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第28讲 三角恒等变换
1．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，会进行简单的三角函数的化简求值计算；
2．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；
3．能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角恒等变换。
一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1、两角和与差的正弦：
: :
2、两角和与差的余弦：
: :
3、两角和与差的正切：
:. :.
注意：①公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围；
②公式的变形：；
二、二倍角公式
1、二倍角的正弦（）：；变形
2、二倍角的余弦（）：.
3、二倍角的正切（）：
三、升（降）幂缩（扩）角公式
利用余弦的二倍角公式变形可得：
升幂公式：，
降幂公式：，
四、积化和差与和差化积公式
1、积化和差
2、和差化积
五、辅助角公式
对于形如的式子，可变形如下：
=
由于上式中和的平方和为1，
故令，
则==
其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，
或由和共同确定．
六、三角函数给角求值与给值求值问题
“给角求值”、“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法.
1、关键是把“所求角”用“已知角”表示．
①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．
2、常见的配角技巧：，，
，等．
七、三角函数给值求角问题
实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.
遵照以下原则：
（1）已知正切函数值，选正切函数；
（2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；
若角的范围是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好.
考点一：两角和与差的余弦公式
例1．（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】.故选：B.
【变式训练1】化简的结果为 .
【答案】/
【解析】
.故答案为：
【变式训练2】的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】.故选：C
考点二：两角和与差的正弦公式
例2．的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由三角函数公式化简可得
，故选：．
【变式训练】 .
【答案】
【解析】解析原式.故答案为：
考点三：两角和与差的正切公式
例3．若，则等于（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【解析】由，可得，
所以，
故,故选：C
【变式训练1】计算 .
【答案】
【解析】.
故答案为：
【变式训练2】的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，故，
即，
所以，
同理，，，
故，故选：B
考点四：二倍角公式
例4．（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由二倍角的正弦公式可得：.故选：B.
【变式训练1】等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，解得解得或，
，.故选：A
【变式训练2】计算： ．
【答案】
【解析】根据二倍角公式得
故答案为：
考点五：和差化积与积化和差公式
例5．（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【解析】
,故选：C
【变式训练】若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为
，所以.故选：C.
考点六：辅助角公式
例6．的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】.故选：B.
【变式训练1】函数在的最大值是（ ）
A．2 B．0 C．1 D．
【答案】C
【解析】由已知可得，.
因为，所以.
又在上单调递减，
所以，当，即时，函数取得最大值.故选：C.
【变式训练2】对任意角，化为的形式．
【答案】
【解析】
考点七：给值求值
例7．已知，则 ．
【答案】
【解析】因为，所以，
所以.故答案为：.
【变式训练1】已知，，求的值．
【答案】.
【解析】因为，，
所以，即．
又，，解得：，，
所以，
，
所以．
【变式训练2】设，都为锐角，且，，则等于（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【解析】∵为锐角，，∴，
又∵，都为锐角，∴，
∴由可得，或，
当时，
，
（为锐角，，舍去）
当时，
，
∴.故选：B.
考点八：给值求角
例8．设，均为钝角，且，，则的值为 .
【答案】
【解析】∵，，且，，，
∴.
∵ ，∴ ；故答案为：.
【变式训练1】已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，，，
故，，故，
又，所以，故选：．
【变式训练2】已知且则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，且，所以，
因为，所以，
所以，，
所以
因为，所以，故选：D
考点九：三角恒等变换综合
例9．求 .
【答案】/0.5
【解析】
故答案为：.
【变式训练】化简：．
【答案】
【解析】因为，所以，
原式＝＝
，
所以原式.
1．的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】.故选：C.
2．若，为方程的两根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，根据韦达定理可得，
所以得.故选：A
3．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以
故选：B
4．（多选）下列各式中值为的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】因为，故选项A正确；
因为，故选项B错误；
因为，故选项C正确；
因为，
整理得，，故选项D错误；故选：AC.
5．（多选）已知，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】①因为，所以，
又，故有，，
解出，故A错误；
②，
由①知：，所以，所以，故B正确；
③由①知：，而，所以，
又，所以，解得，
所以
又因为，，
所以，有，故C正确；
④由，
由③知，，
两式联立得：，故D错误．故选：BC
6．计算所得的结果为 ．
【答案】
【解析】原式.故答案为：.
7．函数的最小正周期为 ．
【答案】
【解析】.
所以的最小正周期为.故答案为：
8．已知锐角，且满足.
（1）求； （2）求.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为为锐角，，所以.
因为，是锐角，即，，所以，，
又因为，所以.
.
（2）由（1）知，，
因为是锐角，，所以，
由，，所以，
，
因为，所以.
9．从①，②，③，这三个已知条件中任选一个，补充在下面的问题中，并给出解答.问题：已知角是第四象限角，且满足__________.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）若选①，则由题意得，则，
又角是第四象限角，所以，
于是.
