资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第22讲 三角函数的概念
1．借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的含义；
2．掌握任意角的三角函数值在各象限的符号；
3．会利用角的终边上的点的坐标求角的正弦、余弦和正切；
4．掌握公式一并会应用
一、三角函数的定义
1、定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，则：
叫做的正弦函数，记作.即；
叫做的余弦函数，记作.即；
叫做的正切函数，记作.即。
2、三角函数定义域
正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常记为：
正弦函数：
余弦函数：
正切函数：
3、三角函数另一种情况
若已知角终边上一点（不与原点重合）不是以坐标原点为圆心的单位圆上的点，
先求，则，，.
三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。
二、三角函数的符号
【口诀记忆】“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
其含义是：第一象限中各三角函数值全是正数，第二象限中只有正弦值为正数，第三象限中只有正切值为正，第四象限中只有余弦值为正．
三、诱导公式一
由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一：
其中
注意：（1）利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0～2π(或0°～360°)范围内角的三角函数值．
（2）上面三个公式也可以统一写成：f(k·2π＋α)＝f(α)(k∈Z)，或f(k·360°＋α)＝f(α)(k∈Z)．
四、特殊角的三角函数值
0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270°
0
0 1 0 －1
1 0 - - - －1 0
0 1 －1 0
五、三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法
1、已知角的终边上一点的坐标，求角的三角函数值
方法：先求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解；
2、已知角的一个三角函数值和终边上的点P的横坐标或纵坐标，求与角有关的三角函数值
方法：先求出点到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题；
3、已知角的终边所在的直线方程（，），求角的三角函数值
方法：先设出终边上的一点，求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解（注意的符号，对分类讨论）
考点一：由终边或终边上的点求三角函数
例1．若角的终边经过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为角的终边上有一点，所以，故选：A
【变式训练】已知角以坐标系中为始边，终边与单位圆交于点，则下列各式正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为角以坐标系中为始边，终边与单位圆交于点，
所以，所以，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误.故选：C.
考点二：由三角函数值求终边上点的参数
例2．角的终边经过点且，则b的值为（ ）
A．3 B． C． D．5
【答案】B
【解析】根据三角函数定义可得，且，
即，解得．故选：B．
【变式训练】若是第二象限角，为其终边上一点，，则值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由三角函数的定义，可得，解得，即，
则，所以.故选：C.
考点三：三角函数的符号判断
例3．已知且，则的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】∵已知，∴的终边在第一或第三象限．
若的终边在第一象限，则，故，满足题意，
若的终边在第三象限，则，故，不满足题意，
∴的终边在第一象限.故选：A．
【变式训练】确定下列各式的符号（1）)； （2）.
【答案】（1）负号；（2）负号
【解析】（1）因为是第二象限角，所以，
因为是第三象限角，所以，
所以，即的符号为负号.
（2）因为，所以5是第四象限角，所以，
又因为，所以，所以，
所以的符号为负号.
考点四：圆上的动点与旋转点
例4．点在圆上沿逆时针方向匀速旋转每秒旋转弧度，已知1秒时，点A的坐标为，则3秒时，点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由1秒到3秒，点A旋转的角度为，
又，所以点A的坐标为.故选：A.
【变式训练】质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆周上顺时针作匀速圆周运动，同时出发.P的角速度为3rad/s，起点为射线与圆的交点；Q的角速度为5rad/s，起点为圆与x轴正半轴交点，则当质点Q与P第二次相遇时，Q的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设当质点Q与P第二次相遇时，用了时间，
依题意有，解得，
此时质点Q转过角度为，
因为是顺时针作匀速圆周运动，质点Q转在角的终边上，
圆的半径为1，Q的坐标为.故选：C
考点五：诱导公式一的应用
例5．（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】.故选：A.
【变式训练】计算的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】.故选：B.
1．已知角的终边经过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为角的终边经过点，则，
因此，所以.故选：B
2．已知角的终边经过点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，解得，所以点，
所以.故选：D
3．已知角的终边与单位圆的交于点，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由三角函数的定义可得.故选：A.
4．已知第二象限角的终边经过点，则（ ）
A．2 B． C． D．6
【答案】B
【解析】的终边经过点，则，解得或，
在第二象限，故，故.故选：B
5．的值为（ ）
A．负数 B．正数 C．0 D．不存在
【答案】A
【解析】因为，
所以，，，
所以，故选：A
6．已知角A，B是三角形的两个内角，则点（ ）
A．不可能在第一象限 B．不可能在第二象限
C．不可能在第三象限 D．不可能在第四象限
【答案】C
【解析】A选项，当角A，B均为锐角时，.
即此时点P在第一象限，故A错误；
B选项，当角A为钝角，B为锐角时，.
即此时点P在第二象限，故B错误；
C选项，因三角形最多有一个钝角，故与不可能同时小于0，
即点P不可能在第三象限，故C正确；
D选项，当角A为锐角，B为钝角时，.
即此时点P在第四象限，故D错误.故选：C
7．（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】.故选：C.
8．点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】，
，
所以点位于第三象限.故选：C
9．下列函数值：①；②；③；④，其结果为负值的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【解析】对于①：，
对于②：，
对于③：，
因为，所以，即，
对于④：因为，所以.故选：C
10．在平面直角坐标系xOy中，单位圆上一点P从点（0，1）出发，逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为（ ）
A． B．（） C．（，） D．（－，）
【答案】A
【解析】设与轴正半轴的夹角为，
则点P逆时针方向运动弧长到达Q点后与轴正半轴的夹角为，
此时，则
，，
故此时点Q的坐标为.故选：A
1．在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】因为角的终边经过点，所以；故选：D
2．已知角的终边与直线重合且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设为直线上的点，则，
则，得，，
.故选：B
3．已知角的终边过点，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】角的终边过点，
故可得，解得.
