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第17讲 函数的零点与方程的解
1．了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的关系；
2．结合具体连续函数及其图象的特点；
3．会借助函数零点崔仔定理判断函数的零点所在的大致区间；
4．能借助函数单调性及图象判断零点个数。
一、函数的零点与方程的解
1、定义：如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.
2、注意事项：
（1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；
（2）函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标；
（3）函数的零点就是方程的实数根．
3、方程、函数、图象之间的关系
方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
二、零点存在定理及其推论
1、定理：如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且，
那么，函数在区间内至少有一个零点，
即存在，使得，这个也就是方程的解。
【注意】（1）定义不能确定零点的个数；
（2）不满足定理条件时依然可能有零点；
（3）定理中的“连续不断”是必不可少的条件；
（4）定理反之是不成立的.
2、重要推论：
（1）推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，
且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点.
（2）推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，
函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则
三、零点个数的判断方法
1、直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点.
2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，
结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.
3、图象法：
（1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；
（2）两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数
4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；
若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数
四、判断函数零点所在区间的步骤
第一步：将区间端点代入函数求函数的值；
第二步：将所得函数值相乘，并进行符号判断；
第三步：若符号为正切在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点；
若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点。
五、已知函数零点个数，求参数取值范围的方法
1、直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解；
2、数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；
3、分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域（最值）问题求解．
考点一：求函数的零点
例1．（多选）函数的零点可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】函数的定义域为
令，解得或，
故的零点是和，故选：CD
【变式训练】函数的零点为________．
【答案】2
【解析】令，则，得.
故答案为：
考点二：判断函数零点个数
例2．函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
【答案】C
【解析】由，得，得或，
当时，函数的零点个数为；
当时，函数的零点个数为.
所以该函数的零点个数是1或2.故选：C
【变式训练】已知则方程的实根个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】在同一平面直角坐标系内作出的图像，如图所示：
两个函数的图像有两个交点，所以方程有两个实根，故选:C.
考点三：判断函数零点（方程的解）所在的区间
例3．函数零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，则函数图像是连续的且单调递增，
则，
，
由函数零点存在定理可得函数零点所在区间为.故选：B
【变式训练】函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增.
当时，，
，，
.
由零点存在定理可得：函数的零点所在的区间是.故选：C
考点四：由函数零点所在区间求参数
例4．函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由零点存在定理可知，若函数在区间上存在零点，
显然函数为增函数，只需满足，即，
解得，
所以实数的取值范围是.故选：D
【变式训练】若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】因为函数在区间上存在零点，
即与在上有交点，
又， 在上单调递增，
故时，则，
设，则，
由可得，
即与在上有交点，则.
故答案为：
考点五：已知零点个数求参数
例5．若函数在内有且只有一个零点，则的取值集合是______.
【答案】
【解析】由已知得，，.
由二次函数图象及函数零点存在定理可知，
该函数在内只有一个零点，只需，解得.
故答案为：.
【变式训练】已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是__________．
【答案】
【解析】当时，函数是增函数，函数值集合是，
当时，是减函数，函数值集合是，
关于的方程有两个不同的实根，
即函数的图象与直线有两个交点，
在坐标系内作出直线和函数的图象，如图，
观察图象知，当时，直线和函数的图象有两个交点，
即方程有两个不同的实根，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
1．函数的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由， 在上均递减，
所以在上递减，
又，，
所以零点所在区间为.故选：C．
2．函数的零点所在的区间可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，则，
则函数的零点即为函数的交点的横坐标，
如图，作出函数的图象，
由图可知函数的交点在第一象限，且只有一个交点
即函数的零点大于零，且只有一个零点，
又，
所以函数的零点所在的区间可以是.故选：C.
3．已知方程的解在内，则（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【解析】令函数，显然函数在上单调递增，
而，，因此函数的零点，
所以方程的解在内，即.故选：C
4．函数有两个零点，且分别在与内，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得：，
解得.故选：C.
5．已知函数且，且，则的零点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知：，整理化简可得：，
即，解得：或（舍），所以.
令可得：，所以函数的零点是，故选：.
6．若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，
由于当时，，，且；
当时，，，且，=
作出函数的图象如图所示，
则当时，函数与的图象有两个交点，
即方程有两个不同的实数根，
的取值范围是．故选：C．
7．已知函数，则方程的实数解的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】当时，由，解得；
当时，由，得或，解得或．
故方程的实数解的个数为3．故选：B
8．函数的零点为_________．
【答案】或4
【解析】令，
得，解得或4
故答案为：或4.
9．函数的零点的个数为___________.
【答案】
【解析】由题意，
即函数的零点的个数即为的交点的个数，
在同一直角坐标系中画出两个函数图像
数形结合可知，两个函数有3个交点
故函数的零点的个数是3
故答案为：3
10．函数的零点个数是__________．
【答案】2
【解析】当时，由解得，
当时，由解得，
所以函数的零点个数是2个
故答案为：2.
11．已知函数.
（1）若，求实数的值；
（2）若恰有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题意得，
解得或，因为，故，故.
（2），
设，则，则，，
令，则，
则，由题得直线与函数在图象上有两交点，
，，令，或0（舍）
作出图象如下图所示：
则，解得.
12．已知函数是定义域为的偶函数，当时，.
（1）求函数的解析式.
