资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第9讲 函数的概念及其表示
1．理解函数的概念，了解构成函数的三要素；
2．能正确使用区间表示数集，会求简单函数的定义域、函数值和值域；
3．掌握函数的三种表示法—解析法、图象法、列表法；
4．了解两个函数相等的意义，会判断给定两个函数是否为同一个函数；
5．会求函数的解析式，并正确画出函数的图象。
一、函数的定义及概念概念
1、函数的定义：设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，
记作：y＝f(x)，x∈A
【注意】函数的本质含义：定义域内的任意一个x值，必须有且仅有唯一的y值与之对应。
（1）特殊性：定义的集合A，B必须是两个非空数集；
（2）任意性：A中任意一个数都要考虑到；
（3）唯一性：每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应；
（4）方向性：A→B
2、函数的有关概念
（1）函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；
与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
（2）函数的三要素：定义域、对应关系和值域．
（3）函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
3、函数的三要素的理解
（1）定义域：使函数解析式有意义或使实际问题有意义的的取值范围；
（2）对应关系：是函数关系的本质特征，是沟通定义域与值域的桥梁，在定义域确定的情况下，对应关系控制着值域的形态，可以看作是对 “”施加的某种运算或法则。
例如：，就是对自变量求平方。
（3）值域：对应关系对自变量在定义域内取值时相应的函数值的集合，其中，表示“是的函数”，指的是为在对应关系下的对应值。
4、同一个函数：两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数为同一个函数。
二、区间及相关概念
1、一般区间的表示：设a，b是两个实数，而且a在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示.
定义 名称 符号 数轴表示
闭区间
开区间
半开半闭区间
半开半闭区间
2、实数集R
可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，
“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．
3、特殊区间的表示
定义 符号 数轴表示
三、求函数的定义域的依据
1、分式中分母不能为零；
2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中；
奇次方根的被开方数取全体实数，即中，；
3、零次幂的底数不能为零，即中；
4、实际问题中函数定义域要考虑实际意义；
5、如果已知函数是由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成，那么定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合。
四、函数的表示方法
1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。
2、列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系。
3、图像法：用图象表示两个变量之间的对应关系。
五、分段函数
1、定义：在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．
2、性质：分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；
各段函数的定义域的交集是空集．
3、分段函数图象的画法
（1）作分段函数图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏；
（2）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后作出函数的图象。
六、函数解析式的求法
1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．
（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；
（2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程；
（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
2、换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题
（1）先令，注意分析的取值范围；
（2）反解出x，即用含的代数式表示x；
（3）将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得。
3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，
然后以x替代g(x)，便得的解析式．
4、方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。
例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件，
可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出
考点一：对函数概念的理解
例1．下列变量间为函数关系的是（ ）
A．匀速行驶的客车在2小时内行驶的路程
B．某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系
C．一只60瓦的白炽灯在7小时内的耗电量与时间t的关系
D．生活质量与人的身体状况间的关系
【变式训练】下列图象中，表示函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
考点二：区间概念的理解
例2．用区间表示集合__________．
【变式训练】（多选）下列集合不能用区间形式表示的是（ ）
A． B． C．或 D．
考点三：求具体函数的定义域
例3．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．或
【变式训练】函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
考点四：求抽象函数的定义域
例4．已知函数的定义域为，求函数的定义域.
【变式训练】已知的定义域为 ，求的定义域.
考点五：判断两个函数是否相等
例5．下列各函数中，与函数表示同一函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】（多选）下列各组函数不是同一个函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
考点六：画简单函数的图象
例6．作出下列函数的图象.
（1）y＝x＋2，|x|≤3；
（2），x∈Z且|x|≤2.
【变式训练】作出函数的图像．
考点七：求函数的解析式
例7．已知一次函数满足，则（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【变式训练】（1）已知，求的解析式；
（2）已知，求的解析式．
考点八：求分段函数的函数值
例8．设，则（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式训练】已知函数，那么________．
考点九：求简单函数的值域
例9．若函数的定义域是，则它的值域________．
【变式训练】已知函数，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
1．下列各函数图象中，不可能是函数的图象的是（ ）
A． B． C． D．
2．区间等于（ ）
A． B． C． D．
3．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4．若函数的定义域为，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
5．已知集合是实数集的子集，定义，若集合，则（ ）
A． B．
C． D．
6．下列函数中，是同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
7．若函数，且，则实数的值为（ ）
A．或 B．或3 C． D．3
8．已知函数的对应关系如下表，则（ ）
x 0 1 2 3
2 1 3 0
3 2 0
A．0 B．2 C． D．1
9．（多选）下列对应关系中不是到的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
10．若的定义域为，则的定义域为______．
11．函数的值域为 __________________
12．已知，求_______．
13．（1）已知是一次函数，且满足，求的解析式．
（2）若对任意实数x，均有，求的解析式．
14．已知函数.
