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第12讲 幂函数
1．理解幂函数的概念；
2．会画幂函数，，，，的图象，结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化规律和性质；
3．能解决与幂函数有关的复合函数问题。
一、幂函数的概念
1、幂函数的概念：把形如函数y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
2、幂函数需要满足三个条件：
（1）系数为1；（2）指数α为常数；（3）后面不加任何项。
例如，，等的函数都不是幂函数．
二、幂函数的图象
同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，的图象(如图)．
三、幂函数的性质
1、所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；
2、如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；
3、如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；
4、在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．
四、画幂函数图象的技巧（类比具体幂函数）
1、当时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于的图象；
2、当时，函数的图象向轴弯曲，类似于的图象；
3、当时，函数的图象向轴弯曲，类似于的图象。
再结合函数的奇偶性就容易知道它们的图象了。
考点一：判断是否为幂函数
例1．下列函数为幂函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点二：根据函数是幂函数求参数
例2．已知幂函数f(x)＝x(α为常数)的图象经过点，则f(9)＝（ ）
A． B． C．3 D．
【变式训练】幂函数在第一象限内是减函数，则（ ）
A．2 B． C． D．
考点三：幂函数的定义域问题
例3．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】给出5个幂函数：①；②；③；④；⑤，其中定义域为的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
考点四：幂函数的图象判断与应用
例4．如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（ ）
A．①，②，③ B．①，②，③
C．①，②，③ D．①，②，③
【变式训练】如图所示，图中的曲线是幂函数在第一象限的图象，已知取，四个值，则相应于，，，的依次为（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
考点五：幂函数图象过定点
例5．当时，函数的图象恒过定点A，则点A的坐标为________．
【变式训练】不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是___________．
考点六：幂函数的单调性与奇偶性
例6．下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1】已知幂函数的图象经过点，则在定义域内（ ）
A．单调递增 B．单调递减 C．有最大值 D．有最小值
【变式训练2】已知幂函数的图象关于y轴对称，则的值为_________．
考点七：利用幂函数单调性解不等式
例7．已知幂函数，若，则a的取值范围是__________.
【变式训练】若幂函数过点，则满足不等式的实数的取值范围是______．
考点八：幂函数的综合应用
例8．已知幂函数，且满足：①在区间上是增函数；②对任意的，都有.
（1）求同时满足①②的幂函数的解析式，
（2）在（1）条件下，求时的值域.
【变式训练】已知幂函数(Z)的图象关于轴对称，且在上是单调递减函数．
（1）求的值；
（2）解不等式．
1．下列函数，既是幂函数，又是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
3．幂函数的图象过点，则下列说法正确的是（ ）
A．偶函数，单调递增区间 B．偶函数，单调递减区间
C．偶函数，单调递增区间 D．奇函数，单调递增区间
4．幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．（多选）下列关于函数的描述中，正确的是（ ）
A．是幂函数 B．是指数函数
C．是对数函数 D．不是二次函数
6．（多选）下列函数为幂函数的是（ ）
A． B． C． D．
7．（多选）下列关于幂函数说法正确的是（ ）
A．图像必过点 B．可能是非奇非偶函数
C．都是单调函数 D．图像不会位于第四象限
8．已知幂函数的图象经过点，则的值为________．
9．已知函数（为不等于0的常数）的图象恒过定点P，则P点的坐标为_______.
10．已知幂函数在上是减函数，则实数值是______.
11．已知函数的图像经过点，若，则的取值范围为__________.
12．已知幂函数的图像经过四点中的两点，且在上为减函数．
（1）求的解析式；
（2）若，求实数a的值．
13．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递增.
（1）求m和n的值；
（2）求满足不等式的a的取值范围.
1．下列函数中不是幂函数的是( )
A． B． C． D．
2．下列函数是幂函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．若幂函数的图象与x轴没有交点，则的图象（ ）
A．关于原点对称 B．关于x轴对称
C．关于y轴对称 D．不具有对称性
4．在下列幂函数中，是偶函数且在上是严格增函数的是（ ）．
A． B． C． D．
5．已知幂函数的图象过点，则下列关于说法正确的是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．在单调递减 D．定义域为
6．函数的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
7．如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（ ）
A． B． C． D．
8．已知幂函数的图像过点，则=______.
