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第1章 二次函数 易错题精练 浙教版 九年级上册（含解析）
一、单选题
1．已知二次函数的图象过两点，下列选项正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的新抛物线的表达式为（　　）
A． B． C． D．
3．关于二次函数的最值，下列叙述正确的是（　　）
A．当时，y有最小值0 B．当时，y有最大值0
C．当时，y有最小值1 D．当时，y有最大值1
4．将抛物线向上平移6个单位，再向右平移9个单位，得到的抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
5．在同一平面直角坐标系中，函数y=kx+k和函数y=﹣kx2+4x+4（k是常数，且k≠0）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
6．已知二次函数，若自变量分别取，，，且，则对应的函数值，，的大小关系正确的是( )
A． B． C． D．
7．下列函数有最大值的是 ( )
A． B． C． D．
8．抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（ ）
A． B．或 C．或 D．
9．二次函数的图象平移或翻折后经过点，则下列种方法中错误的是（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度
C．向下平移个单位长度 D．沿轴翻折，再向上平移个单位长度
10．如图，抛物线的对称轴为直线，且过点，有下列结论：
①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（ ）
A．①③⑤ B．①②⑤ C．①④⑤ D．③④⑤
二、填空题
11．已知二次函数中函数y与自变量x之间部分对应值如下表所示，点，在该函数的图象上．
x … 0 1 2 3 …
y … m n 5 n …
（1）则表格中的 ；
（2）当时，和的大小关系为 ．
12．抛物线y=2x2不动，把x轴、y轴分别向上、向左平移3个单位，则在新坐标系下，此抛物线的解析式为 （可不化成一般形式）．
13．如图，抛物线y=x2+bx+与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B（点B在第一象限）．抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D．平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为 ．
14．二次函数的顶点坐标为 ．
三、解答题
15．已知抛物线，直线，直线
（1）当m=0时，若直线经过此抛物线的顶点，求b的值
（2）将此抛物线夹在之间的部分（含交点）图象记为，若，
①判断此抛物线的顶点是否在图象上，并说明理由；
②图象上是否存在这样的两点：，其中？若存在，求相应的和的取值范围
16．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与两轴分别交于A、B、C三点，已知点A（﹣3，0），B（1，0）．点P在第二象限内的抛物线上运动，作PD⊥x轴于点D，交直线AC于点E．
（1）b＝　 　；c＝　 　；
（2）求线段PE取最大值时点P的坐标，这个最大值是多少；
（3）连接AP，并以AP为边作等腰直角△APQ，当顶点Q恰好落在抛物线的对称轴上时，直接写出对应的P点坐标．

17．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点坐标是（1，﹣9），且经过点（3，﹣5）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如果点（﹣1，m），（n，7）也在这个函数的图象上，求m与n的值．
18．在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A 出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发以2cm/s的速度向点C移动．
（1）写出△DPQ的面积s与时间t的函数关系式．
（2）几秒钟后△DPQ的面积等于28cm2．
19．二次函数的图象经过点A（3，0），B（2，-3），并且以为对称轴．
（1）求此函数的解析式；
（2）在对称轴上是否存在一点P，使PA=PB，若存在，求出P点的坐标，若不存在，说明理由．
20．已知二次函数y=x2+bx+c的图象过A(2，0)，B(0，-1)两点
（1）求二次函数的解析式；
（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；
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参考答案：
1．C
【分析】根据根据二次函数的解析式得到对称轴为直线，再利用二次函数的性质对各项判断即可解答．
【详解】解：∵二次函数的图象过两点，
∴二次函数的顶点式为：，
∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；
∵，
∴，
∴，
∴，
故错误；
∵二次函数的顶点式为：，
∴抛物线的对称轴为直线，
若，
∴解得：，
∴当时，和关于对称，
∴当时，；当时，，
