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第20讲 任意角
1．了解任意角的概念，能正确区分正角、负角与零角；
2．掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角；
3．理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同角组成的集合。
一、角的概念
1、角可以看成平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置形成的图形。
2、角的分类：
（1）正角：按逆时针方向旋转形成的角；
（2）负角：按顺时针方向旋转形成的角；
（3）零角：一条射线没有作任何旋转形成的角。
二、相等角与角的加减
1、相等角：设角由射线绕端点旋转而成，角由射线绕端点旋转而成，如果他们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称.
2、相反角：把射线绕端点按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角的相反角记为.
3、角的加减：记，是任意两个角，我们规定：把角的终边按逆时针旋转角，这时终边所对应的角是；按顺时针旋转角，这时终边所对应的角是
三、终边相同的角
1、相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍，要注意角的集合的表示形式不是唯一的。
2、终边相同的角的表示：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，它们彼此相差，即.
四、象限角及其集合表示
1、象限角：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限；
2、象限角的集合表示
象限角 集合表示
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
五、轴线角及其集合表示
1、定义：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，并且角的终边落在坐标轴上时，称这个角为轴线角，这时，这个角不属于任何象限。
2、轴线角的集合的表示方法
角的终边位置 集合表示
轴的非负半轴
轴的非正半轴
轴上
轴非负半轴
轴非正半轴
轴上
考点一：角的概念辨析
例1．（多选）下列说法错误的是（ ）
A．钝角是第二象限角 B．第二象限角比第一象限角大
C．大于的角是钝角 D．是第二象限角
【变式训练】时间经过1小时50分钟，则分针转过的角度是（ ）
A． B． C． D．
考点二：求终边相同的角
例2．下列与终边相同的角为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】已知角α＝2 016°．
（1）把α改写成k·360°＋β（k∈Z，0°≤β<360°）的形式，并指出它是第几象限角；
（2）求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°．
考点三：确定已知角所在的象限
例3．角是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式训练】若角是第二象限角，则角的终边所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
考点四：根据图形写出角的范围
例4．写出终边在如图所示的直线上的角的集合．

【变式训练】写出如图所示阴影部分的角α的范围.
（1）； （2）.
考点五：确定n分角与n倍角的象限
例5．（多选）已知角的终边在第一象限，那么角的终边可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式训练】若是第一象限角，问，，是第几象限角？
1．下列四个选项中与终边相同的角为（ ）．
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．第一象限角一定是锐角 B．终边相同角一定相等
C．小于90°的角一定是锐角 D．钝角的终边在第二象限
3．与终边相同的最小正角是（ ）
A． B． C． D．
4．与终边相同的角的集合是（ ），
A．， B．，
C．， D．，
5．集合中角表示的范围用阴影表示是图中的（ ）
A． B． C． D．
6．已知角，则角α的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．已知为第二象限角，则所在的象限是（ ）
A．第一或第二象限 B．第二或第三象限
C．第二或第四象限 D．第一或第三象限
8．（多选）下列命题中错误的是（ ）
A．三角形的内角必是第一、二象限角 B．始边相同而终边不同的角一定不相等
C．第四象限角一定是负角 D．钝角比第三象限角小
9．（多选）已知是锐角，则（ ）
A．是第三象限角 B．是小于的正角
C．是第一或第二象限角 D．是锐角
10．（多选）如果角与角的终边相同，角与角的终边相同，那么的可能值为（ ）
A． B． C． D．
1．平面直角坐标系中，取角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的非负半轴，下列说法正确的是（ ）
A．第一象限角一定不是负角 B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角
C．第二象限角必大于第一象限角 D．钝角的终边在第二象限
2．将轴正半轴绕原点逆时针旋转，得到角，则下列与终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
3．手表走过2小时，时针转过的角度为（ ）
A．60° B．-60° C．30° D．-30°
4．已知角，则的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．若则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．若与的终边互为反向延长线，则有（ ）
A． B．
C． D．
7．（多选）与-463°角终边相同的角可以表示为（ ）
A． B． C． D．
8．已知：①，②，③，④，其中是第一象限角的为______（填序号）.
9．如图，分别写出适合下列条件的角的集合
（1）终边落在射线上；
（2）终边落在直线上；
（3）终边落在阴影区域内（含边界）
10．已知角的集合为，回答下列问题：
（1）集合M中有几类终边不相同的角？
（2）集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？
（3）求集合M中的第二象限角．
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第20讲 任意角
1．了解任意角的概念，能正确区分正角、负角与零角；
2．掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角；
3．理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同角组成的集合。
一、角的概念
1、角可以看成平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置形成的图形。
2、角的分类：
（1）正角：按逆时针方向旋转形成的角；
（2）负角：按顺时针方向旋转形成的角；
（3）零角：一条射线没有作任何旋转形成的角。
二、相等角与角的加减
1、相等角：设角由射线绕端点旋转而成，角由射线绕端点旋转而成，如果他们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称.
2、相反角：把射线绕端点按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角的相反角记为.
