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10.1 随机事件与概率
目 录
知识清单
一、随机试验 - 3 -
二、事件的分类 - 3 -
三、样本点和样本空间 - 3 -
四、事件的关系或运算的含义及符号表示 - 4 -
五、古典概型 - 5 -
典型例题
母题1：事件类型的判断 - 6 -
母题2：样本点与样本空间 - 7 -
母题3：随机事件的含义 - 11 -
母题4：互斥事件与对立事件的判定 - 12 -
母题5：事件的运算 - 15 -
母题6：互斥事件与对立事件概率公式的应用 - 18 -
母题7：古典概型的判断 - 20 -
母题8：古典概型的概率计算 - 21 -
母题9：互斥、对立事件与古典概型的综合应用 - 25 -
母题10：数学建模——古典概型的实际应用 - 27 -
10.1　随机事件与概率
知识清单
一、随机试验
定义：把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验。
特点：
①试验可以在相同条件下重复进行；
②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果。
二、事件的分类
随机事件：
①我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件。
②随机事件一般用大写字母表示。
③在每次试验中，当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生。
必然事件：作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件。
不可能事件：空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为不可能事件。
■名师点拨
必然事件和不可能事件不具有随机性，它是随机事件的两个极端情况。
三、样本点和样本空间
定义：我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间。
表示：一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点。如果一个随机试验有个可能结果，则称样本空间为有限样本空间。
四、事件的关系或运算的含义及符号表示
事件的关系或运算 含义 符号表示 图示
包含 一般地，若事件发生，则事件一定发生，称事件包含事件(或事件包含于事件) (或)
相等 如果事件包含事件，事件也包含事件，即且，则称事件与事件相等
并事件(和事件) 一般地，事件与事件至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件中，或者在事件中，我们称这个事件为事件与事件的并事件(或和事件) 或
交事件(积事件) 一般地，事件与事件同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件中，也在事件中，我们称这样的一个事件为事件与事件的交事件(或积事件) 或
互斥(互不相容) 一般地，如果事件与事件不能同时发生，也就是说是一个不可能事件，即，则称事件与事件互斥(或互不相容)
互为对立 一般地，如果事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即，且，那么称事件与事件互为对立，事件的对立事件记为
■名师点拨
（1）如果事件包含事件，事件也包含事件，即且，则称事件与事件相等，记作。
（2）类似地，可以定义多个事件的和事件以及积事件。例如，对于三个事件，(或)发生当且仅当中至少一个发生，(或)发生当且仅当同时发生。
五、古典概型
随机事件的概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件的概率用表示。
古典概型的概念
具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型。
（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个；
（2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等。
■名师点拨
古典概型的判断：一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性。并不是所有的试验都是古典概型。
下列三类试验都不是古典概型：①样本点个数有限，但非等可能；②样本点个数无限，但等可能；③样本点个数无限，也不等可能。
古典概型的概率公式
一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率。其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数。
概率的性质
性质1：对任意的事件，都有；
性质2：必然事件的概率为，不可能事件的概率为，即，；
性质3：如果事件与事件互斥，那么；
性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么，；
性质5：如果，那么，由该性质可得，对于任意事件，因为，所以。
性质6：设是一个随机试验中的两个事件，有。
典型例题
母题1：事件类型的判断
判断事件类型的思路
要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的，第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件。
指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：
（1）中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军；
（2）出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯；
（3）若x∈R，则x2＋1≥1；
（4）抛一枚骰子两次，朝上面的数字之和小于2。
【解】　由题意知(1)(2)中事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件；(3)中事件一定会发生，是必然事件；由于骰子朝上面的数字最小是1，两次朝上面的数字之和最小是2，不可能小于2，所以(4)中事件不可能发生，是不可能事件．
下面的事件：①在标准大气压下，水加热到80℃时会沸腾；②a，b∈R，则ab＝ba；③一枚硬币连掷两次，两次都出现正面向上．其中是不可能事件的为(　　)
A．②　　　　　　B．① C．①② D．③
解析：选B.②是必然事件，③是随机事件．
给出下列四个命题：①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；②当“x为某一实数时可使x2＜0”是不可能事件；③“2025年的国庆节是晴天”是必然事件；④“从100个灯泡(有10个是次品)中取出5个，5个都是次品”是随机事件。其中正确命题的个数是(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
解析：选B.“2025年的国庆节是晴天”是随机事件，故命题③错误，命题①②④正确．故选B.
