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第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式
1．通过函数图象理解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的紧密联系，理解一元二次不等式的几何意义；
2．掌握一元二次不等式的一般解法，并能用集合表示，能运用三个“二次”的关系解决相关的数学问题；
3．掌握与一元二次不等式有关的不等式恒成立及问题的解法；
4．能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决。
一、一元二次不等式的相关概念
1、定义：一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.
2、一般形式：ax2＋bx＋c>0（≥0），ax2＋bx＋c<0（≤0），（其中a≠0，a，b，c均为常数）
3、一元二次不等式的解与解集
使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫作这个一元二次不等式的解；
一元二次不等式的所有解组成的集合，叫作这个一元二次不等式的解集；
将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形。
二、一元二次不等式的解法
1、一元二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数的零点．
2、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1三、解一元二次不等式的一般步骤
1、判号：检查二次项的系数是否为正值，若是负值，则利用不等式的性质将二次项系数化为正值；
2、求根：计算判别式，求出相应方程的实数根；
①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）；
②时，求根；
③时，方程无解
3、标根：将所求得的实数根标在数轴上（注意两实数根的大小顺序，尤其是当实数根中含有字母时），
并画出开口向上的抛物线示意图；
4、写解集：根据示意图以及一元二次不等式解集的几何意义，写出解集。
口诀：大于零取（根）两边，小于零取（根）中间
四、含参数的一元二次不等式讨论依据
1、对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论；
2、当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论；
3、当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集。
五、一元二次不等式在实数集上的恒成立
1、不等式对任意实数恒成立 或
2、不等式对任意实数恒成立 或
【注意】对于二次不等式恒成立问题，
恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方；
恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方．
考点一：解不含参数的一元二次不等式
例1．不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】不等式可化为,解得,
即不等式的解集为.故选：A
【变式训练】 的解集为___________________.
【答案】或
【解析】因为，
所以，
即，
所以或.
所以不等式的解集为或.
故答案为：或
考点二：解含参数的一元二次不等式
例2．关于x的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】不等式可化为．
∵，∴．
∴原不等式的解集为.故选：D
【变式训练】解关于x的不等式.
【答案】答案见解析
【解析】原不等式变为，
①当时，原不等式可化为，
所以当时，解得；
当时，解集为；
当时，解得
②当时，原不等式等价于，即.
③当时，，原不等式可化为，解得或.
综上，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为或.
考点三：三个“二次”之间的关系
例3．已知不等式的解集是，求a，c的值.
【答案】
【解析】由于不等式的解集是，
所以和是的两个根，
由韦达定理可得且，解得，
【变式训练】若不等式的解集为，则函数的图象与x轴的交点为（ ）
A．和 B． C． D．和
【答案】A
【解析】若不等式的解集为，
则方程的两个根为且，
，解得，
则函数，
令，解得或，
故函数的图象与轴的交点为和.故选：A.
考点四：一元二次不等式恒成立与有解问题
例4．若不等式对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，当且仅当时等号成立，
故，故，故选：A.
【变式训练】已知不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】D
【解析】① 若,则恒成立，满足题意；
② ,则，
, ∴.
综上所述. 故选：D
考点五：一元二次不等式在实际中的应用
例5．（多选）有纯农药液一桶，倒出8升后用水加满，然后又倒出4升后再用水加满，此时桶中所含的纯农药药液不超过桶的容积的，则桶的容积可能为（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
【答案】BC
【解析】设桶的容积为x，
根据题意可得关于x的一元二次不等式：，且，=
化简可得，
，故选：BC
【变式训练】学校要在一块长为40米，宽为30米的矩形地面上进行绿化，四周种植花卉(花卉带的宽度相等)，中间设草坪(如图)．要求草坪的面积不少于总面积的一半，求花卉带宽度的取值范围．
【答案】花卉带宽度的取值范围为（单位：米）
【解析】设花卉带的宽度为米，则草坪的长和宽分别是米，米，
则，所以，解得
故花卉带宽度的取值范围为（单位：米）．
1．不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【解析】解不等式可得，
故原不等式的解集为.故选：C.
2．不等式的解集为（ ）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】B
【解析】原不等式即为，解得，
故原不等式的解集为.故选 ：B.
