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第15讲 对数及其运算
1．了解对数的概念，会进行指数式与对数式的互化，会求简单的对数值；
2．掌握积、商、幂的对数运算性质，并能正确利用对数运算性质进行对数运算；
3．掌握换底公式及其推论；
4．掌握常用对数、自然对数的概念与记法.
一、对数的概念
1、对数的定义：如果（且），那么数x叫做以a为底N的对数，记作，
其中a叫作对数的底数，N叫作真数．
2、对数的基本性质
（1）当，且时，．
（2）负数和0没有对数，即.
（3）特殊值：1的对数是0，即0（，且）；
底数的对数是1，即（，且）．
（4）；
（5）
二、常用对数与自然对数
名称 定义 记法
常用对数 以10为底的对数叫做常用对数
自然对数 以无理数为底的对数称为自然对数
三、对数的运算性质及应用
1、运算性质：,且，
（1）；
（2）；
（3）
2、换底公式
(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)．
3、可用换底公式证明以下结论：
①； ②； ③；
④； ⑤.
四、对数运算常用方法技巧
1、对数混合运算的一般原则
（1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式化简合并；
（2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；
（3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂；
（4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并；
（5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式。
2、对数运算中的几个运算技巧
（1）的应用技巧：在对数运算中如果出现和，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现，再应用公式进行化简；
（2）的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式化简；
（3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式作为已知条件，求函数的值的问题，通常设，则，，，将值带入函数求解。
考点一：对数的概念辨析
例1．有下列说法：
①以10为底的对数叫作常用对数；
②任何一个指数式都可以化成对数式；
③以e为底的对数叫作自然对数；
④零和负数没有对数.
其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】根据常用对数以及自然对数的概念可知①③正确，
根据对数的性质可知④正确，
只有当且时，指数式才可以化成对数式，②错误，故选：C
【变式训练】已知对数式有意义，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由有意义可知，解得且，
所以a的取值范围为.故选：B
考点二：对数式与指数式互化
例2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】C
【解析】根据指数式与对数式互化可知：
对于选项A：等价于，故A正确；
对于选项B：等价于，故B正确；
对于选项C：等价于，故C错误；
对于选项D：等价于，故D正确；故选：C.
【变式训练】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．
（1）； （2）； （3）； （4）.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
【解析】（1）由，可得；
（2）由，可得；
（3）由，可得；
（4）由，可得.
考点三：利用对数性质解对数方程
例3．求下列各式中x的值．
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由可得，，
则，所以.
（2）由可得，，
故，所以.
【变式训练】若对数方程的两根为，则______.
【答案】
【解析】，或，
由，由，
所以，
故答案为：
考点四：利用对数运算性质化简
例4．（多选）下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】对于A，，A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确．故选：BCD.
【变式训练】计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）；
（2）
．
考点五：用已知对数表示其他对数
例5．已知，，用a，b表示_______．
【答案】
【解析】因为，
所以，.
故答案为：.
【变式训练】（1）已知，，求.（用表示）
（2）已知，，求.（用表示）
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，所以，
所以.
（2）因为，所以，
所以.
考点六：利用换底公式证明等式
例6．已知，求证：.
【答案】证明见解析.
【解析】设()，
则，，，
故.
【变式训练】设，且，求证：
【答案】证明见解析.
【解析】设，，则，，.
因为，所以，
即.
所以，即.
1．有以下四个结论：① ；② ；③若 ，则 ；④若 ，则 ．其中正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
【答案】C
【解析】对于①，，正确；
对于②，，正确；
对于③，若 ，则，故错误；
对于④，若 ，则，故错误，故选：C.
2．使式子有意义的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】要使式子有意义，
则，即，解得或，
所以x的取值范围是.故选：D
3．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
，
则，故选：B．
4．对于 ，且，下列说法中，正确的是（ ）
①若 ，则 ; ②若，则;
③若，则; ④若，则.
A．①③ B．②④ C．② D．①②④
【答案】C
【解析】对于①，当 时， 都没有意义，故不成立;
对于②，，则必有 ，故正确;
对于③，当 互为相反数且不为 0 时，也有，但此时，故错误;
对于④，当时，都没有意义，故错误.
综上，只有②正确.故选：C
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，所以，
又因为，所以，
所以.故选：A.
6．（多选）下列指数式与对数式互化正确的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】AD
【解析】对于可化为：，A正确，
对于可化为：，B不正确，
对于可化为与，,C不正确，
对于可化为：，D正确，故选：AD．
7．（多选）设为非零实数，，且，则下列式子正确的是（ ）
A．； B．；
C．； D．.
【答案】AD
【解析】对于A：，A正确；
对于B：当时，，B错误；
对于C：，C错误；
对于D：，D正确.故选：AD.
8．若_____．
【答案】8
【解析】∵，
∴，
∴，解得，
故答案为：8.
9．计算__________.
【答案】
【解析】原式
故答案为：
10．已知，，则____________．（用含的式子做答）
【答案】
【解析】，，
，
故答案为：.
11．计算下列各式的值（或的值）：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】（1）由，得，所以；
（2）由两边取以10为底对数，得，即，解得；
（3）由，得，
所以，即；
（4）.
12．已知a，b，c满足.当a，b，c均为正数，求证：.
【答案】证明见解析
【解析】设，
可得，其中，
可得，
，
所以.
1．有以下四个结论，其中正确的是（ ）
A． B． C．若，则 D．
【答案】B
【解析】因为，，所以A错误，B正确；
若，则，故C错误；
，而没有意义，故D错误．故选：B.
