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第19讲 函数模型的应用
1．理解函数是描述客观世界中变脸关系和规律的重要数学语言和工具；
2．养成画图、识图和用图的习惯，从图中观察出函数模型；
3．了解数学模型的概念，直到数学建模的意义，能利用给定的函数模型解决实际问题，能选择适当的函数模型拟合实际问题。
一、几种常见的函数模型
1、一次函数模型（也称线性函数模型）：（，为常数，）
2、二次函数模型：（为常数，）
3、指数函数模型：（为常数，，且）
4、对数函数模型：（为常数，，且）
5、幂函数模型：（为常数，）
6、分段函数模型：
二、用函数模型解应用问题的四个步骤
1、审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；
2、建模：将自然语言化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；
3、求模：求解数学模型，得出数学模型；
4、还原：将数学结论还原为实际问题。
三、函数拟合与预测的一般步骤
1、通过原始数据、表格，绘出散点图；
2、通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线；
3、求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；
4、根据拟合误差要求判断，选择最佳的拟合函数；
5、利用选取的拟合函数进行预测；
6、利用函数关系式，根据条件所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据。
考点一：一次函数模型
例1．（多选）某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用（千元）乙厂的总费用（千元）与印制证书数量x（千个）的函数关系图分别如图中甲、乙所示，则（ ）
A．甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元
B．甲厂的费用与证书数量x之间的函数关系式为
C．若该单位需印制证书数量为8千个，则该单位选择甲厂更节省费用
D．当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用与证书数量x之间的函数关系式为
【变式训练】某商场准备购进A，两种型号电脑，每台A型号电脑进价比每台型号电脑多500元，用40000元购进A型号电脑的数量与用30000元购进型号电脑的数量相同，请解答下列问题：
（1）A，型号电脑每台进价各是多少元？
（2）若每台A型号电脑售价为2500元，每台型号电脑售价为1800元，商场决定用不超过35000元同时购进A，两种型号电脑20台，且全部售出，请写出所获的利润（单位：元）与A型号电脑（单位：台）的函数关系式并求此时的最大利润．
考点二：二次函数模型
例2．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
【变式训练】随着新冠病毒的暴发，感染人数越来越多，医疗资料受到极大的挑战，某地政府开始建立方舱医院，建筑公司为某方舱医院一病区预备的建筑材料总长为158米，计划建立24间病房，分为两排，过道的宽为1米，病房的长为x米，如图所示，如何设计病房的长、宽才能使单间病房面积最大？
考点三：分式函数模型
例3．某乡镇卫生院为响应政府号召，决定在院内投资96000元建一个长方体的新冠疫苗接种点，其高度3米，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用塑钢每平方400元，两侧墙砌砖，每平方造价450元，顶部每平米造价600元，设正面长为x米，每侧砖墙长均为y米.
（1）用x表示y，并写出x的范围；
（2）求出新冠疫苗接种点占地面积S的最大允许值是多少？此时正面长应设计为多少米？
【变式训练】某地上年度电的价格为元/度，年用电量为亿度.本年度计划将电的价格调至元/度~元/度（包含元/度和元/度），经测算，若电的价格调至元/度，则本年度新增用电量（亿度）与（元/度）成反比，且当时，.
（1）与之间的函数关系式为____；
（2）若电的成本价为元/度，则电的价格调至____元/度时，电力部门本年度的收益将比上一年增加.（收益用电量（实际电的价格成本价））
考点四：幂数函数模型
例4．2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：）（ ）
A．10% B．20% C．22% D．32%
【变式训练1】异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】党的二十大大报告明确要求：我们要构建高水平社会主义市场经济体制，坚持和完善社会主义基本经济制度，毫不动摇巩固和发展公有制经济，毫不动摇鼓励、支持、引导非公有制经济发展，充分发挥市场在资源配置中的决定性作用，更好发挥政府作用.这为我们深入推进非公有制企业改革发展指明了方向，提供了根本遵循.某非公有制企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图（1）；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）
（1）分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？
考点五：指数函数模型
例5．基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足．有学者基于已有数据估计出，．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加2倍需要的时间约为（，）（ ）
A．天 B．天 C．天 D．天
【变式训练】某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间间的关系为（其中是正常数）.已知在前5个小时消除了10%的污染物.
