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第21讲 弧度制
1．了解弧度制的概念，体会引入弧度制的必要性；
2．能进行弧度与角度的互化，熟悉特殊角的弧度制；
3．掌握弧度制中扇形的弧长和面积公式，会应用公式解决简单的问题。
一、弧度制
1、角度制：规定周角的为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.
2、弧度制的定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度，这种用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.
3、弧度制与角度制的区别与联系
区别 （1）单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位； （2）定义不同.
联系 不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值.
二、角度制与弧度制之间的互化
1、角度制与弧度制的换算
角度化弧度 弧度化角度
360°＝2π rad 2π rad＝360°
180°＝π rad π rad＝180°
1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30°
度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数
2、一些特殊角的度数与弧度数的对应表
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0
3、角的集合与实数集R的关系
角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系，
如图,每个角都是唯一的实数（等于这个角的弧度数）与它对应；
反之，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的交)与之对应。
四、弧长与扇形面积公式
设扇形的半径为，弧长为，或°为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下：
类别/度量单位 角度制 弧度制
扇形的弧长
扇形的面积
考点一：角度制与弧度制的概念辨析
例1．下列说法中，正确的是（ ）
A．1弧度角的大小与圆的半径无关
B．大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大
C．圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等
D．用弧度来表示的角都是正角
【变式训练】（多选）下列各说法中，正确的是（ ）
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角
C．根据弧度的定义，一定等于弧度
D．无论用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关
考点二：角度制化为弧度制
例2．（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
考点三：弧度制化为角度制
例3．若角，则角θ对应的角度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【变式训练】把弧度化成角度：______
考点四：扇形的弧长计算
例4．已知扇形的弧长为2cm，半径为2cm，则该扇形的圆心角______
【变式训练】荡秋千是中华大地上很多民族共有的游艺竞技项目.据现有文献记载，它源自先秦.位于广东清远的天子山悬崖秋千建在高198米的悬崖边上，该秋千的缆索长8米，荡起来最大摆角为120°，则该秋千最大摆角所对的弧长为（ ）
A．米 B．米 C．13.6米 D．198米
考点五：扇形的面积计算
例5．已知半径为4的扇形面积为，则扇形的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】工艺扇面是中国书画的一种常见表现形式.某班级想用布料制作一面如图所示的扇面，已知扇面展开的中心角为，外圆半径为40cm，内圆半径为20cm，那么制作这样一面扇面至少需要用布料为__________cm2

考点六：扇形中的最值问题
例6．已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l．
（1）若，，求扇形的弧长l；
（2）若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角．
【变式训练】已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为r．
（1）若，求扇形的弧长．
（2）若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积．
1．下列命题中，正确的是（ ）
A．1弧度是1度的圆心角所对的弧 B．1弧度是长度为半径长的弧
C．1弧度是1度的弧与1度的角之和 D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角
2．用弧度制表示为（ ）
A． B． C． D．
3．某钟表里分针按正常方式走了2小时 20 分， 则对应时针转过的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
4．若，，则终边所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第一、三象限 C．第二象限 D．第二、四象限
5．圆的一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为（ ）
A．1 B． C．或 D．或
6．我国北宋时期科技史上的杰作《梦溪笔淡》收录了计算扇形弧长的近似计算公式：，公式中“弦”是指扇形中圆弧所对弦的长，“矢”是指圆弧所在圆的半径与圆心到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆的直径．如图，已知扇形的面积为，扇形所在圆O的半径为2，利用上述公式，计算该扇形弧长的近似值为（ ）

A． B． C． D．
7．已知扇形的周长为20，则该扇形的面积S的最大值为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
8．（多选）下列转化结果正确的是是（ ）
A．化成弧度是 B．化成角度是
C．化成弧度是 D．化成角度是
9．（多选）下列转化结果正确的是（ ）
A．60°化成弧度是 B．化成度是－600°
C．－150°化成弧度是 D．化成度是15°
10．（多选）已知某扇形的周长为44，圆心角为2，则（ ）
A．该扇形的半径为11 B．该扇形的半径为22
C．该扇形的面积为100 D．该扇形的面积为121
11．桃湖公园有一扇形花园，扇形的圆心角为，半径为，现要在该花园的周围围一圈护栏，则护栏的总长度为（结果保留）________．
12．已知
（1）将写成的形式，并指出它是第几象限角
（2）求与终边相同的角，满足．
1．将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度是（ ）
A． B． C． D．
2．已知扇形的周长为6cm，半径是2cm，则扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．下列各对角中终边相同的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
4．下列结论错误的是（ ）
A．－150°化成弧度是 B．化成度是－600°
C．化成弧度是 D．化成度是15°
5．两个圆心角相同的扇形的面积之比为1：2，则这两个扇形周长的比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C． D．1：8
6．下面关于弧度的说法，错误的是（ ）
A．弧长与半径的比值是圆心角的弧度数
B．一个角的角度数为，弧度数为，则.
