资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第11讲 函数的奇偶性
1．了解函数奇偶性的含义，了解奇函数、偶函数的图象的对称性；
2．会用定义判断函数的奇偶性；
3．会依据函数的奇偶性进行简单的应用。
一、函数奇偶性的定义
1、奇函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数，图象关于原点对称
2、偶函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数，图象关于轴对称。
偶函数的性质：，可避免讨论．
二、判断函数奇偶性的常用方法
1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等.
2、验证法：在判断与的关系时，只需验证=0及是否成立.
3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称.
4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.
5、分段函数奇偶性的判断
判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.
三、定义法判断函数奇偶性
判断与的关系时，也可以使用如下结论：
如果或，则函数为偶函数；
如果或，则函数为奇函数．
四、利用函数奇偶性求分段函数解析式的步骤
第一步：设出所求区间上的任意；
第二步：将所求区间内的转化到已知区间内；
第三步：利用函数奇偶性的定义得出所求区间的解析式。
五、利用函数奇偶性求参数值得方法
1、如果定义函参数，由定义域关于原点对称列等式求解；
2、如果解析式含参数
（1）通过偶函数的定义或奇函数的定义列等式求解；
（2）通过代入定义域内的特殊值列等式求解；
（3）对于在处有定义的奇函数，利用求解。
考点一：判断函数的奇偶性
例1．下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1】函数的奇偶性是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数
【变式训练2】对于两个定义域关于原点对称的函数和在它们的公共定义域内，下列说法中正确的是（ ）
A．若和都是奇函数，则是奇函数
B．若和都是偶函数，则是偶函数
C．若是奇函数，是偶函数，则是偶函数
D．若和都是奇函数，则不一定是奇函数
考点二：利用奇偶性求函数值
例2．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（ ）
A．1 B．－1 C．5 D．－5
【变式训练】已知是上的偶函数，当时，，则（ ）
A．1.4 B．3.4 C．1.6 D．3.6
考点三： 利用奇偶性求参数
例3．已知函数为偶函数，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】若函数为奇函数，则__．
考点四： 利用奇偶性求解析式
例4．已知为偶函数，当时，，则当时，（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】已知是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，的表达式为_________．
1．函数的图像关于（ ）
A．轴对称 B．直线对称 C．坐标原点对称 D．直线対称
2．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的函数是（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数中是偶函数的是（ ）
A．， B．
C． D．，
4．已知偶函数，当时，，则当时，（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数是偶函数，且其定义域为，则（ ）
A．，b＝0 B．
C． D．，
6．若函数为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．1
7．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则的解析式是_______．
8．已知函数其中a，b为常数，若求 _________.
9．定义在R上的奇函数，当时，（k为常数），则______．
10．函数是定义在上的偶函数,则__．
1．下列函数中，是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．己知是定义在上的奇函数，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知是上的奇函数，当时，，则（ ）
A．4 B． C．7 D．
4．函数是奇函数，其图象上有一点，则函数的图象必过点（ ）
A． B． C． D．
5．（多选）设函数的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是偶函数
6．（多选）下列判断正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是非奇非偶函数
7．“a＝0”是“是偶函数”的______条件．（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”或“既非充分又非必要”）
8．若函数是奇函数，则实数a的值为___________.
9．已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为___．
10．判断下列函数的奇偶性：
（1）；
（2）；
（3）.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第11讲 函数的奇偶性
1．了解函数奇偶性的含义，了解奇函数、偶函数的图象的对称性；
2．会用定义判断函数的奇偶性；
3．会依据函数的奇偶性进行简单的应用。
一、函数奇偶性的定义
1、奇函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数，图象关于原点对称
2、偶函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数，图象关于轴对称。
偶函数的性质：，可避免讨论．
二、判断函数奇偶性的常用方法
1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等.
2、验证法：在判断与的关系时，只需验证=0及是否成立.
3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称.
4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.
5、分段函数奇偶性的判断
判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.
