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第24讲 诱导公式
1．借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式；
2．能够熟练地运用诱导公式，将任意角的三角函数化归为锐角的三角函数，进行求值、化简和证明。
3．通过三角函数诱导公式的学习，体验“把未知转化为已知”这种重要的化归思想。
一、诱导公式
1、诱导公式二：角与角的终边关于原点对称
，
，
，其中
2、诱导公式三：角与角的终边关于轴对称
，
，
，
其中
3、诱导公式四：角与角的终边关于轴对称
，
，
，其中
4、诱导公式五：，，其中
诱导公式六：，，其中
5、诱导公式口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，
意思是说角(为常整数)的三角函数值：
当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；
当为偶数时，函数名不变，
然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号.
二、用诱导公式进行化简时的注意点：
（1）化简后项数尽可能的少；
（2）函数的种类尽可能的少；
（3）分母不含三角函数的符号；
（4）能求值的一定要求值；
（5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．
三、利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
1、“负化正”：用公式一或三来转化．
2、“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角．
3、“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．
4、“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．
四、利用诱导公式求值与求解解题策略
1、条件求值问题的策略
（1）条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
（2）将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
2、给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角．
3、观察互余、互补关系：如－α与＋α，＋α与－α，－α与＋α等互余，＋θ与－θ，＋θ与－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．
考点一：利用诱导公式给角求值
例1．（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1】计算：______.
【变式训练2】计算：___________.
考点二：利用诱导公式给值求值
例2．若且是第二象限角，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1】设，若则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2】设，则（ ）
A． B． C． D．
考点三：互余互补关系的应用
例3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1】已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2】已知cos＝a(|a|≤1)，则cos＋sin的值是________.
考点四：利用诱导公式化简求值
例4．化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】（多选）已知角满足，则的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
考点五：利用诱导公式证明恒等式
例5．已知、、为的三个内角，求证：
【变式训练】求证：＝．
考点六：诱导公式综合应用
例6．已知.
（1）化简；
（2）若，求的值.
【变式训练】（1）化简：
（2）已知（n∈Z），求＋＋＋…＋的值.
1．（ ）
A． B． C． D．
2．已知，且为第三象限角，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，那么（ ）
A． B． C． D．
4．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．若，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则（ ）
A． B． C．- D．
7．（多选）已知，则角的终边可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．轴的负半轴上
8．求证
9．计算下列两个小题
（1）计算；
（2）已知角终边上有一点，求的值．
10．已知函数.
（1）化简函数的解析式；
（2）若，，求的值.
1．若，则角x等于（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
2．若，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知s，则的值为（ ）
A． B．－ C． D．－
4．化简：得（ ）
A． B． C． D．
5．（多选）下列三角函数式的值与的值相同的是（ ）
A． B．
C． D．
6．_________．
7．化简：________．
8．设，化简：
9．求下列各式的值:
（1）cos+tan;
（2）sin 810°+tan 765°+tan 1125°+cos 360°.
10．已知函数.
（1）化简；
（2）若，求的值.
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第24讲 诱导公式
1．借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式；
2．能够熟练地运用诱导公式，将任意角的三角函数化归为锐角的三角函数，进行求值、化简和证明。
3．通过三角函数诱导公式的学习，体验“把未知转化为已知”这种重要的化归思想。
一、诱导公式
1、诱导公式二：角与角的终边关于原点对称
，
，
，其中
2、诱导公式三：角与角的终边关于轴对称
，
，
，
其中
3、诱导公式四：角与角的终边关于轴对称
，
，
，其中
4、诱导公式五：，，其中
诱导公式六：，，其中
5、诱导公式口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，
意思是说角(为常整数)的三角函数值：
当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；
当为偶数时，函数名不变，
然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号.
二、用诱导公式进行化简时的注意点：
（1）化简后项数尽可能的少；
（2）函数的种类尽可能的少；
（3）分母不含三角函数的符号；
（4）能求值的一定要求值；
（5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．
三、利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
1、“负化正”：用公式一或三来转化．
2、“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角．
3、“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．
4、“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．
四、利用诱导公式求值与求解解题策略
1、条件求值问题的策略
（1）条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
（2）将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
2、给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角．
3、观察互余、互补关系：如－α与＋α，＋α与－α，－α与＋α等互余，＋θ与－θ，＋θ与－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．
考点一：利用诱导公式给角求值
例1．（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】故选：B．
【变式训练1】计算：______.