C．长度等于半径的倍的弦所对的圆心角的弧度数为
D．航海罗盘半径为，将圆周32等分，每一份的弧长为.
7．玉雕壁画是采用传统的手工雕刻工艺，加工生产成的玉雕工艺画．某扇形玉雕壁画尺寸（单位：cm）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（ ）
A． B． C． D．
8．下列命题中，正确的是（ ）
A．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角
B．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
C．若是第一象限的角，则是第四象限的角
D．若是第一象限的角，则也是第一象限的角
9．如图，扇形AOB的圆心角为120°，半径，则图中阴影部分的面积为（ ）.
A． B． C． D．
10．已知扇形的圆心角是，半径是，弧长为.
（1）若，求扇形的面积；
（2）若扇形的周长为，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．
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第21讲 弧度制
1．了解弧度制的概念，体会引入弧度制的必要性；
2．能进行弧度与角度的互化，熟悉特殊角的弧度制；
3．掌握弧度制中扇形的弧长和面积公式，会应用公式解决简单的问题。
一、弧度制
1、角度制：规定周角的为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.
2、弧度制的定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度，这种用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.
3、弧度制与角度制的区别与联系
区别 （1）单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位； （2）定义不同.
联系 不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值.
二、角度制与弧度制之间的互化
1、角度制与弧度制的换算
角度化弧度 弧度化角度
360°＝2π rad 2π rad＝360°
180°＝π rad π rad＝180°
1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30°
度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数
2、一些特殊角的度数与弧度数的对应表
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0
3、角的集合与实数集R的关系
角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系，
如图,每个角都是唯一的实数（等于这个角的弧度数）与它对应；
反之，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的交)与之对应。
四、弧长与扇形面积公式
设扇形的半径为，弧长为，或°为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下：
类别/度量单位 角度制 弧度制
扇形的弧长
扇形的面积
考点一：角度制与弧度制的概念辨析
例1．下列说法中，正确的是（ ）
A．1弧度角的大小与圆的半径无关
B．大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大
C．圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等
D．用弧度来表示的角都是正角
【答案】A
【解析】A：由弧度的定义得，弧度的大小与圆的半径无关，它由比值唯一确定，故A正确；
B：大圆中1弧度角与小圆中1弧度角的大小相等，故B错误；
C：圆心角为1弧度的扇形的弧长为，
与半径有关，半径不相等，则扇形的弧长不相等，故C错误；
D：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，故D错误.
故选：A.
【变式训练】（多选）下列各说法中，正确的是（ ）
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角
C．根据弧度的定义，一定等于弧度
D．无论用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关
【答案】ABC
【解析】“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位，故A正确；
1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角，故B正确；
根据弧度的定义，一定等于弧度，故C正确；
根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，
角的大小均与圆的半径长短无关，而是跟弧长与半径的比值有关，故D错误的.故选：ABC.
考点二：角度制化为弧度制
例2．（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，.故选：C
【变式训练】的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由.故选：B
考点三：弧度制化为角度制
例3．若角，则角θ对应的角度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【解析】根据弧度制与角度制的互化可知，.故选：C
【变式训练】把弧度化成角度：______
【答案】
【解析】，
故答案为：
考点四：扇形的弧长计算
例4．已知扇形的弧长为2cm，半径为2cm，则该扇形的圆心角______
【答案】
【解析】设弧长为，半径为,则cm，2cm，
.故答案为:.
