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第07讲 基本不等式
1．了解基本不等式代数和几何两方面的背景，了解几何平均数和代数平均数的概念；
2．理解基本不等式的代数证法和几何证法；严谨规范表达不等式证明过程；
3．熟练地掌握基本不等式及其不变形形式，并能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小，求某些函数的最大（小）值，证明简单的不等式；
4．会应用基本不等式模型解决一些简单的实际问题。
一、基本不等式的概念
1、两个不等式
（1）重要不等式：,（当且仅当时取号）.
常见变形公式：、
（2）基本不等式： ,（当且仅当时取到等号）.
常见变形公式： ；
【注意】（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；
（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.
（3）我们称为的算术平均数，称为的几何平均数.
因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2、由公式和引申出的常用结论
①（同号）；
②（异号）；
③或
二、基本不等式的证明
1、法一：几何面积法
如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.
设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.
这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.
由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.
当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，
这时有.
得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）
特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：
如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.
通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）
2、法二：代数法
∵，
当时，；
当时，.
所以，（当且仅当时取等号“=”）.
三、基本不等式的几何意义
如图，是圆的直径，点是上的一点，,，
过点作交圆于点D，连接、.
易证，那么，即.
这个圆的半径为，它大于或等于，即，
其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.
四、利用基本不等式求最值
1、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等.
①一正：各项均为正数；
②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③三取等：含变数的各项均相等，取得最值.
2、积定和最小，和定积最大
（1）设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为.
（2）设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值),则当x=y时，和x＋y有最小值,且这个值为2.
考点一：对基本不等式的理解
例1．不等式中，等号成立的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由基本不等式可知，当且仅当，
即时等号成立，故选：.
【变式训练】（多选）已知a，，且，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】对于A，因为，故当时，不等式不成立，故A不正确；
对于B，因为，所以恒成立，当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于C，因为，所以，则，
当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D，因为，所以，当时满足，但，
此时，故D不正确.故选：BC.
考点二：利用基本不等式比较大小
例2．设（、为互不相等的正实数），，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】、为互不相等的正实数，则，
所以，
，时，，
所以．故选：A．
【变式训练】若，，，则，，2ab，中最大的一个是______．
【答案】/
【解析】，，，则，，，
综上所述：最大的一个是.
故答案为：
考点三：利用基本不等式求和的最小值
例3．若，则的最值情况是（ ）
A．有最大值 B．有最小值6 C．有最大值 D．有最小值2
【答案】B
【解析】若，则，
当且仅当即等号成立，
所以若时，有最小值为6，无最大值.故选：B.
【变式训练】若，且，求的最小值．
【答案】
【解析】因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为．
考点四：利用基本不等式求积的最大值
例4．已知，则当取最大值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，可得，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以时，取得最大值.故选：B.
【变式训练】若，，且，则的最大值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】D
【解析】因为，，且，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为9.故选:D.
考点五：利用基本不等式证明不等式
例5．已知，，且，求证：.
【答案】证明见解析
【解析】因为，，，
所以，
当且仅当，即时等号成立.
故原题得证.
【变式训练】已知，，，求证：.
【答案】证明见解析
【解析】∵，，，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，
同理：，，
当且仅当，时，等号成立，
以上三式相加得：，
当且当且仅当时，等号成立，
所以.
考点六：利用基本不等式解决实际问题
例6．用长度为20米的篱笆围成一矩形场地，则矩形的最大面积为__________．
【答案】
【解析】设矩形场地的长为米，则矩形的宽为米，且，
所以矩形的面积为平方米，
因为，所以，
当且仅当即时等号成立，
所以矩形的最大面积为平方米.
故答案为：平方米.
【变式训练】如图设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为40cm，把△ABC沿AC向△ADC翻折成为△AEC，AE交DC于点P．设AB＝xcm．
（1）若，求x的取值范围；
（2）设△ADP面积为S，求S的最大值及相应的x的值．
【答案】（1）；（2），
【解析】（1）由矩形周长为，可知，
设，则∵，∴．
在中，，即，得，
由题意，，即，
解得，
由得，，∴，
即x的取值范围是．
（2）因为，．
化简得．
∵，∴，
当且仅当，即时，，.
1．不等式（x-2y）+≥2成立的前提条件为（ ）
A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y
【答案】B
【解析】由均值不等式的条件“一正、二定，三相等”，
即均值不等式成立的前提条件是各项均为正数，
所以不等式成立的前提条件为，即.故选：B.
2．下列不等式中等号可以取到的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A，因为，所以，
当且仅当，即，故等号不成立，故A不符合；
对于B，因为，所以，
当且仅当，即，故等号不成立，故B不符合；
对于C，因为，所以，
当且仅当，即时取等号，故C符合；
对于D，因为，所以，
当且仅当，即，故等号不成立，故D不符合.故选：C.
