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第16讲 对数函数及其性质
1．理解对数函数的概念，会求简单对数函数的定义域；
2．初步掌握对数函数的图象与性质；
3．能够利用对数函数的单调性比较大小、能够解简单的对数型不等式；
4．了解反函数的概念及它们的图象特点；
一、对数函数的概念
1、定义：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为．
2、特殊的对数函数
（1）常用对数函数：以10为底的对数函数.
（2）自然对数函数：以无理数e为底的对数函数.
二、对数函数的图象与性质
a＞1 0＜a＜1
图象
性质 定义域 (0，＋∞)
值域 R
过定点 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0
函数值的变化 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0
单调性 是(0，＋∞)上的增函数 是(0，＋∞)上的减函数
【小结】当时，图象呈上升趋势；当时，图象呈下降趋势；
当时，a越大，图象向右越靠近x轴；时，a越小，图象向右越靠近x轴.
三、判断一个函数是否为对数函数的方法
判断一个函数是对数函数必须是形如的形式，即必须满足以下条件
（1）系数为1；
（2）底数为大于0且不等于1的常数；
（3）对数的真数仅有自变量
四、利用对数函数的单调性比较大小常用方法
1、同底数的两个对数值的大小比较，常利用对数函数的单调性进行比较；
2、底数不同且真数也不相同的两个对数值的大小比较，常引用中间变量法比较，通常取中间变量为-1,0,1等；
3、底数不同而真数相同的两个对数值的大小比较，常利用数形结合思想来比较，也可利用换底公式化为同底，再进行比较。
考点一：对数函数概念及应用
例1．下列函数是对数函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数(且)为对数函数，
所以ABC均为对数型复合函数，而D是底数为自然常数的对数函数.故选：D.
【变式训练】（多选）下列函数为对数函数的是（ ）
A．（，且） B．
C． D．
【答案】AC
【解析】形如（，且）的函数为对数函数，
对于A，由，且，可知，且，故A符合题意；
对于B，不符合题意；
对于C，符合题意；
对于D，不符合题意；故选：AC.
考点二：求对数型函数的定义域
例2．函数的定义域为__________.
【答案】
【解析】函数有意义，
则，得，
故答案为：
【变式训练】函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可知，即，解得或，
故函数的定义域为.故选：D.
考点三：对数函数的图象判断
例3．如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数，，的一个是（ ）
A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）
【答案】B
【解析】因为，
（3）是，（4）是，又与关于轴对称，
（1）是．故选：B．
【变式训练】如图是对数函数的图象，已知a值取，，，，则相应的，，，的a值依次是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】B
【解析】∵当时，图象呈上升趋势；当时，图象呈下降趋势，
又当时，a越大，图象向右越靠近x轴；时，a越小，图象向右越靠近x轴，
故，，，对应的a值依次是，，，．故选：B．
考点四：对数函数过定点问题
例4．若函数，且的图像恒过定点，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】令，得.
又，
所以的图像经过定点.
故答案为：
【变式训练】函数的图象过定点，则点的坐标是______.
【答案】
【解析】由对数函数图象性质可知，令可得，
此时，
所以函数的图象过定点；即点的坐标是
故答案为：
考点五：对数型函数的单调性判断
例5．函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，解得：，故函数的定义域是，
函数在上单调递增，在上单调递减，
而函数在定义域内是单调递减函数，
根据复合函数单调性之间的关系可知，
函数的单调递增区间是.故选：D
【变式训练】已知函数，则的单调增区间为_______.
【答案】
【解析】令，即，
由，则在上递增，在上递减，
综上，在上递增，在上递减，而在定义域上递增，
所以的单调增区间为.
故答案为：
考点六：利用对数函数的性质比较大小
例6．下列不等式错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A，由函数在定义域上单调递减，所以成立，故A正确；
对于B，由，而，所以成立，故B正确；
对于C，由，而，所以成立，故C正确；
对于D，由，则，而，所以不成立，故D错误．故选：D．
【变式训练】（多选）已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】由对数函数的单调性可知，，.
