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第18讲 用二分法求方程的近似解
1．了解二分法的原理及其适用条件；
2．掌握二分法的实施步骤；
3．体会二分法中蕴含的逐步逼近思想和程序化思想。
一、二分法
1、二分法的定义：对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到近似值的方法。
2、注意点：
（1）二分法的求解原理是函数零点存在定理；
（2）函数图象在零点附近连续不断；
（3）用二分法只能求变号零点，即零点在左右两侧的函数值的符号相反，
比如，该函数有零点0，但不能用二分法求解。
二、用二分法求函数零点近似值的步骤
1、给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤
（1）确定零点的初始区间，验证；
（2）求区间的中点；
（3）计算，进一步确定零点所在的区间：
①若（此时），则就是函数的零点；
②若（此时），则令；
③若（此时），则令.
（4）判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；
否则重复（2）~（4）
【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点；
2、关于精确度
（1）“精确度”与“精确到”不是一回事，
这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值，即；
“精确到”是指某讴歌数的数位达到某个规定的数位，
如计算，精确到0.01，即0.33
（2）精确度表示当区间的长度小于时停止二分；
此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值。
考点一：判断二分法的适用条件
例1．下列图象中，不能用二分法求函数零点的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】（多选）下列函数零点能用二分法求解的是（ ）
A． B．
C． D．
考点二：二分法的步骤
例2．用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】用“二分法”研究函数的零点时，第一次计算，可知必存在零点，则第二次应计算__________，这时可以判断零点__________．
考点三：二分法次数的确定
例3．已知函数在内有一个零点，要使零点的近似值的精确度为0.001，若只从二等分区间的角度来考虑，则对区间至少需要二等分（ ）
A．8次 B．9次 C．10次 D．11次
【变式训练】在使用二分法计算函数的零点的近似解时，现已知其所在区间为，如果要求近似解的精确度为0.1，则接下来至少需要计算（ ）次区间中点的函数值．
A．2 B．3 C．4 D．5
考点四：用二分法求函数零点近似值
例4．某同学在用二分法研究函数的零点时，．得到如下函数值的参考数据：
x 1 1.25 1.375 1.40625 1.4375 1.5
0.0567 0.1460 0.3284
则下列说法正确的是（ ）
A．1.25是满足精确度为0.1的近似值 B．1.5是满足精确度为0.1的近似值
C．1.4375是满足精确度为0.05的近似值 D．1.375是满足精确度为0.05的近似值
【变式训练】用二分法求函数的零点.（精确到0.1）
考点五：用二分法求方程的近似解
例5．已知函数的一个零点附近的函数值的参考数据如下表：
x 0 0.5 0.53125 0.5625 0.625 0.75 1
0.066 0.215 0.512 1.099
由二分法，方程的近似解（精确度为0.05）可能是（ ）
A．0.625 B． C．0.5625 D．0.066
【变式训练】利用二分法，求方程的近似解．（精确度为0.1）
1．下列函数中不能用二分法求零点近似值的是（ ）
A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x3 C．f(x)＝|x| D．f(x)＝ln x
2．如图是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点.给出的下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是（ ）
A．[－2.1，－1] B．[4.1，5] C．[1.9，2.3] D．[5，6.1]
3．用二分法求函数的零点可以取的初始区间是（ ）
A． B． C． D．
4．用二分法判断方程在区间内的根（精确度0.25）可以是（参考数据：，）（ ）
A．0.825 B．0.635 C．0.375 D．0.25
5．根据表中数据，可以判定方程的一个根所在的区间为（ ）
x 0 1 2 3
0.37 1 2.27 7.39 20.09
1 2 3 4 5
A． B． C． D．
6．用二分法求函数的一个零点的近似值（误差不超过）时，依次计算得到如下数据：，，，，关于下一步的说法正确的是（ ）
A．已经达到对误差的要求，可以取作为近似值
B．已经达到对误差的要求，可以取作为近似值
C．没有达到对误差的要求，应该接着计算
D．没有达到对误差的要求，应该接着计算
7．已知定义在上的增函数，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，又，则函数的零点为（ ）
A． B． C． D．
8．（多选）关于函数的零点，下列说法正确的是：（ ）
（参考数据：，，，，，）
A．函数的零点个数为1
B．函数的零点个数为2
C．用二分法求函数的一个零点的近似解可取为（精确到）
D．用二分法求函数的一个零点的近似解可取为（精确到）
9．函数的零点，对区间利用两次“二分法”，可确定所在的区间为______．
10．已知函数在上有零点，用二分法求零点的近似值（精确度小于0.1）时，至少需要进行______次函数值的计算.
