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第04讲 充分条件与必要条件
1．理解充分条件、必要条件的概念，理解充要条件的意义；
2．了解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系；
3．能通过充分性、必要性解决简单的问题；
4．能对充分条件进行证明。
一、命题的定义与表示
1、命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题．
判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题．
2、命题的表示：命题表示为“若p，则q”时，p是命题的条件，q是命题的结论．
二、充分条件条件与必要条件
1、充分条件与必要条件定义
（1）一般地，“若，则”为真命题，是指由条件通过推理可以得出结论.
这时，我们就说，由可推出，记作，并且说，是的充分条件，是的必要条件。
（2）如果“若，则”为假命题，那么由条件不能推出结论，记作.
这时，我们就说，不是的充分条件，不是的必要条件。
2、充分条件与必要条件的关系
是的充分条件反映了，而是的必要条件也反映了，所以是的充分条件与是的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同。
而是的充分条件只反映了，与能否推出没有任何关系。
三、充要条件
1、充要条件的定义
如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有，就记作。
此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件。
2、充要条件的含义
若是的充要条件，则也是的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，
因为这两个命题的条件与结论不同。
3、充要条件的等价说法：是的充要条件又常说成是成立当且仅当成立，或与等价。
四、充分、必要、充要条件的证明
1、证明“充分不必要条件”“必要不充分条件”，一般先证明一个方面，然后验证另一个方面不成立。
2、证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”与“必要性”，但千万要注意“谁”是“谁”的充分条件，“谁”是“谁”的必要条件。
尽管证明充要条件问题中前者可以是后者的充分条件也可以是必要条件，但还是不能把步骤颠倒了。
一般地，证明成立的充要条件为，在证明充分性时，应以为“已知条件”，是在该步中要证明的“结论”，即；在证明必要性时，则是以为“已知条件”，在该步中要证明的“结论”，即
考点一：命题的概念与真假判断
例1．(多选)下列语句是命题的是（ ）
A．3是15的约数 B．x2+2x+1≥0 C．4不小于2 D．你准备考北京大学吗
【答案】ABC
【解析】对于A，3能整除15，为真，所以A是命题；
对于B，，为真，所以B是命题；
对于C，，所以“4不小于2”为真，所以C是命题；
对于D，“你准备考北京大学吗 ”是疑问句不是陈述句，且无法判断真假，所以D不是命题.
故选：ABC.
【变式训练】下列命题：
①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形;
②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形;
③方程的判别式大于0;
④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等;
⑤集合 是集合A的子集，且是的子集．
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】对于①，矩形是平行四边形，同时矩形有外接圆，故正确;
对于②，菱形不一定有外接圆，故错误，
对于③，方程的判别式为，故正确，
对于④，周长或者面积相等的三角形不一定全等，故错误，
对于⑤，,故正确;故选：C．
考点二：充分、必要条件的判断
例2．已知集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】由可得，解得或.
所以“”是“”的充分非必要条件.故选：A.
【变式训练】指出下列各组命题中，是的什么条件？是的什么条件？
（1）若，，；
（2）或；；
（3）：能被整除，：能被整除．
【答案】（1）是的充分非必要条件，是的必要非充分条件
（2）是的必要非充分条件，是的充分非必要条件
（3）是的充分非必要条件，是的必要非充分条件
【解析】（1）若，可以推出，反推不一定成立，
所以是的充分非必要条件，是的必要非充分条件；
（2）或，推不出，反推成立，
所以是的必要非充分条件，是的充分非必要条件；
（3）能被整除，推出能被整除，反之不一定成立，
所以是的充分非必要条件，是的必要非充分条件.
考点三：根据充分、必要条件求参数范围
例3．已知不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，
所以，且等号不能同时成立，解得.故选：D.
【变式训练】已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由得，
即
若是的必要条件,
则，
，解得，故选：A.
考点四：探求充要条件
例4．（多选）下列各选项中，p是q的充要条件的是（ ）
A．p：或，q：方程有两个不同的实数根
B．p：，q：
C．p：两个三角形相似，q：两个三角形全等
D．p：，q：
【答案】AD
【解析】A选项，若或，则方程判别式，
得方程有两个不同的实数根，则.
若方程有两个不同的实数根，则
或，则.故p是q的充要条件，故A正确；
B选项，若，则，得，则.
