资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第27讲 正切函数的性质与图象
1．了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质；
2．能利用正切函数的图象及性质解决有关问题。
一、正切函数的图象与性质
1、定义域：，
2、值域：R
3、周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是
4、奇偶性：正切函数是奇函数，即．
5、单调性：在开区间内，函数单调递增
二、正切函数型的性质
1、定义域：将“”视为一个“整体”．令解得．
2、值域：
3、单调区间：（1）把“”视为一个“整体”；（2）时，函数单调性与的相同（反）；（3）解不等式，得出范围．
4、周期：
三、求正切函数的定义域的方法及求值域的注意点
1、求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数有意义，即。而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解，解形如的不等式的步骤如下：
（1）作图象：作在上的正切函数图象；
（2）求界点：求在上使成立的值；
（3）求范围：求上使成立的范围；
（4）定义域：根据正切函数的周期性，写出定义域。
四、求函数（都是常数）的单调区间的方法
（1）若，由于在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令，解得的范围即可；
（2）若，可利用诱导公式先把转化为，即先把的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得的范围即可。
考点一：正切函数的定义域
例1．定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以.
则定义域为故选：A.
【变式训练1】函数的定义域是___________.
【答案】
【解析】因为，所以，，
解得，因为，所以
故答案为：
【变式训练2】函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由正切函数的定义域，令，，即，
所以函数的定义域为.故选:D．
考点二：正切函数的值域
例2．函数,的值域为______．
【答案】
【解析】由题知,根据函数图象性质可知,在上单调递增,
所以函数在上单调递增,
因为,所以该函数的值域为.故答案为:
【变式训练1】函数的值域为______.
【答案】
【解析】设，因为，可得，
因为正切函数在上的值域为，
即函数在的值域为.故答案为：.
【变式训练2】函数，的值域为______．
【答案】
【解析】因为，所以，
，
则当时，，当时，，
所以函数的值域为.故答案为：.
考点三：正切函数的单调区间
例3．已知函数，则（ ）
A．增区间为， B．增区间为，
C．减区间为， D．减区间为，
【答案】C
【解析】由，解得.
因此，函数的单调递减区间为，.故选：C.
【变式训练1】求函数y＝3tan的单调递减区间．
【答案】(k∈Z)
【解析】y＝3tan可化为y＝－3tan，
由kπ－故函数的单调递减区间为(k∈Z)．
【变式训练2】若函数在上为严格减函数，则实数的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】因为函数的单调递增区间为，，
且函数在上为严格减函数，
所以，解得，即 .故答案为：.
考点四：比较正切函数值的大小
例4．下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于A中，由，且，由正切函数性质，
可得，且，
所以，所以，所以A不正确；
对于B中，由，
由正切函数单调性可得，即，所以B错误；
对于C中，由正切函数在上为单调递增函数，
因为，所以，所以C正确；
对于D中，由，由正切函数的单调性，可得，
即，所以D错误.故选：C.
【变式训练】（多选）下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】对于A，因为，函数在上单调递增，
所以．故A正确；
对于B, ．故B不正确；
对于C，，．
又，函数在上单调递增，
所以，即．故C不正确；
对于D，，．
又，函数在上单调递增，
所以，即．故D正确.故选：AD.
考点五：正切函数的奇偶性
例5．判断函数的奇偶性．
【答案】是奇函数
【解析】由，得或，
则或，；
∴函数的定义域为，关于原点对称．
又，
∴，∴是奇函数．
【变式训练】判断下列函数的奇偶性.
（1）； （2）.
【答案】（1）奇函数；（2）偶函数
【解析】（1）的定义域为关于原点对称， ，则函数为奇函数.
（2）的定义域为关于原点对称，
，则函数为偶函数.
考点六：正切函数的对称性
例6．下列是函数的对称中心的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由可得，，
所以，函数的对称中心的是，.
对于A项，由，可得，故A项错误；
对于B项，由，可得，故B项错误；
对于C项，由，可得，故C项错误；
对于D项，由，可得，故D项正确.故选：D.
【变式训练1】函数图象的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，
所以的对称中心为，取时，得.故选：A
【变式训练2】已知，则“函数的图象关于原点对称”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】的图象关于原点对称，故，
因为可以推出，
但推不出，
所以“函数的图象关于原点对称”是“”的必要不充分条件.故选：B.
【变式训练3】函数的图像的一个对称中心为点，则________.
【答案】
【解析】因为函数的图像的对称中心为点，，
所以对称中心横坐标为，.
代入得，，所以，，
因为，所以当时，；当时，.
所以或.故答案为：.
