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第10讲 函数的单调性与最大（小）值
1．理解函数的单调性及其意义，明确增函数、减函数的图象特征；
2．能根据图象写出函数的单调区间，并能利用定义进行证明；
3．理解函数的最大（小）值及其几何意义，会求一些简单函数的最值。
一、函数的单调性
1、单调函数的定义
设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值
当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数；
当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。
2、单调性的图形趋势（从左往右）
上升趋势 下降趋势
3、函数的单调区间：若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
【注意】
（1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，
故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．
（2）单调区间D 定义域I.
（3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大；
（4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；
二、函数的最大（小）值
1、最大值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作ymax＝f(x0)．
2、最小值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作ymin＝f(x0)．
3、几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个．
三、定义法证明函数单调性的步骤
①取值：设x1，x2为该区间内任意的两个值，且x1＜x2
②作差变形：做差f（x1）-f（x2），并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形
③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论
④判断：根据定义做出结论。
四、函数单调性的性质
若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：
（1）与（C为常数）具有相同的单调性.
（2）与的单调性相反.
（3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反.
（4）若≥0，则与具有相同的单调性.
（5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性；
当时，与具有相同的单调性.
（6）与的和与差的单调性（相同区间上）:
简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.
五、常见简单函数的单调性
函数 单调性
一次函数 当时，在R上单调递增；当时，在R上单调递减.
反比例函数 当时，在和上单调递减； 当时，在和上单调递增.
二次函数 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减.
考点一：单调性定义的理解
例1．已知函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）

A．是函数的增区间 B．是函数的减区间
C．函数在上是增函数 D．函数在上是减函数
【答案】C
【解析】根据函数图像可知函数在上递增，在上递减，故A，B正确；
函数在上也单调递增，但区间和不是连续区间，
并且由图象可知，因此不能说函数在上是增函数，C错误；
由于函数在时有定义，由图象可知，则为函数的一个单调递减区间，
故函数在上是减函数，D正确，故选：C
【变式训练】设函数的定义域为，如果在上是减函数，在上也是减函数，能不能断定它在上是减函数？如果在上是增函数，在上也是增函数，能不能断定它在上是增函数？
【答案】见解析
【解析】取 ，则在上是减函数，在上也是减函数，
但，，
因此不能断定在上是减函数.
若取，则在上是增函数，在上也是增函数，
但，，
因此不能断定在上是增函数.
考点二：利用定义法证明函数单调性
例2．用定义证明：函数在上是增函数．
【答案】证明见解析
【解析】对任意，，
则，
因为，所以，
又，所以，
故函数在上是增函数．
【变式训练】求证：函数在区间上是减函数．
【答案】证明见解析
【解析】设，且，
则,
，且，
又，
,
,即
，
故函数在区间是减函数.
考点三：求函数的单调性或单调区间
例3．下列四个函数中，在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在上单调递减，故A错误；
在上单调递增，故B正确；
在上单调递减，在上单调递增，故C错误；
在上单调递减，故D错误.故选:B.
【变式训练1】已知函数是上的增函数，函数是上的减函数，则下列函数一定是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数是上的增函数，函数是上的减函数，
所以函数是上的增函数，
函数是上的减函数，
函数，的单调性无法判断.故选：B.
【变式训练2】函数的递减区间为 _____．
【答案】
【解析】由，则，解得或，
所以函数的定义域为，
设，，则为定义域内的增函数，
而函数在上单调递减，
所以函数的单调递减区间为.
故答案为：
考点四：利用函数单调性比较大小
例4．已知函数是区间内的减函数，则与的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．不确定
【答案】B
【解析】因为，
又是区间内的减函数，
所以.故选：B．
【变式训练】设函数满足：对任意的都有，则与大小关系是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，当时；当时；
所以函数在实数上单调递增，又，所以.故选：A
考点五：利用函数单调性解不等式
例5．若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在上单调递增，，
，解得：，
实数的取值范围为.故选：C.
【变式训练】已知是定义在上的减函数，则不等式的解集为________.
【答案】
【解析】因为是定义在上的减函数，
则，可得，故解集为.
故答案为：
考点六：根据函数的单调性求参数范围
例6．设函数是上的减函数，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意函数是上的减函数，
则，否则为常数函数，不合题意，故为一次函数，
故，故选：D
【变式训练】函数在上为增函数，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】函数开口向上，对称轴为，
要使函数在上为增函数，则，解得，即.
故答案为：
考点七：求简单函数的最值
例7．函数在区间[1，2]上的最大值与最小值分别是（ ）
A． B．2，5 C．1，2 D．
【答案】A
【解析】∵y＝x2+1在（0，+∞）上单调递增，且y＞1，
∴在区间[1，2]上单调递减，
∴函数在区间[1，2]上的最大值与最小值分别是
f（1），f（2），故选：A．
【变式训练】已知函数，则的单调增区间为__；若则最小值为___．
【答案】
【解析】函数的定义域为R，且，
所以函数为奇函数，
当时，，
由二次函数性质得函数在区间单调递增，在[1,2]上单调递减.