若，则或，则由q不能得到p.故p是q的充分不必要条件,故B错误；
C选项，由两个三角形相似不能得到两个三角形全等，
而两个三角形全等可以得到两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件，故C错误；
D选项，由，可得，则.由，可得，则.
故p是q的充要条件，故D正确.故选：AD
【变式训练】下列结论，可作为“两条直线平行”的充要条件的是______．
①同位角相等；②内错角相等；
③同旁内角互补；④同旁内角相等．
【答案】①②③
【解析】由①②③均可推出“两条直线平行”的结论，由“两条直线平行”也可以推出①②③均成立；
由④不能推出“两条直线平行”的结论．
所以可作为“两条直线平行”的充要条件的是①②③.
故答案为：①②③
考点五：充要条件的证明
例5．求证：等式对任意实数恒成立的充要条件是.
【答案】证明见解析.
【解析】充分性：若，则等式
显然对任意实数恒成立，充分性成立；
必要性：由于等式对任意实数恒成立，
分别将，，代入可得，
解得，必要性成立，
故等式对任意实数恒成立的充要条件是.
【变式训练】已知，是实数，求证：成立的充要条件是.
【答案】证明见解析
【解析】先证明充分性：
若，则成立．
所以“”是“”成立的充分条件；
再证明必要性：
若，则，
即，
，
，
，
，即成立．
所以“”是“”成立的必要条件.
综上：成立的充要条件是．
1．下列语句是命题的是（ ）
A．二次函数的图象太美啦！ B．这是一棵大树
C．求证： D．3比5大
【答案】D
【解析】能够判断成立或不成立的陈述句叫命题，
只有选项D能够判断出真假，3比5大显然不成立，是假命题，故选：D
2．设：p：，q：，则p是q成立的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】令，，
由集合间的包含关系可知：集合是集合的真子集，
所以p是q的必要不充分条件，故选：C.
3．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此推断，其中最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题意，“不破楼兰终不还”即“不破楼兰”是“不还”的充分条件，即“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，比如战死沙场；
即如果已知“还”，一定是已经“破楼兰”，所以“还”是“破楼兰”的充分条件，故选：A
4．已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，现有下列命题：① 是的充要条件；② 是的充分不必要条件；③ 是的必要不充分条件；④ 是的充分不必要条件；正确的命题序号是（ ）
A．①④ B．①② C．②③ D．③④
【答案】B
【解析】因为是的充分不必要条件，所以，，
因为是的充分条件，所以，
因为是的必要条件，所以，
因为是的必要条件，所以，
因为，，所以，又，所以是的充要条件；命题①正确，
因为，，，所以，
若，则，，，故，与矛盾，所以，
所以是的充分不必要条件，命题②正确；
因为，，所以，是的充分条件，命题③错误；
因为，，所以，又，所以是的充要条件，命题④错误；故选：B.
5．若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若不等式的一个充分条件为，
则，所以，解得.
则实数的取值范围是.故选：D.
6．（多选）下列四个命题中为真命题的是（ ）
A．“”是“”的既不充分也不必要条件
B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件
C．关于的方程有实数根的充要条件是
D．若集合，则是的充分不必要条件
【答案】AC
【解析】且，所以A正确；
正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，
所以“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分不必要条件，故B错误；
一元二次方程有实根则，反之亦然，故C正确；
当集合A=B时，应为充要条件，故D不正确.故选：AC.
7．（多选）有以下四种说法，其中说法正确的是（ ）
A．“是实数”是“是有理数”的必要不充分条件
B．“”是“”的充要条件
C．“”是“”的充分不必要条件
D．“”是“”的必要不充分条件
【答案】AC
【解析】当是实数时，可能为有理数，可能为无理数，而当为有理数时，一定为实数，
所以“是实数”是“是有理数”的必要不充分条件，A正确；
当时，成立，而当时，有可能，
所以“”是“”的充分不必要条件，B错误；
当时，成立，而当时，或，
所以“”是“”的充分不必要条件，C正确；
当时，成立，而当时，有可能，
所以“”是“”的充分不必要条件，D错误；故选：AC
8．（多选）设全集为U，在下列选项中，是的充要条件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】由维恩图可知，A不是的充要条件，B，C，D都是的充要条件，故选：BCD．
9．已知集合，
（1）若，求；
（2）若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）当时，，，
所以；
（2），，
因为“”是“”的必要条件，
所以，解得：
所以实数a的取值范围是.
10．已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0.
【解析】证法一：①充分性：由xy>0及x>y，得>，即<.
