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第14讲 指数函数及其性质
1．理解指数函数的概念，掌握指数函数的定义域、值域的求法；
2．理解指数函数的单调性，能利用指数函数的单调性比较幂的大小；
3．掌握指数函数图象通过的特殊的点，会作指数函数的图象，掌握指数函数的性质。
一、指数函数的概念
1、定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，
其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数．
2、注意事项：指数函数的底数规定大于0且不等于1的理由：
（1）如果，当
（2）如果，如，当时，在实数范围内函数值不存在．
（3）如果，是一个常量，对它就没有研究的必要．
为了避免上述各种情况，所以规定且．
二、指数函数的图象与性质
图象
性质 定义域
值域
过定点
单调性 在上是增函数 在上是减函数
奇偶性 非奇非偶函数
三、比较指数幂的大小
比较幂的大小的常用方法：
（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；
（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；
（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．
四、简单指数不等式的解法
1、形如的不等式，可借助的单调性求解；
2、形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解；
3、形如的不等式，可借助两函数，的图象求解。
考点一：指数函数的概念辨析
例1．（多选）下列函数中，是指数函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】（多选）下列函数是指数函数的是（ ）
A． B． C． D．且
考点二：利用指数函数的概念求参
例2．若函数为指数函数，则a的取值范围是________
【变式训练】若函数为指数函数，则（ ）
A．或 B．且 C． D．
考点三：指数函数过定点问题
例3．函数恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】函数且恒过定点，__．
考点四：指数函数的图象辨析
例4．若的图像如图，（，是常数），则（ ）
A．， B．， C．， D．，
【变式训练】函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，，， D．，，，，
考点五：利用单调性比较指数幂的大小
例5．已知，将a，b，c按照从小到大的顺序排列为（　　）
A．c，b，a B．b，a，c C．c，a，b D．b，c，a
【变式训练】（多选）下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点六：解指数型不等式
例6．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】解关于的不等式．
考点七：指数型函数的单调性
例7．函数的单调递增区间是（ ）
A． B．[2，＋∞） C． D．
【变式训练】函数的单调递增区间为______.
考点八：指数型函数的奇偶性
例8．函数的奇偶性是（ ）
A．是奇函数，不是偶函数 B．是偶函数，不是奇函数
C．既是奇函数，也是偶函数 D．非奇非偶函数
【变式训练】已知为偶函数，则实数（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．
考点九：指数型函数的值域
例9．函数的值域为______.
【变式训练】函数在区间［-1，1］上的最大值为___________.
1．如果函数和都是指数函数，则（ ）
A． B．1 C．9 D．8
2．函数的图像不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．函数（其中，，、为常数）的图像恒过定点，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示：曲线，，和分别是指数函数，, 和 的图象,则a，b，c，d 与1的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知有三个数，，，则它们的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．（多选）已知函数，则（ ）
A．的值域为 B．是上的增函数
C．是上的奇函数 D．有最大值
9．（多选）函数其中且，则下列结论正确的是（ ）
A．函数是奇函数
B．方程在R上有解
C．函数的图象过定点
D．当时，函数在其定义域上为单调递增函数
10．函数的定义域是__________．（结果写成集合或区间）
11．已知函数，若为奇函数，则______.
12．函数的值域为_________.
13．若函数是R上的增函数，则实数的取值范围为__________.
14．已知函数（且）是偶函数．
（1）求实数a的值；
（2）求函数的值域．
15．已知集合A为不等式的解集，
（1）若集合且，求m的取值范围；
（2）求函数，在定义域A上的值域.
1．给出下列函数：①；②；③；④.其中指数函数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若函数是指数函数，则等于（ ）
A．或 B． C． D．
3．若函数是指数函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
5．对任意实数且关于x的函数图象必过定点( )
A． B． C． D．
6．函数（）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
7．函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．定义在上的函数的图象关于直线对称，且当时，，有（ ）
A． B．
C． D．
9．不等式的解集为______．
10．函数的定义域为M，值域为，则M=______．
11．函数的单调递增区间是_________．
12．函数的单调减区间是_________.