（1）求，的值；
（2）作出函数的简图；
（3）由简图指出函数的值域；
1．下列各组函数表示相同函数的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
2．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
3．已知的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数的定义域为，则其值域为（ ）
A． B． C． D．
5．下列函数中，值域为的是（ ）
A． B． C． D．
6．函数，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．（多选）下列是函数图象的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的定义域为，则的定义域为______.
9．已知，则______．
10．已知函数，则___________.
11．已知函数，分别由下表给出，则______；当时，______．
x 1 2 3
2 1 1
3 2 1
12．用区间表示下列集合：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）.
13．作出下列函数的图象并求出其值域．
（1），且；
（2），
（3），
14．（1）已知函数，求函数的解析式
（2）已知为一次函数，若，求的解析式.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第9讲 函数的概念及其表示
1．理解函数的概念，了解构成函数的三要素；
2．能正确使用区间表示数集，会求简单函数的定义域、函数值和值域；
3．掌握函数的三种表示法—解析法、图象法、列表法；
4．了解两个函数相等的意义，会判断给定两个函数是否为同一个函数；
5．会求函数的解析式，并正确画出函数的图象。
一、函数的定义及概念概念
1、函数的定义：设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，
记作：y＝f(x)，x∈A
【注意】函数的本质含义：定义域内的任意一个x值，必须有且仅有唯一的y值与之对应。
（1）特殊性：定义的集合A，B必须是两个非空数集；
（2）任意性：A中任意一个数都要考虑到；
（3）唯一性：每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应；
（4）方向性：A→B
2、函数的有关概念
（1）函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；
与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
（2）函数的三要素：定义域、对应关系和值域．
（3）函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
3、函数的三要素的理解
（1）定义域：使函数解析式有意义或使实际问题有意义的的取值范围；
（2）对应关系：是函数关系的本质特征，是沟通定义域与值域的桥梁，在定义域确定的情况下，对应关系控制着值域的形态，可以看作是对 “”施加的某种运算或法则。
例如：，就是对自变量求平方。
（3）值域：对应关系对自变量在定义域内取值时相应的函数值的集合，其中，表示“是的函数”，指的是为在对应关系下的对应值。
4、同一个函数：两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数为同一个函数。
二、区间及相关概念
1、一般区间的表示：设a，b是两个实数，而且a在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示.
定义 名称 符号 数轴表示
闭区间
开区间
半开半闭区间
半开半闭区间
2、实数集R
可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，
“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．
3、特殊区间的表示
定义 符号 数轴表示
三、求函数的定义域的依据
1、分式中分母不能为零；
2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中；
奇次方根的被开方数取全体实数，即中，；
3、零次幂的底数不能为零，即中；
4、实际问题中函数定义域要考虑实际意义；
5、如果已知函数是由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成，那么定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合。
四、函数的表示方法
1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。
2、列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系。
3、图像法：用图象表示两个变量之间的对应关系。
五、分段函数
1、定义：在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．
2、性质：分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；
各段函数的定义域的交集是空集．
3、分段函数图象的画法
（1）作分段函数图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏；
（2）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后作出函数的图象。
六、函数解析式的求法
1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．
（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；
（2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程；
（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
2、换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题
（1）先令，注意分析的取值范围；
（2）反解出x，即用含的代数式表示x；
（3）将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得。
3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，
然后以x替代g(x)，便得的解析式．
4、方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。
例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件，
可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出
考点一：对函数概念的理解
例1．下列变量间为函数关系的是（ ）
A．匀速行驶的客车在2小时内行驶的路程
B．某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系
C．一只60瓦的白炽灯在7小时内的耗电量与时间t的关系
D．生活质量与人的身体状况间的关系
【答案】C
【解析】对选项A：匀速行驶的客车在2小时内行驶的路程是常量，不满足；
对选项B：某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系是依赖关系，不满足；
对选项C：耗电量与时间t的关系是，是确定的函数关系；
对选项D：生活质量与人的身体状况间的关系是依赖关系，不满足.故选：C
【变式训练】下列图象中，表示函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据函数的定义知，一个有唯一的对应，
由图象可看出，只有选项D的图象满足.故选：D.