②必要性：由<，得－<0，即<0.
因为x>y，所以y－x<0，所以xy>0.
所以<的充要条件是xy>0.
证法二：< －<0 <0.
由条件x>y y－x<0，故由<0 xy>0.
所以< xy>0，即<的充要条件是xy>0.
1．下列是“四边形是矩形”的充分条件是（ ）
A．四边形的对角线相等
B．四边形的两组对边分别相等
C．四边形有两个内角都为直角
D．四边形的两组对边分别平行且有一组对角互补
【答案】D
【解析】对A，四边形的对角线相等且平分才是矩形，故A错误；
对B，四边形的两组对边分别相等为平行四边形，故B错误；
对C，四边形有三个内角为直角才是矩形，故C错误；
对D，四边形两组对边分别平行则为平行四边形，则相邻两角互补，又有一组对角互补，
故相邻两角相等，又相邻两角之和为，故相邻两角均为直角，
故该平行四边形是矩形，故D正确.故选：D.
2．已知a，，则“”的一个必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于A选项，当时，，此时，
故不是的必要条件，故错误；
对于B选项，当时，成立，反之，不成立，
故是的必要条件，故正确；
对于C选项，当时，，但此时，
故不是的必要条件，故错误；
对于D选项，当时，，但此时，
故不是的必要条件，故错误.故选：B
3．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此推断，其中最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题意，“不破楼兰终不还”即“不破楼兰”是“不还”的充分条件，即“不破楼兰”可以推出“不还”， 但是反过来“不还”的原因有多种，比如战死沙场；
即如果已知“还”，一定是已经“破楼兰”，所以“还”是“破楼兰”的充分条件，故选：A
4．已知p：，那么p的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于A，，且，即是p的不充分不必要条件，A不是；
对于B，，且，即是p的不充分不必要条件，B不是；
对于C， ，即是p的一个充分不必要条件，C是；
对于D， ，即是p的必要不充分条件，D不是.故选：C
5．若，则（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的充要条件
C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】对于A，，，则“”是“”的必要不充分条件，A错误；
对于B，，，则“”是“”的充分不必要条件，B错误；
对于C，，，则“”是“”的必要不充分条件，C正确；
对于D，，，则“”是“”的充分不必要条件，D错误.故选：C.
6．已知条件p：，条件q：，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由条件p：，规定集合.
由条件q：，规定集合.
要使p是q的充分不必要条件，
只需P Q，所以.故选：D.
7．（多选）下列结论正确的有（ ）
A．在中，“是钝角”是“是钝角三角形”的充分不必要条件
B．“，关于的方程有两个不相等的实数根”是真命题
C．“菱形的对角线相等且互相垂直”是真命题
D．若是真命题，则可能是真命题
【答案】AB
【解析】由“是钝角”可以得到“是钝角三角形”，
但是“是钝角三角形”不一定得到“是钝角”，A正确；
当，即时，关于的方程有两个不相等的实数根，B正确；
菱形的对角线不一定相等，C错误；
命题与命题的否定一定是一真一假，D错误.故选：AB.
8．已知A，，则“”是“”的__________条件．
【答案】充要
【解析】由可得,所以，
由得，进而，
故“”是“”的充要条件，
故答案为：充要
9．已知全集，非空集合，．记，，若是的必要条件，求实数的取值范围．
【答案】
【解析】∵，∴，即．
∵是的的必要条件，∴，
∴，得，
故实数的取值范围是：.
10．证明：“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.
【答案】证明见解析
【解析】充分性：若，则关于的方程有一正一负根，证明如下：
当时，，
所以方程有两个不相等的实根，
设两根分别为，，则，所以方程有一正一负根，故充分性成立，
必要性：若“关于的方程有一正一负根”，则，证明如下：
设方程一正一负根分别为，，则，
所以，所以若“关于的方程有一正一负根”，则，故必要性成立，
所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.
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第04讲 充分条件与必要条件
1．理解充分条件、必要条件的概念，理解充要条件的意义；
2．了解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系；
3．能通过充分性、必要性解决简单的问题；
4．能对充分条件进行证明。
一、命题定义与表示
1、命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题．
判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题．
2、命题的表示：命题表示为“若p，则q”时，p是命题的条件，q是命题的结论．
二、充分条件条件与必要条件
1、充分条件与必要条件定义
（1）一般地，“若，则”为真命题，是指由条件通过推理可以得出结论.