（1）求的值（精称到0.01）；
（2）求污染物减少需要花的时间（精确到）？
参考数据：.
考点六：对数函数模型
例6．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵．记鲑鱼的游速为v（单位：），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究发现，当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为51200，则当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为（ ）
A．400 B．800 C．1600 D．3200
【变式训练】在不考虑空气阻力的条件下，某飞行器的最大速度为v（单位：）和所携带的燃料的质量M（单位kg）与飞行器（除燃料外）的质量m（单位kg）的函数关系式近似满足．当携带的燃料的质量和飞行器（除橪料外）的质量相等时，v约等于，当携带的燃料的质量是飞行器（除燃料外）的质量3倍时，v约等于．
（1）求a，b的值；
（2）问携带的燃料的质量M（单位kg）与飞行器（除燃料外）的质量m（单位kg）之比满足什么条件时，该飞行器最大速度超过第二宇宙速度．（参考数据：）
考点七：分段函数模型
例7．某厂生产某种零件，每个零件的成本为4元，出厂单价6元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购超过100个时，每多订购一个，零件的出厂单价就降低0.01元，但实际出厂价不低于5元．
（1）当一次订购量为多少时，零件的实际出厂单价降为5元？
（2）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为元，求函数的表达式；
（3）销售商一次订购150个零件时，该厂获得的利润是多少元？若订购500个呢？
【变式训练】某医药公司研发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，由监测数据可知，服用后6小时内每毫升血液中含药量（单位：微克）与时间（单位：小时）之间的关系满足如图所示的曲线，当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数图象的一部分，根据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于2微克时，治疗有效.

（1）试求服药后6小时内每毫升血液中含药量与时间之间的函数关系式；
（2）问服药多久后开始有治疗效果？治疗效果能持续多少小时？（精确到0.1）（参考数据）
1．某产品的总成本y万元与产量x（台）之间的关系是， ，若每台产品的售价为9万元，则生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是（ ）
A．3台 B．5台 C．6台 D．10台
2．甲、乙两人沿着同一方向从地去地，甲前一半的路程使用速度，后一半的路程使用速度；乙前一半的时间使用速度，后一半的时间使用速度，关于甲，乙两人从地到达地的路程与时间的函数图象及关系（其中横轴表示时间，纵轴表示路程）可能正确的图示分析为（ ）
A． B． C． D．
3．某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位元（试剂的总产量为单位，），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（ ）
A．60单位 B．70单位 C．80单位 D．90单位
4．牛顿冷却定律描述一个事物在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间后的温度满足，其中是环境温度，称为半衰期，现有一杯80℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃．经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时1分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待（ ）（参考数据：，，）
A．4分钟 B．5分钟 C．6分钟 D．7分钟
5．（多选）几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润（单位：万元）与每月投入的研发经费（单位：万元）有关.已知每月投入的研发经费不高于16万元，且，利润率.现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是（ ）
A．此时获得最大利润率 B．再投入6万元研发经费才能获得最大利润
C．再投入1万元研发经费可获得最大利润率 D．再投入1万元研发经费才能获得最大利润
6．（多选）如图所示为某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象，假设其函数关系为指数函数，现给出下列说法，其中正确的说法有（ ）
A．野生水葫芦的面积每月增长量相等
B．野生水葫芦从蔓延到历时超过1个月
C．设野生水葫芦蔓延到，，所需的时间分别为，，，则有
D．野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2个月到第4个月之间蔓延的平均速度
7．有A，B两种理财产品，投资这两种理财产品所能获得的年利润分别是W和T（万元），它们与投入资金x（万元）的关系有经验方程式：，，今有5万元资金投资到A，B两种理财产品，可获得的最大年利润是___________万元.