母题2：样本点与样本空间
写样本空间的关键是找样本点，具体有三种方法：
（1）列举法：适用样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏。
（2）列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法，列表法的优点是准确、全面、不易遗漏。
（3）树状图法：树状图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法，树状图法便于分析样本点间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验的题目，一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举。
同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为，转盘②得到的数为，结果为。
（1）写出这个试验的样本空间；
（2）求这个试验的样本点的总数；
（3）“”这一事件包含哪几个样本点？“且”呢？
（4）“”这一事件包含哪几个样本点？“”呢？
【解】　(1)Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．
(2)样本点的总数为16.
(3)“x＋y＝5”包含以下4个样本点：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(1，4)；“x<3且y>1”包含以下6个样本点：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)．
(4)“xy＝4”包含以下3个样本点：(1，4)，(2，2)，(4，1)；“x＝y”包含以下4个样本点：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)．
甲、乙两人做出拳游戏(锤、剪、布)。
（1）写出样本空间；（2）用集合表示事件“甲赢”；（3）用集合表示事件“平局”。
解：(1)Ω＝{(锤，剪)，(锤，布)，(锤，锤)，(剪，锤)，(剪，剪)，(剪，布)，(布，锤)，(布，剪)，(布，布)}．
(2)记“甲赢”为事件A，则A＝{(锤，剪)，(剪，布)，(布，锤)}．
(3)记“平局”为事件B，则B＝{(锤，锤)，(剪，剪)，(布，布)}．
写出下列试验的样本空间：
（1）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子出现的点数之和；
（2）从含有两件正品和两件次品的四件产品中任取两件，观察取出产品的结果；
（3）用红、黄、蓝三种颜色给图中个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，观察涂色的情况。
解　(1)该试验的样本空间Ω1＝{3,4,5，…，18}.
(2)该试验，所有可能的结果如图所示，
因此，该试验的样本空间为Ω2＝{a1a2，a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，b1b2}.
(3)如图，
用1,2,3分别表示红色、黄色与蓝色三种颜色，则此试验的样本空间为Ω3＝{(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)}.
写出下列试验的样本空间：
（1）随意安排甲、乙、丙、丁4人在4天节日中值班，每人值班1天，记录值班的情况；
（2）从一批产品中，依次任选三件，记录出现正品与次品的情况。
解　(1)如图，
设甲、乙、丙、丁分别为1,2,3,4，
所以样本空间Ω1＝{(1,2,3,4)，(1,2,4,3)，(1,3,2,4)，(1,3,4,2)，(1,4,2,3)，(1,4,3,2)，(2,1,3,4)，(2,1,4,3)，(2,3,1,4)，(2,3,4,1)，(2,4,1,3)，(2,4,3,1)，(3,1,2,4)，(3,1,4,2)，(3,2,1,4)，(3,2,4,1)，(3,4,1,2)，(3,4,2,1)，(4,1,2,3)，(4,1,3,2)，(4,2,1,3)，(4,2,3,1)，(4,3,1,2)，(4,3,2,1)}.
(2)设正品为H，次品为T，
样本空间Ω2＝{HHH，HHT，HTH，THH，HTT，TTH，THT，TTT}.