13．函数是偶函数．
（1）试确定的值及此时的函数解析式；
（2）证明函数在区间上是减函数；
（3）当时，求函数的值域．
14．已知函数（a>0且a≠1），且函数f(x)在[－1，1]上的最大值与最小值之差为．
（1）求实数a的值；
（2）若，当a>1时，解不等式．
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第14讲 指数函数及其性质
1．理解指数函数的概念，掌握指数函数的定义域、值域的求法；
2．理解指数函数的单调性，能利用指数函数的单调性比较幂的大小；
3．掌握指数函数图象通过的特殊的点，会作指数函数的图象，掌握指数函数的性质。
一、指数函数的概念
1、定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，
其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数．
2、注意事项：指数函数的底数规定大于0且不等于1的理由：
（1）如果，当
（2）如果，如，当时，在实数范围内函数值不存在．
（3）如果，是一个常量，对它就没有研究的必要．
为了避免上述各种情况，所以规定且．
二、指数函数的图象与性质
图象
性质 定义域
值域
过定点
单调性 在上是增函数 在上是减函数
奇偶性 非奇非偶函数
三、比较指数幂的大小
比较幂的大小的常用方法：
（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；
（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；
（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．
四、简单指数不等式的解法
1、形如的不等式，可借助的单调性求解；
2、形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解；
3、形如的不等式，可借助两函数，的图象求解。
考点一：指数函数的概念辨析
例1．（多选）下列函数中，是指数函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】由指数函数形式为且，显然A、D不符合，C符合；
对于B，且，故符合.故选：BC
【变式训练】（多选）下列函数是指数函数的是（ ）
A． B． C． D．且
【答案】AD
【解析】由指数函数的定义知，A、D选项是指数函数.
选项B：，不是指数函数.
选项C：不是指数函数.故选：AD.
考点二：利用指数函数的概念求参
例2．若函数为指数函数，则a的取值范围是________
【答案】 或，
【解析】 为指数函数，则 或，解得： 或，
故答案为： 或.
【变式训练】若函数为指数函数，则（ ）
A．或 B．且 C． D．
【答案】C
【解析】因为函数为指数函数，
则，且，解得，故选：C
考点三：指数函数过定点问题
例3．函数恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题设，当，即时，，
所以函数过定点.故选：B
【变式训练】函数且恒过定点，__．
【答案】
【解析】令可得，
此时有.
由题意可得，，
所以，，所以．
故答案为：．
考点四：指数函数的图象辨析
例4．若的图像如图，（，是常数），则（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【解析】由图可知函数在定义域上单调递减，所以，则，
所以在定义域上单调递增，
又，即，所以.故选：D
【变式训练】函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，，， D．，，，，
【答案】C
【解析】由题图，直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，
而.故选：C．
考点五：利用单调性比较指数幂的大小
例5．已知，将a，b，c按照从小到大的顺序排列为（　　）
A．c，b，a B．b，a，c C．c，a，b D．b，c，a
【答案】C
【解析】因函数在R上单调递减，
则，，
又，则，即.
因函数在R上单调递增，则.所以b＞a＞c．故选：C．
【变式训练】（多选）下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】对于A，在定义域上是增函数，，故A正确；
对于B，在定义域上是减函数，，故B错误；
对于C，在上是减函数，，故C正确；
对于D，故D正确；故选：ACD.
考点六：解指数型不等式
例6．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，
∴x2﹣8＜2x，解得﹣2＜x＜4．故选：A．
【变式训练】解关于的不等式．
【答案】
【解析】由得，
即，解得或，
可得或.
所以不等式的解集为.
考点七：指数型函数的单调性
例7．函数的单调递增区间是（ ）
A． B．[2，＋∞） C． D．
【答案】C
【解析】令，则，
故函数的定义域为，设，，
则当时，为增函数，此时；
当时，为减函数，此时.
而在上为增函数，
故在上为增函数，在上为减函数，此时.
而在上为减函数，
故在上为减函数，在上为增函数.故选：C.