3．若正实数、满足，则当取最大值时，的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为正实数、满足，则，可得，
当且仅当时，即当时，等号成立.故选：A.
4．已知正实数，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】根据基本不等式可得，即，
可得，所以充分性不成立；
若，可令满足，此时；
即必要性不成立；
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D
5．的最小值等于（ ）
A．3 B． C．2 D．无最小值
【答案】A
【解析】因为，则，所以，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值等于.故选：A
6．已知a、b为正实数，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为a、b为正实数，所以，当且仅当时，等号成立，
，所以，当且仅当时，等号成立，
综上：.故选：B
7．（多选）下列命题中正确的是（ ）
A．对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab、a＋b≥2均成立
B．若a≠0，则a＋≥2 ＝4
C．若a，b∈R，则ab≤
D．若a>0，b>0，且a＋b＝16，则ab≤64
【答案】CD
【解析】对于A，当，时，才能成立，A错误；
对于B，当时才能使用基本不等式求最小值，B错误；
对于C，因为，所以，即，C正确；
对于D，，，所以，D正确.故选：CD.
8．（多选）已知正数满足，则下列选项正确的是（ ）
A．的最小值是2 B．的最大值是1
C．的最小值是4 D．的最大值是2
【答案】AB
【解析】因为正数满足，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是2，故A正确；
因为正数满足，所以，
当且仅当时，等号成立，等号成立，
所以的最大值是1，故B正确；
由，得，
当且仅当时，等号成立，等号成立，
所以的最小值是,故C错误；
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值是，故D错误；故选：AB.
9．（多选）若，且，则在四个数中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】由于，则，
又，所以，
又，即.故选：ABD
10．已知.
（1）当时，求的最小值；
（2）当时，求的最小值.
【答案】（1）16；（2）
【解析】（1）当时，，
即，即，
所以，即，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为16.
（2）当时，，即，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为.
11．（1）已知，，，求证：；
（2）已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1），
当且仅当时等号成立，
所以.
（2），
当且仅当时等号成立，
因为a，b，c为不全相等的正实数，
所以.
12．近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供（万元）的专项补贴．波司登制衣有限公司在收到高邮政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）．同时波司登制衣有限公司生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额政府专项补贴成本．
（1）求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的表达式；
（2）高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益（万元）最大？
【答案】（1）；（2）6万元
【解析】（1） ．
因为，所以
（2）因为 ．
又因为，所以，
所以（当且仅当时取“”）
所以
即当万元时，取最大值30万元．
1．若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，则，
又，所以.故选：B.
2．已知，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
当且仅当，即时取等号.
所以的最大值为.故选：C
3．已知，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．2
【答案】B
【解析】由于，故，所以，
当且仅当，即时等号成立，故最小值为4，故选：B
4．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是（ ）
A．20 B．25 C．28 D．30
【答案】D
【解析】设一年的总运费与总存储费用之和为，显然，
则，当且仅当时取等号，
即时取等号，故选：D
5．已知，且.则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】当时，，所以BD选项错误.
A，，当且仅当时，等号成立，A正确.
C，，，当且仅当时，等号成立，C正确.故选：AC
6．（多选）设正实数m、n满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为3 B．的最大值为1
C．的最小值为2 D．的最小值为2
【答案】ABD
【解析】因为正实数m、n，所以，
当且仅当且m+n=2，即m=n=1时取等号，此时取得最小值3，A正确；
由 ，当且仅当m=n=1时，mn取得最大值1，B正确；
因为，当且仅当m=n=1时取等号，
故≤2即最大值为2，C错误；
，
当且仅当时取等号，此处取得最小值2，故D正确.故选：ABD
7．已知，则与的大小关系是____________
【答案】.
【解析】∵，∴，，
∴，
当且仅当，即时取等号，
故答案为：.
8．已知，，，则的最大值为______．
【答案】/2.25
【解析】因为，，，所以，
所以，当且仅当时取“=”
故答案为：.
9．已知正数，满足，则的最小值为___________．
【答案】
【解析】因为正数，满足，
则，
当且仅当时等号成立.
所以的最小值为，故答案为：
10．证明：
（1）；
（2）.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；
【解析】（1），
当且仅当时，即时，等号成立.
（2），
当且仅当时取等号，此时，
显然的值不存在，所以等号不成立，所以.
11．利用基本不等式证明：已知都是正数，求证：
【答案】证明见解析
【解析】都是正数，（当且仅当时取等号）；
（当且仅当时取等号）；
（当且仅当时取等号）；
（当且仅当时取等号），
即.