试验：甲、乙两人玩出拳游戏(锤子、剪刀、布)，观察甲、乙出拳的情况。设事件表示随机事件“甲乙平局”；事件表示随机事件“甲赢得游戏”；事件表示随机事件“乙不输”。试用集合表示事件。
解　设锤子为w1，剪刀为w2，布为w3，用(i，j)表示游戏的结果，其中i表示甲出的拳，j表示乙出的拳，则样本空间E＝{(w1，w1)，(w1，w2)，(w1，w3)，(w2，w1)，(w2，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)，(w3，w2)，(w3，w3)}.
因为事件A表示随机事件“甲乙平局”，
则满足要求的样本点共有3个：(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，
∴事件A＝{(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)}.
事件B表示“甲赢得游戏”，
则满足要求的样本点共有3个：(w1，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)，
∴事件B＝{(w1，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)}.
因为事件C表示“乙不输”，
则满足要求的样本点共有6个，
(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，(w2，w1)，(w1，w3)，(w3，w2)，
∴事件C＝{(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，(w1，w3)，(w2，w1)，(w3，w2)}.
如图，从正方形的四个顶点及其中心这5个点中，任取两点观察取点的情况，设事件为“这两点的距离不大于该正方形的边长”，试用样本点表示事件。
解　M＝{AB，AO，AD，BC，BO，CD，CO，DO}.
一只口袋内装有5个大小相同的球，白球3个，黑球2个，从中一次摸出2个球。
（1）共有多少个样本点？
（2）“2个都是白球”包含几个样本点？
【解】　(1)法一：采用列举法．
分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，则样本点如下：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)共10个(其中(1，2)表示摸到1号，2号球)．
法二：采用列表法．
设5个球的编号分别为a，b，c，d，e，其中a，b，c为白球，d，e为黑球．列表如下：
a b c d e
a (a，b) (a，c) (a，d) (a，e)
b (b，a) (b，c) (b，d) (b，e)
c (c，a) (c，b) (c，d) (c，e)
d (d，a) (d，b) (d，c) (d，e)
e (e，a) (e，b) (e，c) (e，d)
由于每次取2个球，每次所取2个球不相同，而摸到(b，a)与(a，b)是相同的事件，故共有10个样本点．
(2)法一中“2个都是白球”包括(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3个样本点，法二中“2个都是白球”包括(a，b)，(b，c)，(a，c)，共3个样本点．
袋中有2个标号分别为1，2的白球和2个标号分别为3，4的黑球。这4个球除颜色、标号外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出1个球，求样本点的个数。
解：4个人按顺序依次从袋中摸出1个球的所有可能结果用树状图表示如图所示：
共24个样本点．
母题3：随机事件的含义
在试验E：“连续抛掷一枚均匀的骰子2次，观察每次掷出的点数”中，指出下列随机事件的含义：
（1）事件A＝{(1,3)，(2,3)，(3,3)，(4,3)，(5,3)，(6,3)}；
（2）事件B＝{(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)}；
（3）事件C＝{(1,3)，(3,1)，(4,2)，(2,4)，(3,5)，(5,3)，(4,6)，(6,4)}.
解　(1)事件A中所含的样本点中的第二个数为3，根据样本空间知第二个数为3的样本点都在事件A中，故事件A的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，第二次掷出的点数为3.
(2)事件B中所含的样本点中两个数的和均为6，且样本空间中两数和为6的样本点都在事件B中，故事件B的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，2次掷出的点数之和为6.
(3)事件C的所含样本点中两个数的差的绝对值为2，且样本空间中两个数差的绝对值为2的样本点都在C中，故事件C的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，两次掷出的点数之差的绝对值为2.
柜子里有3双不同的鞋，随机抽取2只，用A1，A2，B1，B2，C1，C2分别表示3双不同的鞋，其中下标为奇数表示左脚，下标为偶数表示右脚.指出下列随机事件的含义.
（1）M＝{A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}；
（2）N＝{A1B1，B1C1，A1C1}；
（3）P＝{A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1}.
解　(1)事件M的含义是“从3双不同的鞋中随机抽取2只，取出的2只鞋不成双”.