9．若函数是幂函数，则当时的函数值为______．
10．已知，则函数的图象恒过的定点的坐标为__．
11．已知幂函数()是偶函数，且在上是增函数，则函数的解析式为_______．
12．已知幂函数为奇函数.
（1）求的值；
（2）若，求实数的取值范围.
13．已知幂函数在区间上是减函数．
（1）求函数的解析式；
（2）讨论函数的奇偶性和单调性；
（3）求函数的值域．
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第12讲 幂函数
1．理解幂函数的概念；
2．会画幂函数，，，，的图象，结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化规律和性质；
3．能解决与幂函数有关的复合函数问题。
一、幂函数的概念
1、幂函数的概念：把形如函数y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
2、幂函数需要满足三个条件：
（1）系数为1；（2）指数α为常数；（3）后面不加任何项。
例如，，等的函数都不是幂函数．
二、幂函数的图象
同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，的图象(如图)．
三、幂函数的性质
1、所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；
2、如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；
3、如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；
4、在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．
四、画幂函数图象的技巧（类比具体幂函数）
1、当时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于的图象；
2、当时，函数的图象向轴弯曲，类似于的图象；
3、当时，函数的图象向轴弯曲，类似于的图象。
再结合函数的奇偶性就容易知道它们的图象了。
考点一：判断是否为幂函数
例1．下列函数为幂函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由幂函数的定义可知：是幂函数，，和的系数不为1，
故不是幂函数，故选：D
【变式训练】现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】幂函数满足形式，故，满足条件，共2个故选：B
考点二：根据函数是幂函数求参数
例2．已知幂函数f(x)＝x(α为常数)的图象经过点，则f(9)＝（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【解析】由题意f（2）＝2α＝，
所以α＝，所以f(x)＝，
所以f(9)＝＝3.故选：C
【变式训练】幂函数在第一象限内是减函数，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】由幂函数的定义可知，解得，
由幂函数的单调性可知，所以．故选:D．
考点三：幂函数的定义域问题
例3．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，则，可得，
故函数的定义域为.故选：D.
【变式训练】给出5个幂函数：①；②；③；④；⑤，其中定义域为的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】C
【解析】①的定义域为，不符合.
②的定义域为，符合.
③的定义域为，不符合.
④的定义域为，符合.
⑤的定义域为，不符合.
所以符合的是②④.故选：C
考点四：幂函数的图象判断与应用
例4．如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（ ）
A．①，②，③ B．①，②，③
C．①，②，③ D．①，②，③
【答案】A
【解析】由函数是反比例函数，其对应图象为①；
函数的定义域为，应为图②；
因为的定义域为且为奇函数，故应为图③.故选：A.
【变式训练】如图所示，图中的曲线是幂函数在第一象限的图象，已知取，四个值，则相应于，，，的依次为（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】B
【解析】根据幂函数的性质，在第一象限内的图象:
当时，越大，递增速度越快，故的，的；
当时，越大，曲线越陡峭，所以曲线的，曲线的.故选:B
考点五：幂函数图象过定点
例5．当时，函数的图象恒过定点A，则点A的坐标为________．
【答案】
【解析】由于对任意的，恒经过点，
所以函数的图象恒过定点,
故答案为：
【变式训练】不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是___________．
【答案】
【解析】因为，故当，即时，，
即函数恒过定点.
故答案为：.
考点六：幂函数的单调性与奇偶性
例6．下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由于在为单调递减函数，在时无意义，A错误；
在为单调递增函数，B正确；
定义域为，在无意义，C错误；
在为单调递减函数，D错误，故选：B
【变式训练1】已知幂函数的图象经过点，则在定义域内（ ）
A．单调递增 B．单调递减 C．有最大值 D．有最小值
【答案】B
【解析】设，则，
所以，即，
则函数的定义域为，
且在定义域内单调递减，没有最大值和最小值.故选：B.
【变式训练2】已知幂函数的图象关于y轴对称，则的值为_________．
【答案】
【解析】由已知得，解得或，
当时，，其图象关于y轴对称，
当时，，其图象关于原点对称.
故答案为：
考点七：利用幂函数单调性解不等式
例7．已知幂函数，若，则a的取值范围是__________.
