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第13讲 指数及其运算
1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义并掌握幂的运算；
2．能准确把握根式的运算性质及分数指数幂与根式的互化，熟练应用幂的运算性质进行幂的运算。
一、n次方根的定义
1、定义：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且
2、个数：
（1）当n是奇数时，，的值仅有一个，记为；
（2）当n是偶数，①时，的有两个值，且互为相反数，记为；
②时，不存在
二、根式
1、定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
2、性质：（，且）
a；
三、分数指数幂的意义
1、分数指数幂的意义
（1）正分数指数幂：规定：
（2）负分数指数幂：规定：
（3）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
2、分数指数幂的注意事项：
（1）分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂不可理解为个相乘，它是根式的一种新的写法．
在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已．
（2）把根式化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分．
（3）在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，
如有意义，但就没有意义．
四、无理数指数幂
一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．
有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：
①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果．
（2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围．
五、实数指数幂的运算性质
①．
②．
③．
六、条件求值问题的解题思路
1、将条件中的式子用待求式表示出来，进而代入化简得出结论；
2、当直接代入不易时，可以从总体上把握已知式和所求式的特点，从而巧妙求解，一般先利用平方差、立方和（差）以及完全平方公式对其进行化简，再用整体代入法来求值；
3、适当应用换元法，能使公式的使用更加清晰，过程更简洁。
考点一：根式的概念辨析
例1．是实数，则下列式子中可能没有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】有下列四个命题：
①正数的偶次方根是一个正数；
②正数的奇次方根是一个正数；
③负数的偶次方根是一个负数；
④负数的奇次方根是一个负数．
其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
考点二：利用根式的性质化简求值
例2．（多选）下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】化简与求值．
（1）； （2） （3）； （4）＋.
考点三：多重根式的化简
例3．化简（ ）
A． B． C．2 D．
【变式训练】化简________.
考点四：根式与分数指数幂的互化
例4．化简（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】（多选）下列根式、分数指数幂的互化中，不正确的是（ ）
A．－＝ B．＝－ C．＝ D．＝
考点五：利用指数幂的性质化简
例5．的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】计算下列各式．
（1）；
（2）.
考点六：条件求值问题
例6．已知，则的值是（ ）
A．15 B．12 C．16 D．25
【变式训练】已知，则的值为________.
1．二次根式成立的条件是（ ）
A． B． C． D．是任意实数
2．将表示成分数指数幂，其结果是（ ）
A． B． C． D．
3．下列关系式中，根式与分数指数幂互化正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．式子的计算结果为（ ）
A． B． C． D．
5．计算的结果为（ ）
A． B．1 C．2 D．
6．（多选）已知，则等于（ ）
A． B． C．1 D．
7．（多选）已知，则下列选项中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
8．化简的结果是______．
9．当时，化简______.
10．若代数式有意义，则__________.
11．计算：
（1）；
（2）.
12．（1）求值：；
（2）已知，化简：.
1．，下列各式一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
2．可化为( )
A． B． C． D．
3．（ ）
A． B．
C． D．当为奇数时，；当为偶数时，
4．设a＞0，将表示成分数指数幂的形式，其结果是（ ）
A． B． C． D．
5．下列各式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6．(多选)下列说法中错误的是（ ）
A．根式都可以用分数指数幂来表示
B．分数指数幂不表示相同式子的乘积，而是根式的一种新的写法
C．无理数指数幂有的不是实数
D．有理数指数幂的运算性质不适用于无理数指数幂
7．（多选）下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
8．____________．
9．（1）_________；_________．
（2）_________；_________．
10．化简求值:
（1）；
（2）（，）.
11．化简：
（1）；
（2）．
12．（1）已知，化简.
（2）设，，，求的值.
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第13讲 指数及其运算
1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义并掌握幂的运算；
2．能准确把握根式的运算性质及分数指数幂与根式的互化，熟练应用幂的运算性质进行幂的运算。
一、n次方根的定义
1、定义：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且
2、个数：
（1）当n是奇数时，，的值仅有一个，记为；
（2）当n是偶数，①时，的有两个值，且互为相反数，记为；
②时，不存在
二、根式
1、定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
2、性质：（，且）
a；
三、分数指数幂的意义
1、分数指数幂的意义
（1）正分数指数幂：规定：
（2）负分数指数幂：规定：
（3）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
2、分数指数幂的注意事项：
（1）分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂不可理解为个相乘，它是根式的一种新的写法．
在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已．
（2）把根式化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分．
（3）在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，
如有意义，但就没有意义．
四、无理数指数幂
一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．
有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：
①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果．
（2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围．
五、实数指数幂的运算性质
①．
②．
③．
六、条件求值问题的解题思路
1、将条件中的式子用待求式表示出来，进而代入化简得出结论；
2、当直接代入不易时，可以从总体上把握已知式和所求式的特点，从而巧妙求解，一般先利用平方差、立方和（差）以及完全平方公式对其进行化简，再用整体代入法来求值；
3、适当应用换元法，能使公式的使用更加清晰，过程更简洁。
考点一：根式的概念辨析
例1．是实数，则下列式子中可能没有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，的偶次方根无意义.故选：D
【变式训练】有下列四个命题：
①正数的偶次方根是一个正数；
②正数的奇次方根是一个正数；
③负数的偶次方根是一个负数；
④负数的奇次方根是一个负数．
其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】正数的偶次方根有两个且一正一负，负数的偶次方根不存在；
正数的奇次方根为一个正数，负数的奇次方根为一个负数；
①③错误，②④正确．故选：C
考点二：利用根式的性质化简求值
例2．（多选）下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】当n为偶数时，故A，C选项中的式子不正确；
当n为奇数时，
则，
故B，D选项中的式子正确.故选：BD.