即.故选：BC
考点七：解简单的对数型不等式
例7．不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，
，
不等式的解集为．故选：B
【变式训练】已知（且），则实数的取值范围为____________.
【答案】
【解析】①当时，，得；
②当时，，得.
综上所述，的取值范围为，
故答案为：
考点八：对数型函数的奇偶性判断
例8．设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，的定义域是，
A选项，设，
，解得，所以的定义域是，
，所以是奇函数，A选项正确.
B选项，，B选项错误.
CD选项，的定义域是，
所以，，所以和的定义域为，
不关于原点对称，CD选项错误.故选：A
【变式训练】若函数为奇函数，则a =____________．
【答案】2
【解析】由，则，因为函数为奇函数，
所以，则，
故
，
即函数为奇函数，故a=2.
故答案为：2.
考点九：对数型函数的值域求解
例9．函数在上的值域是（ ）
A．R B．(－∞，1] C．[0，1] D．[0，＋∞)
【答案】C
【解析】因为函数为单调增函数，
所以在上的值域为故选：C
【变式训练1】函数，的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，，则在上单调递增，
又，，所以，
又在上单调递增，
所以，即.故选：A
【变式训练2】函数的最小值为________．
【答案】/
【解析】显然，∴
，
令，∵x∈，∴t∈[－1，2]，则，
当且仅当t＝－即x＝时，有.
故答案为：
考点十：反函数的概念及应用
例10．与函数的图象关于直线对称的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数与（且）互为反函数，
且这两个函数的图象关于直线对称，
因此，与函数的图象关于直线对称的函数是.故选：C.
【变式训练】已知函数为的反函数，则__________．
【答案】16
【解析】因为函数为的反函数，所以
所以
故答案为：16
1．若函数为对数函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题可知：函数为对数函数
所以或，又且
所以故选：B
2．函数，则（ ）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
【答案】D
【解析】由，得，
则.故选：D.
3．下列函数中，既是偶函数又在上是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对选项A：，函数为偶函数，当时，为增函数，正确；
对选项B：在上为减函数，错误；
对选项C：，函数为奇函数，错误；
对选项D：在上为减函数，错误；故选：A
4．当时，在同一坐标系中，函数与的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，，函数为底数大于1的指数函数，是增函数，
函数为底数大于0、小于1的对数函数，是减函数，故选：C.
5．图中曲线是对数函数的图象，已知取，，，四个值，则相应于，，，的值依次为
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】A
【解析】由已知中曲线是对数函数的图象，
由对数函数的图象和性质，可得，，，的值从小到大依次为：，，，，
由取，，，四个值，
故，，，的值依次为，，，，故选：．
6．若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，
，，
，所以，故选：D
7．函数的定义域为___．
【答案】且
【解析】要使函数函数有意义，
需满足，解得且，
故函数的定义域为且，
故答案为：且
8．函数（，且）的图像一定经过的点是________．
【答案】
【解析】由题意得：令，即解得所以
故图像一定经过定点.
故答案为：
9．函数的单调递减区间是____________.
【答案】
【解析】令，解得，
则的定义域为，
记，由于的对称轴为，
故其在上单调递减，而在定义域内单调递增，
由复合函数单调性的原则可知：在单调递减，
故答案为：.
10．若点在函数的图像上，点在的反函数图像上，则______.
【答案】
【解析】因为点在函数的图像上,所以,计算得，
因为,所以的反函数为,
又因为点在的反函数图像上,所以,
因为,所以,即得.
故答案为: .
11．若，，，，则a，b，c的大小关系是 _____.
【答案】
【解析】因为，又函数在上单调递增，
所以，即，
所以，
又，即，
因为，所以，即
则，又，
所以，所以，即，
综上，.
故答案为：.
12．函数的反函数为__________．
【答案】
【解析】因为，所以，，则，
由，互换，得，
所以函数的反函数为.
故答案为：.
13．已知函数为定义在上的偶函数，当时，的图象过点．
（1）求a的值：
（2）求的解析式；
（3）求不等式的解集．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）因为当时，的图象过点，
所以，解得．
（2）设，则，则．
因为为定义在上的偶函数，
则．
综上所述，
（3）由，得或解得或．
故不等式的解集为．
14．已知函数且.