(2)事件N的含义是“从3双不同鞋中，随机抽取2只，取出的2只鞋都是左脚的”.
(3)事件P的含义是“从3双不同鞋中，随机抽取2只，取到的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但不成双”.
母题4：互斥事件与对立事件的判定
(1)包含关系、相等关系的判定
①事件的包含关系与集合的包含关系相似；
②两事件相等的实质为相同事件，即同时发生或同时不发生．
(2)判断事件是否互斥的两个步骤
第一步，确定每个事件包含的结果；
第二步，确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生，若是，则两个事件不互斥，否则就是互斥的．
(3)判断事件是否对立的两个步骤
第一步，判断是互斥事件；
第二步，确定两个事件必然有一个发生，否则只有互斥，但不对立．
某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件。
（1）恰有1名男生与恰有2名男生；
（2）至少有1名男生与全是男生；
（3）至少有1名男生与全是女生；
（4）至少有1名男生与至少有1名女生。
【解】　判别两个事件是否互斥，就要考察它们是否能同时发生；判别两个互斥事件是否对立，就要考察它们是否必有一个发生．
(1)因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当恰有2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件．
(2)因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
(3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．
(4)由于选出的是1名男生1名女生时“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取1张．
（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
（3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”。
解：(1)是互斥事件，不是对立事件．
理由是从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．
理由是从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．
(3)不是互斥事件，也不是对立事件．
理由是从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然也不可能是对立事件．
某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”.判断下列事件是否为互斥事件，如果是，判断它们是否为对立事件。
（1）A与C；（2）B与E；（3）B与D；（4）B与C；（5）C与E。
解　(1)由于事件C“至多订一种报”中可能只订甲报，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件.
(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故事件B与E是互斥事件.由于事件B和事件E必有一个发生，故B与E也是对立事件.
(3)事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，也就是说事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不是互斥事件.
(4)事件B“至少订一种报”中有3种可能：“只订甲报”，“只订乙报”，“订甲、乙两种报”.事件C“至多订一种报”中有3种可能：“一种报也不订”“只订甲报”“只订乙报”.即事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件.
(5)由(4)的分析可知，事件E“一种报也不订”仅仅是事件C的一种可能，事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件.
从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是(　　)
A.至少有一个红球与都是红球 B.至少有一个红球与都是白球
C.至少有一个红球与至少有一个白球 D.恰有一个红球与恰有两个红球
答案　D
解析　根据互斥事件与对立事件的定义判断.A中两事件不是互斥事件，事件“三个球都是红球”是两事件的交事件；B中两事件是对立事件；C中两事件能同时发生，如“恰有一个红球和两个白球”，故不是互斥事件；D中两事件是互斥而不对立事件.
有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向，事件“甲向南”与事件“乙向南”是(　　)
A.互斥但非对立事件 B.对立事件
C.非互斥事件 D.以上都不对
答案　A
解析　由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件.
母题5：事件的运算
清楚随机事件的运算与集合运算的对应关系有助于解决此类问题：
符号 事件的运算 集合的运算
A 随机事件 子集
A的对立事件 A的补集
AB 事件A与B的交事件 集合A与B的交集
A∪B 事件A与B的并事件 集合A与B的并集
事件间运算方法：
（1）利用事件间运算的定义：列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算。
（2）利用Venn图：借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算。
盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}，事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有一个白球}。
求：(1)事件D与A、B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
（3）事件C与A、B、E是什么运算关系？
（4）C与F的交事件是什么？
【解】(1)对于事件D，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球，故D＝A∪B.
(2)对于事件C，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.
（3）由事件C包括的可能结果有1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球三种情况，故A C，B C，E C，所以C＝A∪B∪C，
（4）事件F包括的可能结果有1个白球2个红球，2个白球1个红球，3个白球，所以C∩F＝{1个红球2个白球，2个红球1个白球}＝D.
