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第26讲 正弦函数、余弦函数的性质
1．了解周期函数、周期、最小正周期的定义，会求和的周期；
2．掌握、的奇偶性及对称性，会判断简单函数的奇偶性；
3．掌握、的单调性，并能利用单调性比较三角函数值的大小；
4．会求函数和的单调区间；、
5．掌握、的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值。
一、周期函数
1、周期函数的定义：函数，定义域为I，当时，都有，其中T是一个非零的常数，则是周期函数，T是它的一个周期.
【注意】定义是对I中的每一个值来说的，只有个别的值满足或只差个别的值不满足都不能说T是的一个周期.
2、对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期.
3、周期函数的周期公式
（1）一般地，函数的最小正周期
（2）若函数的周期是，则函数的周期为,
二、正弦函数、余弦函数的性质
图象
定义域
值域 [-1,1] [-1,1]
最值
周期性
奇偶性 奇 偶
单调性 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减
对称性 对称轴方程： 对称中心， 对称轴方程： 对称中心，
三、三角函数单调区间的求法
求形如或的函数的单调区间，要先把化为正数；
（1）当时，把整体放入或的单调增（减）区间内，求得的的范围即函数的增（减）区间；
（2）当时，把整体放入或的单调增（减）区间内，求得的的范围即函数的减（增）区间。
四、三角函数的值域求法
一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等．
三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质．
常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种：
（1）形如y＝sin(ωx＋φ)的三角函数，令t＝ωx＋φ，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y＝sin t的最值(值域)．
（2）形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)的三角函数，可先设t＝sin x，将函数y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)化为关于t的二次函数y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值)．
（3）对于形如y＝asin x(或y＝acos x)的函数的最值还要注意对a的讨论．
考点一：求三角函数的最小正周期
例1．函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，则，
即函数的最小正周期为，故选：C.
【变式训练1】函数的最小正周期为________.
【答案】/
【解析】函数的最小正周期.故答案为：.
【变式训练2】（多选）下列函数中，是周期函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】对于A，，的最小正周期为；
对于B，，的最小正周期为；
对于C，，的最小正周期为；
对于D，∵，∴函数图象关于轴对称，不具有奇偶性，故错误.
故选：ABC
考点二：三角函数周期的应用
例2．设为实数，函数的最小正周期为，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得，则，故选:.
【变式训练1】设，则__________.
【答案】
【解析】，，，
，，
，的周期为4，
且，
所以.
故答案为：
【变式训练2】已知，则____________.
【答案】
【解析】函数的最小正周期为，
当时，，，
，，
，，
所以，，
，因此，.
故答案为：.
考点三：正、余弦函数的奇偶性问题
例3．判断下列函数的奇偶性：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）函数为奇函数；（2）函数为非奇非偶函数；
（3）函数既是奇函数又是偶函数
【解析】（1）函数的定义域为R,
故，
故函数为奇函数
（2）函数定义域为,不关于原点中心对称，
故函数为非奇非偶函数
（3）由，得函数定义域为，关于原点中心对称，
此时，
则有，且
故函数既是奇函数又是偶函数
【变式训练1】已知函数为偶函数，则的取值可以为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【解析】因函数为偶函数，则，
显然时，，即A满足，B，C，D都不满足.故选：A
【变式训练2】若函数是奇函数，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】若函数是奇函数，
则，得故选：C
考点四：正余弦函数的对称性
例4．函数的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，可得，
令，可得.所以函数的一条对称轴是.故选:B.
【变式训练1】设函数的最小正周期为，则它的一条对称轴方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为的最小正周期为，所以，所以，
令，，解得，
所以的对称轴为直线，
当时，，其它各项均不符合，
所以是函数的对称轴，故选：A．
【变式训练2】已知函数的图象关于点中心对称，则的最小值为_____.
【答案】
【解析】因为函数的图象关于点中心对称，
所以，所以，
则当时，的最小值为.
故答案为：
考点五：正、余弦函数的单调性
例5．函数的单调减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令,所以，
当，由于，故D正确，ABC均错误，故选：D
【变式训练1】函数，的增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，得.
令，解得.
所以函数的单调增区间为.
因为，所以令，
则得函数，的单调增区间为 . 故选：C.
【变式训练2】已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）求的单调递减区间．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），；
（2）∵函数的单调递减区间为，
令，，
解得：，，
∴函数的单调递减区间为．
考点六：比较三角函数的大小
例6．不求值比较大小（1）______；（2）______.
【答案】 < >
【解析】由于，
又函数在上单调递增，所以，即；
由于函数在上单调递减，故.故答案为：<；>.
【变式训练1】下列不等式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，，
∴由余弦函数的单调性，得，即，因此A不正确；
∵，，
∴由正弦函数的单调性，得，即，因此B不正确；
∵，，
∴由正弦函数的单调性，得，即，因此C正确；
∵，∴由正弦函数的单调性，得，因此D不正确.故选：C．
【变式训练2】不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：
（1） 与;
（2）与．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），
，
，在区间上单调递增，
所以.