由奇函数在对称区间的单调性一致得，函数在上单调递增，且，
所以的单调增区间为，
同样根据奇函数的对称性可得函数在上单调递减，
所以在[-2,1]上的最小值为.
故答案为：；.
1．函数，的单调减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数对称轴为，开口向上，
所以函数，的单调减区间为.故选：D
2．已知函数是定义域为的减函数，若，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数是定义域为的减函数，因，
故，解得，故选：C
3．设函数f(x)是(-∞，+∞)上的减函数，则 （ ）
A．f(a)>f(2a) B．f(a2)【答案】D
【解析】当时，选项A、B、C都不正确；
因为，所以，
因为在上为减函数，所以，故D正确.故选：D
4．下列四个函数中，在区间上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对A，一次函数在上为减函数，A错误；
对B，二次函数在上为减函数，
在上为增函数，B错误；
对C，反比例函数在上为减函数，C错误；
对D，二次函数在上为增函数，D正确.故选：D.
5．已知 在上为增函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于函数 在上为增函数，
所以，解得.故选：A
6．函数的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】令，则，
得，
则当时，取得最大值.故选：C
7．己知函数满足对任意，且，都有成立，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因为对任意，且，都有成立，
所以在上单调递减.
所以，解得.
故答案为:.
8．若，则函数在上的值域是______________．
【答案】
【解析】，
任取，，且，
则，
所以，
所以函数在上单调递增，
则，，
所以函数在上的值域是.
故答案为：.
9．已知函数，则的单调递增区间为__________.
【答案】
【解析】当时，单调递减；
当时，，在上单调递增，在单调递减；
故答案为：
10．的单调增区间是______.
【答案】
【解析】由题知,
由解得或,
故函数的定义域为或,
因为对称轴为,开口向上,
故在单调递减,在单调递增,
因为在定义域内单调递增,
根据复合函数单调性的求法可知,的单调增区间为:.
故答案为:
11．根据定义证明函数在区间上单调递增.
【答案】证明见解析
【解析】，，且，有
.
由，，得，，所以，，
又由，得，于是，即.
所以，函数在区间上单调递增.
12．求下列函数的值域：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1），
显然可取0以外的一切实数，即所求函数的值域为．
（2），因为，
如图所示：
所以所求函数的值域为．
（3）函数的定义域为，
令，则，
，因为，所以.
故函数的值域为.
1．下列命题正确的是（ ）
A．函数在上是增函数 B．函数在上是减函数
C．函数和函数的单调性相同 D．函数和函数的单调性相同
【答案】C
【解析】对于A：定义域为，由二次函数的图像可知，
在是增函数，在是减函数，故A错误；
对于B：的定义域为，由反比例函数的图像可知，
在和上是减函数，故B错误；
对于C：在是增函数，在是减函数，
，当时，，易知为增函数，当时，，
易知为减函数，所以函数和函数的单调性相同，故C正确；
对于D：定义域为，由反比例函数的图像可知，
在和上是减函数；
设定义域为，取，
则，
当时，，即在上单调递减，
当，，即在上单调递减，
同理可证，在上单调递减，在上单调递增，故D错误，故选：C．
2．已知的图象如图所示，则该函数的单调增区间为（ ）
A． B．和 C． D．和
【答案】B
【解析】由图象知：该函数的单调增区间为和.故选：B
3．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数的定义域需要满足，解得定义域为，
因为在上单调递增，所以在上单调递增，故选：D.
4．函数在上是减函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数在上是减函数，
所以.故选：D
5．，记，则函数（）的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当，即或，解得时，
，函数单调递增，
所以；
当时，，函数单调递减，；
当时，，函数单调递增，；
综上，.故选：A.
6．已知函数在上是递减函数，且，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】是减函数，，；故选：D.
7．若函数在上是增函数，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数在上是增函数，，解得：；
则，故选：B.
8．已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为在定义域上是减函数，
所以，解得，
所以.故选：B.
9．函数在上是增函数，则实数a的值为__________．
【答案】0
【解析】当时，函数，在上单调递增，符合题意；
当时，函数，其对称轴为，
若，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；
若，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，
综上，.
故答案为：0.
10．函数，
（1）判断单调性并证明，
（2）求最大值和最小值
【答案】（1）增函数，证明见解析；（2）最大值，最小值
【解析】（1）任取，且．
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴在上为增函数．
（2）由（1）知：在上为增函数，
所以，．
11．画出下列函数的图象，并写出单调区间：
（1）；
（2）．
【答案】（1）图象见解析;单调递增区间为和，无单调递减区间
（2）图象见解析;单调递增区间为，单调递减区间为和
【解析】（1）画出的图象如图所示，
可得其单调递增区间为和，无单调递减区间．
（2） ，作出该函数的图象如图所示，
观察图象，知该函数的单调递增区间为，单调递减区间为和．
12．已知函数.