考点二：区间概念的理解
例2．用区间表示集合__________．
【答案】
【解析】集合用区间表示为.
故答案为：
【变式训练】（多选）下列集合不能用区间形式表示的是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】ABD
【解析】区间形式可以表示连续数集，是无限集
A,D是自然数集的子集，都不能用区间形式表示，
B选项，Q是有理数，数轴上大于1的有理数不是连续的，
故只有C可以，区间形式为，故选：ABD.
考点三：求具体函数的定义域
例3．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【解析】的自变量需满足，
所以定义域为，故选：A
【变式训练】函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】要使函数有意义，
则有，解得且，
所以其定义域为．故选：C.
考点四：求抽象函数的定义域
例4．已知函数的定义域为，求函数的定义域.
【答案】
【解析】∵函数的定义域为
∴，解之得：
故函数的定义域为：
【变式训练】已知的定义域为 ，求的定义域.
【答案】
【解析】令，，
由二次函数的性质可得，
所以的定义域为.
考点五：判断两个函数是否相等
例5．下列各函数中，与函数表示同一函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，故的定义域为,
对于A，的定义域为，且解析式与相同，故为同一个函数，
对于B,，故不是同一个函数，
对于C,的定义域为，而对定义域为，定义域不同，不是同一个函数，
对于D,的定义域为，而对定义域为，定义域不同，不是同一个函数，
故选:A
【变式训练】（多选）下列各组函数不是同一个函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】ABD
【解析】对于A，的定义域是，的定义域是R，定义域不同，
故不是同一函数，A错；
对于B，与的对应关系不同，故不是同一函数，B错；
对于C，经过化简可知两函数的解析式与定义域都一样，所以为同一函数，C对；
对于D，的定义域是，的定义域是，定义域不同，
故不是同一函数，D错.故选：ABD
考点六：画简单函数的图象
例6．作出下列函数的图象.
（1）y＝x＋2，|x|≤3；
（2），x∈Z且|x|≤2.
【答案】（1）图象见解析；（2）图象见解析
【解析】（1）由题意，，函数的图象如图所示：
（2）由题意，，函数的图象如图所示：
【变式训练】作出函数的图像．
【答案】答案见解析
【解析】因为
所以函数的图像如图所示：
考点七：求函数的解析式
例7．已知一次函数满足，则（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】B
【解析】设，则,
因为，
所以，解得，
所以，.故选：B.
【变式训练】（1）已知，求的解析式；
（2）已知，求的解析式．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）令，则，故，
所以；
（2）由题设①，结合②，
3×①②得：，故.
考点八：求分段函数的函数值
例8．设，则（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解析】由，
可知.故选：C.
【变式训练】已知函数，那么________．
【答案】
【解析】∵，
∴，
∴.
故答案为：.
考点九：求简单函数的值域
例9．若函数的定义域是，则它的值域________．
【答案】．
【解析】∵函数是反比例函数，则时，，且，
所以值域为．
故答案为：．
【变式训练】已知函数，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，
故，故函数值域为.故选：B
1．下列各函数图象中，不可能是函数的图象的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于ABD选项，对于每个都有唯一对应的与之对应，
ABD选项中的图象均为函数的图象；
对于C选项，存在，使得这个有两个与之对应，
C选项中的图象不是函数的图象.故选：C.
2．区间等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】区间表示由的实数组成的集合.故选：C
3．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由由意义可得，，
所以且，
所以函数的定义域为，故选：B.
4．若函数的定义域为，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数的定义域为，
对于函数，则，解得，
即函数的定义域为.故选：C
5．已知集合是实数集的子集，定义，若集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题知，在上图象随着x的增大，y减小，所以，
的对称轴为轴，因为，所以，
所以，故选：B.