故.故选：D.
4．已知，则点在第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】D
【解析】因为，所以为第四象限角，
所以，，
所以点位于第四象限；故选：D
5．已知角的终边位于第二象限，则点位于（ ）
A．第二象限 B．第三象限 C．第四象限 D．第一象限
【答案】C
【解析】因为角的终边在第二象限，则，，
所以点P在第四象限．故选：C.
6．在直角坐标系中，若点从点出发，沿圆心在原点，半径为3的圆按逆时针方向运动到达点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意可知，作出图示如下：
根据题意可得，，作轴且垂足为；
利用三角函数定义可得，
；
又点在第四象限，所以点的坐标为.故选：C
7．若角的终边经过点，其中，那么________．
【答案】1
【解析】因为，所以，
所以，，
所以.
故答案为：.
8．已知点是角的终边上的一点，且，则__________．
【答案】
【解析】由题意可得：，
所以，解得：.故答案为：.
9．计算______.
【答案】
【解析】因为，
，
所以.
故答案为：
10．已知角，则的值为______．
【答案】
【解析】由题意得：，
故角是第三象限角，则，
故，故答案为：
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第22讲 三角函数的概念
1．借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的含义；
2．掌握任意角的三角函数值在各象限的符号；
3．会利用角的终边上的点的坐标求角的正弦、余弦和正切；
4．掌握公式一并会应用
一、三角函数的定义
1、定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，则：
叫做的正弦函数，记作.即；
叫做的余弦函数，记作.即；
叫做的正切函数，记作.即。
2、三角函数定义域
正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常记为：
正弦函数：
余弦函数：
正切函数：
3、三角函数另一种情况
若已知角终边上一点（不与原点重合）不是以坐标原点为圆心的单位圆上的点，
先求，则，，.
三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。
二、三角函数的符号
【口诀记忆】“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
其含义是：第一象限中各三角函数值全是正数，第二象限中只有正弦值为正数，第三象限中只有正切值为正，第四象限中只有余弦值为正．
三、诱导公式一
由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一：
其中
注意：（1）利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0～2π(或0°～360°)范围内角的三角函数值．
（2）上面三个公式也可以统一写成：f(k·2π＋α)＝f(α)(k∈Z)，或f(k·360°＋α)＝f(α)(k∈Z)．
四、特殊角的三角函数值
0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270°
0
0 1 0 －1
1 0 - - - －1 0
0 1 －1 0
五、三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法
1、已知角的终边上一点的坐标，求角的三角函数值
方法：先求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解；
2、已知角的一个三角函数值和终边上的点P的横坐标或纵坐标，求与角有关的三角函数值
方法：先求出点到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题；
3、已知角的终边所在的直线方程（，），求角的三角函数值
方法：先设出终边上的一点，求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解（注意的符号，对分类讨论）
考点一：由终边或终边上的点求三角函数
例1．若角的终边经过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】已知角以坐标系中为始边，终边与单位圆交于点，则下列各式正确的有（ ）
A． B． C． D．
考点二：由三角函数值求终边上点的参数
例2．角的终边经过点且，则b的值为（ ）
A．3 B． C． D．5
【变式训练】若是第二象限角，为其终边上一点，，则值为（ ）
A． B． C． D．
考点三：三角函数的符号判断
例3．已知且，则的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式训练】确定下列各式的符号（1）)； （2）.
考点四：圆上的动点与旋转点
例4．点在圆上沿逆时针方向匀速旋转每秒旋转弧度，已知1秒时，点A的坐标为，则3秒时，点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆周上顺时针作匀速圆周运动，同时出发.P的角速度为3rad/s，起点为射线与圆的交点；Q的角速度为5rad/s，起点为圆与x轴正半轴交点，则当质点Q与P第二次相遇时，Q的坐标为（ ）
A． B． C． D．
考点五：诱导公式一的应用
例5．（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】计算的值是（ ）
A． B． C． D．
1．已知角的终边经过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知角的终边经过点，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知角的终边与单位圆的交于点，则为（ ）
A． B． C． D．
4．已知第二象限角的终边经过点，则（ ）
A．2 B． C． D．6
5．的值为（ ）
A．负数 B．正数 C．0 D．不存在
6．已知角A，B是三角形的两个内角，则点（ ）
A．不可能在第一象限 B．不可能在第二象限
C．不可能在第三象限 D．不可能在第四象限
7．（ ）
A． B． C． D．
8．点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．下列函数值：①；②；③；④，其结果为负值的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
10．在平面直角坐标系xOy中，单位圆上一点P从点（0，1）出发，逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为（ ）
A． B．（） C．（，） D．（－，）
1．在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（ ）
A．2 B． C． D．
2．已知角的终边与直线重合且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知角的终边过点，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则点在第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
5．已知角的终边位于第二象限，则点位于（ ）
A．第二象限 B．第三象限 C．第四象限 D．第一象限
6．在直角坐标系中，若点从点出发，沿圆心在原点，半径为3的圆按逆时针方向运动到达点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．若角的终边经过点，其中，那么________．
8．已知点是角的终边上的一点，且，则__________．
9．计算______.
10．已知角，则的值为______．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