（2），
，
，在区间上单调递减，
所以.
考点七：求正、余弦函数的最值
例7．函数最大值为（ ）
A．2 B．5 C．8 D．7
【答案】B
【解析】∵，∴ ，∴ ，即 ．
∴函数最大值为5．故选：B．
【变式训练1】函数，的值域是______.
【答案】
【解析】因为，所以，
所以，
即函数的值域为.
故答案为：.
【变式训练2】求函数的最大值和最小值，并求取得最大值和最小值的的集合．
【答案】时函数取得最小值；
时函数取得最大值.
【解析】因为，所以，
则，，即，
所以，，
令，解得，
所以时函数取得最小值；
令，解得，
所以时函数取得最大值.
1．函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数的最小正周期是：.故选：C.
2．若，是函数两个相邻的最值点，则等于（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】A
【解析】因为，是函数两个相邻的最值点，
所以，，故选：A
3．已知函数，若函数是偶函数，则的最小正值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，
又函数是偶函数，所以，
所以当时，取得最小正值.故选：A.
4．下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以周期为，不符合题意；
对于，，，所以周期不是，不合题意；
对于，周期为，但是在区间单调递减，不合题意；
对于，周期为，当时，，在区间单调递增，符合题意.
故选：B.
5．函数是（ ）
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
【答案】B
【解析】函数最小正周期为，故C、D错误；
由，故函数为偶函数，A错误.故选：B
6．，，的大小顺序是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由正弦函数的单调性可知：在上单调递增，
又易知，所以.故选：B
7．下列选项中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，在上单调递增，
所以，故A正确；
因为，所以比1距离正弦函数的对称轴近，所以，故B正确；
因为，
而，函数在上单调递增，
所以，故C正确；
因为，而，
由正弦函数的单调性可知，故D错误.故选：D
8．函数的图象的对称轴方程是______（）．
【答案】
【解析】令，解得，
即函数的图象的对称轴方程是，
故答案为：
9．若是奇函数，则_________.
【答案】/
【解析】由题设且，故，，
又，故有.故答案为：
10．已知,则_________________.
【答案】
【解析】由题意，求值，，，
，，，
，……
可知的值具有周期性，
则原式
故答案为：
11．已知函数．
（1）求的对称中心和单调递增区间；
（2）求在区间上的最值．
【答案】（1）对称中心为，；单调增区间为，
（2）最大值为，最小值为
【解析】（1）令，，则，．
所以的对称中心为，
由，解得，
所以的单调增区间为，
（2）令，由知，
所以要求在区间上的最值，即求在上的最值，
当时，，当时，，
所以，．
12．已知函数的最小值为．
（1）求的值；
（2）求的单调递减区间；
（3）求在上的值域．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1），，解得：.
（2）由（1）得：，
令，解得：，
∴的单调递减区间为.
（3）当时，，，
，即在上的值域为.
1．下列函数中周期为，且为偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于A：为周期为的偶函数，故A错误；
对于B：为周期为的奇函数，故B错误；
对于C：为周期为的偶函数，故C正确；
对于D：为周期为的偶函数，故D错误；故选：C
2．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数的定义域为R，，因此，
所以函数的值域为.故选：A
3．对于函数，下列选项中正确的（ ）
A．在上是递增的 B．的图象关于原点对称
C．的最小正周期为 D．的最大值为2
【答案】B
【解析】因为函数在上是递减的，
所以在是递减的，故A错误；
易知函数的定义域为R，
因为，所以为奇函数，
所以的图象关于原点对称，故B正确；
的最小正周期为，故C错误；
因为函数的定义域为R，所以的最大值为1，故D错误．故选：B
4．函数y＝sin2xsinx+1（x∈R）的值域是（ ）
A．[，3] B．[1，2] C．[1，3] D．[，3]
【答案】A
【解析】令sinx＝t，则y＝t2t+1＝（t）2+，t∈[1，1]，
由二次函数性质，当t＝时，y取得最小值，
当t＝1时，y取得最大值3，∴y∈[，3]．故选：A．
5．（多选）下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】因为，且函数在上单调递增，
则，故选项A错误；
因为，且函数在上单调递减，
则，即，故选项B正确；
因为，且函数在上单调递减，则，故选项C错误；
因为，且函数在上单调递减，
则，故选项D正确；故选：BD
6．函数的最小正周期是______.
【答案】1
【解析】的最小正周期是.故答案为：1
7．已知函数，则______．
【答案】1
【解析】
，函数周期是4，
.
故答案为：1
8．函数y＝sin x在[0,2π]上的单调递减区间为________，最大值为________.
【答案】 1
【解析】因函数y＝sin x在，上单调递减，
则y＝sin x在[0,2π]上的单调递减区间为；
当时，y＝sin x的最大值为1.
故答案为：；1.