若选②，则由题意得，
又角是第四象限角，所以，
于是.
若选③，则由题意得，且为第四象限角，得，
所以，
于是.
（2）由（1）可知，
所以.
10．已知函数，.
（1）求函数的最大值：
（2）若，求函数的单调递增区间.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由已知
当，即，时，
（2）∵当时，递增，即，
时，单增区间为，与的交集为；
时，单增区间为，与无交集
∴函数的递增区间为
1．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为.
由可得，.
当时，，且；
当时，所以，.
所以，函数在上的单调递增区间是.故选：A.
2．已知，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】且，，.
又，，.
当时，
，
，，不合题意，舍去；
当，同理可求得，符合题意.
综上所述：.故选：.
3．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由于，所以，
由，解得.故选：B
4．下列各式中，值为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对A，，故A错误；
对B，，故B正确；
对C，，故C错误；
对D，，故D错误；故选：B.
5．（多选）下列各式的值为1的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】错误；
对；
对
，D错误.故选：BC.
6． ．
【答案】
【解析】由．
故答案为：．
7． ．
【答案】
【解析】∵ ，，
∴，
∴ ．
∴
故答案为：
8．已知，都是锐角，若，，则 ．
【答案】
【解析】，，所以
，，
，
则，故答案为：
9．计算下列各式：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）原式 .
（2）原式
.
10．已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值和最小值．
【答案】（1）；（2）的最大值为2，最小值为
【解析】（1）因为，
故的最小正周期为；
（2）因为，所以，
所以当，即时，取得最大值2；
当，即时，取得最小值.
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第28讲 三角恒等变换
1．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，会进行简单的三角函数的化简求值计算；
2．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；
3．能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角恒等变换。
一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1、两角和与差的正弦：
: :
2、两角和与差的余弦：
: :
3、两角和与差的正切：
:. :.
注意：①公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围；
②公式的变形：；
二、二倍角公式
1、二倍角的正弦（）：；变形
2、二倍角的余弦（）：.
3、二倍角的正切（）：
三、升（降）幂缩（扩）角公式
利用余弦的二倍角公式变形可得：
升幂公式：，
降幂公式：，
四、积化和差与和差化积公式
1、积化和差
2、和差化积
五、辅助角公式
对于形如的式子，可变形如下：
=
由于上式中和的平方和为1，
故令，
则==
其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，
或由和共同确定．
六、三角函数给角求值与给值求值问题
“给角求值”、“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法.
1、关键是把“所求角”用“已知角”表示．
①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．
2、常见的配角技巧：，，
，等．
七、三角函数给值求角问题
实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.
遵照以下原则：
（1）已知正切函数值，选正切函数；
（2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；
若角的范围是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好.
考点一：两角和与差的余弦公式
例1．（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1】化简的结果为 .
【变式训练2】的值为（ ）
A． B． C． D．
考点二：两角和与差的正弦公式
例2．的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】 .
考点三：两角和与差的正切公式
例3．若，则等于（ ）
A．1 B． C．2 D．
【变式训练1】计算 .
【变式训练2】的值为（ ）．
A． B． C． D．
考点四：二倍角公式
例4．（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1】等于（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2】计算： ．
考点五：和差化积与积化和差公式
例5．（ ）
A．0 B． C． D．
【变式训练】若，则等于（ ）
A． B． C． D．
考点六：辅助角公式
例6．的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1】函数在的最大值是（ ）
A．2 B．0 C．1 D．
【变式训练2】对任意角，化为的形式．
考点七：给值求值
例7．已知，则 ．
【变式训练1】已知，，求的值．
【变式训练2】设，都为锐角，且，，则等于（ ）
A． B． C． D．或
考点八：给值求角
例8．设，均为钝角，且，，则的值为 .
【变式训练1】已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2】已知且则=（ ）
A． B． C． D．
考点九：三角恒等变换综合
例9．求 .
【变式训练】化简：．
1．的值为（ ）
A． B． C． D．
2．若，为方程的两根，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（多选）下列各式中值为的是（ ）．
A． B．
C． D．
5．（多选）已知，，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．计算所得的结果为 ．
7．函数的最小正周期为 ．
8．已知锐角，且满足.
（1）求； （2）求.
9．从①，②，③，这三个已知条件中任选一个，补充在下面的问题中，并给出解答.问题：已知角是第四象限角，且满足__________.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
10．已知函数，.
（1）求函数的最大值：
（2）若，求函数的单调递增区间.
1．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
4．下列各式中，值为的是（ ）
A． B． C． D．
5．（多选）下列各式的值为1的是（ ）
A． B．
C． D．
6． ．
7． ．
8．已知，都是锐角，若，，则 ．
9．计算下列各式：
（1）；
（2）.
10．已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值和最小值．
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