掷一枚骰子，下列事件：A＝{出现奇数点}，B＝{出现偶数点}，C＝{点数小于3}，D＝{点数不大于2}，E＝{点数是3的倍数}．求：(1)A∩B，BC；(2)A∪B，B＋C；(3)D，AC.
解：(1)A∩B＝ ，BC＝{出现2点}．
(2)A∪B＝{出现1，2，3，4，5或6点}，
B＋C＝{出现1，2，4或6点}．
(3)D＝{点数小于或等于2}＝{出现1或2点}；
AC＝{出现1点}．
在掷骰子的试验中，可以定义许多事件.例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：
(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；
(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件.
解　(1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1 D3，C2 D3，C3 D3，C4 D3.
同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.
且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.
(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，
所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6).
同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.
抛掷相同硬币3次，设事件A＝{至少有一次正面向上}，事件B＝{一次正面向上，两次反面向上}，事件C＝{两次正面向上，一次反面向上}，事件D＝{至少一次反面向上}，事件E＝{3次都正面向上}.
(1)试判断事件A与事件B，C，E的关系；
(2)试求事件A与事件D的交事件，事件B与事件C的并事件，并判断二者的关系.
解　(1)B A，C A，E A，且A＝B＋C＋E.
(2)A∩D＝{有正面向上，也有反面向上}，B∪C＝{1次正面向上或2次正面向上}，A∩D＝B∪C.
设表示三个随机事件，试将下列事件用表示出来。
（1）三个事件都发生；
（2）三个事件至少有一个发生；
（3）发生，不发生；
（4）都发生，不发生；
（5）至少有一个发生，不发生；
（6）中恰好有两个发生.
（7）三个事件都不发生；
（8）三个事件至少有两个发生。
解　(1)ABC　(2)A∪B∪C　(3)A　(4)AB　(5)(A∪B)　(6)AB∪AC∪BC
(7) 　(8)ABC∪AB∪AC∪BC(或AB∪BC∪AC)
5个相同的小球，分别标上数字1,2,3,4,5，依次有放回的抽取两个小球.记事件A为“第一次抽取的小球上的数字为奇数”，事件B为“抽取的两个小球上的数字至少有一个是偶数”，事件C为“两个小球上的数字之和为偶数”，试用集合的形式表示A，B，C，A∩B，∩，∩C.
解　总的样本空间为Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)}，
A＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)}，
B＝{(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,2)，(5,4)}，
C＝{(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)}.
A∩B＝{(1,2)，(1,4)，(3,2)，(3,4)，(5,2)，(5,4)}，
∩＝{(2,1)，(2,3)，(2,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)}，
∩C＝{(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)}.
母题6：互斥事件与对立事件概率公式的应用
互斥事件、对立事件概率的求解方法：
（1）互斥事件的概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
（2）对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和．
（3）当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．
[注意]有限个彼此互斥事件的和的概率，等于这些事件的概率的和，即P(Ai)＝P(Ai)．
一名射击运动员在一次射击中射中10环，9环，8环，7环，7环以下的概率分别为0.24，0.28，0.19，0.16，0.13.计算这名射击运动员在一次射击中：
（1）射中10环或9环的概率；
（2）至少射中7环的概率；
（3）射中环数小于8环的概率。
【解】　设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E，可知它们彼此之间互斥，且P(A)＝0.24，P(B)＝0.28，P(C)＝0.19，P(D)＝0.16，P(E)＝0.13.
(1)P(射中10环或9环)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52，所以射中10环或9环的概率为0.52.
(2)事件“至少射中7环”与事件E“射中7环以下”是对立事件，则P(至少射中7环)＝1－P(E)＝1－0.13＝0.87.
所以至少射中7环的概率为0.87.
（3）事件“射中环数小于8环”包含事件D“射中7环”与事件E“射中7环以下”两个事件，则P(射中环数小于8环)＝P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.13＝0.29.