故错误，正确；
当时，随的增大而增大，
∵，
∴，
故错误；
故选．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的对称轴，掌握二次函数的性质是解题的关键．
2．D
【分析】直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式．
【详解】解：∵将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，
∴平移后的抛物线的解析式为：．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次函数图象的平移变换，正确掌握平移规律是解题关键．
3．D
【分析】先把二次函数解析式换成顶点式，即可得出最值．
【详解】∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为 ，顶点坐标为 ，
∴当时，y有最大值1；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的最值问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．B
【分析】根据抛物线平移的性质，即可求解．
【详解】解∶∵抛物线的顶点坐标为（0，0），
∴将抛物线向上平移6个单位，再向右平移9个单位，得到的抛物线的顶点坐标为（9，6），
∴平移后的抛物线的解析式为．
故选：B
【点睛】本题考查二次函数图象的平移，得到新抛物线的顶点坐标是解题的关键．
5．D
【详解】分k＞0与k＜0两种情况进行讨论：
当k＞0时，函数y=kx+k的图象经过一、二、三象限；函数y=-kx2+4x+4的开口向下，对称轴在y轴的右侧；
当k＜0时，函数y=kx+k的图象经过二、三、四象限；函数y=-kx2+4x+4的开口向上，对称轴在y轴的左侧，
故答案选D．
6．A
【分析】先得到抛物线的对称轴为直线x=-7,根据二次函数的性质,当x>-7时,y随x的增大而减小,由于,则易得，，的大小关系.
【详解】抛物线的对称轴为直线 ，抛物线开口向下,
∴当x>-7时，y随x的增大而减小，
∵,
∴.
故选A.
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），当a>0时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小.
7．B
【详解】试题分析：根据各个选项函数图象特征，依次确定其取值范围最后比较即可．
A和C选项函数图象都沿着坐标轴趋于无穷，所以没有最大值；
B函数图象开口向下，定点为（0，0），所以最大值为0；
D函数图象开口向上，只有最小值，没有最大值；
故选B
考点: 二次函数的最值．
8．D
【分析】根据抛物线的对称轴为得到另一个交点为，结合图象即可求出时的取值范围．
【详解】解：根据抛物线的图像可知：
抛物线的对称轴为，
抛物线与轴的一个交点为，
根据对称性，另一个交点为，
当时，的取值范围为：，
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，根据二次函数的的对称轴与对称性，找出抛物线与轴的另一个交点是解题的关键．
9．B
【分析】分别求出平移和翻折后的解析式，将点代入即可求解．
【详解】解：项向右平移个单位长度，则平移后的解析式为：，当时，，∴平移后的点经过点，故项不符合题意；
项向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则平移后的解析式为：，当时，，∴平移后不经过点，故项符合题意；
项向下平移个单位长度，则平移后的解析式为：，当时，, ∴平移后经过点，故项不符合题意；
项沿轴翻折，再向上平移个单位长度，则平移后的解析式为：，当时，, ∴平移后经过点，故项不符合题意．
故选．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征等相关知识点，求出平移和翻折后的解析式是解题的关键．
10．A
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点判定系数符号，及运用一些特殊点解答问题．
【详解】由抛物线的开口向下可得：a<0，
根据抛物线的对称轴在y轴左边可得：a，b同号，所以b<0，
根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c>0，
∴abc>0，故①正确；
直线x= 1是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴,所以= 1，可得b=2a，
a 2b+4c=a 4a+c= 3a+c，
∵a<0，
∴ 3a>0，
又∵c>0
∴ 3a+c>0，
即a 2b+4c>0，故②错误；
∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x= 1.且过点(,0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
当x=时,y=0,即，
整理得：25a 10b+4c=0，故③正确；
∵b=2a，a+b+c<0，
∴b+b+c<0，
即3b+2c<0，故④错误；
∵x= 1时，函数值最大，
∴a b+c≥m2a+mb+c，
∴a b≥m(am+b)，所以⑤正确；
正确答案为：①③⑤三个.