6．下列函数中，是同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】C
【解析】选项A中，函数的定义域是，函数的定义域是，不是同一函数；
选项B 中，函数的定义域是，函数的定义域是，不是同一函数；
选项C中，两个函数定义域都是，对应法则也相同，是同一函数；
选项D中，两者对应法则不相同，前者对应自变量直接平方，
后者对应自变量减去1后的平方，不是同一函数．故选：C．
7．若函数，且，则实数的值为（ ）
A．或 B．或3 C． D．3
【答案】B
【解析】令，则，
可得：，即，
∵，∴.故选：B.
8．已知函数的对应关系如下表，则（ ）
x 0 1 2 3
2 1 3 0
3 2 0
A．0 B．2 C． D．1
【答案】B
【解析】，．故选：B．
9．（多选）下列对应关系中不是到的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】A，可化为，显然对任意 (除外)，y值不唯一，
不符合函数的概念，故A满足题意；
B，符合函数的定义，故B不合题意；
C，，在此时对应关系无意义，不符合函数的定义，故C满足题意；
D，，此时，不符合函数的定义，故D满足题意.故选：ACD.
10．若的定义域为，则的定义域为______．
【答案】
【解析】由的定义域为，
令，解得，
所以的定义域为.
故答案为：.
11．函数的值域为 __________________
【答案】
【解析】因为二次函数的对称轴为，
所以当时
因为当时，时，即，
所以值域为
故答案为：
12．已知，求_______．
【答案】0
【解析】，
.
故答案为：0.
13．（1）已知是一次函数，且满足，求的解析式．
（2）若对任意实数x，均有，求的解析式．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）因为是一次函数，所以设，，
又因为，
所以，整理得，
故，解得，
所以.
（2）因为①，
所以②，
由①②得：，解得：.
14．已知函数.
（1）求，的值；
（2）作出函数的简图；
（3）由简图指出函数的值域；
【答案】（1），；（2）函数的简图见解析；（3）
【解析】（1）由，
∴， .
（2）简图如图所示：
（3）简图可知函数的值域为
1．下列各组函数表示相同函数的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】C
【解析】对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为，
两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数；
对于B中，函数的定义域为，函数的定义域为，
两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数；
对于C中，函数与的定义域和对应法则都相同，
所以表示相同的函数；
对于D中，函数的定义域为，函数的定义域为，
两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数.故选：C
2．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题，，解得.故选：D.
3．已知的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为的定义域为，所以，
所以，所以的定义域为．故选：C
4．已知函数的定义域为，则其值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，，当时，，
故值域为.故选：A
5．下列函数中，值域为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于A，，则其值域为，A错误；
对于B，，则其值域为，B正确；
对于C，，则其值域为，C错误；
对于D，，则其值域为，D错误.故选：B.
6．函数，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，则，
故.故选：D.
7．（多选）下列是函数图象的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】根据函数的定义可知，定义域内的每一个只有一个和它对应，
因此不能出现一对多的情况，所以C不是函数图象，ABD是函数图象.故选：ABD.
8．已知函数的定义域为，则的定义域为______.
【答案】
【解析】已知函数的定义域为，所以中，
综上定义域为：，取并集解得；
故答案为:
9．已知，则______．
【答案】.
【解析】因为 ①，
把换成有： ②，
联立①②式有：，解得.
故答案为：.
10．已知函数，则___________.
【答案】9
【解析】根据题意，
故答案为：9
11．已知函数，分别由下表给出，则______；当时，______．
x 1 2 3
2 1 1
3 2 1
【答案】 3 1
【解析】由表可知，．由表可知，，所以，
由表可知，，所以x的值为1．
故答案为：3；1．
12．用区间表示下列集合：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）
13．作出下列函数的图象并求出其值域．
（1），且；
（2），
（3），
【答案】（1）图象见解析，；（2）图象见解析，；（3）图象见解析，
【解析】（1）由已知得的定义域为，列表如下：
0 1 2
1 3 5
其图象是离散的点，如图所示，值域为；
（2）列表如下：
2 3 4 5 …
1 …
当时，其图象是反比例函数图象的一部分，
如图所示，观察图象知其值域为．
（3）列表如下：
0 1 2
0 0 3 8
其图象是抛物线在之间的部分，
如图所示，观察图象知其值域为．
14．（1）已知函数，求函数的解析式
（2）已知为一次函数，若，求的解析式.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】（1）函数，
则，
所以函数的解析式是.
（2）因为一次函数，设，
则，而，
于是得，解得或，
所以或.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