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第23讲 同角三角函数的基本关系
1．理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用；
2．会利用同角三角函数的基本关系进行化简、求值与恒等式证明
一、同角三角函数基本关系
1、平方关系：， 文字表述：同一个角的正弦、余弦的平方和等于1
2、商数关系：， 文字表述：同一个角的正弦、余弦的商等于角的正切
注意以下三点：
（1）“同角”有两层含义：
一是“角相同”；二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，
如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．
（2）sin2α是(sin α)2的简写，读作“sin α的平方”，不能将sin2α写成sin α2，前者是α的正弦的平方，
后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写．
（3）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，
sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立．
二、已知某个三角函数值求其余三角函数值的步骤
第一步：由已知三角函数的符号，确定其角终边所在的象限；
第二步：依据角的终边所在象限分类讨论；
第三步：利用同角三角函数关系及其变形公式，求出其余三角函数值。
三、三角函数式的化简技巧
①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．
②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造＋＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
四、三角函数恒等式证明
证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：
①证明一边等于另一边，一般是由繁到简．
②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)．
③比较法：即证左边－右边＝0或＝1(右边≠0)．
④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．
考点一：sina、cosa、tana知一求二
例1．已知，在第二象限，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1】已知，且为第四象限角，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2】已知是第二象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
考点二：正、余弦齐次式的应用
例2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1】若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2】已知，求下列各式的值.
（1）； （2）.
考点三：sinacosa、sina±cosa知一求二
例3．的三个内角为，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】已知，，则（ ）
A． B． C． D．
考点四：三角函数化简求值问题
例4．（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】化简：（是第二、三象限角）（ ）
A． B． C． D．
考点五：三角恒等式的证明问题
例5．求证：＝.
【变式训练】求证：
（1）；
（2）.
1．若且，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则的值为（ ）
A． B． C．6 D．
4．已知在中，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．若，化简：（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，则______
8．已知，则_______．
9．（1）已知，且为第四象限角，求和的值；
（2）已知，若是第二象限角，求的值.
10．（1）若，化简：；
（2）求证：.
1．已知角，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知α是第四象限角，，则sinα等于（ ）
A． B． C． D．
4．求（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则( )
A． B．3 C．6 D．7
6．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为α，大正方形的面积为，小正方形的面积为，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（多选）已知，则下列选项正确的是( )
A． B．
C． D．
8．（多选）已知,且和是方程的两个实数根,则=（ ）
A． B． C． D．
9．已知，求：
（1）；
（2）.
10．（1）化简：（为第二象限角）；
（2）求证：．
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第23讲 同角三角函数的基本关系
1．理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用；
2．会利用同角三角函数的基本关系进行化简、求值与恒等式证明
一、同角三角函数基本关系
1、平方关系：， 文字表述：同一个角的正弦、余弦的平方和等于1
2、商数关系：， 文字表述：同一个角的正弦、余弦的商等于角的正切
注意以下三点：
（1）“同角”有两层含义：
一是“角相同”；二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，
如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．
（2）sin2α是(sin α)2的简写，读作“sin α的平方”，不能将sin2α写成sin α2，前者是α的正弦的平方，
后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写．
（3）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，
sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立．
二、已知某个三角函数值求其余三角函数值的步骤
第一步：由已知三角函数的符号，确定其角终边所在的象限；
第二步：依据角的终边所在象限分类讨论；
第三步：利用同角三角函数关系及其变形公式，求出其余三角函数值。
三、三角函数式的化简技巧
①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．
②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造＋＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
四、三角函数恒等式证明
证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：
①证明一边等于另一边，一般是由繁到简．
②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)．
③比较法：即证左边－右边＝0或＝1(右边≠0)．
④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．
考点一：sina、cosa、tana知一求二
例1．已知，在第二象限，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由及是第二象限角，得，
所以.故选：C
【变式训练1】已知，且为第四象限角，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为为第四象限角，所以．故选：D.
【变式训练2】已知是第二象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵为第二象限角，，
∴．故选：B．
考点二：正、余弦齐次式的应用
例2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，故选：C．
【变式训练1】若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以
.故选：A
【变式训练2】已知，求下列各式的值.
（1）； （2）.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，所以原式
（2）因为，
所以
.
考点三：sinacosa、sina±cosa知一求二
例3．的三个内角为，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】以为，，
故可得，故，
则.故选：D.
【变式训练】已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，
，，，
，所以.故选：C
考点四：三角函数化简求值问题
例4．（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为，所以，所以.故选：B
【变式训练】化简：（是第二、三象限角）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】．
当是第二、第三象限角时，
原式． 故选：C．
考点五：三角恒等式的证明问题
例5．求证：＝.
【答案】证明见解析
【解析】证明：∵右边＝＝
＝＝＝＝左边，
∴＝.
【变式训练】求证：
（1）；
（2）.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）
.
所以原式成立.
（2）
.
所以原式成立.
1．若且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，
.故选：B．
2．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，则，
又，即，所以.故选：A
3．已知，则的值为（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】B
【解析】.故选：B.
4．已知在中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
则，
可得，
又，则，
即，可得，
又因为，
所以.故选：B.
5．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为①，两边平方得，
故，
所以与异号，又，所以，，
所以②，
由①②解得 ，所以．故选：C
6．若，化简：（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】且，
所以，
所以
故选：D
7．已知，，则______
【答案】
【解析】因为，
可得，故答案为：.
8．已知，则_______．
【答案】/
【解析】
.故答案为：
9．（1）已知，且为第四象限角，求和的值；
（2）已知，若是第二象限角，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为为第四象限角，则，
，
.
（2），
所以，
所以，
所以.
又因为是第二象限角，所以，，所以.
10．（1）若，化简：；
（2）求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）原式，
因为，所以，原式.
（2）证明：.
1．已知角，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，可得在第二象限，
∴，
∴故选：D.
2．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为且，所以，
所以；故选：A
3．已知α是第四象限角，，则sinα等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为tanα= ，所以，所以cosα= sinα，
代入sin2α+cos2α=1，得sin2α=，
又α是第四象限角，所以sinα= .故选：D
4．求（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，
又，则，
所以.故选：C
5．已知，则( )
A． B．3 C．6 D．7
【答案】D
【解析】因为，
所以，故选：D．
6．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为α，大正方形的面积为，小正方形的面积为，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设大正方形的边长为，则直角三角形的两直角边分别为，
故，
则，所以，
又为锐角，则，
所以.故选：A.
7．（多选）已知，则下列选项正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】两边平方，得，
即，则，选项A正确；
因为，所以，
又因为，所以，
因为，
所以，选项B正确，
因为，故D正确，C错误，
故选：ABD．
8．（多选）已知,且和是方程的两个实数根,则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】解方程得或;
分子分母同时除以得;
当时,,
当时,.故选：.
9．已知，求：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）
；
（2）=.
10．（1）化简：（为第二象限角）；
（2）求证：．
【答案】（1）1;（2）证明见解析
【解析】（1）原式
，
因为为第二象限角，所以上式.
（2）左边右边.
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