三、定义法判断函数奇偶性
判断与的关系时，也可以使用如下结论：
如果或，则函数为偶函数；
如果或，则函数为奇函数．
四、利用函数奇偶性求分段函数解析式的步骤
第一步：设出所求区间上的任意；
第二步：将所求区间内的转化到已知区间内；
第三步：利用函数奇偶性的定义得出所求区间的解析式。
五、利用函数奇偶性求参数值得方法
1、如果定义函参数，由定义域关于原点对称列等式求解；
2、如果解析式含参数
（1）通过偶函数的定义或奇函数的定义列等式求解；
（2）通过代入定义域内的特殊值列等式求解；
（3）对于在处有定义的奇函数，利用求解。
考点一：判断函数的奇偶性
例1．下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对于A：y=5x的定义域为R，单调递增，
f（﹣x）=﹣5x，所以f（﹣x）=﹣f（x），所以f（x）为奇函数，故A正确；
对于B：的定义域为{x|x≠0}，，所以f（﹣x）=﹣f（x），
所以f（x）为奇函数，f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递减，故B错误；
对于C：y=4x2的定义域为R，f（﹣x）=4x2，所以f（﹣x）=f（x），所以f（x）为偶函数，
f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，（0，+∞）上单调递增，故C错误；
对于D：的定义域为R，，所以f（﹣x）=﹣f（x），所以f（x）为奇函数，
f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，故D错误，故选：A.
【变式训练1】函数的奇偶性是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数
【答案】B
【解析】的定义域为，关于原点对称，
.
故为偶函数.故选：B.
【变式训练2】对于两个定义域关于原点对称的函数和在它们的公共定义域内，下列说法中正确的是（ ）
A．若和都是奇函数，则是奇函数
B．若和都是偶函数，则是偶函数
C．若是奇函数，是偶函数，则是偶函数
D．若和都是奇函数，则不一定是奇函数
【答案】B
【解析】对于A，因为和都是奇函数，所以，，
令，则，
所以是偶函数，故A错误；
对于B，因为和都是偶函数，所以，，
令，则，
所以是偶函数，故B正确；
对于C，因为是奇函数，是偶函数，所以，，
令，则，
所以是奇函数，故C错误；
对于D，因为和都是奇函数，所以，，
令，则，
所以是奇函数，故D错误.故选：B
考点二：利用奇偶性求函数值
例2．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（ ）
A．1 B．－1 C．5 D．－5
【答案】B
【解析】根据奇函数性质可知；
而，所以，
所以.故选：B
【变式训练】已知是上的偶函数，当时，，则（ ）
A．1.4 B．3.4 C．1.6 D．3.6
【答案】C
【解析】因为是上的偶函数，
所以，所以关于对称，
当时，，
所以.故选：C.
考点三： 利用奇偶性求参数
例3．已知函数为偶函数，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】若函数为偶函数，则，
即，
整理得，故，解得.故选：B.
【变式训练】若函数为奇函数，则__．
【答案】
【解析】因为函数的定义域为，
且函数为奇函数 ，
所以，，解得.
故答案为：.
考点四： 利用奇偶性求解析式
例4．已知为偶函数，当时，，则当时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时，，则，
又因为是偶函数，所以.故选：B.
【变式训练】已知是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，的表达式为_________．
【答案】/
【解析】是定义域为R的奇函数，当时，，
则当时，，，
所以当时，的表达式为.
故答案为：
1．函数的图像关于（ ）
A．轴对称 B．直线对称 C．坐标原点对称 D．直线対称
【答案】C
【解析】因为定义域为，
且，
所以为奇函数，函数图象关于原点对称.故选：C
2．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对选项A：关于对称，不是偶函数，排除；
对选项B：定义域为，.
函数为偶函数，且在上单调递减，满足；
对选项C：定义域为，是奇函数，排除；
对选项D：当，单调递增，排除.故选：B.