【变式训练】化简与求值．
（1）； （2） （3）； （4）＋.
【答案】（1）；（2）3；（3）π－3；（4）
【解析】（1））；
（2）；
（3）；
（4）原式=，
当时，原式；
当时，原式.
所以原式=
考点三：多重根式的化简
例3．化简（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】，故选：D．
【变式训练】化简________.
【答案】6
【解析】.
故答案为：.
考点四：根式与分数指数幂的互化
例4．化简（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由.故选：C
【变式训练】（多选）下列根式、分数指数幂的互化中，不正确的是（ ）
A．－＝ B．＝－ C．＝ D．＝
【答案】ABCD
【解析】A中，（），故A错误；
B中，，故B错误；
C中，（），故C错误；、
D中，，故D错误.故选：ABCD.
考点五：利用指数幂的性质化简
例5．的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】原式＝.故选：D．
【变式训练】计算下列各式．
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）原式.
（2）原式.
考点六：条件求值问题
例6．已知，则的值是（ ）
A．15 B．12 C．16 D．25
【答案】A
【解析】因为，
所以，
又由立方差公式，，故选：A．
【变式训练】已知，则的值为________.
【答案】23
【解析】因为，
所以，即，
所以.
故答案为：
1．二次根式成立的条件是（ ）
A． B． C． D．是任意实数
【答案】C
【解析】因为，所以.故选：C.
2．将表示成分数指数幂，其结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】.故选：C.
3．下列关系式中，根式与分数指数幂互化正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A，由有意义可知，而当时，无意义，故A错误；
对于B，当时，，而无意义，故B错误；
对于C，，故C错误．
对于D，．故D正确．故选：D.
4．式子的计算结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】.故选：D.
5．计算的结果为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】A
【解析】，故选：A
6．（多选）已知，则等于（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】AB
【解析】令
故选：AB
7．（多选）已知，则下列选项中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】两边平方得：，所以，A正确；
，
因为的大小不确定，所以，B正确；
，
因为，所以，C错误；
由立方和公式可得：，D正确.
故选：ABD
8．化简的结果是______．
【答案】
【解析】.
故答案为：.
9．当时，化简______.
【答案】
【解析】因为，则.
故答案为：.
10．若代数式有意义，则__________.
【答案】8
【解析】因为代数式有意义，所以且，故，
所以，
故答案为：8.
11．计算：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）原式.
（2）原式.
12．（1）求值：；
（2）已知，化简：.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）
；
（2）
1．，下列各式一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于A，当时，无意义，A不是；
对于B，当时，无意义，B不是；
对于C，对任意实数都有意义，C是；
对于D，当时，无意义，D不是.故选：C
2．可化为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】.故选：A
3．（ ）
A． B．
C． D．当为奇数时，；当为偶数时，
【答案】D
【解析】当为奇数时，；
当为偶数时，.故选：D
4．设a＞0，将表示成分数指数幂的形式，其结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】.故选：C
5．下列各式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A选项，，A选项错误；
对于B选项，，B选项错误；
对于C选项，，C选项错误；
对于D选项，，D选项正确.故选：D.
6．(多选)下列说法中错误的是（ ）
A．根式都可以用分数指数幂来表示
B．分数指数幂不表示相同式子的乘积，而是根式的一种新的写法
C．无理数指数幂有的不是实数
D．有理数指数幂的运算性质不适用于无理数指数幂
【答案】CD
【解析】A. 由 ，知根式都可以用分数指数幂来表示，故正确；
B. 由，知分数指数幂不表示相同式子的乘积，
而是根式的一种新的写法，故正确；
C. 实数包括无理数和有理数，所以无理指数幂是实数，故错误；
D.由指数幂的运算法则知：有理数指数幂的运算性质适用于无理数指数幂，故错误；故选：CD
7．（多选）下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】AC
【解析】A：，故A正确；
B：0的负指数幂没有意义，故B错误；
C：，，故C正确；
D：和的值不相等．故D错误.故选：AC.
8．____________．
【答案】
【解析】
故答案为：
9．（1）_________；_________．
（2）_________；_________．
【答案】 6
【解析】（1）；
.
（2）；
.
故答案为：；6；；
10．化简求值:
（1）；
（2）（，）.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）.
（2）
11．化简：
（1）；
（2）．
【答案】（1）4；（2）.
【解析】（1）.
（2）原式
12．（1）已知，化简.
（2）设，，，求的值.
【答案】（1）；（2）8
【解析】（1）由，得，
∴.
（2）令，，则
，，
，
.
∴.
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