9．求下列函数的周期：
（1）； （2）； （3）；
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）正弦函数的周期是，
所以所求函数的周期是；
（2）余函数的周期是，
所以所求函数的周期是；
（3）余函数的周期是，
所以所求函数的周期是．
10．设函数，其中．
（1）求的最大值及取到最值时的取值集合；
（2）求的单调区间．
【答案】（1）,;
（2）单调增区间，单调递减区间.
【解析】（1），
当时，取得最大值，
由，得，，解得，
取得最大值时，的取值集合为.
（2）令，解得，
的单调递增区间为，
令，
解得，
的单调递减区间为.
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第26讲 正弦函数、余弦函数的性质
1．了解周期函数、周期、最小正周期的定义，会求和的周期；
2．掌握、的奇偶性及对称性，会判断简单函数的奇偶性；
3．掌握、的单调性，并能利用单调性比较三角函数值的大小；
4．会求函数和的单调区间；、
5．掌握、的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值。
一、周期函数
1、周期函数的定义：函数，定义域为I，当时，都有，其中T是一个非零的常数，则是周期函数，T是它的一个周期.
【注意】定义是对I中的每一个值来说的，只有个别的值满足或只差个别的值不满足都不能说T是的一个周期.
2、对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期.
3、周期函数的周期公式
（1）一般地，函数的最小正周期
（2）若函数的周期是，则函数的周期为,
二、正弦函数、余弦函数的性质
图象
定义域
值域 [-1,1] [-1,1]
最值
周期性
奇偶性 奇 偶
单调性 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减
对称性 对称轴方程： 对称中心， 对称轴方程： 对称中心，
三、三角函数单调区间的求法
求形如或的函数的单调区间，要先把化为正数；
（1）当时，把整体放入或的单调增（减）区间内，求得的的范围即函数的增（减）区间；
（2）当时，把整体放入或的单调增（减）区间内，求得的的范围即函数的减（增）区间。
四、三角函数的值域求法
一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等．
三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质．
常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种：
（1）形如y＝sin(ωx＋φ)的三角函数，令t＝ωx＋φ，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y＝sin t的最值(值域)．
（2）形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)的三角函数，可先设t＝sin x，将函数y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)化为关于t的二次函数y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值)．
（3）对于形如y＝asin x(或y＝acos x)的函数的最值还要注意对a的讨论．
考点一：求三角函数的最小正周期
例1．函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1】函数的最小正周期为________.
【变式训练2】（多选）下列函数中，是周期函数的是（ ）
A． B． C． D．
考点二：三角函数周期的应用
例2．设为实数，函数的最小正周期为，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【变式训练1】设，则__________.
【变式训练2】已知，则____________.
考点三：正、余弦函数的奇偶性问题
例3．判断下列函数的奇偶性：
（1）；
（2）；
（3）.
【变式训练1】已知函数为偶函数，则的取值可以为（ ）
A． B． C． D．0
【变式训练2】若函数是奇函数，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
考点四：正余弦函数的对称性
例4．函数的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1】设函数的最小正周期为，则它的一条对称轴方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2】已知函数的图象关于点中心对称，则的最小值为_____.
考点五：正、余弦函数的单调性
例5．函数的单调减区间是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1】函数，的增区间是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2】已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）求的单调递减区间．
考点六：比较三角函数的大小
例6．不求值比较大小（1）______；（2）______.
【变式训练1】下列不等式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2】不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：
（1） 与;
（2）与．
考点七：求正、余弦函数的最值
例7．函数最大值为（ ）
A．2 B．5 C．8 D．7
【变式训练1】函数，的值域是______.
【变式训练2】求函数的最大值和最小值，并求取得最大值和最小值的的集合．
1．函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
2．若，是函数两个相邻的最值点，则等于（ ）
A．2 B． C．1 D．
3．已知函数，若函数是偶函数，则的最小正值为（ ）
A． B． C． D．
4．下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
5．函数是（ ）
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
6．，，的大小顺序是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列选项中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
8．函数的图象的对称轴方程是______（）．
9．若是奇函数，则_________.
10．已知,则_________________.
11．已知函数．
（1）求的对称中心和单调递增区间；
（2）求在区间上的最值．
12．已知函数的最小值为．
（1）求的值；
（2）求的单调递减区间；
（3）求在上的值域．
1．下列函数中周期为，且为偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
3．对于函数，下列选项中正确的（ ）
A．在上是递增的 B．的图象关于原点对称
C．的最小正周期为 D．的最大值为2
4．函数y＝sin2xsinx+1（x∈R）的值域是（ ）
A．[，3] B．[1，2] C．[1，3] D．[，3]
5．（多选）下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．函数的最小正周期是______.
7．已知函数，则______．
8．函数y＝sin x在[0,2π]上的单调递减区间为________，最大值为________.
9．求下列函数的周期：
（1）； （2）； （3）；
10．设函数，其中．
（1）求的最大值及取到最值时的取值集合；
（2）求的单调区间．
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