数集R
可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，
“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．
3、特殊区间的表示
定义 符号 数轴表示
≥
≤
考点一：求集合的并集
例1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
考点二：求集合的交集
例2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
考点三：求集合的补集
例3．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】已知全集，则（ ）
A． B．或 C． D．或
考点四：交并补综合运算
例4．已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】设全集，，则）等于（ ）
A． B． C． D．
考点五：Venn图在集合运算中的应用
例5．设集合，，则图阴影区域表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】（多选）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A． B． C． D．
考点六：根据集合运算求参数
例6．已知集合，，，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】设集合,
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
考点七：集合运算中的元素个数问题
例7．某班30人，其中17人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，9人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_________．
【变式训练】向50名学生调查对两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多1人.则赞成的不赞成的有_____人.
1．设集合，，则元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．8 D．9
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知全集，集合，，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知集合或，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知集合，，若，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知集合，，若，则（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．2
8．设集合，，能正确表示图中阴影部分的集合是（ ）
A． B． C． D．
9．（多选）已知集合M、N的关系如图所示，则下列结论中正确的（ ）
A． B． C． D．
10．已知集合A＝{x|2a（1）若A∪B＝B，求a的取值范围；
（2）若A∩B＝ ，求a的取值范围．
1．已知全集，则（ ）
A．{1} B．{3} C．{4} D．{1，3，4}
2．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．设全集I是实数集R，或与都是I的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
4．设全集U是实数集R，，都是U的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·高一课时练习）已知全集U，集合A，B为其子集，若，则（ ）
A． B． C．A D．B
6．集合满足，，则集合中的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（多选）已知全集，集合满足 ，则下列选项中正确的有（ ）
A． B． C． D．
8．（多选）某校举办运动会，高一的两个班共有120名同学，已知参加跑步 拔河 篮球比赛的人数分别为58，38，52，同时参加跑步和拔河比赛的人数为18，同时参加拔河和篮球比赛的人数为16，同时参加跑步 拔河 篮球三项比赛的人数为12，三项比赛都不参加的人数为20，则（ ）
A．同时参加跑步和篮球比赛的人数为24
B．只参加跑步比赛的人数为26
C．只参加拔河比赛的人数为16
D．只参加篮球比赛的人数为22
9．已知集合，.
（1）求；
（2）若全集，求及.
10．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0}．
（1）若A∩B＝{2}，求实数a的值；
（2）若A∪B＝A，求实数a的取值范围；
（3）若U＝R，，求实数a的取值范围．
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第03讲 集合的基本运算
1．理解并集、交集、补集、全集的概念与表示；
2．了解并集、交集、补集的一些简单性质，会求两个简单集合的交集与并集，会求给定集合的补集；
3．掌握并集、交集、补集的基本运算与混合运算；
4．通过Venn图来描述集合的相关运算，进一步体会数形结合思想的作用。
一、并集的概念与运算
1、文字语言：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集，
记作A∪B，读作“A并B”
2、符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
3、图形语言：阴影部分为A∪B
4、性质：A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪ ＝ ∪A＝A，如果A B，则A∪B＝B.
二、交集的概念与运算
1、文字语言：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”
2、符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
3、图形语言：阴影部分为A∩B
4、性质：A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩ ＝ ∩A＝ ，如果A B，则A∩B＝A
三、全集与补集的概念与运算
1、全集
（1）文字语言：一般地，如果一个集合包含所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记为U.
（2）符号语言：若，则为全集.
（3）图形语言：
2、补集
（1）文字语言：若集合A是全集U的一个子集，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作.
（2）符号语言：
（3）符号语言：
（4）性质：A∪ UA＝U；A∩ UA＝ ； U( UA)＝A.
四、德摩根律与容斥原理
1、德摩根定律：设集合U为全集，A、B为U的子集，则有
（1）
（2）
2、容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论：
（1）
（2）
五、区间及相关概念
1、一般区间的表示：设a，b是两个实数，而且a在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示.
定义 名称 符号 数轴表示
闭区间
开区间
半开半闭区间
半开半闭区间
2、实数集R
可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，
“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．
3、特殊区间的表示
定义 符号 数轴表示
≥
≤
考点一：求集合的并集
例1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由集合，知．故选：A.
【变式训练】设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】集合，，
则故选：D.
考点二：求集合的交集
例2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，所以.故选：B
【变式训练】设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，又，
所以.故选：C
考点三：求集合的补集
例3．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】集合，
故选：B.
【变式训练】已知全集，则（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】B
【解析】因为，所以或，故选:B.
考点四：交并补综合运算
例4．已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，则，所以．故选：A.
【变式训练】设全集，，则）等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，则，
故，故选：C
考点五：Venn图在集合运算中的应用
例5．设集合，，则图阴影区域表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，图阴影区域表示的集合是,
所以.故选：A.
【变式训练】（多选）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，
所以阴影部分所表示的集合为 ，
再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为，
所以选项AD正确，选项CD不正确，故选：AD.
考点六：根据集合运算求参数
例6．已知集合，，，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由知：，
当，即，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；
当，即或，
若，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；
若，则，，满足要求.
综上，.故选：A
【变式训练】设集合,
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）当时，，；
（2），
当时，满足题意，此时，解得；
当时，解得，
实数m的取值范围为.