8．探空气球是将探空仪器带到高空进行温度、大气压力、湿度、风速、风向等气象要素测量的气球，利用探空仪将实时探测到的大气垂直方向上的气象数据反馈给地面雷达，通过数据处理，成为全球预报员制作天气预报的重要依据.大气压强对气球能达到的最大高度和停留时间有非常大的影响.已知大气压强随海拔高度的变化规律是，其中是海平面大气压强.若探空气球在两处测得的大气压强分别为，，且，那么两处的海拔高度的差约为______m.（参考数据：）
9．每年红嘴鸥都从西伯利亚飞越数千公里来到美丽的昆明过冬，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以用函数表示，v的单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数x0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.
（1）若，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（结果保留到整数位，参考数据：，）
（2）若雄鸟的飞行速度为1.3km/min，雌鸟的飞行速度为0.8km/min，问雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？
10．某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度（单位：毫米/立方米）随着时间（单位：小时）变化的关系如下：当时，；当时，．若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用．
（1）若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？
（2）若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）
1．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量（件）与单价（元）之间的关系为，生产件所需成本为（元），其中元，若要求每天获利不少于1300元，则日销售量的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
2．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为900元，若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（ ）
A．30件 B．60件 C．80件 D．100件
3．若一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示为( )
A． B． C． D．
4．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0的保鲜时间是192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是（ ）
A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．28小时
5．（多选）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km．如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y（km）与时间x（min）的关系，下列结论正确的是（ ）
A．甲同学从家出发到乙同学家走了60min
B．甲从家到公园的时间是30min
C．当0≤x≤30时，y与x的关系式为
D．当30≤x≤60时，y与x的关系式为
6．（多选）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为，关于下列说法正确的是（ ）
A．浮萍每月的增长率为3
B．浮萍每月增加的面积都相等
C．第4个月时，浮萍面积超过
D．若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则
7．“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声响时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉．声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强与参考声强（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作（单位：贝尔），即，取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝．已知某处“喊泉”的声音响度（单位：分贝）与喷出的泉水高度满足关系式，现知同学大喝一声激起的涌泉最高高度为，若同学大喝一声的声强大约相当于10个同学同时大喝一声的声强，则同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为______dm．
8．民宿旅游逐渐成为一种热潮，山野乡村的民宿也深受广大旅游爱好者的喜爱.对于民宿的改造，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好.现有一所地板面积为240平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的3倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为__________平方米.
9．现在网络购物方便快捷，得益于快递行业的快速发展，根据大数据统计，某条快递线路运行时，发车时间间隔t（单位：分钟）满足：，平均每趟快递车辆的载件个数（单位：个）与发车时间间隔t近似地满足，其中．
（1）若平均每趟快递车辆的载件个数不超过1500个，试求发车时间间隔t的值；
（2）若平均每趟快递车辆每分钟的净收益（单位：元），问当发车时间间隔t为多少时，平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大？并求出最大净收益．
10．学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有90分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分与当天锻炼时间（单位：分）的函数关系，要求及图示如下：（1）函数是区间上的增函数；（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分.现有三个函数模型①，
②，③供选择.
（1）请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由，再根据所给信息求出函数的解析式；
（2）求每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼多少分钟.（注：，结果保留整数）
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第19讲 函数模型的应用
1．理解函数是描述客观世界中变脸关系和规律的重要数学语言和工具；
2．养成画图、识图和用图的习惯，从图中观察出函数模型；
3．了解数学模型的概念，直到数学建模的意义，能利用给定的函数模型解决实际问题，能选择适当的函数模型拟合实际问题。
一、几种常见的函数模型
1、一次函数模型（也称线性函数模型）：（，为常数，）
2、二次函数模型：（为常数，）
3、指数函数模型：（为常数，，且）
4、对数函数模型：（为常数，，且）
5、幂函数模型：（为常数，）
6、分段函数模型：
二、用函数模型解应用问题的四个步骤
1、审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；
2、建模：将自然语言化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；
3、求模：求解数学模型，得出数学模型；
4、还原：将数学结论还原为实际问题。
三、函数拟合与预测的一般步骤
1、通过原始数据、表格，绘出散点图；
2、通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线；
3、求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；
4、根据拟合误差要求判断，选择最佳的拟合函数；
5、利用选取的拟合函数进行预测；
6、利用函数关系式，根据条件所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据。
考点一：一次函数模型
例1．（多选）某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用（千元）乙厂的总费用（千元）与印制证书数量x（千个）的函数关系图分别如图中甲、乙所示，则（ ）
A．甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元
B．甲厂的费用与证书数量x之间的函数关系式为
C．若该单位需印制证书数量为8千个，则该单位选择甲厂更节省费用
D．当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用与证书数量x之间的函数关系式为
【答案】ABD
【解析】过点，
设，则，所以，B选项正确，
当时，，所以甲厂的制版费为1千元；根据可知：
甲厂印刷费平均每个为0.5元，A选项正确.