3．不等式的解集为，则的值为 （ ）
A．-2 B．0 C．2 D．5
【答案】C
【解析】因为不等式的解集为，
所以，解得 ，
所以 ，故选：C
4．若不等式对于恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】原不等式可化为，
设，
则，
当且仅当，且，即时，有最小值为2.
因为恒成立，所以.故选：C.
5．若二次函数的图像都在轴下方，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于是二次函数，则二次项系数，
依题意，对于恒成立，
则二次函数开口必然向下，且和轴没有交点，
即，解得.故选：A
6．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为，生产x件所需成本为C（元），其中元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是（ ）
A．20≤x≤30 B．20≤x≤45 C．15≤x≤30 D．15≤x≤45
【答案】B
【解析】设该厂每天获得的利润为y元，
则y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500(0＜x＜80)．
由题意，知－2x2＋130x－500≥1300，即x2－65x＋900≤0，解得：20≤x≤45，
所以日销量x的取值范围是20≤x≤45．故选：B．
7．（多选）已知关于x的不等式的解集为，则下列说法中正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】因为的解集为，
所以，且方程的两根分别为2，3，
由韦达定理可知：，结合，解得，
所以，所以选项A、B正确；
因为，所以选项C正确；
因为，所以选项D错误.故选：ABC
8．若，解不等式．
【答案】
【解析】∵，∴，
原不等式可化为，解得．
故原不等式的解集为．
9．解关于x的不等式.
【答案】答案见解析
【解析】不等式对应方程的判别式，
（1）当，即或时，
由于方程的根是，
所以不等式的解集是或}；
（2）当，即时，不等式的解集为且；
（3）当，即时，不等式的解集为R，
故或时，不等式的解集是或}；
时，不等式的解集为且；
时，不等式的解集为R.
10．（2022秋·广东佛山·高一佛山一中校考阶段练习）某单位在对一个长80m，宽60m的矩形空地进行绿化，设计方案初步确定为：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示．若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，求花坛宽度的取值范围．
【答案】
【解析】花坛的宽度为，所以绿草坪的长为，宽为，
草坪面积为，
总面积，
根据题意可得，
整理得，解得或．
由题意知，解得，所以不符合题意，舍去，
所以．
答：当时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一．
1．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由得，解得或，
故不等式的解为，故选：C
2．不等式的解集是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】D
【解析】将不等式化为，由于对应方程的判别式，
所以不等式的解集为.故选：D.
3．若一元二次不等式的解集是，则一元二次不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由一元二次不等式的解集是
可得是的两个根，且
所以，
所以可化为，即，
解得或.故选：C
4．某文具店购进一批新型台灯，每盏的最低售价为15元，若每盏按最低售价销售，每天能卖出45盏，每盏售价每提高1元，日销售量将减少3盏，为了使这批台灯每天获得600元以上的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，得，即，
∴，解得．
又每盏的最低售价为15元，∴．故选：B．
5．当时，关于x的不等式的解集是__________．
【答案】或
【解析】∵，∴，
由得或，
故不等式的解集是或，
故答案为：或
6．若一元二次不等式的解集是，则的值是_____.
【答案】
【解析】一元二次不等式的解集是,
则和是一元二次方程的实数根,
∴, 解得.
故答案为：
7．若不等式的解集为R，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】①当，即时，
，解得.
②当，即时，
若，则原不等式为，恒成立．
若，则原不等式为，即，不符合题目要求，舍去．
综上所述，当时，原不等式的解集为R.
故答案为：.
8．某地每年销售木材约万m3，每立方米的价格为元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的征收木材税，这样每年的木材销售量减少万m3，为了既减少了木材消耗又保证税金收入每年不少于万元，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】设按销售收入的征收木材税时，税金收入为万元，
则，
令，即，解得.
故答案为：
9．设，解关于x的不等式．
【答案】当时，不等式解集为，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为.
【解析】因为，所以：①当时，原不等式变为：恒成立，所以此时解集为；
②当时，，则不等式得，
则对应方程的根为：，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为.
综上：当时，不等式解集为，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为.