1．用二分法求函数零点的近似值适合于（ ）
A．变号零点 B．不变号零点 C．都适合 D．都不适合
2．下列选项中不能用二分法求图中函数零点近似值的是（ ）
A． B． C． D．
3．用二分法求函数在内的唯一零点时，精度为0.001，则经过一次二分就结束计算的条件是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值数据如下表所示：
1 2 1.5 1.75 1.7656 1.7578 1.7617
－6 3 －2.625 －0.14063 0.035181 －0.05304 －0.0088
要使零点的近似值精确度为0.01，则对区间的最少等分次数和近似解分别为（ ）
A．6次1.75 B．6次1.76 C．7次1.75 D．7次1.76
5．已知函数，用二分法求的零点时，则其中一个零点的初始区间可以为（ ）
A． B． C． D．
6．用二分法求函数在区间内的零点近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1.（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．在用二分法求方程在上的近似解时，经计算，，，，即可得出方程的一个近似解为__________（精确度为0.2）.
8．在用二分法求函数的零点近似值时，若第一次所取区间为，则第三次所取区间可能是______．（写出一个符合条件的区间即可）
9．用二分法求函数在区间内的零点近似值时，验证了，取区间的中点，得，那么此时零点______（填区间）．
10．用二分法求下列函数在给定区间内的零点：
（1）在区间内的零点（精确到0.1）；
（2）在区间内的零点（精确到0.1）．
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第18讲 用二分法求方程的近似解
1．了解二分法的原理及其适用条件；
2．掌握二分法的实施步骤；
3．体会二分法中蕴含的逐步逼近思想和程序化思想。
一、二分法
1、二分法的定义：对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到近似值的方法。
2、注意点：
（1）二分法的求解原理是函数零点存在定理；
（2）函数图象在零点附近连续不断；
（3）用二分法只能求变号零点，即零点在左右两侧的函数值的符号相反，
比如，该函数有零点0，但不能用二分法求解。
二、用二分法求函数零点近似值的步骤
1、给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤
（1）确定零点的初始区间，验证；
（2）求区间的中点；
（3）计算，进一步确定零点所在的区间：
①若（此时），则就是函数的零点；
②若（此时），则令；
③若（此时），则令.
（4）判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；
否则重复（2）~（4）
【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点；
2、关于精确度
（1）“精确度”与“精确到”不是一回事，
这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值，即；
“精确到”是指某讴歌数的数位达到某个规定的数位，
如计算，精确到0.01，即0.33
（2）精确度表示当区间的长度小于时停止二分；
此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值。
考点一：判断二分法的适用条件
例1．下列图象中，不能用二分法求函数零点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据零点存在定理，对于A，在零点的左右附近，函数值不改变符号，
所以不能用二分法求函数零点.故选：A．
【变式训练】（多选）下列函数零点能用二分法求解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A选项，在上单调递增，且与轴有唯一交点，
交点两侧的函数值异号，则可用二分法求解；
对于B选项，在单调递增，且与轴有唯一交点，
交点两侧的函数值异号，则可用二分法求解；
对于C选项，恒成立，所以不能用二分法求解；
对于D选项，，在单调递增，单调递减，
所以，
则零点处的两侧函数值异号，可用二分法求解，故选：ABD.
考点二：二分法的步骤
例2．用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，
因为函数在上都是增函数，
所以函数在上是增函数，
，
所以函数在区间上有唯一零点，
所以用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是.故选：B.
【变式训练】用“二分法”研究函数的零点时，第一次计算，可知必存在零点，则第二次应计算__________，这时可以判断零点__________．
【答案】
【解析】因为第一次计算，可知必存在零点，
又，，
由零点存在性定理可知.
故答案为：；
考点三：二分法次数的确定
例3．已知函数在内有一个零点，要使零点的近似值的精确度为0.001，若只从二等分区间的角度来考虑，则对区间至少需要二等分（ ）
A．8次 B．9次 C．10次 D．11次
【答案】D
【解析】设对区间至少二等分n次，此时区间长度为2，
则第n次二等分后区间长为，
依题意得，所以
，，
所以.故选：D
【变式训练】在使用二分法计算函数的零点的近似解时，现已知其所在区间为，如果要求近似解的精确度为0.1，则接下来至少需要计算（ ）次区间中点的函数值．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】开区间的长度等于1，每经过一次二分法计算，区间长度为原来的一半，
经过次二分法计算后，区间长度变为，
又使用二分法计算函数的在区间上零点的近似解时，
要求近似解的精确度为0.1，
所以，则，又，所以，又，故，
所以接下来至少需要计算你次区间中点的函数值．故选：C.