根据图象可知：该单位需印制证书数量为8千个，则该单位选择乙厂更节省费用，C选项错误.
当时，过点，
设，则，所以，D选项正确.故选：ABD
【变式训练】某商场准备购进A，两种型号电脑，每台A型号电脑进价比每台型号电脑多500元，用40000元购进A型号电脑的数量与用30000元购进型号电脑的数量相同，请解答下列问题：
（1）A，型号电脑每台进价各是多少元？
（2）若每台A型号电脑售价为2500元，每台型号电脑售价为1800元，商场决定用不超过35000元同时购进A，两种型号电脑20台，且全部售出，请写出所获的利润（单位：元）与A型号电脑（单位：台）的函数关系式并求此时的最大利润．
【答案】（1）每台A型号电脑进价为2000元，每台型号电脑进价为1500元
（2）与的函数解析式为，此时最大利润为8000元
【解析】（1）设每台A型号电脑进价为元，则型号电脑进价为元
由题意，得，解得：，
经检验是原方程的解，且符合题意，
∴型号电脑进价（元），
∴每台A型号电脑进价为2000元，每台型号电脑进价为1500元；
（2）根据题意，得，
∵，解得：，
∵，∴随的增大而增大，
∴时，所获利润最大为元.
∴与的函数解析式为，此时最大利润为8000元．
，
∵，解得：，
∵，∴随的增大而增大，
∴时，所获利润最大为元.
∴与的函数解析式为，此时最大利润为8000元．
考点二：二次函数模型
例2．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】设这批台灯的销售单价为x元，
由题意得，，即，解得，
又因为，所以，
这批台灯的销售单价的取值范围是.故选：C
【变式训练】随着新冠病毒的暴发，感染人数越来越多，医疗资料受到极大的挑战，某地政府开始建立方舱医院，建筑公司为某方舱医院一病区预备的建筑材料总长为158米，计划建立24间病房，分为两排，过道的宽为1米，病房的长为x米，如图所示，如何设计病房的长、宽才能使单间病房面积最大？
【答案】病房的长为3米、宽为米，才能使单间病房面积最大
【解析】由题可得病房的宽为米，
所以单间病房面积为，
所以当米时，单间病房面积最大，此时病房的宽为米，
即病房的长为3米、宽为米，才能使单间病房面积最大.
考点三：分式函数模型
例3．某乡镇卫生院为响应政府号召，决定在院内投资96000元建一个长方体的新冠疫苗接种点，其高度3米，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用塑钢每平方400元，两侧墙砌砖，每平方造价450元，顶部每平米造价600元，设正面长为x米，每侧砖墙长均为y米.
（1）用x表示y，并写出x的范围；
（2）求出新冠疫苗接种点占地面积S的最大允许值是多少？此时正面长应设计为多少米？
【答案】（1）
（2）占地面积S的最大允许值是100平方米，此时正面长应设计为15米．
【解析】（1）由题意，，
化简得，得.
（2）（当且仅当时取“=”），
代入，得，得，
则，即面积S的最大允许值是100平方米．
当时，S取最大值，又，
∴，，
∴此时正面长应设计为15米．
【变式训练】某地上年度电的价格为元/度，年用电量为亿度.本年度计划将电的价格调至元/度~元/度（包含元/度和元/度），经测算，若电的价格调至元/度，则本年度新增用电量（亿度）与（元/度）成反比，且当时，.