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）若，指出函数的单调性，并求函数在区间上的最大值.
【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）答案见解析.
【解析】（1）函数为奇函数，证明如下：
根据题意，，
则 ,解得 ，
则函数的定义域为 ，
又由，则是奇函数；
（2）当时，为上的减函数，为上的增函数，
故为上的减函数，
函数在区间上单调递减，则的最大值为；
当时，为上的增函数，为上的减函数，
故为上的增函数，
函数在区间上单调递增，则的最大值为；
15．已知函数过点．
（1）求解析式；
（2）若，求的值域．
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）将代入，得，解得，
所以，其中
（2），
由，解得，
令，，
∵，
∴由二次函数的性质可知，在时，，
又在上单调递减，
所以的值域为．(注：也正确)
1．下列函数是对数函数的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对数函数（且），其中为常数，为自变量．
对于选项A，符合对数函数定义；
对于选项B，真数部分是，不是自变量，故它不是对数函数；
对于选项C，底数是变量，不是常数，故它不是对数函数；
对于选项D，底数是变量，不是常数，故它不是对数函数．故选：A．
2．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】要使函数有意义，则，解得且，
所以函数的定义域为.故选：C.
3．函数且恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当，即时，，
所以函数恒过定点为.故选：B.
4．已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】因为函数为减函数，所以
又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即
又因为函数图象与轴有交点，所以，所以，故选：D
5．函数 的值域为（ ）
A．(3，＋∞) B．(－∞，3) C．[3，＋∞) D．(－∞，3]
【答案】C
【解析】因为，所以，
所以，即函数的值域为[3，＋∞).故选：C
6．已知，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，，
所以.故选：B.
7．已知为对数函数，，则______．
【答案】1
【解析】设（，且），则，∴，即，
∴，
∴．
故答案为：1.
8．已知函数是函数且的反函数，且的图象过点，则_______.
【答案】
【解析】因为的反函数为，
又的图象过点，
所以，，即，
故答案为：.
9．已知，则实数的取值范围是_______.
【答案】
【解析】因为函数在上单调递减，
由，
得，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
10．函数的单调递增区间是________．
【答案】
【解析】任取且，
则，
因为，所以，，即，
所以在上单调递增，的单调递增区间是，
故答案为：.
11．函数的值域是__________．
【答案】
【解析】令，则，
因为，所以的值域为，
因为在是减函数，所以，
所以的值域为，
故答案为：
12．比较下列各组中两个数的大小：
（1），；
（2），；
（3），．
【答案】（1）；（2）
（3）当时，；当时，；
【解析】（1）因为函数是增函数，且，所以
（2）因为函数是减函数，且，所以
（3）当时，函数是增函数，且，所以；
当时，函数是减函数，且，所以.
13．求下列函数的反函数．
（1）；
（2）；
（3）（）．
【答案】（1）（）；（2）（）；（3）（）
【解析】（1）由，得，且，
∴（）．
（2）由，得，
∴（）．
（3）由，得．
∵，∴．∴（）．
14．已知函数．
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性．
【答案】（1）；（2）偶函数
【解析】（1）由题意可知：，
故函数的定义域为，
（2）由（1）知定义域关于原点对称，
，
所以为偶函数，
15．已知，函数的表达式为．
（1）求的定义域；
（2）当时，求不等式的解集．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题意得：，解得．
因为，所以，故的定义域为．
（2）因为，所以；
因为，所以，即，
从而，解得．
故不等式的解集为.
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第16讲 对数函数及其性质
1．理解对数函数的概念，会求简单对数函数的定义域；
2．初步掌握对数函数的图象与性质；
3．能够利用对数函数的单调性比较大小、能够解简单的对数型不等式；
4．了解反函数的概念及它们的图象特点；
一、对数函数的概念
1、定义：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为．
2、特殊的对数函数
（1）常用对数函数：以10为底的对数函数.
（2）自然对数函数：以无理数e为底的对数函数.