（1）求的最小值;
（2）求的最大值.
【答案】（1）；（2）2
【解析】（1）由题意可得：，
当时，在区间上单调递减，最小值；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
最小值；
当时，在区间上单调递增，最小值；
综上所述：.
（2）由（1）可知：当时，在单调递减，
所以的最大值为；
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以的最大值为；
当时，在单调递增，所以的最大值为；
综上所述：的最大值.
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第10讲 函数的单调性与最大（小）值
1．理解函数的单调性及其意义，明确增函数、减函数的图象特征；
2．能根据图象写出函数的单调区间，并能利用定义进行证明；
3．理解函数的最大（小）值及其几何意义，会求一些简单函数的最值。
一、函数的单调性
1、单调函数的定义
设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值
当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数；
当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。
2、单调性的图形趋势（从左往右）
上升趋势 下降趋势
3、函数的单调区间：若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
【注意】
（1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，
故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．
（2）单调区间D 定义域I.
（3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大；
（4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；
二、函数的最大（小）值
1、最大值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作ymax＝f(x0)．
2、最小值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作ymin＝f(x0)．
3、几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个．
三、定义法证明函数单调性的步骤
①取值：设x1，x2为该区间内任意的两个值，且x1＜x2
②作差变形：做差f（x1）-f（x2），并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形
③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论
④判断：根据定义做出结论。
四、函数单调性的性质
若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：
（1）与（C为常数）具有相同的单调性.
（2）与的单调性相反.
（3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反.
（4）若≥0，则与具有相同的单调性.
（5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性；
当时，与具有相同的单调性.
（6）与的和与差的单调性（相同区间上）:
简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.
五、常见简单函数的单调性
函数 单调性
一次函数 当时，在R上单调递增；当时，在R上单调递减.
反比例函数 当时，在和上单调递减； 当时，在和上单调递增.
二次函数 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减.
考点一：单调性定义的理解
例1．已知函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）

A．是函数的增区间 B．是函数的减区间
C．函数在上是增函数 D．函数在上是减函数
【变式训练】设函数的定义域为，如果在上是减函数，在上也是减函数，能不能断定它在上是减函数？如果在上是增函数，在上也是增函数，能不能断定它在上是增函数？
考点二：利用定义法证明函数单调性
例2．用定义证明：函数在上是增函数．
【变式训练】求证：函数在区间上是减函数．
考点三：求函数的单调性或单调区间
例3．下列四个函数中，在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1】已知函数是上的增函数，函数是上的减函数，则下列函数一定是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2】函数的递减区间为 _____．
考点四：利用函数单调性比较大小
例4．已知函数是区间内的减函数，则与的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．不确定
【变式训练】设函数满足：对任意的都有，则与大小关系是 （ ）
A． B． C． D．
考点五：利用函数单调性解不等式
例5．若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】已知是定义在上的减函数，则不等式的解集为________.
考点六：根据函数的单调性求参数范围
例6．设函数是上的减函数，则有（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】函数在上为增函数，则的取值范围是__________．
考点七：求简单函数的最值
例7．函数在区间[1，2]上的最大值与最小值分别是（ ）
A． B．2，5 C．1，2 D．
【变式训练】已知函数，则的单调增区间为__；若则最小值为___．
1．函数，的单调减区间为（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数是定义域为的减函数，若，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．设函数f(x)是(-∞，+∞)上的减函数，则 （ ）
A．f(a)>f(2a) B．f(a2)4．下列四个函数中，在区间上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知 在上为增函数，则（ ）
A． B． C． D．
6．函数的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
7．己知函数满足对任意，且，都有成立，则实数a的取值范围是__________．
8．若，则函数在上的值域是______________．
9．已知函数，则的单调递增区间为__________.
10．的单调增区间是______.
11．根据定义证明函数在区间上单调递增.
12．求下列函数的值域：
（1）；
（2）；
（3）.
1．下列命题正确的是（ ）
A．函数在上是增函数 B．函数在上是减函数
C．函数和函数的单调性相同 D．函数和函数的单调性相同
2．已知的图象如图所示，则该函数的单调增区间为（ ）
A． B．和 C． D．和
3．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
4．函数在上是减函数，则（ ）
A． B． C． D．
5．，记，则函数（）的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数在上是递减函数，且，则有（ ）
A． B．
C． D．
7．若函数在上是增函数，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
9．函数在上是增函数，则实数a的值为__________．
10．函数，
（1）判断单调性并证明，
（2）求最大值和最小值
11．画出下列函数的图象，并写出单调区间：
（1）；
（2）．
12．已知函数.
（1）求的最小值;
（2）求的最大值.
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