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第06讲 等式性质与不等式性质
1．理解不等式的概念，能在具体问题中建立不等式关系；
2．掌握不等式的基本性质，能用不等式的基本性质解决一些简单问题。
一、等式的基本性质
性质 文字表述 性质内容 注意
1 对称性 可逆
2 传递性 同向
3 可加、减性 可逆
4 可乘性 同向
5 可除性 同向
二、不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b2 传递性 a>b，b>c a>c 同向
3 可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
4 可乘性 a>b，c>0 ac>bc a>b，c<0 ac5 同向可加性 a>b，c>d a＋c>b＋d 同向
6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0 ac>bd 同向
7 正数乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2) 同正
三、比较两个实数（或代数式）大小
1、作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法．
①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论．
②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论．
2、介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：
若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值，
此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值．
【注意】
（1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止；（3）作商法适合于幂式、积式、分式间的大小比较，作商后应变形为能与“1”比较大小的式子，要注意营养函数的有关性质。
考点一：利用不等式的性质判断命题的真假
例1．设、、为实数，且，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】已知，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点二：比较两个数（式）的大小
例2．已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（ ）
A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定
【变式训练】比较大小：
（1）和；
（2）和，其中．
考点三：求代数式的取值范围
例3．已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】已知，，则的取值范围是______．
考点四：不等式的证明
例4．用综合法证明:如果，那么
【变式训练】（1）已知，且，证明：．
（2）证明：．
1．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，则
2．已知，，设，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（多选）已知，则下列结论正确的为（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，则
5．（多选）对于实数，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，
6．（多选）若，，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．（多选）已知，，则（ ）
A．的取值范围为 B．的取值范围为
C．ab的取值范围为 D．的取值范围为
8．已知，试比较与的大小.
9．（1）已知 ，求证：.
（2）已知，求代数式和的取值范围．
10．（1）已知，，求证：．
（2）比较与的大小．
1．下列说法中，错误的是（ ）
A．若，则一定有 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．下列命题中，正确的是（ ）
A．若，， 则 B．若， 则
C．若，， 则 D．若，则
4．（多选）下列命题为真命题的是（ ）
A．若则 B．若则
C．若则 D．若则
5．（多选）已知，，则下列正确的有（ ）
A． B． C． D．
6．对于实数a、b、c，有下列命题：
①若a＞b，则；
②若a＞b，则；
③若a＜b＜0，则；
④若a＜b＜0，则；
⑤若a＜b＜0，则；
⑥若，则ac＜bd.
其中，假命题的序号为______.（写出所有满足要求的命题序号）
7．若，则与的大小关系为______．
8．已知，，试比较与的大小；
9．实数、满足，.
（1）求实数、的取值范围；
（2）求的取值范围．
10．证明下列不等式：
（1）已知，求证
（2）已知，求证：．
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第06讲 等式性质与不等式性质
1．理解不等式的概念，能在具体问题中建立不等式关系；
2．掌握不等式的基本性质，能用不等式的基本性质解决一些简单问题。
一、等式的基本性质
性质 文字表述 性质内容 注意
1 对称性 可逆
2 传递性 同向
3 可加、减性 可逆
4 可乘性 同向
5 可除性 同向
二、不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b2 传递性 a>b，b>c a>c 同向
3 可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
4 可乘性 a>b，c>0 ac>bc a>b，c<0 ac5 同向可加性 a>b，c>d a＋c>b＋d 同向
6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0 ac>bd 同向
7 正数乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2) 同正
三、比较两个实数（或代数式）大小
1、作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法．
①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论．
②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论．
2、介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：
若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值，
此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值．
【注意】
（1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止；（3）作商法适合于幂式、积式、分式间的大小比较，作商后应变形为能与“1”比较大小的式子，要注意营养函数的有关性质。
考点一：利用不等式的性质判断命题的真假
例1．设、、为实数，且，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为、、为实数，且，
所以，，，，故A错误，D正确；
当时，故B错误，
因为，所以，故C错误；故选：D
【变式训练】已知，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵a＞b，c＞d，∴a＋c＞b＋d，故A正确；
∵a＞b＞0，c＞d＞0，∴ac＞bd，故B正确；
取，则，此时，故C错误；
∵c＞d＞0，则，又a＞b＞0，则，故D正确．故选：C．
考点二：比较两个数（式）的大小
例2．已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（ ）
A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定
【答案】C
【解析】由题设，易知x，y＞0，
又，∴x＜y.故选：C.
【变式训练】比较大小：
（1）和；
（2）和，其中．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，所以；
（2）因为，所以
，
所以.
考点三：求代数式的取值范围
例3．已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】,
，又，
，故选：C
【变式训练】已知，，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】设，
所以，解得，
因为，，则，，
因此，.
故答案为：.
考点四：不等式的证明
例4．用综合法证明:如果，那么
【答案】证明见解析
【解析】证明:
，即
显然
，即.