二、对数函数的图象与性质
a＞1 0＜a＜1
图象
性质 定义域 (0，＋∞)
值域 R
过定点 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0
函数值的变化 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0
单调性 是(0，＋∞)上的增函数 是(0，＋∞)上的减函数
【小结】当时，图象呈上升趋势；当时，图象呈下降趋势；
当时，a越大，图象向右越靠近x轴；时，a越小，图象向右越靠近x轴.
三、判断一个函数是否为对数函数的方法
判断一个函数是对数函数必须是形如的形式，即必须满足以下条件
（1）系数为1；
（2）底数为大于0且不等于1的常数；
（3）对数的真数仅有自变量
四、利用对数函数的单调性比较大小常用方法
1、同底数的两个对数值的大小比较，常利用对数函数的单调性进行比较；
2、底数不同且真数也不相同的两个对数值的大小比较，常引用中间变量法比较，通常取中间变量为-1,0,1等；
3、底数不同而真数相同的两个对数值的大小比较，常利用数形结合思想来比较，也可利用换底公式化为同底，再进行比较。
考点一：对数函数概念及应用
例1．下列函数是对数函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】（多选）下列函数为对数函数的是（ ）
A．（，且） B．
C． D．
考点二：求对数型函数的定义域
例2．函数的定义域为__________.
【变式训练】函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
考点三：对数函数的图象判断
例3．如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数，，的一个是（ ）
A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）
【变式训练】如图是对数函数的图象，已知a值取，，，，则相应的，，，的a值依次是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
考点四：对数函数过定点问题
例4．若函数，且的图像恒过定点，则点的坐标为______．
【变式训练】函数的图象过定点，则点的坐标是______.
考点五：对数型函数的单调性判断
例5．函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】已知函数，则的单调增区间为_______.
考点六：利用对数函数的性质比较大小
例6．下列不等式错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】（多选）已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
考点七：解简单的对数型不等式
例7．不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】已知（且），则实数的取值范围为____________.
考点八：对数型函数的奇偶性判断
例8．设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】若函数为奇函数，则a =____________．
考点九：对数型函数的值域求解
例9．函数在上的值域是（ ）
A．R B．(－∞，1] C．[0，1] D．[0，＋∞)
【变式训练1】函数，的值域为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2】函数的最小值为________．
考点十：反函数的概念及应用
例10．与函数的图象关于直线对称的函数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】已知函数为的反函数，则__________．
1．若函数为对数函数，则（ ）
A． B． C． D．
2．函数，则（ ）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
3．下列函数中，既是偶函数又在上是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．当时，在同一坐标系中，函数与的图象是（ ）
A． B． C． D．
5．图中曲线是对数函数的图象，已知取，，，四个值，则相应于，，，的值依次为
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
6．若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．函数的定义域为___．
8．函数（，且）的图像一定经过的点是________．
9．函数的单调递减区间是____________.
10．若点在函数的图像上，点在的反函数图像上，则______.
11．若，，，，则a，b，c的大小关系是 _____.
12．函数的反函数为__________．
13．已知函数为定义在上的偶函数，当时，的图象过点．
（1）求a的值：
（2）求的解析式；
（3）求不等式的解集．
14．已知函数且.
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）若，指出函数的单调性，并求函数在区间上的最大值.
15．已知函数过点．
（1）求解析式；
（2）若，求的值域．
1．下列函数是对数函数的是( )
A． B． C． D．
2．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
3．函数且恒过定点（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．函数 的值域为（ ）
A．(3，＋∞) B．(－∞，3) C．[3，＋∞) D．(－∞，3]
6．已知，则有（ ）
A． B． C． D．
7．已知为对数函数，，则______．
8．已知函数是函数且的反函数，且的图象过点，则_______.
9．已知，则实数的取值范围是_______.
10．函数的单调递增区间是________．
11．函数的值域是__________．
12．比较下列各组中两个数的大小：
（1），；
（2），；
（3），．
13．求下列函数的反函数．
（1）；
（2）；
（3）（）．
14．已知函数．
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性．
15．已知，函数的表达式为．
（1）求的定义域；
（2）当时，求不等式的解集．
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