故选A
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)系数符号的确定，做题时要注意数形结合思想的运用.
11． 1
【分析】（1）从表中可知，x=2是二次函数对应抛物线的对称轴，由此可求出b值，将x=2，y=5代入函数可求出c值，可知m；
（2）结合二次函数图像性质，可知抛物线开口向下，对称轴为x=2，可知时，．
【详解】解：由题意可知，x=2是二次函数对应抛物线的对称轴，
即：b=4，
将x=2，y=5代入，
得：c=1，
即函数解析式为：，
将x=0，代入，
得：y=1，
即：m=1；
∵函数解析式为：，
∴对应抛物线开口向下，对称轴为：x=2，
∴时，．
故答案为：1；．
【点睛】本题主要考查的是二次函数及其图像的基本性质，掌握对应图像的基本性质是解题的关键．
12．y=2（x﹣3）2﹣3
【详解】试题分析：由抛物线y=2x2不动，把x轴、y轴分别向上、向左平移3个单位，相当于二次函数y=2x2的图象向右平移3个单位，再向下平移3个单位，再根据平移的性质，即可求得所得图象的函数解析式．注意二次函数平移的规律为：左加右减，上加下减．
解：∵抛物线y=2x2不动，把x轴、y轴分别向上、向左平移3个单位，
∴相当于二次函数y=2x2的图象向右平移3个单位，再向下平移3个单位，
∴此抛物线的解析式为：y=2（x﹣3）2﹣3．
故答案为y=2（x﹣3）2﹣3．
点评：本题主要考查了函数图象的平移．注意能理解抛物线y=2x2不动，把x轴、y轴分别向上、向左平移3个单位，相当于二次函数y=2x2的图象向右平移3个单位，再向下平移3个单位是解此题的关键，还要注意熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
13．
【详解】解：∵在中，令x=0，则y=，∴点A（0，），
根据题意，点A、B关于对称轴对称，∴△OAB的中位线在对称轴上．
∴顶点C的纵坐标为．∴根据顶点公式，得，解得b1=3，b2=﹣3．
由图可知，，∴b＜0．∴b=﹣3．
∴对称轴为直线x=．∴点D的坐标为（，0）．
设平移后的抛物线的解析式为y=x2+mx+n，
则，解得．
∴平移后的抛物线的解析式为．
故答案为：．
14．
【分析】由抛物线解析式可求得顶点坐标．
【详解】∵y=（x+1）2+7，
∴顶点坐标为（-1，7），
故答案为（-1，7）．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
15．（1）b=-2；（2）①不在，理由详见解析；②不存在，理由详见解析.
【分析】(1) 把m=0代入即可求出抛物线解析式，则可得顶点坐标为，把顶点坐标代入，可求得b的值；
（2）①将抛物线化成顶点式 后，得出抛物线顶点为（m，2m-2）.当x=m时，对于，对于由于，可得 顶点（m，2m-2）在的下方，即可得出结论；②设直线与抛物线交于A、B两点，且，由方程 ，可得，此时 ；设直线与抛物线交于C，D两点，且 ，由方程，可得 ，此时 可得 ，可判断 由于，即点A在抛物线对称轴的左侧，则在抛物线对称轴的右侧，必存在点A的对称点，其中， 所以 ，由于抛物线的开口向上，可得当x【详解】（1）解：当m=0时，抛物线：
则顶点坐标为（0，-2）
把（0，-2）代入，可得b=-2
（2）①抛物线的顶点不在图像C上，理由如下：
因为 ，
所以抛物线顶点为（m，2m-2）
当x=m时，对于，对于
因为
所以
所以
即顶点在的下方
所以抛物线的顶点不在图像C上
②解：设直线与抛物线交于A、B两点，且
解得
因为 ，且对于，y随x的增大而增大
所以
所以，此时
设直线与抛物线交于C，D两点，且
所以
所以
因为
所以，
所以
因为 ，且对于，y随x的增大而增大，
所以
所以 ，此时
因为 ，
又因为
所以
又因为
所以，即
因为，即点A在抛物线对称轴的左侧，则在抛物线对称轴的右侧，必存在点A的对称点，其中
所以
因为抛物线的开口向上，
所以当x因为抛物线顶点在的下方，故点C也在抛物线对称轴左侧，
设 是抛物线上A、C两点之间的任意一点，则有
所以
又因为在抛物线上必存在其对称点 ，其中
所以
也即抛物线上A、C两点之间的任意点的对称点都在点D下方
同理，抛物线上B、D两点之间的部分所有点的对称点都在点A上方
所以图像C上不存在这样的两点：和，其中
【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数的图象与一次函数的交点与一元二次方程解得方程.熟练解得含参数方程是解题的关键.