【变式训练】荡秋千是中华大地上很多民族共有的游艺竞技项目.据现有文献记载，它源自先秦.位于广东清远的天子山悬崖秋千建在高198米的悬崖边上，该秋千的缆索长8米，荡起来最大摆角为120°，则该秋千最大摆角所对的弧长为（ ）
A．米 B．米 C．13.6米 D．198米
【答案】A
【解析】由题意，秋千的最大摆角为，且秋千的缆索长为米，即半径，
所以秋千最大摆角所对的弧长为米.故选：A.
考点五：扇形的面积计算
例5．已知半径为4的扇形面积为，则扇形的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设扇形的圆心角大小为，半径为，
则由扇形的面积为，可得：，
解得：扇形的圆心角．故选：C
【变式训练】工艺扇面是中国书画的一种常见表现形式.某班级想用布料制作一面如图所示的扇面，已知扇面展开的中心角为，外圆半径为40cm，内圆半径为20cm，那么制作这样一面扇面至少需要用布料为__________cm2

【答案】400π
【解析】根据题意，由扇形的面积公式可得：
制作这样一面扇面需要的布料为.故答案为：400π
考点六：扇形中的最值问题
例6．已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l．
（1）若，，求扇形的弧长l；
（2）若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角．
【答案】（1）；（2）扇形周长的最小值为，此时
【解析】（1）因为，，
所以扇形的弧长；
（2）由扇形面积，得，
则扇形周长为，
当且仅当，即时，取等号，
此时，，所以，
所以扇形周长的最小值为，此时.
【变式训练】已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为r．
（1）若，求扇形的弧长．
（2）若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设扇形的弧长为l．
因为，即，
所以．
（2）由题设条件，知，则，
所以扇形的面积．
当时，S有最大值36，
此时，
所以当时，扇形的面积最大，最大面积是36．
1．下列命题中，正确的是（ ）
A．1弧度是1度的圆心角所对的弧 B．1弧度是长度为半径长的弧
C．1弧度是1度的弧与1度的角之和 D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角
【答案】D
【解析】因为1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角，
所以选项ABC说法不正确，D正确，故选：D
2．用弧度制表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】.故选：C．
3．某钟表里分针按正常方式走了2小时 20 分， 则对应时针转过的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用任意角的概念可得，顺时针方向旋转角为负角，
一小时时针转过的角度为，2小时 20 分相当于小时，
所以对应时针转过的弧度数.故选：B
4．若，，则终边所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第一、三象限 C．第二象限 D．第二、四象限
【答案】B
【解析】经过第三象限，则反向延长其终边射线经过第一象限，
故经过一三象限，故选：B.
5．圆的一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为（ ）
A．1 B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】由题意如图，，
所以三角形为等边三角形，所以,
因为同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
所以，
因为四点共圆，所以.故选：C.
6．我国北宋时期科技史上的杰作《梦溪笔淡》收录了计算扇形弧长的近似计算公式：，公式中“弦”是指扇形中圆弧所对弦的长，“矢”是指圆弧所在圆的半径与圆心到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆的直径．如图，已知扇形的面积为，扇形所在圆O的半径为2，利用上述公式，计算该扇形弧长的近似值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设扇形的圆心角为α，由扇形面积公式可知，所以，
如图，取的中点C，连接OC，交AB于点D，则．
易知，则，
所以，，，
所以扇形弧长的近似值为．故选:C
7．已知扇形的周长为20，则该扇形的面积S的最大值为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】D
【解析】设扇形圆心角为，，扇形半径为，，
由题有，
则，
当时取等号.故选：D
8．（多选）下列转化结果正确的是是（ ）
A．化成弧度是 B．化成角度是
C．化成弧度是 D．化成角度是
【答案】AB
【解析】对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C ，，故C错误；
对于D，，故D错误.故选：.
9．（多选）下列转化结果正确的是（ ）
A．60°化成弧度是 B．化成度是－600°
C．－150°化成弧度是 D．化成度是15°
【答案】ABD
【解析】对选项A：60°化成弧度是，正确；
对选项B：化成度是－600°，正确；
对选项C：－150°化成弧度是，错误；
对选项D：化成度是15°，正确.故选：ABD
10．（多选）已知某扇形的周长为44，圆心角为2，则（ ）
A．该扇形的半径为11 B．该扇形的半径为22
C．该扇形的面积为100 D．该扇形的面积为121
【答案】AD
【解析】设该扇形的半径为r，弧长为l，则，
即，解得．
故该扇形的面积．故选：AD.