【变式训练】（1）已知，且，证明：．
（2）证明：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】证明：（1）由，且，
所以，且
所以，所以，
即；所以，即．
（2）要证，
只需证，
即证；
即证，
即证；即证，显然成立；
所以．
1．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，则
【答案】D
【解析】对于A：当时，，A错误；
对于B：当时，，B错误；
对于C：取满足，，
而，此时，C误；
对于D：当时，则，所以，即，
又，所以，D正确.故选：D.
2．已知，，设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，
当且仅当时，等号成立；即.故选：A
3．已知，，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，
得，解得：，
所以，
因为，，所以，，
所有的范围是.故选：C
4．（多选）已知，则下列结论正确的为（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，则
【答案】CD
【解析】对于A：当，，则，
若，，，，显然满足，，
但是、，此时，故选项A错误；
对于B：因为若，所以，又，则，故选项B错误；
对于C：因为，所以，即，所以，故选项C正确；
对于D：若，则，
又因为，所以根据不等式的同向可加性，得，故选项D正确；故选：CD
5．（多选）对于实数，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，
【答案】BC
【解析】对于A，因为，所以，所以，所以，故A错误；
对于B，因为，所以，，所以，故B正确；
对于C，因为，所以，，所以，故C正确；
对于D，取，满足，
而，故D错误.故选：BC.
6．（多选）若，，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】对于A，由，则，故A正确；
对于B，，
由，所以，故B错误；
对于C，由，可得，所以，所以，故C错误；
对于D，，
由，则，即，故D正确.故选：AD.
7．（多选）已知，，则（ ）
A．的取值范围为 B．的取值范围为
C．ab的取值范围为 D．的取值范围为
【答案】AC
【解析】因为，，
所以，，，
所以，的取值范围为，的取值范围为，故A选项正确，B选项错误；
因为，，所以，，，，
所以，ab的取值范围为，的取值范围为
故C选项正确，D选项错误.故选：AC
8．已知，试比较与的大小.
【答案】
【解析】，
，.
两数作商，
.
9．（1）已知 ，求证：.
（2）已知，求代数式和的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2），
【解析】（1）
（当且仅当等号成立）
（2），∴．
由，得①．
由，得②．
10．（1）已知，，求证：．
（2）比较与的大小．
【答案】（1）答案见解析；（2）
【解析】（1）∵，∴
又∵，∴．
（2）∵
∴．
1．下列说法中，错误的是（ ）
A．若，则一定有 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【解析】对于A，若，则，故A错误.
对于B，由，可知，所以，所以.故B正确.
对于C，，因为，
所以，所以.故C正确.
对于D，因为，所以.又，所以.故D正确.故选：A.
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A，因为，所以，即，故错误；
对于B，取，则，故错误；
对于C，由，得，所以，故错误；
对于D，由，得，所以，故正确.故选：D.
3．下列命题中，正确的是（ ）
A．若，， 则 B．若， 则
C．若，， 则 D．若，则
【答案】A
【解析】对于A：由不等式的性质得，当，，则，故A正确；
对于B：当时，故B错误；
对于C：当，满足；
当，满足，但，故C错误；
对于D：当，满足，但是，故D错误；故选：A
4．（多选）下列命题为真命题的是（ ）
A．若则 B．若则
C．若则 D．若则
【答案】AD
【解析】对于，因为所以成立，故选项正确；
对于，因为若，，则，故选项错误；
对于，因为若，则，故选项错误；
对于，因为，所以，因为，则，故选项正确，故选：.
5．（多选）已知，，则下列正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】由，可得，又，所以，故A正确；
由，可得，又，所以，故B错误；
由，可得，又，所以，故C正确；
因为，又，所以，故D错误.故选：AC.
6．对于实数a、b、c，有下列命题：
①若a＞b，则；
②若a＞b，则；
③若a＜b＜0，则；
④若a＜b＜0，则；
⑤若a＜b＜0，则；
⑥若，则ac＜bd.
其中，假命题的序号为______.（写出所有满足要求的命题序号）
【答案】①②④⑤⑥
【解析】对于①，当时，，故①错误；
对于②，当时，不等式无意义，当时，由，可得，故②错误；
对于③，由，则，，即，故③正确；
对于④，由，根据不等式的倒数性质，则，故④错误；
对于⑤，，由，则，即，，
所以，故⑤误；
对于⑥，由，根据不等式的性质，可得，故⑥错误.
故答案为：①②④⑤⑥.
7．若，则与的大小关系为______．
【答案】
【解析】，故.
故答案为：.
8．已知，，试比较与的大小；
【答案】（当且仅当时取等号）
【解析】方法一：由题意
，
因为，，所以，，，
所以，当且仅当时等号成立，
所以（当且仅当时取等号）.
方法二：由
，当且仅当时等号成立，
所以（当且仅当时取等号）.
9．实数、满足，.
（1）求实数、的取值范围；
（2）求的取值范围．
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）由，，
则，所以，
所以，即，
即实数的取值范围为．
因为，
由，所以，所以，
所以，∴，
即实数的取值范围为．
（2）设，
则，解得，
∴，
∵，．
∴，，
∴，
即的取值范围为．
10．证明下列不等式：
（1）已知，求证
（2）已知，求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）证明：，，
，，
又因为，即，
所以.
（2）证明：，，；
又，，；.
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