（1）与之间的函数关系式为____；
（2）若电的成本价为元/度，则电的价格调至____元/度时，电力部门本年度的收益将比上一年增加.（收益用电量（实际电的价格成本价））
【答案】（1）；（2）/
【解析】（1）设，
当时，，解得，
所以，；
（2）根据题意，得，
整理得，解得（舍去）或，
所以当电的价格调至元/度时，电力部门本年度的收益将比上一年增加.
故答案为：（1）；（2）.
考点四：幂数函数模型
例4．2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：）（ ）
A．10% B．20% C．22% D．32%
【答案】B
【解析】由题意，设年平均增长率为，则，
所以，故年平均增长率为20%.故选：B
【变式训练1】异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设初始状态为，则，，
又，，即，
，，，，．故选：D．
【变式训练】党的二十大大报告明确要求：我们要构建高水平社会主义市场经济体制，坚持和完善社会主义基本经济制度，毫不动摇巩固和发展公有制经济，毫不动摇鼓励、支持、引导非公有制经济发展，充分发挥市场在资源配置中的决定性作用，更好发挥政府作用.这为我们深入推进非公有制企业改革发展指明了方向，提供了根本遵循.某非公有制企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图（1）；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）
（1）分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】（1），
（2）当A产品投入6万元，B产品投入万元时，企业获得最大利润为7万元
【解析】（1）设投资为万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元，
由题意知， 。
由图可知，
从 ，
（2）设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业利润为万元。
则 ，
令 则
当，
所以当A产品投入6万元，B产品投入万元时，企业获得最大利润为7万元.
考点五：指数函数模型
例5．基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足．有学者基于已有数据估计出，．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加2倍需要的时间约为（，）（ ）
A．天 B．天 C．天 D．天
【答案】B
【解析】把，代入，可得，，
当时，，则，
两边取对数得，解得（天）．故选：B
【变式训练】某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间间的关系为（其中是正常数）.已知在前5个小时消除了10%的污染物.
（1）求的值（精称到0.01）；
（2）求污染物减少需要花的时间（精确到）？
参考数据：.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由知，当时，；当时，；
即，所以，
即；
（2）当时，，即，
则.
故污染物减少需要花的时间约为.
考点六：对数函数模型
例6．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵．记鲑鱼的游速为v（单位：），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究发现，当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为51200，则当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为（ ）
A．400 B．800 C．1600 D．3200
【答案】B
【解析】因为时，鲑鱼的耗氧量的单位数为，所以，
当时，可得，
两式相除，可得，即，
可得，解得.故选：B.
【变式训练】在不考虑空气阻力的条件下，某飞行器的最大速度为v（单位：）和所携带的燃料的质量M（单位kg）与飞行器（除燃料外）的质量m（单位kg）的函数关系式近似满足．当携带的燃料的质量和飞行器（除橪料外）的质量相等时，v约等于，当携带的燃料的质量是飞行器（除燃料外）的质量3倍时，v约等于．
（1）求a，b的值；
（2）问携带的燃料的质量M（单位kg）与飞行器（除燃料外）的质量m（单位kg）之比满足什么条件时，该飞行器最大速度超过第二宇宙速度．（参考数据：）
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）当时，；
当时，；
解得，即，
解得或（舍去），则；
（2）由，
即，即，故，
即携带的燃料的质量与飞行器（除燃料外）的质量之比超过63时，
该飞行器最大速度不小于第二宇宙速度．
考点七：分段函数模型
例7．某厂生产某种零件，每个零件的成本为4元，出厂单价6元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购超过100个时，每多订购一个，零件的出厂单价就降低0.01元，但实际出厂价不低于5元．
（1）当一次订购量为多少时，零件的实际出厂单价降为5元？
（2）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为元，求函数的表达式；
（3）销售商一次订购150个零件时，该厂获得的利润是多少元？若订购500个呢？
【答案】（1）200；（2），；（3）225元；500元
【解析】（1）设一次订购量为个时，零件的实际出厂单价降为5元，
则，解得，
所以当一次订购量为200个时，零件的实际出厂单价降为5元．
（2）当时，，
当时，，
当时，，
故，．
（3）当一次订购150个零件时，出厂单价为元，
该厂获得的利润是：元；
当一次订购500个零件时，出厂单价为5元，
该厂获得的利润是：元，
故销售商一次订购150个零件时，该厂获得的利润是225元；
若订购500个，该厂获得的利润是500元．
【变式训练】某医药公司研发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，由监测数据可知，服用后6小时内每毫升血液中含药量（单位：微克）与时间（单位：小时）之间的关系满足如图所示的曲线，当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数图象的一部分，根据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于2微克时，治疗有效.