【答案】
【解析】原式.
故答案为：.
【变式训练2】计算：___________.
【答案】0
【解析】
故答案为：0
考点二：利用诱导公式给值求值
例2．若且是第二象限角，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，得，
又由为第二象限角，所以．故选：B.
【变式训练1】设，若则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，
所以.故选：C.
【变式训练2】设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，
，
所以.故选：C.
考点三：互余互补关系的应用
例3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，
∴.故选:D．
【变式训练1】已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，故选：A.
【变式训练2】已知cos＝a(|a|≤1)，则cos＋sin的值是________.
【答案】0
【解析】∵，
，
.
故答案为：0.
考点四：利用诱导公式化简求值
例4．化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，故选：C
【变式训练】（多选）已知角满足，则的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】因为，则且，
当为奇数时，原式；
当为偶数时，原式.
故原式的取值可能为、.故选：AC.
考点五：利用诱导公式证明恒等式
例5．已知、、为的三个内角，求证：
【答案】证明见解析
【解析】证明：在中，，则.
所以，，
故原等式得证.
【变式训练】求证：＝．
【答案】证明见解析
【解析】左边
.
右边.
∴左边＝右边，故原等式成立．
考点六：诱导公式综合应用
例6．已知.
（1）化简；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题意得：
（2）∵，∴.
∴为第一或第二象限角，
∴，
∴
【变式训练】（1）化简：
（2）已知（n∈Z），求＋＋＋…＋的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）原式；
（2）因为，所以函数的周期为6，
，，，
，，；
由于，
所以＋＋＋…＋.
1．（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】.故选：C
2．已知，且为第三象限角，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
又因为为第三象限角，所以，
则，故选：D.
3．已知，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，，
因此，.故选：C.
4．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，且，
则，，
.故选：C.
5．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以．故选：A.
6．已知，则（ ）
A． B． C．- D．
【答案】A
【解析】.故选：A.
7．（多选）已知，则角的终边可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．轴的负半轴上
【答案】BCD
【解析】由，
得，所以，
所以角的终边可能在第二象限、第三象限、轴的负半轴及轴上.故选：BCD.
8．求证
【答案】证明见解析
【解析】
9．计算下列两个小题
（1）计算；
（2）已知角终边上有一点，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）
（2）因为角终边上有一点，
所以，，，
所以.
10．已知函数.
（1）化简函数的解析式；
（2）若，，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）；
（2）由题意，
因为，所以，
由得，所以，
所以.
1．若，则角x等于（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】D
【解析】∵，
∴，∴，
∵，∴，∴或.故选：D.
2．若，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，得，而，
于是，
所以.故选：C
3．已知s，则的值为（ ）
A． B．－ C． D．－
【答案】D
【解析】，故选：D
4．化简：得（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
又因为角时第二象限角，所以，
所以.故选：C.
5．（多选）下列三角函数式的值与的值相同的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】，故A不正确；
，故B正确；
，故C正确；
，故D不正确.故选：BC.
6．_________．
【答案】/
【解析】因为，，
，
，
，
所以
.故答案为：.
7．化简：________．
【答案】
【解析】.故答案为：
8．设，化简：
【答案】
【解析】由三角函数的诱导公式，可得
当为偶数时，；
当为奇数时，，
综上可得，
9．求下列各式的值:
（1）cos+tan;
（2）sin 810°+tan 765°+tan 1125°+cos 360°.
【答案】（1）；（2）4
【解析】（1）cos+tan=cos+tan=cos+tan+1=.
（2）原式=sin(2×360°+90°)+tan(2×360°+45°)+tan(3×360°+45°)+cos(0°+360°)
=sin90°+tan45°+tan45°+cos0°=4.
10．已知函数.
（1）化简；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）
（2）因为，
所以，
，
故.
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