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第05讲 全称量词与存在量词
1．理解全称量词、全称量词命题的定义，存在量词、存在量词命题的定义；
2．会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假；
3．正确地对含有一个量词的命题进行否定。
一、全称量词与全称量词命题
1、全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“”表示．
【注意】（1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定；
（2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都”
2、全称量词命题
（1）定义：含有全称量词的命题，称为全称量词命题．
（2）符号表示：通常，将含有变量的语句用，，，…表示，变量的取值范围用表示，那么，全称量词命题“对中任意一个，成立”可用符号简记为
【注意】（1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题；
（2）一个全称量词命题可以包含多个变量；
（3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。
如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行”。
二、存在量词与存在量词命题
1、全称量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“”表示．
【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等；
2、存在量词命题
（1）定义：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题。
（2）符号表示：存在量词命题“存在中的元素，使成立”可用符号简记为
【注意】（1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题；
（2）一个存在量词命题可以包含多个变量；
（3）有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征都是存在量词命题
三、全称量词命题与存在量词命题的真假判断
1、判断全称量词命题真假
若为真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立；
若为假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可；
2、判断存在量词命题真假
只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个命题为真，否则为假。
四、命题的否定
1、命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定．
2、全称量词命题的否定：
一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题： ．
3、存在量词命题的否定：
一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ．
4、命题与命题的否定的真假判断：
一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假．
即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然．
5、常见正面词语的否定：
正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是
否定 不等式（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是
正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有n个
否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 至少有n+1个
考点一：全称量词命题与存在量词命题的判断
例1．下列命题中是存在量词命题的是（ ）
A．平行四边形的对边相等 B．同位角相等
C．任何实数都存在相反数 D．存在实数没有倒数
【答案】D
【解析】根据全称量词和存在量词的定义可知，
A选项，“平行四边形的对边相等”是所有的平行四边形性质，是全称量词命题；
B选项，“同位角相等”是所有的同位角都相等，是全称量词命题；
C选项，“任何实数都存在相反数”中的“任意”是全称量词，故其为全称量词命题；
D选项，“存在实数没有倒数”中的“存在”为存在量词，其为存在量词命题.故选：D
【变式训练】（多选）下列命题是全称量词命题的是（ ）
A．负数的绝对值大于0
B．所有的菱形都是平行四边形
C．负数的平方是正数
D．
【答案】ABCD
【解析】对于A，负数的绝对值大于0即所有负数的绝对值大于0，
根据全称量词命题的定义知，该命题是全称量词命题；
对于B，所有的菱形都是平行四边形，根据全称量词命题的定义知，该命题是全称量词命题；
对于C，负数的平方是正数即所有负数的平方是正数，
根据全称量词命题的定义知，该命题是全称量词命题；
对于D，，根据全称量词命题的定义知，该命题是全称量词命题.故选：ABCD
考点二：全称量词命题与存在量词命题的真假
例2．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（ ）
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数，使
C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数，使
【答案】B
【解析】对选项A：锐角三角形中的内角都是锐角，所以A为假命题；
对选项B：是存在量词命题，当时， 成立，所以B正确；
对选项C：，故C为假命题；
对选项D：对于任何一个负数，都有，所以D为假命题.故选：B
【变式训练】能说明全称量词命题“”为假命题的例子是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，即，解得或或，
所以当且且时均能说明全称量词命题“”为假命题，
故符合题意的为D.故选：D
考点三：含有一个量词的命题的否定
例3．已知命题，则为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，
所以.故选：B.
【变式训练】命题“，”的否定为（ ）
A． B．
C．， D．，
【答案】B
【解析】命题“，”为特称量词命题，
其否定为：.故选：B
考点四：由全称量词命题的真假求参数
例4．已知集合，，且.
若命题p：“，”是真命题，求m的取值范围；
【答案】
【解析】命题p：“，”是真命题，故，
所以，解得，
故m的取值范围是.
【变式训练】已知命题，.若为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】若命题为真，则，解得，
则当命题为假命题时，，故的取值范围是.故选：C.