（1）试求服药后6小时内每毫升血液中含药量与时间之间的函数关系式；
（2）问服药多久后开始有治疗效果？治疗效果能持续多少小时？（精确到0.1）（参考数据）
【答案】（1）；（2）0.3小时后，5.2小时
【解析】（1）当时，由图象可设，
将点的坐标代入函数表达式，解得，
即当时，，
当时，将点的坐标代入函数，
得，解得，所以，
故.
（2）当时，，
令，即，解得，即，
又，∴，故服药0.3小时之后开始有治疗效果，
当时，，
令，即，解得，
又，∴，
综上，，所以服药后的治疗效果能持续5.2小时.
1．某产品的总成本y万元与产量x（台）之间的关系是， ，若每台产品的售价为9万元，则生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是（ ）
A．3台 B．5台 C．6台 D．10台
【答案】A
【解析】依题意， ，即，
解得或 （舍去），∵，∴.
∴生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是3（台）．故选：A．
2．甲、乙两人沿着同一方向从地去地，甲前一半的路程使用速度，后一半的路程使用速度；乙前一半的时间使用速度，后一半的时间使用速度，关于甲，乙两人从地到达地的路程与时间的函数图象及关系（其中横轴表示时间，纵轴表示路程）可能正确的图示分析为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，开始时，甲、乙速度均为v1，
所以图象是重合的线段，由此排除C，D，
再根据v1＜v2可知两人的运动情况均是先慢后快，
图象是折线且前“缓”后“陡”，故图示A正确．故选：A
3．某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位元（试剂的总产量为单位，），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（ ）
A．60单位 B．70单位 C．80单位 D．90单位
【答案】D
【解析】设每生产单位试剂的成本为，
因为试剂总产量为单位，则由题意可知，原料总费用为元，
职工的工资总额为元，后续保养总费用为元，
则，
当且仅当，即时取等号，
满足，
所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位．故选：D．
4．牛顿冷却定律描述一个事物在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间后的温度满足，其中是环境温度，称为半衰期，现有一杯80℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃．经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时1分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待（ ）（参考数据：，，）
A．4分钟 B．5分钟 C．6分钟 D．7分钟
【答案】C
【解析】根据题意，，即
设茶水从降至大约用时t分钟，则，
即，即
两边同时取对数：
解得，所以从泡茶开始大约需要等待分钟故选：C
5．（多选）几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润（单位：万元）与每月投入的研发经费（单位：万元）有关.已知每月投入的研发经费不高于16万元，且，利润率.现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是（ ）
A．此时获得最大利润率 B．再投入6万元研发经费才能获得最大利润
C．再投入1万元研发经费可获得最大利润率 D．再投入1万元研发经费才能获得最大利润
【答案】BC
【解析】当时，，
故当时，获得最大利润，为，故B正确，D错误；
，
当且仅当，即时取等号，此时研发利润率取得最大值2，故C正确，A错误.
故选：BC.