考点七：正切函数的周期性
例7．若的最小正周期为1，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】的周期为，
，即，则，故选：D．
【变式训练1】已知函数的最小正周期为，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题意，.故选：B
【变式训练2】若，则等于（ ）
A．- B． C．0 D．-2
【答案】C
【解析】，；
，，，
， ， ，；
故选：．
考点八：利用正切函数解不等式
例8．解不等式.
【答案】.
【解析】作出函数，的图像，如图所示．
观察图像可得：在内，满足条件的x为，
由正切函数的周期性可知，满足不等式的x的解集为.
【变式训练】写出下列不等式的解集．
（1）; （2）．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题知,
根据函数在上图象可知,只需,
根据的最小正周期,
可得的解集为: ;
（2）根据函数在上图象可知,只需,
根据的最小正周期,
可得的解集为:.
1．函数的最小正周期是，则（ ）
A．4 B．2 C． D．2或
【答案】D
【解析】的最小正周期是，所以，解得.故选：D
2．设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，函数在上单调递增且，
在上单调递增且，
因为，所以，所以.故选：A.
3．函数（且）的值域为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】试题分析：且，且，
由于正切函数的图象及单调性，得：或，
即故选B．
4．函数的一个单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为在区间上单调递增.
所以
所以的单调递增区间为.
当时: 区间为：.故选：A.
5．已知函数，的部分图象如图，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由图象可知，，所以.
由可得，，所以.
又，所以，
所以，所以.
因为，所以，.
又，所以，所以，所以，
所以.故选：C.
6．（多选）下列选项中结论正确的是（ ）
A．函数在定义域内单调递增
B．函数的周期为
C．函数是偶函数
D．函数的单调递增区间为
【答案】BC
【解析】对于A，函数在每个单调区间内单调递增，
在定义域内不单调递增，A错误；
对于B，由于正切函数的最小正周期为，故函数的周期为，正确；
对于C，函数满足，故为偶函数，正确；
对于D, 对于函数，令，
则，
即的单调递增区间为，D错误，故选：BC
7．（多选）下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．在区间上单调递增 B．最小正周期是
C．图像关于成中心对称 D．图像关于直线成轴对称
【答案】BC
【解析】因为，所以，
又正切函数在和上单调递增，
但在上不是单调递增，故A错误；
函数的周期为，故B正确；
由可知，当时，，
即其图像关于成中心对称，故C正确；
因为正切函数无对称轴，故D错误；故选：BC
8．函数的最小正周期为___________．
【答案】
【解析】由题意函数的最小正周期为，故答案为：
9．函数的值域是________
【答案】
【解析】，
，故答案为：
10．已知函数的图象关于点对称，则__________.
【答案】/
【解析】因为的图象关于点对称，
所以，所以，
因为，所以.故答案为：．
11．不等式的解集是______.
【答案】
【解析】，则，
则，
故答案为：.
12．已知函数，则函数的定义域为______．
【答案】
【解析】由题得，
所以.
所以函数的定义域为.
故答案为：
1．下列函数最小正周期为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于A，的最小正周期，故A错误；
对于B：的最小正周期，故B正确；
对于C：的最小正周期，故C错误；
对于D：的最小正周期，故D错误；故选：B
2．函数在一个周期内的图像是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数的最小正周期，
∵选项D的最小正周期，D错误；
令，解得，
故的单调递增区间为，
取，则的单调递增区间为，
故A正确，B、C错误；故选：A.
3．已知函数，，其函数图象的一个对称中心是，则该函数的一个单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为是函数的对称中心，所以，解得
因为，所以，，
令，解得，
当时，函数的一个单调递减区间是，故选：D
4．函数，的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，因为，所以．
因为正切函数在上单调递增，且，，
所以．故选：A．
5．下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．最小正周期为 B．图像关于点成中心对称
C．在区间上单调递增 D．图像关于直线成轴对称
【答案】B
【解析】函数，
当时，，所以图象关于点成中心对称，选项B正确；
函数的最小正周期为，所以A错误；
当时，，所以函数在上单调递减，所以C错误；
正切函数不是轴对称函数，所以D错误．故选：B．
6．已知函数（，为常实数），且，则______．
【答案】
【解析】因为，定义域关于原点对称，
设，
，
则是奇函数，
因为，所以，所以．
故答案为：.
7．函数的定义域为______．
【答案】
【解析】函数
要使函数有意义，则，即，
，，
即原函数的定义域为：.
故答案为：
8．函数的值域为____________
【答案】
【解析】因为
令，则
所以，所以，故函数的值域为
故答案为：
9．已知函数在内是减函数，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】∵已知函数在内是减函数,
∴函数在内是单调增函数，
∴，解得，经检验，满足题意.
∴的取值范围是．故答案为：.
10．利用函数的单调性，比较下列各组数的大小：
（1），；
（2），．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为在上单调递增，
而，所以
（2）因为在上单调递增，
因为，
而，所以，即.