这时，我们就说，由可推出，记作，并且说，是的充分条件，是的必要条件。
（2）如果“若，则”为假命题，那么由条件不能推出结论，记作.
这时，我们就说，不是的充分条件，不是的必要条件。
2、充分条件与必要条件的关系
是的充分条件反映了，而是的必要条件也反映了，所以是的充分条件与是的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同。
而是的充分条件只反映了，与能否推出没有任何关系。
三、充要条件
1、充要条件的定义
如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有，就记作。
此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件。
2、充要条件的含义
若是的充要条件，则也是的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，
因为这两个命题的条件与结论不同。
3、充要条件的等价说法：是的充要条件又常说成是成立当且仅当成立，或与等价。
四、充分、必要、充要条件的证明
1、证明“充分不必要条件”“必要不充分条件”，一般先证明一个方面，然后验证另一个方面不成立。
2、证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”与“必要性”，但千万要注意“谁”是“谁”的充分条件，“谁”是“谁”的必要条件。
尽管证明充要条件问题中前者可以是后者的充分条件也可以是必要条件，但还是不能把步骤颠倒了。
一般地，证明成立的充要条件为，在证明充分性时，应以为“已知条件”，是在该步中要证明的“结论”，即；在证明必要性时，则是以为“已知条件”，在该步中要证明的“结论”，即
考点一：命题的概念与真假判断
例1．(多选)下列语句是命题的是（ ）
A．3是15的约数 B．x2+2x+1≥0 C．4不小于2 D．你准备考北京大学吗
【变式训练】下列命题：
①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形;
②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形;
③方程的判别式大于0;
④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等;
⑤集合 是集合A的子集，且是的子集．
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点二：充分、必要条件的判断
例2．已知集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【变式训练】指出下列各组命题中，是的什么条件？是的什么条件？
（1）若，，；
（2）或；；
（3）：能被整除，：能被整除．
考点三：根据充分、必要条件求参数范围
例3．已知不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
【变式训练】已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点四：探求充要条件
例4．（多选）下列各选项中，p是q的充要条件的是（ ）
A．p：或，q：方程有两个不同的实数根
B．p：，q：
C．p：两个三角形相似，q：两个三角形全等
D．p：，q：
【变式训练】下列结论，可作为“两条直线平行”的充要条件的是______．
①同位角相等；②内错角相等；
③同旁内角互补；④同旁内角相等．
考点五：充要条件的证明
例5．求证：等式对任意实数恒成立的充要条件是.
【变式训练】已知，是实数，求证：成立的充要条件是.
1．下列语句是命题的是（ ）
A．二次函数的图象太美啦！ B．这是一棵大树
C．求证： D．3比5大
2．设：p：，q：，则p是q成立的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此推断，其中最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，现有下列命题：① 是的充要条件；② 是的充分不必要条件；③ 是的必要不充分条件；④ 是的充分不必要条件；正确的命题序号是（ ）
A．①④ B．①② C．②③ D．③④
5．若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（多选）下列四个命题中为真命题的是（ ）
A．“”是“”的既不充分也不必要条件
B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件
C．关于的方程有实数根的充要条件是
D．若集合，则是的充分不必要条件
7．（多选）有以下四种说法，其中说法正确的是（ ）
A．“是实数”是“是有理数”的必要不充分条件
B．“”是“”的充要条件
C．“”是“”的充分不必要条件
D．“”是“”的必要不充分条件
8．（多选）设全集为U，在下列选项中，是的充要条件的是（ ）
A． B． C． D．
9．已知集合，
（1）若，求；
（2）若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围．
10．已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0.
1．下列是“四边形是矩形”的充分条件是（ ）
A．四边形的对角线相等
B．四边形的两组对边分别相等
C．四边形有两个内角都为直角
D．四边形的两组对边分别平行且有一组对角互补
2．已知a，，则“”的一个必要条件是（ ）
A． B． C． D．
3．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此推断，其中最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知p：，那么p的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
5．若，则（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的充要条件
C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件
6．已知条件p：，条件q：，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（多选）下列结论正确的有（ ）
A．在中，“是钝角”是“是钝角三角形”的充分不必要条件
B．“，关于的方程有两个不相等的实数根”是真命题
C．“菱形的对角线相等且互相垂直”是真命题
D．若是真命题，则可能是真命题
8．已知A，，则“”是“”的__________条件．
9．已知全集，非空集合，．记，，若是的必要条件，求实数的取值范围．
10．证明：“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.
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