某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示：
人数 0 1 2 3 4 大于等于5
概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04
（1）求派出医生至多2人的概率；
（2）求派出医生至少2人的概率．
解：设“不派出医生”为事件A，“派出1名医生”为事件B，“派出2名医生”为事件C，“派出3名医生”为事件D，“派出4名医生”为事件E，“派出5名及5名以上医生”为事件F，事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04.
(1)“派出医生至多2人”的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)法一：“派出医生至少2人”的概率为P(C∪D∪E∪F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74.
法二：“派出医生至少2人”的概率为1－P(A∪B)＝1－0.1－0.16＝0.74.
在数学考试中，小明的成绩在90分及90分以上的概率是0.18，在80～89分(包括80分与89分，下同)的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09,60分以下的概率是0.07.计算下列事件的概率：
（1）小明在数学考试中取得80分及80分以上的成绩；
（2）小明考试及格(60分及60分以上为及格).
解　分别记小明的成绩“在90分及90分以上”，“在80～89分”，“在70～79分”，“在60～69分”为事件B，C，D，E，显然这四个事件彼此互斥.
(1)小明的成绩在80分及80分以上的概率是
P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.
(2)方法一　小明考试及格的概率是
P(B＋C＋D＋E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.
方法二　因为小明考试不及格的概率是0.07，所以小明考试及格的概率是1－0.07＝0.93.
母题7：古典概型的判断
古典概型需满足两个条件
(1)样本点总数有限.
(2)各个样本点出现的可能性相等.
下列概率模型是古典概型吗？为什么？
（1）从区间[1,10]内任意取出一个实数，求取到的实数大于2的概率；
（2）向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；
（3）从1,2,3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率。
解　(1)不是古典概型，因为区间[1,10]中有无限多个实数，取出的实数有无限多种结果，与古典概型定义中“所有可能结果只有有限个”矛盾.
(2)不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面朝上”与“反面朝上”的概率不相等，与古典概型定义中“每一个试验结果出现的可能性相同”矛盾.
(3)是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的，而且每个整数被抽到的可能性相等.
下列问题中是古典概型的是(　　)
A.种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率
B.掷一颗质地不均匀的骰子，求掷出1点的概率
C.在区间[1,4]上任取一数，求这个数大于1.5的概率
D.同时掷两颗质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率
答案　D
解析　A，B两项中的样本点的出现不是等可能的；C项中样本点的个数是无限多个；D项中样本点的出现是等可能的，且是有限个.故选D.
母题8：古典概型的概率计算
求古典概型概率的步骤
(1)判断是否为古典概型．
(2)算出样本点的总数n.
(3)算出事件A中包含的样本点个数m.
(4)算出事件A的概率，即P(A)＝.
在运用公式计算时，关键在于求出m，n.在求n时，应注意这n种结果必须是等可能的，在这一点上比较容易出错．
在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数.故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，更方便.
一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球.求：
(1)样本空间的样本点的总数n；
(2)事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数；
(3)摸出2个黑球的概率.
解　由于4个球的大小相等，摸出每个球的可能性是均等的，所以是古典概型.
(1)将黑球编号为黑1，黑2，黑3，从装有4个球的口袋内摸出2个球，
样本空间Ω＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)}，其中共有6个样本点.
(2)事件“摸出2个黑球”＝{(黑1，黑2)，(黑2，黑3)，(黑1，黑3)}，共3个样本点.
(3)样本点总数n＝6，事件“摸出两个黑球”包含的样本点个数m＝3，故P＝＝，即摸出2个黑球的概率为.
有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为(　　)
A.　　　　　　　　B. C. D.
【解析】从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同取法：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)．而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共4种，故所求概率P＝＝.
【答案】C
某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．
【解析】记2名男生分别为A，B，3名女生分别为a，b，c，则从中任选2名学生有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10种情况，其中恰好选中2名女生有ab，ac，bc，共3种情况，故所求概率为.
【答案】
如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为(　　)
A. B. C. D.
解析：选C.从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，共有如下10个不同的结果：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，其中勾股数只有(3，4，5)，所以概率为.故选C.