16．（1）b=-2，c=3； （2）当P时，线段PE有最大值；（3）
【分析】（1）只需把点A、B的坐标代入y=-x2+bx+c即可求得b、c的值；
（2）用待定系数法求出直线AC的解析式，设点P的横坐标为a，则点E的横坐标也为a，则点P、E的纵坐标就可用a的代数式表示，PE的长度也就可以用a的代数式表示，然后运用二次函数的最值性就可求出PE最大时点P的坐标．
（3）等腰直角△APQ的三边都可能是底边，故分三种情况进行讨论，然后构造全等三角形，得到相等线段，然后用一个字母表示一条线段，从而将点P的坐标用该字母表示，然后代入抛物线的解析式，就可求出点P的坐标．
【详解】解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A（-3，0），B（1，0），
∴．
解得：．
故答案为：-2、3；
（2）由（1）知抛物线的解析式为y=-x2-2x+3．
则点C坐标为（0，3），
设直线AC的解析式为y=mx+n，
则有 ．
解得：．
∴直线AC的解析式为y=x+3．
设点P的横坐标为a，则点E的横坐标也为a．
∴yP=-a2-2a+3，yE=a+3．
∴PE=yP-yE=（-a2-2a+3）-（a+3）
=-a2-3a
=-（a+）2+．
∵-1＜0，
∴当a=-时，PE取到最大值，此时点P坐标为
故当P时，线段PE有最大值；
（3）Ⅰ．若AQ为等腰直角△APQ的底边，如图2，

则有AP=PQ，∠APQ=90°．
过点P作PG⊥OA，垂足为G，过点P作PT⊥QH，垂足为T，
∵∠PGH=∠GHT=∠PTH=90°，
∴四边形PGHT是矩形．
∴∠GPT=90°，PT=GH，PG=HT．
∴∠APG=90°-∠GPQ=∠TPQ．
在△AGP和△QTP中，
∵
∴△AGP≌△QTP．
∴AG=TQ，PG=PT．
∴PG=GH．
∵抛物线y=-x2-2x+3的对称轴为x=,
∴OH=1．
设PG=t（t＞0），则OG=GH+OH=PG+OH=t+1．
∵点P在第二象限，
∴点P的坐标为（-t-1，t）．
∵点P在抛物线y=-x2-2x+3上，
∴t=-（-t-1）2-2（-t-1）+3．
整理得：t2+t-4=0．
解得：（舍去），，
∴点P的坐标为
Ⅱ．若PQ为等腰直角△APQ的底边，如图3，

则有AP=AQ，∠PAQ=90°．
过点P作PG⊥OA，垂足为G，
则有∠APG=90°-∠PAG=∠HAQ．
在△AGP和△QHA中
∵
∴△AGP≌△QHA．
∴PG=AH．
∵AH=AO-OH=3-1=2，
∴PG=2．
∴yP=2．
解-x2-2x+3=2得，
∵点P在第二象限，
∴点P的坐标为（，2）．
Ⅲ．若AP为等腰直角△APQ的底边，如图4，

则有AQ=PQ，∠AQP=90°．
过点P作PT⊥QH，垂足为T，
则有∠AQH=90°-∠PQT=∠TPQ．
在△AHQ和△QTP中，
∵
∴△AHQ≌△QTP．
∴AH=QT，QH=PT．
∵AH=2，
∴QT=2．
设QH=PT=p（p＞0），则TH=p+2，
∵点P在第二象限，
∴点P的坐标为（-p-1，p+2）．
∵点P在抛物线y=-x2-2x+3上，
∴p+2=-（-p-1）2-2×（-p-1）+3．
整理得：p2+p-2=0．
解得：p1=-2（舍去），p2=1，
∴点P的坐标为（-2，3）．
综上所述：点P的坐标为