考点五：由存在量词命题的真假求参数
例5．已知命题，若命题p是假命题，则a的取值范围为（ ）
A．1≤a≤3 B．－1≤a≤3 C．1【答案】B
【解析】由题意:命题是假命题,
其否定: 为真命题,
即，解得，故选：B
【变式训练】（多选）已知命题，，若p为真命题，则实数a的值可以是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】ABC
【解析】因为，为真命题，所以方程有实根.
当时，符合题意；
当时，由方程有实根，可得，所以.
综上，实数的值可以是，和.故选:ABC.
1．下列命题是全称量词命题的个数是（ ）
①任何实数都有平方根;
②所有素数都是奇数;
③有些一元二次方程无实数根;
④三角形的内角和是．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】根据全称命题的定义可得①②④中命题，指的是全体对象具有某种性质，
故①②④是全称量词命题，③中命题指的是部分对象具有某性质，不是全称命题，故选：D．
2．下列命题是全称量词命题并且是真命题的是（ ）
A．所有菱形的四条边都相等 B．若2x是偶数，则存在x，使得x∈N
C．任意x∈R，x2+2x+1>0 D．π是无理数
【答案】A
【解析】选项A、C是全称量词命题，选项C，
当时，，所以选项C是假命题，故选：A
3．已知命题；命题，则下列说法正确的是（ ）
A．为存在量词命题且为假命题，为全称量词命题且为假命题
B．为全称量词命题且为假命题，为存在量词命题且为假命题
C．为存在量词命题且为真命题，为全称量词命题且为假命题
D．为全称量词命题且为真命题，为存在量词命题且为真命题
【答案】C
【解析】对于命题，是存在量词命题，取，则，故为真命题；
对于命题，是全称量词命题，当时，，故为假命题；
所以为存在量词命题且为真命题，为全称量词命题且为假命题.故选：C．
4．设非空集合，满足，则下列选项正确的是（ ）
A．，有 B．，有
C．，使得 D．，使得
【答案】B
【解析】，，
当 时，，使得，故A错误；
，，必有，即，必有，故B正确；
由B正确，得，必有，，使得错误，即C错误；
当时，不存在，使得，故D错误，
综上只有B是正确的．故选：B．
5．已知命题p：某班所有的男生都爱踢足球，则命题p的否定是（ ）
A．某班至多有一个男生爱踢足球
B．某班至少有一个男生不爱踢足球
C．某班所有的男生都不爱踢足球
D．某班所有的女生都爱踢足球
【答案】B
【解析】全称量词命题的否定是存在量词命题，
故命题p的否定是某班至少有一个男生不爱踢足球．故选：B．
6．若命题“”为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】命题“”为假命题，”是真命题，
方程有实数根，则，解得，故选：A.
7．（多选）关于命题“”，下列判断正确的是（ ）
A．该命题是全称量词命题 B．该命题是存在量词命题
C．该命题是真命题 D．该命题是假命题
【答案】BC
【解析】是存在量词命题，
A选项错误B选项正确；
时，成立，
命题为真命题，即C正确D错误.故选：BC
8．（多选）下列命题为真命题的是（ ）
A．“”是存在量词命题 B．
C． D．“全等三角形面积相等”是全称量词命题
【答案】ABD
【解析】“”是存在量词命题，选项A为真命题．
，选项B为真命题．
因为由得，所以选项C为假命题．
“全等三角形面积相等”是全称量词命题，选项D为真命题．故选：ABD
9．（多选）命题“，”是真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】依题意，命题“，”是真命题，
所以对任意上恒成立，所以，
其必要不充分条件是或.故选：CD
10．写出下列命题的否定：
（1）正方形的四边相等；
（2）能被5整除的整数，末位数字都是0；
（3）有的三角形是直角三角形；
（4）至少存在一个实数x，使；
（5）存在一个四边形，它的对角线互相垂直平分．
【答案】（1）存在一个正方形，它的四边不都相等；
（2）能被5整除的整数，末位数字不都是0；
（3）所有的三角形都不是直角三角形；
（4）；
（5）任意四边形的对角线不互相垂直或不互相平分．
【解析】（1）正方形的四边相等的否定为存在一个正方形，它的四边不都相等；
（2）能被5整除的整数，末位数字都是0的否定为能被5整除的整数，末位数字不都是0；
（3）有的三角形是直角三角形的否定为所有的三角形都不是直角三角形；
（4）至少存在一个实数x，使的否定为；
（5）存在一个四边形，它的对角线互相垂直平分的否定为
任意四边形的对角线不互相垂直或不互相平分．
1．下列命题中，是全称量词命题，且为真命题的是（ ）
A． B．菱形的两条对角线相等
C． D．一次函数的图象是直线
【答案】D
【解析】对于A，为全称量词命题，但是，故是假命题，故A错误，
对于B，是全称量词命题，但是菱形的对角线不一定相等，故B错误，
对于C,是存在量词命题,故C错误，
对于D,既是全称量词命题也是真命题,故D正确，故选：D
2．下列四个命题中，既是存在量词命题又是真命题的是（ ）
A．锐角三角形的内角都是锐角 B．至少有一个实数x，使
C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数x，使
【答案】B
【解析】“都是”，“必是”是全称量词，故AC错误，
“至少”，“存在”是存在量词，故B，D是存在量词命题，
存在，使得，不存在负数使得，故D是假命题，B是真命题．故选：B
3．不能说明存在量词命题“”为真命题的例子是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A：此时，符合题意；
对于B：此时，符合题意；
对于C：此时，符合题意；
对于D：此时，不符合题意.故选：D
4．设是奇数集，B是偶数集，则“”的否定是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知命题“”为全称命题，
其否定为特称命题，即，故选：D
5．若命题p的否定为：，则命题p为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为命题p的否定为：，
所以命题p为：.故选：B.
6．命题“， ”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．a 2 B．a 3 C．a 5 D．a 5
【答案】C
【解析】由，
因为，所以，要想该命题为真命题，只需，
由选项AB推出不出，由不一定能推出，
因此四个选项中只有C符合充分不必要的性质，故选：C
7．（多选）若“，或”为真命题，“，”为假命题，则集合可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】命题“，”为假命题，则命题“，”为真命题，