考点四：用二分法求函数零点近似值
例4．某同学在用二分法研究函数的零点时，．得到如下函数值的参考数据：
x 1 1.25 1.375 1.40625 1.4375 1.5
0.0567 0.1460 0.3284
则下列说法正确的是（ ）
A．1.25是满足精确度为0.1的近似值 B．1.5是满足精确度为0.1的近似值
C．1.4375是满足精确度为0.05的近似值 D．1.375是满足精确度为0.05的近似值
【答案】D
【解析】因为，且，故AC错误；
因为，，
且，故D正确；
因为，且故C错误；故选:D
【变式训练】用二分法求函数的零点.（精确到0.1）
【答案】1.2.
【解析】易知函数在R上递增，
又，且，
所以在上存在唯一的零点，
又，且，
所以在上存在唯一的零点，
又，，
由精确度为0.1得：需计算，
又，
所以的零点精确到0.1约是1.2.
考点五：用二分法求方程的近似解
例5．已知函数的一个零点附近的函数值的参考数据如下表：
x 0 0.5 0.53125 0.5625 0.625 0.75 1
0.066 0.215 0.512 1.099
由二分法，方程的近似解（精确度为0.05）可能是（ ）
A．0.625 B． C．0.5625 D．0.066
【答案】C
【解析】由题意得在区间上单调递增，
设方程的解的近似值为，
由表格得，
所以,
因为，
所以方程的近似解可取为0.5625．故选：C.
【变式训练】利用二分法，求方程的近似解．（精确度为0.1）
【答案】，．
【解析】设，
作出函数f（x）的草图如图所示:
通过观察函数的草图得，
，，
所以方程有一根在内，设为，
因为，所以．
又因为，
所以．
由，则，由，
则，
由于，
所以方程的一个近似解为，
用同样的方法，可求得方程的另一个近似解为．
1．下列函数中不能用二分法求零点近似值的是（ ）
A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x3 C．f(x)＝|x| D．f(x)＝ln x
【答案】C
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于A，f(x)＝3x－1在R上是单调函数，有唯一零点，
且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；
对于B，f(x)＝x3在R上是单调函数，有唯一零点，
且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；
对于C，f(x)＝|x|，虽然也有唯一的零点，但函数值在零点两侧都是正号，
故不能用二分法求零点；
对于D，f(x)＝ln x在(0,+∞)上是单调函数，有唯一零点，
且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；故选：C．
2．如图是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点.给出的下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是（ ）
A．[－2.1，－1] B．[4.1，5] C．[1.9，2.3] D．[5，6.1]
【答案】C
【解析】结合图象可得：ABD选项每个区间的两个端点函数值异号，可以用二分法求出零点，
C选项区间两个端点函数值同号，不能用二分法求零点.故选：C
3．用二分法求函数的零点可以取的初始区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，且单调递增，
即当时，，所以零点在内，故选：A
4．用二分法判断方程在区间内的根（精确度0.25）可以是（参考数据：，）（ ）
A．0.825 B．0.635 C．0.375 D．0.25
【答案】B
【解析】设，
，，
，
在内有零点，
在内有零点，
方程根可以是0.635.故选：B．
5．根据表中数据，可以判定方程的一个根所在的区间为（ ）
x 0 1 2 3
0.37 1 2.27 7.39 20.09
1 2 3 4 5
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，则，，，
，，得，
由零点存在定理可知：函数的存在零点位于区间内，
即方程的一个根所在区间为．故选：C
6．用二分法求函数的一个零点的近似值（误差不超过）时，依次计算得到如下数据：，，，，关于下一步的说法正确的是（ ）
A．已经达到对误差的要求，可以取作为近似值
B．已经达到对误差的要求，可以取作为近似值
C．没有达到对误差的要求，应该接着计算
D．没有达到对误差的要求，应该接着计算
【答案】C
【解析】，在内有零点；
，
没有达到对误差的要求，应该继续计算.故选：C.
7．已知定义在上的增函数，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，又，则函数的零点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由在上单调递增得：，，又恒成立，
∴，解得，
∴的零点为，故选：C.