3、角的加减：记，是任意两个角，我们规定：把角的终边按逆时针旋转角，这时终边所对应的角是；按顺时针旋转角，这时终边所对应的角是
三、终边相同的角
1、相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍，要注意角的集合的表示形式不是唯一的。
2、终边相同的角的表示：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，它们彼此相差，即.
四、象限角及其集合表示
1、象限角：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限；
2、象限角的集合表示
象限角 集合表示
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
五、轴线角及其集合表示
1、定义：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，并且角的终边落在坐标轴上时，称这个角为轴线角，这时，这个角不属于任何象限。
2、轴线角的集合的表示方法
角的终边位置 集合表示
轴的非负半轴
轴的非正半轴
轴上
轴非负半轴
轴非正半轴
轴上
考点一：角的概念辨析
例1．（多选）下列说法错误的是（ ）
A．钝角是第二象限角 B．第二象限角比第一象限角大
C．大于的角是钝角 D．是第二象限角
【答案】BCD
【解析】对于A选项，钝角的范围是，
第二象限角的取值范围是，
因为，
所以，钝角是第二象限角，A对；
对于B选项，是第二象限角，是第一象限角，但，B错；
对于C选项，，但不是钝角，C错；
对于D选项，，且，
故是第三象限角，D错.故选：BCD.
【变式训练】时间经过1小时50分钟，则分针转过的角度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，则，
因为时针都是顺时针旋转，
所以时间经过1小时50分钟，分针转过的角度是.故选：A
考点二：求终边相同的角
例2．下列与终边相同的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】与终边相同的角为，
当时，可得.故选：B．
【变式训练】已知角α＝2 016°．
（1）把α改写成k·360°＋β（k∈Z，0°≤β<360°）的形式，并指出它是第几象限角；
（2）求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°．
【答案】（1）α为第三象限角；（2）－144°，216°，576°．
【解析】（1）由2016°除以360°，得商为5，余数为216°．
∴取k＝5，β＝216°，α＝5×360°＋216°．
又β＝216°是第三象限角，∴α为第三象限角．
（2）与2016°终边相同的角为k×360°＋2016°（k∈Z）．
令－360°≤k×360°＋2016°<720°（k∈Z）．
解得（k∈Z）．所以k＝－6，－5，－4．
将k的值代入k·360°＋2016°中，得角θ的值为－144°，216°，576°．
考点三：确定已知角所在的象限
例3．角是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】因为，根据终边相同角的集合知，与终边相同，
又是第二象限角.故选：B.
【变式训练】若角是第二象限角，则角的终边所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】角是第二象限角，则,
所以，
故角的终边在第三象限，故选：C
考点四：根据图形写出角的范围
例4．写出终边在如图所示的直线上的角的集合．

【答案】答案见解析
【解析】（1）在0°～360°范围内，终边在直线y＝0上的角有两个，即0°和180°，
又所有与0°角终边相同的角的集合为，
所有与180°角终边相同的角的集合为，
于是，终边在直线y＝0上的角的集合为．
（2）由图形易知，在0°～360°范围内，终边在直线y＝－x上的角有两个，即135°和315°，
因此，终边在直线y＝－x上的角的集合
．
（3）结合（2）知所求角的集合为
同理可得终边在直线y＝x、y=-x上的角的集合为
．
【变式训练】写出如图所示阴影部分的角α的范围.
（1）； （2）.
【答案】（1）{α|－150°＋k·360°<α≤45°＋k·360°，k∈Z}；
（2）{α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}.
【解析】（1）因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式，
与－180°＋30°＝－150°角终边相同的角可写成－150°＋k·360°，k∈Z的形式.
所以图（1）阴影部分的角α的范围可表示为{α|－150°＋k·360°<α≤45°＋k·360°，k∈Z}.
（2）因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式，
与－60°＋360°＝300°角终边相同的角可写成300°＋k·360°，k∈Z的形式，
所以图（2）中角α的范围为{α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}.
考点五：确定n分角与n倍角的象限
例5．（多选）已知角的终边在第一象限，那么角的终边可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】AC
【解析】因为角的终边在第一象限，
所以，
所以，
当时，，则终边在第一象限；
当时，，则终边在第三象限；
所以角的终边可能在第一象限或第三象限.故选：AC
【变式训练】若是第一象限角，问，，是第几象限角？
【答案】是第四象限角；是第一、二象限角或终边在轴的非负半轴上；
是第一、二或第三象限角．
【解析】因为是第一象限角，所以，
所以，
所以所在区域与范围相同，故是第四象限角；
，
所以所在区域与范围相同，故是第一、二象限角或终边在轴的非负半轴上；
．
当时，，所以是第一象限角；
当时，，所以是第二象限角；
当时，，所以是第三象限角．
综上可知：是第一、二或第三象限角．
1．下列四个选项中与终边相同的角为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由为第一象限角，显然只有与已知角终边相同.故选：B
2．下列说法正确的是（ ）
A．第一象限角一定是锐角 B．终边相同角一定相等
C．小于90°的角一定是锐角 D．钝角的终边在第二象限
【答案】D
【解析】对于A，第一象限角是，
第一象限角不一定是锐角，故A错误；
对于B，终边相同角不一定相等，它们可能差，故B错误；
对于C，小于90°的角不一定是锐角，也可能是零角或者负角，故C错误；
对于D，钝角是大于90°且小于180°的角，故D正确；故选：D.