10．若，且关于x的不等式在R上有解，求实数a的取值范围．
【答案】
【解析】方法一（判别式法）
关于x的不等式可变形为,
由题可得，解得,
又，所以实数a的取值范围为；
方法二（分离变量法）
因为，所以关于x的不等式可变形为，
因为，
所以，解得，
又，所以实数a的取值范围为．
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第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式
1．通过函数图象理解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的紧密联系，理解一元二次不等式的几何意义；
2．掌握一元二次不等式的一般解法，并能用集合表示，能运用三个“二次”的关系解决相关的数学问题；
3．掌握与一元二次不等式有关的不等式恒成立及问题的解法；
4．能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决。
一、一元二次不等式的相关概念
1、定义：一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.
2、一般形式：ax2＋bx＋c>0（≥0），ax2＋bx＋c<0（≤0），（其中a≠0，a，b，c均为常数）
3、一元二次不等式的解与解集
使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫作这个一元二次不等式的解；
一元二次不等式的所有解组成的集合，叫作这个一元二次不等式的解集；
将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形。
二、一元二次不等式的解法
1、一元二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数的零点．
2、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1三、解一元二次不等式的一般步骤
1、判号：检查二次项的系数是否为正值，若是负值，则利用不等式的性质将二次项系数化为正值；
2、求根：计算判别式，求出相应方程的实数根；
①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）；
②时，求根；
③时，方程无解
3、标根：将所求得的实数根标在数轴上（注意两实数根的大小顺序，尤其是当实数根中含有字母时），
并画出开口向上的抛物线示意图；
4、写解集：根据示意图以及一元二次不等式解集的几何意义，写出解集。
口诀：大于零取（根）两边，小于零取（根）中间
四、含参数的一元二次不等式讨论依据
1、对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论；
2、当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论；
3、当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集。
五、一元二次不等式在实数集上的恒成立
1、不等式对任意实数恒成立 或
2、不等式对任意实数恒成立 或
【注意】对于二次不等式恒成立问题，
恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方；
恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方．
考点一：解不含参数的一元二次不等式
例1．不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】 的解集为___________________.
考点二：解含参数的一元二次不等式
例2．关于x的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】解关于x的不等式.
考点三：三个“二次”之间的关系
例3．已知不等式的解集是，求a，c的值.
【变式训练】若不等式的解集为，则函数的图象与x轴的交点为（ ）
A．和 B． C． D．和
考点四：一元二次不等式恒成立与有解问题
例4．若不等式对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】已知不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
考点五：一元二次不等式在实际中的应用
例5．（多选）有纯农药液一桶，倒出8升后用水加满，然后又倒出4升后再用水加满，此时桶中所含的纯农药药液不超过桶的容积的，则桶的容积可能为（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
【变式训练】学校要在一块长为40米，宽为30米的矩形地面上进行绿化，四周种植花卉(花卉带的宽度相等)，中间设草坪(如图)．要求草坪的面积不少于总面积的一半，求花卉带宽度的取值范围．
1．不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．或
2．不等式的解集为（ ）
A．或 B．
C．或 D．
3．不等式的解集为，则的值为 （ ）
A．-2 B．0 C．2 D．5
4．若不等式对于恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．若二次函数的图像都在轴下方，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为，生产x件所需成本为C（元），其中元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是（ ）
A．20≤x≤30 B．20≤x≤45 C．15≤x≤30 D．15≤x≤45
7．（多选）已知关于x的不等式的解集为，则下列说法中正确的有（ ）
A． B． C． D．
8．若，解不等式．
9．解关于x的不等式.
10．（2022秋·广东佛山·高一佛山一中校考阶段练习）某单位在对一个长80m，宽60m的矩形空地进行绿化，设计方案初步确定为：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示．若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，求花坛宽度的取值范围．
1．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
2．不等式的解集是（ ）
A． B． C．或 D．
3．若一元二次不等式的解集是，则一元二次不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
4．某文具店购进一批新型台灯，每盏的最低售价为15元，若每盏按最低售价销售，每天能卖出45盏，每盏售价每提高1元，日销售量将减少3盏，为了使这批台灯每天获得600元以上的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．当时，关于x的不等式的解集是__________．
6．若一元二次不等式的解集是，则的值是_____.
7．若不等式的解集为R，则实数的取值范围是________．
8．某地每年销售木材约万m3，每立方米的价格为元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的征收木材税，这样每年的木材销售量减少万m3，为了既减少了木材消耗又保证税金收入每年不少于万元，则的取值范围是________．
9．设，解关于x的不等式．
10．若，且关于x的不等式在R上有解，求实数a的取值范围．
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