8．（多选）关于函数的零点，下列说法正确的是：（ ）
（参考数据：，，，，，）
A．函数的零点个数为1
B．函数的零点个数为2
C．用二分法求函数的一个零点的近似解可取为（精确到）
D．用二分法求函数的一个零点的近似解可取为（精确到）
【答案】AC
【解析】易知函数在上单调递增，
因为，，
所以函数在上有1个零点，
取区间中点，则，
所以函数在上有零点，
取区间中点，则，
所以函数在区间上有零点，
取区间中点，则，
所以函数在区间上有零点，
又精确到的近似值都是，
所以函数的一个零点的近似解为，故选：AC.
9．函数的零点，对区间利用两次“二分法”，可确定所在的区间为______．
【答案】/
【解析】，，而，
∴ 函数的零点在区间．
又，，
∴函数的零点在．
故答案为：．
10．已知函数在上有零点，用二分法求零点的近似值（精确度小于0.1）时，至少需要进行______次函数值的计算.
【答案】3
【解析】至少需要进行3次函数值的计算，理由如下：
取区间的中点，且，
所以.
取区间的中点，
且，所以.
取区间的中点，
且，所以.
因为，所以区间的中点
即为零点的近似值，即，
所以至少需进行3次函数值的计算.
故答案为：3
1．用二分法求函数零点的近似值适合于（ ）
A．变号零点 B．不变号零点 C．都适合 D．都不适合
【答案】A
【解析】由零点存在定理可知，二分法求函数零点的近似值适合于在零点两边的函数值异号，
即适用于变号零点.故选：A.
2．下列选项中不能用二分法求图中函数零点近似值的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由图象可知B中零点是不变号零点，其他图象中零点都是变号零点，
故B不能用二分法求零点近似值.故选：B
3．用二分法求函数在内的唯一零点时，精度为0.001，则经过一次二分就结束计算的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据二分法的步骤知，经过一次计算，区间长度变为，
当时，结束计算，故，故选：B.
4．已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值数据如下表所示：
1 2 1.5 1.75 1.7656 1.7578 1.7617
－6 3 －2.625 －0.14063 0.035181 －0.05304 －0.0088
要使零点的近似值精确度为0.01，则对区间的最少等分次数和近似解分别为（ ）
A．6次1.75 B．6次1.76 C．7次1.75 D．7次1.76
【答案】D
【解析】由表格数据，零点区间变化如下：
，
此时区间长度小于，在此区间内取近似值，等分了7次，近似解取．故选：D．
5．已知函数，用二分法求的零点时，则其中一个零点的初始区间可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数在上显然是连续函数，
和在上都是增函数，
当时，，
所以在上恒成立；
当时，，
所以在上也恒成立；
当时，，
所以在上恒成立，
又，，
根据函数零点存在性定理，可得的其中一个零点的初始区间可为故选：C.
6．用二分法求函数在区间内的零点近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1.（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】开区间的长度等于1，
每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，
经过n次操作后，区间长度变为，
故有，解得：，
∴至少需要操作4次.故选：C.
7．在用二分法求方程在上的近似解时，经计算，，，，即可得出方程的一个近似解为__________（精确度为0.2）.
【答案】0.6875
【解析】因为，，
所以可作为方程的近似解.
故答案为：0.6875.
8．在用二分法求函数的零点近似值时，若第一次所取区间为，则第三次所取区间可能是______．（写出一个符合条件的区间即可）
【答案】或或或(写一个即可)．
【解析】第一次所取区间为，则第二次所取区间可能是，；
第三次所取区间可能是，，，．
故答案为：或或或(写一个即可)．
9．用二分法求函数在区间内的零点近似值时，验证了，取区间的中点，得，那么此时零点______（填区间）．
【答案】
【解析】因为，所以与同号，
又，所以与异号，即与异号，
所以.此时零点.
故答案为：
10．用二分法求下列函数在给定区间内的零点：
（1）在区间内的零点（精确到0.1）；
（2）在区间内的零点（精确到0.1）．
【答案】（1）0.2；（2）-1.3
【解析】（1）因为，，则在内存在零点，
又，，则在内存在零点，
又，，则在内存在零点，
又，，则在内存在零点，
又，，则在内存在零点，
因为，，则在区间内的零点近似为.
（2）因为，，则在内存在零点，
又，，则在内存在零点，
又，，则在内存在零点，
又，，则在内存在零点，
因为，，
则在区间内的零点近似为.
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