【变式训练】函数的单调递增区间为______.
【答案】
【解析】令，根据二次函数的性质，
可得函数在单调递增，在单调递递减，
又由，根据指数函数的性质，可得函数为单调递减函数，
根据复数函数的单调性的判定方法，可得函数的单调递增区间为.
故答案为：.
考点八：指数型函数的奇偶性
例8．函数的奇偶性是（ ）
A．是奇函数，不是偶函数 B．是偶函数，不是奇函数
C．既是奇函数，也是偶函数 D．非奇非偶函数
【答案】A
【解析】的定义域为，，
是奇函数，不是偶函数.故选：A.
【变式训练】已知为偶函数，则实数（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．
【答案】B
【解析】因为为偶函数，为奇函数，
故为奇函数，
，.经检验成立，故选：B.
考点九：指数型函数的值域
例9．函数的值域为______.
【答案】
【解析】∵，且在定义域内单调递减，且，
则，可得，
∴，
故函数的值域为.
故答案为：.
【变式训练】函数在区间［-1，1］上的最大值为___________.
【答案】7
【解析】令，则.
所以即为.
因为对称轴为，所以在.上单调递增，
所以当时，为最大值.
故答案为：7
1．如果函数和都是指数函数，则（ ）
A． B．1 C．9 D．8
【答案】D
【解析】根据题意可得，，则.故选：D
2．函数的图像不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】函数经过第一、二象限，向下平移3个单位后得到函数，
则经过一、三、四象限，不经过第二象限.故选：B
3．函数（其中，，、为常数）的图像恒过定点，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】函数（其中，，、为常数）的图像恒过定点，
即恒成立，则有，解得，所以.故选：B.
4．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为在R上单调递减，
由复合函数单调性可知，只需求出的单调递减区间，
其中单调递减区间为，
故的单调递增区间是.故选：D
5．如图所示：曲线，，和分别是指数函数，, 和 的图象,则a，b，c，d 与1的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为当底数大于1时，指数函数是定义域上的增函数，
当底数小于1时，指数函数是定义域上的减函数，
所以c，d大于1，a，b小于1，
由图知： ，即， ，即 ，
所以，故选：D
6．已知有三个数，，，则它们的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，又在上单调递增，
，即.故选：B.
7．不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，
所以，解得或，
所以不等式的解集为：.故选：C.
8．（多选）已知函数，则（ ）
A．的值域为 B．是上的增函数
C．是上的奇函数 D．有最大值
【答案】ABC
【解析】由题意得：函数的定义域为
对于选项A：函数是一条连续的曲线，
当趋向于负无穷时，趋近于正无穷，趋近于零，
所以趋近于负无穷，当趋向于正无穷时，趋近于零，趋近于正无穷，
所以趋近于正无穷，所以的值域为，故A正确；
对于选项B：因为函数在上单调递减，函数在上单调递增，
所以是上的增函数，故B正确；
对于选项C：的定义域关于原点对称，又，
所以是上的奇函数，故C正确；
对于选项D：是上的增函数，无最值，所以D错误.故选：ABC
9．（多选）函数其中且，则下列结论正确的是（ ）
A．函数是奇函数
B．方程在R上有解
C．函数的图象过定点
D．当时，函数在其定义域上为单调递增函数
【答案】ABD
【解析】定义域为R，且，
故为定义域，A正确；
，故方程在R上有解，B正确，C错误；
当时，函数在R上单调递增，在R上单调递减，
故在定义域上单调递增，D正确.故选：ABD
10．函数的定义域是__________．（结果写成集合或区间）
【答案】
【解析】由题设，则，即，
所以定义域为.
故答案为：
11．已知函数，若为奇函数，则______.
【答案】
【解析】法一：因为为奇函数，所以，即，
化简得，解得，
故，所以；
法二：因为为定义在R上的奇函数，故，解得，
经检验满足题意，故，.
故答案为：
12．函数的值域为_________.
【答案】
【解析】因为，由复合函数的单调性可得，
在上单调递增，在上单调递减，所以，
又恒成立，所以函数的值域为.