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、二次函数的最值性、全等三角形的判定与性质、解一元二次方程、等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质等知识，还考查了分类讨论的思想，有较强的综合性，有一定的难度．而正确分类及构造全等三角形是解决最后一小题的关键．
17．（1）y＝（x﹣1）2﹣9；（2）n＝5或﹣3．
【分析】（1）根据题意解方程即可得到结论；
（2）把x＝﹣1或y＝7分别代入函数解析式，解方程即可得到结论．
【详解】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点坐标是（1，﹣9），且经过点（3，﹣5），
∴设二次函数的表达式为y＝a（x﹣1）2﹣9，
∴﹣5＝a（3﹣1）2﹣9，
解得：a＝1，
∴二次函数的表达式为：y＝（x﹣1）2﹣9；
（2）当x＝﹣1时，m＝（﹣1﹣1）2﹣9＝﹣5，当y＝7时，（n﹣1）2﹣9＝7，
解得：n＝5或﹣3．
【点睛】此题重点考查学生对二次函数的应用，掌握二次函数的定义和性质是解题的关键.
18．（1）；（2）2或4
【详解】试题分析：（1）用t表示出线段的长，然后根据S= S矩形ABCD -S△PBQ- S△APD - S△CDQ代入化简即可；（2）令S=28，然后解方程即可．
试题解析：（1）第t秒钟时，AP=t，故PB=（6-t）cm，BQ=2tcm，CQ=12-2t，故S△PBQ=·（6-t）·2t=-t2+ 6t， S△APD=·12·t= 6t， S△CDQ=·（12-2t）·6=36-6t，∵S矩形ABCD=6×12=72
∴S= S矩形ABCD -S△PBQ- S△APD - S△CDQ =72-（-t2+ 6t）-6t-（36-6t）=-t2-6t+36（0（2）令S=28，所以-t2-6t+36=28，所以t2+6t-8=0，解得t=2或t=4．
考点：二次函数的应用
19．（1）；（2）存在，P（1，－1），理由见试题解析．
【详解】试题分析：（1）根据对称轴的公式和函数的解析式，将x=1和A（3，0），B（2，﹣3）代入公式，组成方程组解答；
（2）根据两点之间距离公式解答．
试题解析：（1）把点A（3，0），B（2，﹣3）代入依题意，
整理得：，解得：，∴解析式为；
（2）存在．作AB的垂直平分线交对称轴x=1于点P，连接PA、PB，则PA=PB，设P点坐标为（1，m），则，解得，∴点P的坐标为（1，﹣1）．
考点：1．待定系数法求二次函数解析式；2．二次函数的图象．
20．（1）y=x2-x-1；（2）点D的坐标为（-，0）
【分析】（1）把各点代入，列出方程组求解即可；
（2）令y=0，列出一元二次方程求解即可.
【详解】（1）将点A以及点B的坐标代入二次函数的额解析式
∴4+2b+c=0；c=-1
∴b=-
∴二次函数的解析式为y=x2-x-1.
（2）令y=x2-x-1为0，即（2x+1）（x-2）=0
∴x=-或x=2
∴点D的坐标为（- ， 0）
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式和与x轴交点坐标的求法，掌握相关知识是解题的关键.
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