考点七：集合运算中的元素个数问题
例7．某班30人，其中17人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，9人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_________．
【答案】11
【解析】设喜欢篮球且喜欢乒乓球的人数为x人，
则只喜爱篮球的有(17－x)人，只喜爱乒乓球的有(10－x)人，
由(17－x)＋(10－x)＋x＋9＝30，解得x＝6，
所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为17－x＝11人．
故答案为：11．
【变式训练】向50名学生调查对两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多1人.则赞成的不赞成的有_____人.
【答案】
【解析】由已知得赞成的人数是，
赞成的人数是，
设都赞成的学生数为，则都不赞成的学生数为，
，解得，
则赞成的不赞成的有人.
故答案为：.
1．设集合，，则元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．8 D．9
【答案】C
【解析】因为集合，，
所以
所以元素的个数为8，故选：C
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，
所以，故选：A.
3．集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为集合，集合，
所以.故选：C.
4．已知全集，集合，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由集合，可得，
又由合， 可得.故选：A.
5．已知集合或，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由，可得或，
所以或.故选：B.
6．已知集合，，若，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，
因为，所以为的子集，所以.故选：A.
7．已知集合，，若，则（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．2
【答案】C
【解析】由题意可得：
若，则，此时，，若，则或符合题意；
若，则，不符合题意.故选:C
8．设集合，，能正确表示图中阴影部分的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，集合，
根据图中阴影部分表示集合中元素除去集合中的元素，即为.故选：B.
9．（多选）已知集合M、N的关系如图所示，则下列结论中正确的（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】由图可知，,A错误；
，B正确；
，C错误；
,D正确，故选:BD.
10．已知集合A＝{x|2a（1）若A∪B＝B，求a的取值范围；
（2）若A∩B＝ ，求a的取值范围．
【答案】（1）a≥；（2）或
【解析】（1）由A∪B＝B，知A B.
若，即，时符合题意．
当时，由题意得得,
综上得a的取值范围是；
（2）当，即时.
当时，由题意得，解得，
综上，的取值范围是或．
1．已知全集，则（ ）
A．{1} B．{3} C．{4} D．{1，3，4}
【答案】A
【解析】由题意得，所以；故选：A.
2．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，集合，可得，
又由，根据集合交集的运算，可得.故选：A.
3．设全集I是实数集R，或与都是I的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，
所以阴影部分表示的集合为.故选：C.
4．设全集U是实数集R，，都是U的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】题图中阴影部分表示集合.故选：B
5．（2022秋·高一课时练习）已知全集U，集合A，B为其子集，若，则（ ）
A． B． C．A D．B
【答案】C
【解析】全集U，集合A，B为其子集，因，则有，
所以.故选：C
6．集合满足，，则集合中的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】因为，故，又，故，
又，故，即集合中的元素个数为4.故选：B
7．（多选）已知全集，集合满足 ，则下列选项中正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】因为全集，集合满足 ，
所以，，，.故选：BD
8．（多选）某校举办运动会，高一的两个班共有120名同学，已知参加跑步 拔河 篮球比赛的人数分别为58，38，52，同时参加跑步和拔河比赛的人数为18，同时参加拔河和篮球比赛的人数为16，同时参加跑步 拔河 篮球三项比赛的人数为12，三项比赛都不参加的人数为20，则（ ）
A．同时参加跑步和篮球比赛的人数为24
B．只参加跑步比赛的人数为26
C．只参加拔河比赛的人数为16
D．只参加篮球比赛的人数为22
【答案】BCD
【解析】设同时参加跑步和篮球比赛的人数为，
由Venn图可得，，得，
则只参加跑步比赛的人数为，
只参加拔河比赛的人数为，
只参加篮球比赛的人数为.故选：BCD．
9．已知集合，.
（1）求；
（2）若全集，求及.
【答案】（1）；（2）；或.
【解析】（1）∵，，
∴；
（2）因为，，
所以，又，
∴，
∵，
所以或，
∴或.
10．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0}．
（1）若A∩B＝{2}，求实数a的值；
（2）若A∪B＝A，求实数a的取值范围；
（3）若U＝R，，求实数a的取值范围．
【答案】（1）－1或－3；（2）a≤－3；（3）且且．
【解析】（1），或，
∴,
∵A∩B＝{2}，∴2∈B，
将x＝2代入x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，得a2＋4a＋3＝0，所以a＝－1或a＝－3．
当a＝－1时，B＝{－2，2}，满足条件；
当a＝－3时，B＝{2}，也满足条件．
综上可得，a的值为－1或－3．
（2）∵A∪B＝A，∴B A．
对于方程x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，
①当＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)<0，
即a<－3时，，满足条件；
②当，即a＝－3时，B＝{2}，满足条件；
③当，即a>－3时，B＝A＝{1，2}才能满足条件，这是不可能成立的．
综上可知，a的取值范围是a≤－3．
（3）∵，∴，∴．
对于方程x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，
①当，即a<－3时，，满足条件．
②当，即a＝－3时，B＝{2}，A∩B＝{2}，不满足条件．
③当，即a>－3时，只需且即可．
将x＝2代入x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，得a＝－1或a＝－3；
将x＝1代入x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，得，∴a≠－1，a≠－3且，
综上，a的取值范围是且且．
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