从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为(　　)
A. B. C. D.
解析：选C.如图可知从5个点中选取2个点的全部情况有(O，A)，(O，B)，(O，C)，(O，D)，(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共10种．
选取的2个点的距离不小于该正方形边长的情况有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6种．故所求概率为＝.
为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是________.
答案　
解析　从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种，故所求概率为P＝＝.
先后抛掷两枚质地均匀的骰子。
（1）求点数之和为7的概率；
（2）求掷出两个4点的概率；
（3）求点数之和能被3整除的概率。
解　如图所示，从图中容易看出样本点与所描点一一对应，共36种.
(1)记“点数之和为7”为事件A，从图中可以看出，事件A包含的样本点共有6个：(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6).
故P(A)＝＝.
(2)记“掷出两个4点”为事件B，从图中可以看出，事件B包含的样本点只有1个，即(4,4).
故P(B)＝.
(3)记“点数之和能被3整除”为事件C，则事件C包含的样本点共12个：(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6).
故P(C)＝＝.
某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游.
（1）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
（2）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.
解　(1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共15个.
所选2个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3个，
则所求事件的概率为P＝＝.
(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，共9个.
包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有(A1，B2)，(A1，B3)，共2个，则所求事件的概率为P＝.
母题9：互斥、对立事件与古典概型的综合应用
求复杂事件的概率常见的两种方法：
（1）将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件；
（2）若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”，它常用来求“至少…”或“至多…”型事件的概率。　
某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：
（1）该队员只属于一支球队的概率；
（2）该队员最多属于两支球队的概率。
【解】　分别令“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球队”为事件A，B，C.由图知3支球队共有球员20名．
则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1)令“抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件D.
则D＝A＋B＋C，因为事件A，B，C两两互斥，
所以P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＋＋＝.
(2)令“抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件E，则为“抽取一名队员，该队员属于3支球队”，所以P(E)＝1－P()＝1－＝.
一个盒子里有三张卡片，分别标记有数字，这三张卡片除标记的数字外完全相同。随机有放回地抽取次，每次抽取张，将抽取的卡片上的数字依次记为。
（1）求“抽取的卡片上的数字满足”的概率；
（2）求“抽取的卡片上的数字不完全相同”的概率。
解：(1)由题意知，(a，b，c)所有的可能结果为(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种．
设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种．所以P(A)＝＝.即“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.
(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件B的对立事件包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种．
所以P(B)＝1－P()＝1－＝.即“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.
一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球，从中随机取出1球，求：
（1）取出1球是红球或黑球的概率；
（2）取出1球是红球或黑球或白球的概率。
解　记事件A1＝{任取1球为红球}；A2＝{任取1球为黑球}；A3＝{任取1球为白球}；A4＝{任取1球为绿球}，则
P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝.
根据题意，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥.
方法一　由互斥事件概率公式，得
(1)取出1球为红球或黑球的概率为
P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.
(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为
P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.
方法二　(1)取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1＋A2的对立事件为A3＋A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为
P(A1＋A2)＝1－P(A3＋A4)＝1－P(A3)－P(A4)
＝1－－＝＝.
(2)A1＋A2＋A3的对立事件为A4，所以
P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－＝.
母题10：数学建模——古典概型的实际应用
如何建立概率模型(古典概型)：
（1）在建立概率模型(古典概型)时，把什么看作一个样本点(即一个试验结果)是人为规定的．我们只要求每次试验有且只有一个样本点出现．对于同一个随机试验，可以根据需要(建立概率模型的主观原因)建立满足我们要求的概率模型。
（2）注意验证是否满足古典概型的两个特性，即①样本点的有限性；②每个样本点发生的可能性相等。
（3）求解时将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题。
已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为、、。现采用分层随机抽样的方法从中抽取名同学去某敬老院参加献爱心活动。
（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
（2）设抽出的名同学分别用表示，现从中随机抽取名同学承担敬老院的卫生工作。
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设为事件“抽取的名同学来自同一年级”，求事件发生的概率。
【解】　(1)由已知，甲，乙，丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．
(2)(i)从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为
(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(A，G)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(B，G)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(C，G)，(D，E)，(D，F)，(D，G)，(E，F)，(E，G)，(F，G)，共21种．
(ii)由(1)设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(F，G)，共5种．所以事件M发生的概率P(M)＝.