12．（1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
（2）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）当这个矩形菜园是边长为的正方形时，最短篱笆的长度为；（2）当这个矩形菜园是边长为的正方形时，最大面积是.
【解析】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为、，篱笆的长度为.
（1）由已知得，由，可得，所以，
当且仅当时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为；
（2）由已知得，则，矩形菜园的面积为.
由，可得，
当且仅当时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是.
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第07讲 基本不等式
1．了解基本不等式代数和几何两方面的背景，了解几何平均数和代数平均数的概念；
2．理解基本不等式的代数证法和几何证法；严谨规范表达不等式证明过程；
3．熟练地掌握基本不等式及其不变形形式，并能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小，求某些函数的最大（小）值，证明简单的不等式；
4．会应用基本不等式模型解决一些简单的实际问题。
一、基本不等式的概念
1、两个不等式
（1）重要不等式：,（当且仅当时取号）.
常见变形公式：、
（2）基本不等式： ,（当且仅当时取到等号）.
常见变形公式： ；
【注意】（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；
（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.
（3）我们称为的算术平均数，称为的几何平均数.
因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2、由公式和引申出的常用结论
①（同号）；
②（异号）；
③或
二、基本不等式的证明
1、法一：几何面积法
如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.
设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.
这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.
由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.
当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，
这时有.
得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）
特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：
如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.
通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）
2、法二：代数法
∵，
当时，；
当时，.
所以，（当且仅当时取等号“=”）.
三、基本不等式的几何意义
如图，是圆的直径，点是上的一点，,，
过点作交圆于点D，连接、.
易证，那么，即.
这个圆的半径为，它大于或等于，即，
其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.
四、利用基本不等式求最值
1、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等.
①一正：各项均为正数；
②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③三取等：含变数的各项均相等，取得最值.
2、积定和最小，和定积最大
（1）设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为.
（2）设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值),则当x=y时，和x＋y有最小值,且这个值为2.
考点一：对基本不等式的理解
例1．不等式中，等号成立的条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】（多选）已知a，，且，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
考点二：利用基本不等式比较大小
例2．设（、为互不相等的正实数），，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】若，，，则，，2ab，中最大的一个是______．
考点三：利用基本不等式求和的最小值
例3．若，则的最值情况是（ ）
A．有最大值 B．有最小值6 C．有最大值 D．有最小值2
【变式训练】若，且，求的最小值．
考点四：利用基本不等式求积的最大值
例4．已知，则当取最大值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】若，，且，则的最大值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
考点五：利用基本不等式证明不等式
例5．已知，，且，求证：.
【变式训练】已知，，，求证：.
考点六：利用基本不等式解决实际问题
例6．用长度为20米的篱笆围成一矩形场地，则矩形的最大面积为__________．
【变式训练】如图设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为40cm，把△ABC沿AC向△ADC翻折成为△AEC，AE交DC于点P．设AB＝xcm．
（1）若，求x的取值范围；
（2）设△ADP面积为S，求S的最大值及相应的x的值．
1．不等式（x-2y）+≥2成立的前提条件为（ ）
A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y
2．下列不等式中等号可以取到的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若正实数、满足，则当取最大值时，的值是（ ）
A． B． C． D．
4．已知正实数，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．的最小值等于（ ）
A．3 B． C．2 D．无最小值
6．已知a、b为正实数，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（多选）下列命题中正确的是（ ）
A．对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab、a＋b≥2均成立
B．若a≠0，则a＋≥2 ＝4
C．若a，b∈R，则ab≤
D．若a>0，b>0，且a＋b＝16，则ab≤64
8．（多选）已知正数满足，则下列选项正确的是（ ）
A．的最小值是2 B．的最大值是1
C．的最小值是4 D．的最大值是2
9．（多选）若，且，则在四个数中正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知.
（1）当时，求的最小值；
（2）当时，求的最小值.
11．（1）已知，，，求证：；
（2）已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：.
12．近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供（万元）的专项补贴．波司登制衣有限公司在收到高邮政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）．同时波司登制衣有限公司生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额政府专项补贴成本．
（1）求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的表达式；
（2）高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益（万元）最大？
1．若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．2
4．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是（ ）
A．20 B．25 C．28 D．30
5．已知，且.则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．（多选）设正实数m、n满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为3 B．的最大值为1
C．的最小值为2 D．的最小值为2
7．已知，则与的大小关系是____________
8．已知，，，则的最大值为______．
9．已知正数，满足，则的最小值为___________．
10．证明：
（1）；
（2）.
11．利用基本不等式证明：已知都是正数，求证：
12．（1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
（2）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
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