11．桃湖公园有一扇形花园，扇形的圆心角为，半径为，现要在该花园的周围围一圈护栏，则护栏的总长度为（结果保留）________．
【答案】
【解析】因为，所以，扇形的圆心角为，半径为，
所以，该花园的护栏的总长度为.
故答案为：.
12．已知
（1）将写成的形式，并指出它是第几象限角
（2）求与终边相同的角，满足．
【答案】（1），它是第三象限的角；（2），
【解析】（1）因为，故，
∵，，
∴将写成（，）的形式为，
它是第三象限的角．
（2）∵与的终边相同，
∴令，，
当，满足题意，故，．
1．将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵分针转一周为分钟，转过的角度为，将分针拨快是顺时针旋转，
∴分针拨快10分钟，则分针所转过的弧度数为.故选：B
2．已知扇形的周长为6cm，半径是2cm，则扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】设扇形的圆心角为α rad，半径为Rcm，
则，解得α＝1．故选：A．
3．下列各对角中终边相同的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】C
【解析】对于A，，其终边与的终边相同，与的终边不相同，A错；
对于B，，其终边与的终边相同，与的终边不相同，B错；
对于C， ，其终边与的终边相同，C对；
对于D，，其终边与的终边相同，与的终边不相同，D错.故选：C
4．下列结论错误的是（ ）
A．－150°化成弧度是 B．化成度是－600°
C．化成弧度是 D．化成度是15°
【答案】A
【解析】对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，D正确．故选：A
5．两个圆心角相同的扇形的面积之比为1：2，则这两个扇形周长的比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C． D．1：8
【答案】C
【解析】设扇形的圆心角的弧度数为，两圆的半径分别为和，
则，.
两个扇形周长的比为: . 故选：C
6．下面关于弧度的说法，错误的是（ ）
A．弧长与半径的比值是圆心角的弧度数
B．一个角的角度数为，弧度数为，则.
C．长度等于半径的倍的弦所对的圆心角的弧度数为
D．航海罗盘半径为，将圆周32等分，每一份的弧长为.
【答案】D
【解析】A.根据弧度数定义可知A正确；
B.根据弧度与角度的转化关系，可知B正确；
C.根据三角形关系可知，长度等于半径的倍的弦所对的圆心角为，
即弧度数为，故C正确；
D.圆周长为，32等分后，每一份弧长为，故D错误.故选：D
7．玉雕壁画是采用传统的手工雕刻工艺，加工生产成的玉雕工艺画．某扇形玉雕壁画尺寸（单位：cm）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，设，，
由题图及弧长公式可得解得
设扇形COD、扇形AOB的面积分别为，，
则该玉雕壁画的扇面面
．故选：D.
8．下列命题中，正确的是（ ）
A．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角
B．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
C．若是第一象限的角，则是第四象限的角
D．若是第一象限的角，则也是第一象限的角
【答案】D
【解析】对于选项A，由弧度制的定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，故A错误；
对于选项B，用角度制和弧度制度量角，由定义可知都与圆的半径无关，故B错误；
对于选项C，因为是第一象限角，所以，，
所以，，当时，，为第二象限角，故C错误；
对于选项D，因为是第一象限角，所以，，
所以，，是第一象限的角，故D正确.故选：D.
9．如图，扇形AOB的圆心角为120°，半径，则图中阴影部分的面积为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由扇形的圆心角为120°，即，半径，
可得扇形的面积为，
的面积，
所以图中阴影部分的面积为.故选：A.
10．已知扇形的圆心角是，半径是，弧长为.
（1）若，求扇形的面积；
（2）若扇形的周长为，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．
【答案】（1）；（2）最大值为25；
【解析】（1）因为，
所以扇形的面积为；
（2）由题意可知：，即，
所以扇形的面积为，
当时，扇形面积的最大值为，
此时，
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