故答案为：.
13．若函数是R上的增函数，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】要使函数为R上的增函数，
应有，解得.
故答案为：.
14．已知函数（且）是偶函数．
（1）求实数a的值；
（2）求函数的值域．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1），
因为为偶函数，所以对都有，
即恒成立，即恒成立，
，解得.
（2）由（1）可知，
所以，
令（当时取等号），
则，
所以所求函数为，
则函数在上单调递增，
所以，即函数的值域为.
15．已知集合A为不等式的解集，
（1）若集合且，求m的取值范围；
（2）求函数，在定义域A上的值域.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），即
∴1，即
又∵，∴，
∴①当时，
②当时,
∴综上所述：m的取值范围为：.
（2）
令， 在是单调减函数
∴，在是单调减函数，在是单调增函数
∴当时，
当时，
∴在定义域A上的值域为
1．给出下列函数：①；②；③；④.其中指数函数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】对于①，函数的自变量在底数位置，不在指数位置，故不是指数函数；
对于②，函数的底数，故不是指数函数；
对于③，函数中的指数式的系数不为，故不是指数函数；
对于④，函数的底数满足，符合指数函数的定义，是指数函数.故选：A.
2．若函数是指数函数，则等于（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得，解得.故选：C.
3．若函数是指数函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】为指数函数，可设且，
，解得：，.故选：B.
4．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，即，解得．故选：C.
5．对任意实数且关于x的函数图象必过定点( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵且，∴1－a＞0且1－a≠1，
故函数是指数函数，过定点(0，1)，则过定点(0，5).故选：C.
6．函数（）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，，因此，
且函数在上单调递增，故A、B均不符合；
当 时，，因此，且函数在上单调递减，故C符合，
D不符合．故选：C．
7．函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，
其图象开向上，对称轴为直线．
函数在区间上是减函数，
在区间上是增函数，
又在上单调递增，
，解得．故选：C.
8．定义在上的函数的图象关于直线对称，且当时，，有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】定义在上的函数的图象关于直线对称，
所以，所以，
因为当时，为单调递增函数，
定义在上的函数的图象关于直线对称，
所以当时，单调递减，
因为，所以，即.故选：B.
9．不等式的解集为______．
【答案】
【解析】函数在R上单调递增，则，
即，解得，
所以原不等式的解集为.
故答案为：
10．函数的定义域为M，值域为，则M=______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】因为函数的值域为，
所以，所以，即，
故，所以，则函数的定义域为．
实际上，只要即可满足条件，即可以为并上任意一个的子集均可.
故答案为：（答案不唯一）
11．函数的单调递增区间是_________．
【答案】
【解析】
令， ，
当时，即，单调递增；
当时，即，单调递减；
因为单调递增，
所以函数的单调递增区间为.
故答案为：
12．函数的单调减区间是_________.
【答案】/
【解析】令，
根据复合函数单调性可知，内层函数在上单调递减，在上单调递增，
外层函数在定义域上单调递增，所以函数#在上单调递减，在上单调递增.
故答案为：.
13．函数是偶函数．
（1）试确定的值及此时的函数解析式；
（2）证明函数在区间上是减函数；
（3）当时，求函数的值域．
【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）
【解析】（1）由函数是偶函数，
得，即，解得．
所以.
（2）由（1）知，，
令，则，，
所以，
所以函数在区间上是减函数.
（3）由（2）知，在上是减函数，
所以在上也是减函数，
则，所以．
即函数的值域为.
14．已知函数（a>0且a≠1），且函数f(x)在[－1，1]上的最大值与最小值之差为．
（1）求实数a的值；
（2）若，当a>1时，解不等式．
【答案】（1）a=2或；（2）
【解析】（1）当a>1时，f(x)在[－1，1]上是增函数，
所以，解得a=2；
当0所以，解得．
综上，a=2或．
（2）由（1）知a=2，则，所以g(x)是严格增函数，
由，得，解得．
所以，不等式的解集为．
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