（2）讨论直线与曲线的交点个数.
【答案】（1）；（2）答案见解析
【解析】（1）当时，.所以
又因为为偶函数，所以
所以，函数的解析式为.
（2）画出的图像如下图所示，
当时，二次函数开口向上，对称轴为，取得最小值，
当时，直线与曲线无交点；
当或时，直线与曲线有2个交点；
当时，直线与曲线有3个交点；
当时，直线与曲线有4个交点.
1．函数的零点的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无数个
【答案】C
【解析】令，则，
所以的零点为1和，故有两个零点，故选：C
2．若是二次函数的两个零点，则的值是（ ）
A．3 B．15 C． D．
【答案】B
【解析】由题意知是二次函数的两个零点，
故是的两个根，
则，且，则且，
故，故选：B
3．函数的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】,
所以在单调递增，
因为
所以由零点存在性质定理知，的零点在.故选：B
4．函数的零点所在的区间为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数，
因为函数在上是连续的曲线，且，，
所以，函数的零点所在的区间为.故选：B.
5．已知函数的零点位于区间内，则整数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】因为函数与在上均为增函数，
所以函数在上为增函数，
因为，，，
所以函数的零点位于区间内，故.故选：B.
6．方程的解的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】由得，
在同一平面直角坐标系内作出与的图象，
两个函数的图象有两个交点，所以方程有两个解，故选：C.
7．已知函数()，若函数 有三个零点，则a 的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数有三个零点，
所以的图象与的图象有三个交点.
因为，所以当时，由得，或，
所以当时，的图象与的图象有两个交点，
则当时的图象与的图象有1个交点.
令，得，所以符合题意;
令，得或(舍去)，所以符合题意.
综上，的取值范围是，故选:A.
8．函数的零点是______．
【答案】
【解析】令，.
所以函数的零点是.
故答案为：
9．若函数的零点在区间(1,+∞)上，则实数a的取值范围是____.
【答案】
【解析】由题可知函数在定义域上单调递增，
又函数的零点在区间(1,+∞)上，
∴，即.
故答案为：.
10．已知函数若关于x的方程有三个不同的实数根，则实数k的取值范围是________．
【答案】
【解析】作出函数的图像和直线，如图所示:
由图可知，当时，函数的图像和直线有三个交点，所以．
故答案为：或.
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第17讲 函数的零点与方程的解
1．了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的关系；
2．结合具体连续函数及其图象的特点；
3．会借助函数零点崔仔定理判断函数的零点所在的大致区间；
4．能借助函数单调性及图象判断零点个数。
一、函数的零点与方程的解
1、定义：如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.
2、注意事项：
（1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；
（2）函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标；
（3）函数的零点就是方程的实数根．
3、方程、函数、图象之间的关系
方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
二、零点存在定理及其推论
1、定理：如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且，
那么，函数在区间内至少有一个零点，
即存在，使得，这个也就是方程的解。
【注意】（1）定义不能确定零点的个数；
（2）不满足定理条件时依然可能有零点；
（3）定理中的“连续不断”是必不可少的条件；
（4）定理反之是不成立的.
2、重要推论：
（1）推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，
且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点.
（2）推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，
函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则
三、零点个数的判断方法
1、直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点.
2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，
结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.
3、图象法：
（1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；
（2）两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数
4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；
若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数
四、判断函数零点所在区间的步骤
第一步：将区间端点代入函数求函数的值；
第二步：将所得函数值相乘，并进行符号判断；
第三步：若符号为正切在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点；
若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点。
五、已知函数零点个数，求参数取值范围的方法
1、直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解；
2、数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；
3、分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域（最值）问题求解．
考点一：求函数的零点
例1．（多选）函数的零点可以是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】函数的零点为________．
考点二：判断函数零点个数
例2．函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
【变式训练】已知则方程的实根个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
考点三：判断函数零点（方程的解）所在的区间
例3．函数零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
考点四：由函数零点所在区间求参数
例4．函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是___________.
考点五：已知零点个数求参数
例5．若函数在内有且只有一个零点，则的取值集合是______.
【变式训练】已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是__________．
1．函数的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
2．函数的零点所在的区间可以是（ ）
A． B． C． D．
3．已知方程的解在内，则（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
4．函数有两个零点，且分别在与内，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．
5．已知函数且，且，则的零点是（ ）
A． B． C． D．
6．若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，则方程的实数解的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．函数的零点为_________．
9．函数的零点的个数为___________.
10．函数的零点个数是__________．
11．已知函数.
（1）若，求实数的值；
（2）若恰有两个零点，求实数的取值范围.
12．已知函数是定义域为的偶函数，当时，.
（1）求函数的解析式.
（2）讨论直线与曲线的交点个数.
1．函数的零点的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无数个
2．若是二次函数的两个零点，则的值是（ ）
A．3 B．15 C． D．
3．函数的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
4．函数的零点所在的区间为( )
A． B． C． D．
5．已知函数的零点位于区间内，则整数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．方程的解的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
7．已知函数()，若函数 有三个零点，则a 的取值范围是( )
A． B． C． D．
8．函数的零点是______．
9．若函数的零点在区间(1,+∞)上，则实数a的取值范围是____.
10．已知函数若关于x的方程有三个不同的实数根，则实数k的取值范围是________．
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