可得，
命题“，或”为真命题，则或，
或或，
显然，A，B，D选项中的区间为的子集．故选：ABD．
8．（多选）下列命题中，是存在量词命题且为假命题的有( )
A．， B．有的矩形不是平行四边形
C．， D．，
【答案】AB
【解析】ABC均为存在量词命题，D不是存在量词命题，故D错误，
选项A：因为，所以命题为假命题；
选项B：因为矩形都是平行四边形，所以命题为假命题；
选项C：，故命题为真命题，故C错误，故选:AB．
9．已知命题”的否定为真命题，则实数的取值范围是______________.
【答案】
【解析】已知问题等价于有解，
即或，解得.故答案为：
10．已知集合 ，，且．
（1）若命题p：“，”是真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题q：“，”是真命题，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由命题p：“，”是真命题，可知，
又，所以 ，解得．
（2）因为，所以，得．
因为命题q：“，”是真命题，所以，
所以，或，得．
综上，．
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第05讲 全称量词与存在量词
1．理解全称量词、全称量词命题的定义，存在量词、存在量词命题的定义；
2．会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假；
3．正确地对含有一个量词的命题进行否定。
一、全称量词与全称量词命题
1、全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“”表示．
【注意】（1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定；
（2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都”
2、全称量词命题
（1）定义：含有全称量词的命题，称为全称量词命题．
（2）符号表示：通常，将含有变量的语句用，，，…表示，变量的取值范围用表示，那么，全称量词命题“对中任意一个，成立”可用符号简记为
【注意】（1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题；
（2）一个全称量词命题可以包含多个变量；
（3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。
如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行”。
二、存在量词与存在量词命题
1、全称量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“”表示．
【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等；
2、存在量词命题
（1）定义：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题。
（2）符号表示：存在量词命题“存在中的元素，使成立”可用符号简记为
【注意】（1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题；
（2）一个存在量词命题可以包含多个变量；
（3）有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征都是存在量词命题
三、全称量词命题与存在量词命题的真假判断
1、判断全称量词命题真假
若为真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立；
若为假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可；
2、判断存在量词命题真假
只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个命题为真，否则为假。
四、命题的否定
1、命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定．
2、全称量词命题的否定：
一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题： ．
3、存在量词命题的否定：
一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ．
4、命题与命题的否定的真假判断：
一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假．
即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然．
5、常见正面词语的否定：
正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是
否定 不等式（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是
正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有n个
否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 至少有n+1个
考点一：全称量词命题与存在量词命题的判断
例1．下列命题中是存在量词命题的是（ ）
A．平行四边形的对边相等 B．同位角相等
C．任何实数都存在相反数 D．存在实数没有倒数
【变式训练】（多选）下列命题是全称量词命题的是（ ）
A．负数的绝对值大于0
B．所有的菱形都是平行四边形
C．负数的平方是正数
D．
考点二：全称量词命题与存在量词命题的真假
例2．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（ ）
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数，使
C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数，使
【变式训练】能说明全称量词命题“”为假命题的例子是（ ）
A． B． C． D．
考点三：含有一个量词的命题的否定
例3．已知命题，则为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】命题“，”的否定为（ ）
A． B．
C．， D．，
考点四：由全称量词命题的真假求参数
例4．已知集合，，且.