2．的值是（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】由题意可得：.故选：B.
3．设函数，则 （ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【解析】由，则.故选：B
4．（多选）下列指数式与对数式互化正确的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】ACD
【解析】对于选项A，指数式化为对数式为，故A正确；
对于选项B，指数式化为对数式为，故B错误；
对于选项C，指数式化为对数式为，故C正确；
对于选项D，指数式化为对数式为，故D正确.故选：ACD.
5．（多选）下列正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【答案】BCD
【解析】对于A选项，，A错；
对于B选项，，B对；
对于C选项，因为，则，所以，，C对；
对于D选项，因为，则，所以，，D对.故选：BCD.
6．若有意义，则实数k的取值范围是______.
【答案】
【解析】若有意义，则满足，解得.
故答案为：
7．若，则x的值为________．
【答案】4
【解析】因为，
所以，即，解得．
故答案为：4.
8．已知 ，试用表示 ______.
【答案】
【解析】因为，
利用对数的换底公式可得：，，
于是，,
∴,
故答案为：.
9．关于的二次方程有两个相等的实数根，则的值为_________．
【答案】或
【解析】因为关于的二次方程有两个相等的实数根，
则，
解得或，
所以或.
故答案为：或.
10．将下列对数式改写成指数式或指数式改写为对数式：
（1）； （2）； （3）； （4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】（1），可得.
（2），可得.
（3），可得.
（4），可得.
11．求值：
（1）；
（2）的值．
【答案】（1）；（2）6
【解析】（1）由题意可得.
（2）由题意可得：
，
因为，
所以.
12．（1）计算；
（2）已知，求实数的值．
【答案】（1）7（2）
【解析】（1）由题意可得：；
（2）因为，则，
可得，所以.
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第15讲 对数及其运算
1．了解对数的概念，会进行指数式与对数式的互化，会求简单的对数值；
2．掌握积、商、幂的对数运算性质，并能正确利用对数运算性质进行对数运算；
3．掌握换底公式及其推论；
4．掌握常用对数、自然对数的概念与记法.
一、对数的概念
1、对数的定义：如果（且），那么数x叫做以a为底N的对数，记作，
其中a叫作对数的底数，N叫作真数．
2、对数的基本性质
（1）当，且时，．
（2）负数和0没有对数，即.
（3）特殊值：1的对数是0，即0（，且）；
底数的对数是1，即（，且）．
（4）；
（5）
二、常用对数与自然对数
名称 定义 记法
常用对数 以10为底的对数叫做常用对数
自然对数 以无理数为底的对数称为自然对数
三、对数的运算性质及应用
1、运算性质：,且，
（1）；
（2）；
（3）
2、换底公式
(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)．
3、可用换底公式证明以下结论：
①； ②； ③；
④； ⑤.
四、对数运算常用方法技巧
1、对数混合运算的一般原则
（1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式化简合并；
（2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；
（3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂；
（4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并；
（5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式。
2、对数运算中的几个运算技巧
（1）的应用技巧：在对数运算中如果出现和，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现，再应用公式进行化简；
（2）的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式化简；
（3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式作为已知条件，求函数的值的问题，通常设，则，，，将值带入函数求解。
考点一：对数的概念辨析
例1．有下列说法：
①以10为底的对数叫作常用对数；
②任何一个指数式都可以化成对数式；
③以e为底的对数叫作自然对数；
④零和负数没有对数.
其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练】已知对数式有意义，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
考点二：对数式与指数式互化
例2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【变式训练】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．
（1）； （2）； （3）； （4）.
考点三：利用对数性质解对数方程
例3．求下列各式中x的值．
（1）
（2）
【变式训练】若对数方程的两根为，则______.
考点四：利用对数运算性质化简
例4．（多选）下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练】计算：
（1）；
（2）
考点五：用已知对数表示其他对数
例5．已知，，用a，b表示_______．
【变式训练】（1）已知，，求.（用表示）
（2）已知，，求.（用表示）
考点六：利用换底公式证明等式
例6．已知，求证：.
【变式训练】设，且，求证：
1．有以下四个结论：① ；② ；③若 ，则 ；④若 ，则 ．其中正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
2．使式子有意义的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．则（ ）
A． B． C． D．
4．对于 ，且，下列说法中，正确的是（ ）
①若 ，则 ; ②若，则;
③若，则; ④若，则.
A．①③ B．②④ C．② D．①②④
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．（多选）下列指数式与对数式互化正确的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
7．（多选）设为非零实数，，且，则下列式子正确的是（ ）
A．； B．；
C．； D．.
8．若_____．
9．计算__________.
10．已知，，则____________．（用含的式子做答）
11．计算下列各式的值（或的值）：
（1）
（2）
（3）
（4）
12．已知a，b，c满足.当a，b，c均为正数，求证：.
1．有以下四个结论，其中正确的是（ ）
A． B． C．若，则 D．
2．的值是（ ）
A．1 B． C． D．2
3．设函数，则 （ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
4．（多选）下列指数式与对数式互化正确的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
5．（多选）下列正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
6．若有意义，则实数k的取值范围是______.
7．若，则x的值为________．
8．已知 ，试用表示 ______.
9．关于的二次方程有两个相等的实数根，则的值为_________．
10．将下列对数式改写成指数式或指数式改写为对数式：
（1）； （2）； （3）； （4）．
11．求值：
（1）；
（2）的值．
12．（1）计算；
（2）已知，求实数的值．
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