【答案】
【解析】由幂函数，可得函数的定义域为，且是递减函数，
因为，可得，解得，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
【变式训练】若幂函数过点，则满足不等式的实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】设幂函数，其图像过点，则，解得；
∴，函数定义域为，在上单调递增，
不等式等价于，解得；
则实数的取值范围是.
故答案为：
考点八：幂函数的综合应用
例8．已知幂函数，且满足：①在区间上是增函数；②对任意的，都有.
（1）求同时满足①②的幂函数的解析式，
（2）在（1）条件下，求时的值域.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）对任意的，都有，∴是奇函数.
且，则当时，，满足①不满足②；
当时，，满足①②；
当时，，不满足①②.
故幂函数的解析式为；
（2），，故的值域为.
【变式训练】已知幂函数(Z)的图象关于轴对称，且在上是单调递减函数．
（1）求的值；
（2）解不等式．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为幂函数(Z)的图象关于轴对称，所以函数是偶函数，
为偶数，为奇数，
因为函数在上是单调递减函数，所以，解得，
因为Z，则，，，
当时，为偶数，舍去；
当时，为奇数，
当时，为偶数，舍去；故；
（2）由（1）可得，定义域为，
且在上是单调递减函数，为偶函数，
又，即，且，解得且，
所以不等式的解集为．
1．下列函数，既是幂函数，又是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据幂函数的定义：形如的函数是幂函数，排除A；
的定义域为，不关于原点对称，所以是非奇非偶的函数，所以排除B;
是偶函数，所以排除C；
，既是幂函数，又是奇函数，所以选D.故选：D.
2．已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设幂函数的解析式为，因为该幂函数的图象经过点，
所以，即，解得，即函数，也即，
则函数的定义域为，所以排除选项CD；
又，函数单调递减，故排除B，故选：A.
3．幂函数的图象过点，则下列说法正确的是（ ）
A．偶函数，单调递增区间 B．偶函数，单调递减区间
C．偶函数，单调递增区间 D．奇函数，单调递增区间
【答案】C
【解析】设幂函数为，则，解得，
所以，定义域为，关于原点对称，
又，故为偶函数；显然其单调增区间为.故选：C.
4．幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据幂函数的性质，在第一象限内，的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，
所以由图像得：，故选：D
5．（多选）下列关于函数的描述中，正确的是（ ）
A．是幂函数 B．是指数函数
C．是对数函数 D．不是二次函数
【答案】ACD
【解析】因为，所以是幂函数;
因为，所以不是指数函数;
因为，所以是对数函数;
不是二次函数．故选：ACD.
6．（多选）下列函数为幂函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】根据幂函数的定义可得结果.故选：BD.
7．（多选）下列关于幂函数说法正确的是（ ）
A．图像必过点 B．可能是非奇非偶函数
C．都是单调函数 D．图像不会位于第四象限
【答案】ABD
【解析】幂函数的解析式为，
当时，无论取何值，都有，图像必过点，A选项正确；
当时，，定义域为，此函数为偶函数，
当时，，定义域为，此函数为非奇非偶函数，
所以可能是非奇非偶函数，B选项正确；
当时，，此函数先单调递减再单调递增，则都是单调函数不成立，C选项错误；
当时，无论取何值，都有，所以图像不会位于第四象限，D选项正确；故选：ABD.
8．已知幂函数的图象经过点，则的值为________．
【答案】/
【解析】设幂函数，的图象过点，
即，解得，
所以.所以（4）.
故答案为：.
9．已知函数（为不等于0的常数）的图象恒过定点P，则P点的坐标为_______.
【答案】
【解析】因为的图象恒过，
所以的图象恒过定点.
故答案为：
10．已知幂函数在上是减函数，则实数值是______.
【答案】
【解析】因为幂函数在上是减函数，
所以，解得.
故答案为：
11．已知函数的图像经过点，若，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】因为幂函数的图像过点，所以，，
易知函数在上是奇函数，且单调递增，
所以可化为，
即，解得，故取值范围为.