3．下列函数中是偶函数的是（ ）
A．， B．
C． D．，
【答案】D
【解析】函数，，定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，A选项错误；
函数，，，，函数不是偶函数，B选项错误；
函数，定义域为R，，函数是奇函数，C选项错误；
函数，，定义域关于原点对称，，
函数为偶函数 ，D选项正确．故选：D
4．已知偶函数，当时，，则当时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当 ，则 ，，
又为偶函数，∴当x < 0时，.故选：D
5．已知函数是偶函数，且其定义域为，则（ ）
A．，b＝0 B．
C． D．，
【答案】B
【解析】因为偶函数的定义域为，
所以，解得，所以，
由偶函数定义得，
所以，即，所以，
故.故选：B.
6．若函数为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】由函数为奇函数，可得，
所以，
所以，化简得恒成立，
所以，即,
经验证，定义域关于原点对称，
且满足，故；故选:A．
7．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则的解析式是_______．
【答案】
【解析】由函数是定义在R上的奇函数得；
当时， ，∴．
综上，；
故答案为：.
8．已知函数其中a，b为常数，若求 _________.
【答案】
【解析】
；
故答案为：
9．定义在R上的奇函数，当时，（k为常数），则______．
【答案】-4
【解析】是定义在R上的奇函数，
，解得，
则当时，，
.
故答案为：-4.
10．函数是定义在上的偶函数,则__．
【答案】3
【解析】因为是定义在上的偶函数,
所以,解得,
由得,即,
则,故．
故答案为:3
1．下列函数中，是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于A，函数的定义域为R，，
不是偶函数，A不是；
对于B，函数的定义域为R，，
不是偶函数，B不是；
对于C，函数的定义域为R，，是偶函数，C是；
对于D，函数的定义域为R，，
不是偶函数，D不是.故选：C
2．己知是定义在上的奇函数，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】因为，
所以令，则，
因为，，所以，
令，则.故选：D.
3．已知是上的奇函数，当时，，则（ ）
A．4 B． C．7 D．
【答案】A
【解析】当时，，
因为是上的奇函数，所以，
所以.故选：A.
4．函数是奇函数，其图象上有一点，则函数的图象必过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数的定义域为D，因为函数是奇函数，，所以，
且，所以函数的图象必过点.故选：C.
5．（多选）设函数的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是偶函数
【答案】CD
【解析】因为函数的定义域都为R，
所以各选项中函数的定义域也为R，关于原点对称，
因为是奇函数，是偶函数，所以，
对于A，因为，所以函数是奇函数，故A错误；
对于B，因为，
所以函数是偶函数，故B错误；
对于C，因为，所以函数是奇函数，故C正确；
对于D，因为，
所以函数是偶函数，故D正确.故选：CD.
6．（多选）下列判断正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是非奇非偶函数
【答案】BC
【解析】对于A，由且，得，
则的定义域不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，故A错误;
对于B，函数的定义域关于原点对称，当x>0时，，
，
当x<0时，也有，所以为奇函数，故B正确;
对于C，由且，得，即，
的定义域关于原点对称，此时，
所以既是奇函数又是偶函数，故C正确;
对于D，由且，得且x≠0，
的定义域关于原点对称，因为，
，所以函数为奇函数，故D错误.故选:BC.
7．“a＝0”是“是偶函数”的______条件．（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”或“既非充分又非必要”）
【答案】充要
【解析】由是偶函数，可得，经检验符合题意，
则“a＝0”是“是偶函数”的充要条件
故答案为：充要
8．若函数是奇函数，则实数a的值为___________.
【答案】1
【解析】若是奇函数，则有.
当时，，则，
又当时，，所以，
由，得，解得a=1.
故答案为：1.
9．已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为___．
【答案】
【解析】当时，则，
因为当时，，且是定义在上的奇函数，
所以，即，
故时，的解析式为.
故答案为：.
10．判断下列函数的奇偶性：
（1）；
（2） ；
（3）.
【答案】（1）奇函数；（2）是奇函数，也是偶函数；（3）既不是奇函数，也不是偶函数
【解析】（1）的定义域为，关于原点对称，
，则为奇函数.
（2）由，解得，则的定义域为，关于原点对称，
又，则既是奇函数，也是偶函数.
（3）由，可得或，
的定义域不关于原点对称，则既不是奇函数，也不是偶函数．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