6．（多选）如图所示为某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象，假设其函数关系为指数函数，现给出下列说法，其中正确的说法有（ ）
A．野生水葫芦的面积每月增长量相等
B．野生水葫芦从蔓延到历时超过1个月
C．设野生水葫芦蔓延到，，所需的时间分别为，，，则有
D．野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2个月到第4个月之间蔓延的平均速度
【答案】BC
【解析】由图可知野生水葫芦第一个月增长面积为，第二个月增长面积为，A错误；
由图可知野生水葫芦从蔓延到历时超过1个月，B正确；
野生水葫芦的面积与时间的函数关系为，，
，
，，所以，C正确；
野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度为
野生水葫芦在第2个月到第4个月之间蔓延的平均速度为，D错误.故选：BC
7．有A，B两种理财产品，投资这两种理财产品所能获得的年利润分别是W和T（万元），它们与投入资金x（万元）的关系有经验方程式：，，今有5万元资金投资到A，B两种理财产品，可获得的最大年利润是___________万元.
【答案】/1.45
【解析】设对，两种商品投入的资金分别为万元和万元，利润为万元，
则，令，则，，
所以，
故当时，（万元），
故可获得的最大年利润是1.45万元．
故答案为：．
8．探空气球是将探空仪器带到高空进行温度、大气压力、湿度、风速、风向等气象要素测量的气球，利用探空仪将实时探测到的大气垂直方向上的气象数据反馈给地面雷达，通过数据处理，成为全球预报员制作天气预报的重要依据.大气压强对气球能达到的最大高度和停留时间有非常大的影响.已知大气压强随海拔高度的变化规律是，其中是海平面大气压强.若探空气球在两处测得的大气压强分别为，，且，那么两处的海拔高度的差约为______m.（参考数据：）
【答案】5500
【解析】设两处的海拔高度分别为，
由题意可得：，且，
即，且，
可得，两边同时取对数可得：，
即，整理得，
即两处的海拔高度的差约为5500 m.
故答案为：5500.
9．每年红嘴鸥都从西伯利亚飞越数千公里来到美丽的昆明过冬，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以用函数表示，v的单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数x0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.
（1）若，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（结果保留到整数位，参考数据：，）
（2）若雄鸟的飞行速度为1.3km/min，雌鸟的飞行速度为0.8km/min，问雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？
【答案】（1）374；（2）3
【解析】（1）将，代入，
得，则，
即，解得，
所以候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为：374个单位；
（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为个单位，雌鸟每分钟耗氧量为个单位，
由题意得：，
两式相减得，解得，
所以雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍.
10．某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度（单位：毫米/立方米）随着时间（单位：小时）变化的关系如下：当时，；当时，．若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用．
（1）若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？
（2）若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）
【答案】（1）8小时；（2）1.6
【解析】（1）因为一次喷洒4个单位的消毒剂，
所以其浓度为
当时，，解得，此时，
当时，，解得，此时，
所以若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达8小时．
（2）设从第一次喷洒起，经小时后，
其浓度，
因为，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立；
所以其最小值为，由，解得，
所以a的最小值为．
1．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量（件）与单价（元）之间的关系为，生产件所需成本为（元），其中元，若要求每天获利不少于1300元，则日销售量的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设该厂每天获得的利润为元，
则，，，
依题意，，解得，
所以当，且时，每天获得的利润不少于1300元.故选：B
2．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为900元，若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（ ）
A．30件 B．60件 C．80件 D．100件
【答案】B
【解析】根据题意，该生产件产品的生产准备费用与仓储费用之和是
这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为 （为正整数）
由基本不等式，得
当且仅当，即时，取得最小值，
时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，故选：B
3．若一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题设可知，蜡烛高度h与燃烧时间t之间构成一次函数关系，
又∵函数图象必过点(0,20)、(4,0)两点，且该图象应为一条线段．∴选B.