故答案为：
12．已知幂函数的图像经过四点中的两点，且在上为减函数．
（1）求的解析式；
（2）若，求实数a的值．
【答案】（1）；（2）实数a的值为4或．
【解析】（1）解法一：设，
易知幂函数的图像必过点，
当幂函数的图像经过点时，，所以，
在上为增函数，不符合题意；
当幂函数的图像经过点时，，所以，
在上为减函数，符合题意；
当幂函数的图像经过点时，，所以，
在上为增函数，不符合题意：故；
解法二：设，
易知幂函数的图像必过点，
因为在上为减函数，所以在的图像上，
所以，所以，故；
（2）易知的定义域为，且为偶函数，
由可得，，
解法一：两边平方整理得，，解之得或．
故实数a的值为4或．
解法二：或，解之得或．
故实数a的值为4或．
13．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递增.
（1）求m和n的值；
（2）求满足不等式的a的取值范围.
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）∵是幂函数，
∴，解得m=3.
由在上单调递增得，解得.
∵，∴或.
当时，函数，图象关于y轴对称，符合题意.
当时，函数，图象关于原点对称，不合题意.
综上，，.
（2）由（1）得，，∴.
∵函数在和上均单调递减，
∴当时，，当时，.
∴满足不等式的条件为或或，
解得或，
∴满足不等式的的取值范围.
1．下列函数中不是幂函数的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A选项中，，故它是幂函数．B选项是幂函数．
C选项的系数为3，所以它不是幂函数．D选项是幂函数．
2．下列函数是幂函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】形如（为常数且）为幂函数，
所以，函数为幂函数，函数、、均不是幂函数.故选：C.
3．若幂函数的图象与x轴没有交点，则的图象（ ）
A．关于原点对称 B．关于x轴对称
C．关于y轴对称 D．不具有对称性
【答案】A
【解析】∵ 幂函数的图象与x轴没有交点，
∴ ，且，解得.
∴ 是奇函数， 其图象关于原点对称.故选：A
4．在下列幂函数中，是偶函数且在上是严格增函数的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数为偶函数，在上是严格减函数，A错，
函数不是偶函数，在上是严格减函数，B错，
函数是奇函数，在上是严格增函数，C错，
函数是偶函数，在上是严格增函数，D对，故选：D.
5．已知幂函数的图象过点，则下列关于说法正确的是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．在单调递减 D．定义域为
【答案】C
【解析】设幂函数，
由题意得： ，
故，定义域为 ，故D错误；
定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，A，B错误；
由于 ，故在单调递减，C正确，故选：C
6．函数的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知，函数，则满足，解得，故函数的定义域为，
又，结合幂函数的性质，可得选项C符合题意．故选：C
7．如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，幂函数在第一象限内单调递减，
当时，幂函数在第一象限内单调递增，
所以，
当时，幂函数在第一象限内单调递增，
所以，
所以相应曲线的依次为.故选：A
8．已知幂函数的图像过点，则=______.
【答案】4
【解析】设幂函数，故，解得：，
则，则.
故答案为：4
9．若函数是幂函数，则当时的函数值为______．
【答案】2
【解析】由于函数是幂函数，
所以，则，
所以当时，.
故答案为：
10．已知，则函数的图象恒过的定点的坐标为__．
【答案】
【解析】令，得，
故函数图象过定点，
故答案为：
11．已知幂函数()是偶函数，且在上是增函数，则函数的解析式为_______．
【答案】
【解析】由是幂函数，则，解得或或.
当时，是非奇非偶函数，不满足题意；
当时，是偶函数，但在上递减，不满足题意；
当时，是偶函数且上递增，满足题意．
综上，实数t的值为，所求解析式为.
故答案为：
12．已知幂函数为奇函数.
（1）求的值；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】（1）由，得或，
当时，是奇函数，满足题意，
当时，是偶函数，不满足题意，
所以，；
（2）因为的定义域为，单调减区间为，，
由，可得或或，
解得或，所以实数的取值范围为或.
13．已知幂函数在区间上是减函数．
（1）求函数的解析式；
（2）讨论函数的奇偶性和单调性；
（3）求函数的值域．
【答案】（1）或或；（2）答案见解析；（3）答案见解析
【解析】（1）依题意，即，解得，
因为，所以或或，
所以或或
（2）若定义域为，
则为奇函数，且在和上单调递减；
若定义域为，
则为偶函数，且在上单调递增，在上单调递减；
若定义域为，
则为奇函数，且在和上单调递减；
（3）若，则为奇函数，
当时，所以时，
所以函数的值域为；
若，则为偶函数，
当时，所以时，
所以函数的值域为；
若，则为奇函数，
当时，所以时，
所以函数的值域为.
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