11．设函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）的单调增区间为；（2）
【解析】（1）令，
解得，
所以的单调增区间为，不存在单调减区间.
（2），
所以，
所以不等式的解集为，
12．设函数，已知函数的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点对称.
（1）求的单调区间；
（2）求不等式的解集.
【答案】（1）单调递增区间：，，无递减区间
（2）
【解析】（1）由题意知，函数f(x)的最小正周期为T＝，
即，因为ω>0，所以ω＝2，从而f(x)＝tan(2x＋φ)，
因为函数y＝f(x)的图象关于点M对称，
所以2×＋φ＝，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z.
因为0<φ<，所以φ＝，故f(x)＝tan.
令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z，得，
即
所以函数的单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间．
（2）由（1）知，f(x)＝tan.由－1≤tan≤，
得Z，即Z
所以不等式－1≤f(x)≤的解集为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第27讲 正切函数的性质与图象
1．了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质；
2．能利用正切函数的图象及性质解决有关问题。
一、正切函数的图象与性质
1、定义域：，
2、值域：R
3、周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是
4、奇偶性：正切函数是奇函数，即．
5、单调性：在开区间内，函数单调递增
二、正切函数型的性质
1、定义域：将“”视为一个“整体”．令解得．
2、值域：
3、单调区间：（1）把“”视为一个“整体”；（2）时，函数单调性与的相同（反）；（3）解不等式，得出范围．
4、周期：
三、求正切函数的定义域的方法及求值域的注意点
1、求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数有意义，即。而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解，解形如的不等式的步骤如下：
（1）作图象：作在上的正切函数图象；
（2）求界点：求在上使成立的值；
（3）求范围：求上使成立的范围；
（4）定义域：根据正切函数的周期性，写出定义域。
四、求函数（都是常数）的单调区间的方法
（1）若，由于在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令，解得的范围即可；
（2）若，可利用诱导公式先把转化为，即先把的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得的范围即可。
考点一：正切函数的定义域
例1．定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1】函数的定义域是___________.
【变式训练2】函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
考点二：正切函数的值域
例2．函数,的值域为______．
【变式训练1】函数的值域为______.
【变式训练2】函数，的值域为______．
考点三：正切函数的单调区间
例3．已知函数，则（ ）
A．增区间为， B．增区间为，
C．减区间为， D．减区间为，
【变式训练1】求函数y＝3tan的单调递减区间．
【变式训练2】若函数在上为严格减函数，则实数的取值范围是_____________．
考点四：比较正切函数值的大小
例4．下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】（多选）下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点五：正切函数的奇偶性
例5．判断函数的奇偶性．
【变式训练】判断下列函数的奇偶性.
（1）； （2）.
考点六：正切函数的对称性
例6．下列是函数的对称中心的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1】函数图象的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2】已知，则“函数的图象关于原点对称”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式训练3】函数的图像的一个对称中心为点，则________.
考点七：正切函数的周期性
例7．若的最小正周期为1，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1】已知函数的最小正周期为，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练2】若，则等于（ ）
A．- B． C．0 D．-2
考点八：利用正切函数解不等式
例8．解不等式.
【变式训练】写出下列不等式的解集．
（1）; （2）．
1．函数的最小正周期是，则（ ）
A．4 B．2 C． D．2或
2．设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．函数（且）的值域为
A． B． C． D．
4．函数的一个单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，的部分图象如图，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（多选）下列选项中结论正确的是（ ）
A．函数在定义域内单调递增
B．函数的周期为
C．函数是偶函数
D．函数的单调递增区间为
7．（多选）下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．在区间上单调递增 B．最小正周期是
C．图像关于成中心对称 D．图像关于直线成轴对称
8．函数的最小正周期为___________．
9．函数的值域是________
10．已知函数的图象关于点对称，则__________.
11．不等式的解集是______.
12．已知函数，则函数的定义域为______．
1．下列函数最小正周期为的是（ ）
A． B． C． D．
2．函数在一个周期内的图像是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，，其函数图象的一个对称中心是，则该函数的一个单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
4．函数，的值域为（ ）
A． B． C． D．
5．下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．最小正周期为 B．图像关于点成中心对称
C．在区间上单调递增 D．图像关于直线成轴对称
6．已知函数（，为常实数），且，则______．
7．函数的定义域为______．
8．函数的值域为____________
9．已知函数在内是减函数，则的取值范围是__________．
10．利用函数的单调性，比较下列各组数的大小：
（1），； （2），．
11．设函数．
（1）求函数的单调区间； （2）求不等式的解集．
12．设函数，已知函数的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点对称.
（1）求的单调区间；（2）求不等式的解集.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