4．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0的保鲜时间是192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是（ ）
A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．28小时
【答案】C
【解析】由已知得①，②，
将①代入②得，则．
当时，，
所以该食品在33℃的保鲜时间是24小时，故选：C．
5．（多选）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km．如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y（km）与时间x（min）的关系，下列结论正确的是（ ）
A．甲同学从家出发到乙同学家走了60min
B．甲从家到公园的时间是30min
C．当0≤x≤30时，y与x的关系式为
D．当30≤x≤60时，y与x的关系式为
【答案】BCD
【解析】由图象可知，甲在公园休息的时间是10min，所以只走了50min，故A错误，
由题中图象可知，甲从家到公园的时间是30min，故B正确，
当0≤x≤30时，设y＝kx（k≠0），则2＝30k，解得k，故C正确，
当30≤x≤60时，设y＝kx+b，直线过点（40，2），（50，3），
则，故y与x的关系式为，故D正确．故选：BCD
6．（多选）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为，关于下列说法正确的是（ ）
A．浮萍每月的增长率为3
B．浮萍每月增加的面积都相等
C．第4个月时，浮萍面积超过
D．若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则
【答案】CD
【解析】由图可知，函数过点，将其代入解析式，，故，
A选项，取前3个月的浮萍面积，分别为3，9，27，
故增长率逐月增大，A错误；
从前3个月浮萍面积可看出，每月增加的面积不相等，B错误；
第4个月的浮萍面积为81，超过了80，C正确；
令，，，解得：，
，D正确.故选：CD
7．“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声响时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉．声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强与参考声强（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作（单位：贝尔），即，取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝．已知某处“喊泉”的声音响度（单位：分贝）与喷出的泉水高度满足关系式，现知同学大喝一声激起的涌泉最高高度为，若同学大喝一声的声强大约相当于10个同学同时大喝一声的声强，则同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为______dm．
【答案】45
【解析】设同学的声强为，喷出泉水高度为，
则同学的声强为，喷出泉水高度为50 dm，
由，得 ①，
∵，∴ ②，①－②得，解得，
∴同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为45 dm．
故答案为：45.
8．民宿旅游逐渐成为一种热潮，山野乡村的民宿也深受广大旅游爱好者的喜爱.对于民宿的改造，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好.现有一所地板面积为240平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的3倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为__________平方米.
【答案】80
【解析】设改造前的民宿窗户面积为平方米，改造后的民宿窗户增加的面积为平方米，
则地板增加的面积为平方米，.
依题意得，
即，解得：，
故改造前的窗户面积最大为80平方米，
故答案为：80
9．现在网络购物方便快捷，得益于快递行业的快速发展，根据大数据统计，某条快递线路运行时，发车时间间隔t（单位：分钟）满足：，平均每趟快递车辆的载件个数（单位：个）与发车时间间隔t近似地满足，其中．
（1）若平均每趟快递车辆的载件个数不超过1500个，试求发车时间间隔t的值；
（2）若平均每趟快递车辆每分钟的净收益（单位：元），问当发车时间间隔t为多少时，平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大？并求出最大净收益．
【答案】（1）4；（2）7分钟时，280（元）
【解析】（1）当时，，不满足题意，舍去，
当时，，即．
解得（舍）或．
且，．
所以发车时间间隔为4分钟．
（2）由题意可得
当时，（元）
当时，（元）
所以发车时间间隔为7分钟时，净收益最大为280（元）．
10．学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有90分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分与当天锻炼时间（单位：分）的函数关系，要求及图示如下：（1）函数是区间上的增函数；（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分.现有三个函数模型①，
②，③供选择.
（1）请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由，再根据所给信息求出函数的解析式；
（2）求每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼多少分钟.（注：，结果保留整数）
【答案】（1）模型③，理由见解析，；（2）55分钟
【解析】（1）第一步：分析题中每个模型的特点
对于模型一，当时，匀速增长；
对于模型二，当时，先慢后快增长；
对于模型三，当时，先快后慢增长.
第二步：根据题中材料和题图选择合适的函数模型
从题图看应选择先快后慢增长的函数模型，故选.
第三步：把题图中的两点代入选好的模型中，得到函数解析式
将（0，0），（30，3）代入解析式得到，即，
解得，即.
第四步：验证模型是否合适
当时，，
满足每天得分最高不超过6分的条件.
所以函数的解析式为.
（2）由，得，
得，得，
所以每天得分不少于4.5分，至少需要运动55分钟.
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