若命题p：“，”是真命题，求m的取值范围；
【变式训练】已知命题，.若为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点五：由存在量词命题的真假求参数
例5．已知命题，若命题p是假命题，则a的取值范围为（ ）
A．1≤a≤3 B．－1≤a≤3 C．1【变式训练】（多选）已知命题，，若p为真命题，则实数a的值可以是（ ）
A． B．0 C． D．
1．下列命题是全称量词命题的个数是（ ）
①任何实数都有平方根;
②所有素数都是奇数;
③有些一元二次方程无实数根;
④三角形的内角和是．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．下列命题是全称量词命题并且是真命题的是（ ）
A．所有菱形的四条边都相等 B．若2x是偶数，则存在x，使得x∈N
C．任意x∈R，x2+2x+1>0 D．π是无理数
3．已知命题；命题，则下列说法正确的是（ ）
A．为存在量词命题且为假命题，为全称量词命题且为假命题
B．为全称量词命题且为假命题，为存在量词命题且为假命题
C．为存在量词命题且为真命题，为全称量词命题且为假命题
D．为全称量词命题且为真命题，为存在量词命题且为真命题
4．设非空集合，满足，则下列选项正确的是（ ）
A．，有 B．，有
C．，使得 D．，使得
5．已知命题p：某班所有的男生都爱踢足球，则命题p的否定是（ ）
A．某班至多有一个男生爱踢足球
B．某班至少有一个男生不爱踢足球
C．某班所有的男生都不爱踢足球
D．某班所有的女生都爱踢足球
6．若命题“”为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（多选）关于命题“”，下列判断正确的是（ ）
A．该命题是全称量词命题 B．该命题是存在量词命题
C．该命题是真命题 D．该命题是假命题
8．（多选）下列命题为真命题的是（ ）
A．“”是存在量词命题 B．
C． D．“全等三角形面积相等”是全称量词命题
9．（多选）命题“，”是真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
10．写出下列命题的否定：
（1）正方形的四边相等；
（2）能被5整除的整数，末位数字都是0；
（3）有的三角形是直角三角形；
（4）至少存在一个实数x，使；
（5）存在一个四边形，它的对角线互相垂直平分．
1．下列命题中，是全称量词命题，且为真命题的是（ ）
A． B．菱形的两条对角线相等
C． D．一次函数的图象是直线
2．下列四个命题中，既是存在量词命题又是真命题的是（ ）
A．锐角三角形的内角都是锐角 B．至少有一个实数x，使
C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数x，使
3．不能说明存在量词命题“”为真命题的例子是（ ）
A． B． C． D．
4．设是奇数集，B是偶数集，则“”的否定是（ ）
A． B． C． D．
5．若命题p的否定为：，则命题p为（ ）
A． B． C． D．
6．命题“， ”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．a 2 B．a 3 C．a 5 D．a 5
7．（多选）若“，或”为真命题，“，”为假命题，则集合可以是（ ）
A． B． C． D．
8．（多选）下列命题中，是存在量词命题且为假命题的有( )
A．， B．有的矩形不是平行四边形
C．， D．，
9．已知命题”的否定为真命题，则实数的取值范围是______________.
10．已知集合 ，，且．
（1）若命题p：“，”是真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题q：“，”是真命题，求实数m的取值范围．
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