3．与终边相同的最小正角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】与角终边相同的角为，
当时，取最小正角，为故选：C.
4．与终边相同的角的集合是（ ），
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】由终边相同的角知：
与终边相同的角的集合是，故选：A
5．集合中角表示的范围用阴影表示是图中的（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】集合中，
当为偶数时，此集合与表示终边相同的角，位于第一象限；
当为奇数时，此集合与表示终边相同的角，位于第三象限.
所以集合中角表示的范围为选项B中阴影所示.故选：B.
6．已知角，则角α的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】因为，所以α终边在第二象限.故选：B
7．已知为第二象限角，则所在的象限是（ ）
A．第一或第二象限 B．第二或第三象限
C．第二或第四象限 D．第一或第三象限
【答案】D
【解析】因为为第二象限角，则，
所以，，
①当为奇数时，设，则，
即，此时为第三象限角；
②当为偶数时，设，则，
此时为第一象限角.
综上所述，为第一或第三象限角.故选：D.
8．（多选）下列命题中错误的是（ ）
A．三角形的内角必是第一、二象限角 B．始边相同而终边不同的角一定不相等
C．第四象限角一定是负角 D．钝角比第三象限角小
【答案】ACD
【解析】当三角形为直角三角形时，一内角为直角，直角不属于第一、二象限角，故A错误；
始边相同而终边不同的角一定不相等，故B正确；
取角为第四象限角，但不是负角，故C错误；
取为钝角，为第三象限角，但，故D错误，故选：
9．（多选）已知是锐角，则（ ）
A．是第三象限角 B．是小于的正角
C．是第一或第二象限角 D．是锐角
【答案】ABD
【解析】由题知，因为是锐角，所以，
对于A：所以，故A选项正确；
对于BC：，故B选项正确，C选项错误；
对于D：，故D选项正确；故选：ABD.
10．（多选）如果角与角的终边相同，角与角的终边相同，那么的可能值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】角与角的终边相同，，
角与角的终边相同，,
∴，
即与角终边相同，选项AC符合题意.故选：AC．
1．平面直角坐标系中，取角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的非负半轴，下列说法正确的是（ ）
A．第一象限角一定不是负角 B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角
C．第二象限角必大于第一象限角 D．钝角的终边在第二象限
【答案】D
【解析】－330°角是第一象限角，且是负角，故A错误；
三角形的内角可能为90°，90°角不是第一象限角或第二象限角，故B错误；
α＝390°为第一象限角，β＝120°为第二象限角，此时α＞β，故C错误；
钝角是大于90°且小于180°的角，它的终边在第二象限，故D正确．故选：D．
2．将轴正半轴绕原点逆时针旋转，得到角，则下列与终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得：，
当时，，B正确，其他选项经过验证均不正确.故选：B
3．手表走过2小时，时针转过的角度为（ ）
A．60° B．-60° C．30° D．-30°
【答案】B
【解析】时针每小时转过的角度为30°，由于时针顺时针旋转，
因此时针转过的角度为负数.
所以手表走过2小时，时针转过的角度为.故选：B
4．已知角，则的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】因为，而，
所以的终边在第三象限.故选：C.
5．若则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知，对于集合，
则，表示终边在轴正半轴的角；
对于集合，
则，表示终边在轴上的角；
对于集合，
则，表示终边在坐标轴上的角；
所以.故选：D.
6．若与的终边互为反向延长线，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为与的终边互为反向延长线，
所以，
即.故选：D.
7．（多选）与-463°角终边相同的角可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】因为，
所以与-463°角终边相同的角可以表示为，，
也可以表示为，.故选：BC.
8．已知：①，②，③，④，其中是第一象限角的为______（填序号）.
【答案】④
【解析】对于①：因为，所以为第二象限角；
对于②：因为，所以为第四象限角；
对于③：因为，所以为第三象限角；
对于④：因为，所以为第一象限角.
故答案为：④.
9．如图，分别写出适合下列条件的角的集合
（1）终边落在射线上；
（2）终边落在直线上；
（3）终边落在阴影区域内（含边界）
【答案】（1）；（2）；
（3）
【解析】（1）终边落在射线上，则
（2）终边落在直线上，则
（3）终边落在直线上，则，
则终边落在阴影区域内（含边界），则
10．已知角的集合为，回答下列问题：
（1）集合M中有几类终边不相同的角？
（2）集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？
（3）求集合M中的第二象限角．
【答案】（1）四类；（2）－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°
（3），
【解析】（1）集合M中的角可以分成四类，即终边分别与－150°，－60°，30°，120°的终边相同的角．
（2）令，得，
又，所以终边不相同的角，所以集合M中大于－360°且小于360°的角共有8个，
分别是:－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°．
（3）集合M中的第二象限角与120°角的终边相同，
所以，.
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