年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除。某单位老、中、青员工分别有、、人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取人调查专项附加扣除的享受情况。
（1）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
（2）抽取的人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有人，分别记为。享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受。现从这人中随机抽取人接受采访。
　　员工 项目
子女教育 ○ ○ × ○ × ○
继续教育 × × ○ × ○ ○
大病医疗 × × × ○ × ×
住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○
住房租金 × × ○ × × ×
赡养老人 ○ ○ × × × ○
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设为事件“抽取的人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件发生的概率。
解：(1)由已知，老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人．
(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．
②由表格知，符合题意的所有可能结果为(A，B)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，E)，(C，F)，(D，F)，(E，F)，共11种．
所以事件M发生的概率P(M)＝.10.1 随机事件与概率
目 录
知识清单
一、随机试验 - 3 -
二、事件的分类 - 3 -
三、样本点和样本空间 - 3 -
四、事件的关系或运算的含义及符号表示 - 4 -
五、古典概型 - 5 -
典型例题
母题1：事件类型的判断 - 7 -
母题2：样本点与样本空间 - 8 -
母题3：随机事件的含义 - 10 -
母题4：互斥事件与对立事件的判定 - 11 -
母题5：事件的运算 - 13 -
母题6：互斥事件与对立事件概率公式的应用 - 16 -
母题7：古典概型的判断 - 17 -
母题8：古典概型的概率计算 - 18 -
母题9：互斥、对立事件与古典概型的综合应用 - 21 -
母题10：数学建模——古典概型的实际应用 - 22 -
10.1　随机事件与概率
知识清单
一、随机试验
定义：把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验。
特点：
①试验可以在相同条件下重复进行；
②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果。
二、事件的分类
随机事件：
①我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件。
②随机事件一般用大写字母表示。
③在每次试验中，当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生。
必然事件：作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件。
不可能事件：空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为不可能事件。
■名师点拨
必然事件和不可能事件不具有随机性，它是随机事件的两个极端情况。
三、样本点和样本空间
定义：我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间。
表示：一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点。如果一个随机试验有个可能结果，则称样本空间为有限样本空间。
四、事件的关系或运算的含义及符号表示
事件的关系或运算 含义 符号表示 图示
包含 一般地，若事件发生，则事件一定发生，称事件包含事件(或事件包含于事件) (或)
相等 如果事件包含事件，事件也包含事件，即且，则称事件与事件相等
并事件(和事件) 一般地，事件与事件至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件中，或者在事件中，我们称这个事件为事件与事件的并事件(或和事件) 或
交事件(积事件) 一般地，事件与事件同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件中，也在事件中，我们称这样的一个事件为事件与事件的交事件(或积事件) 或
互斥(互不相容) 一般地，如果事件与事件不能同时发生，也就是说是一个不可能事件，即，则称事件与事件互斥(或互不相容)
互为对立 一般地，如果事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即，且，那么称事件与事件互为对立，事件的对立事件记为
■名师点拨
（1）如果事件包含事件，事件也包含事件，即且，则称事件与事件相等，记作。
（2）类似地，可以定义多个事件的和事件以及积事件。例如，对于三个事件，(或)发生当且仅当中至少一个发生，(或)发生当且仅当同时发生。
五、古典概型
随机事件的概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件的概率用表示。
古典概型的概念
具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型。
（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个；
（2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等。
■名师点拨
古典概型的判断：一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性。并不是所有的试验都是古典概型。
下列三类试验都不是古典概型：①样本点个数有限，但非等可能；②样本点个数无限，但等可能；③样本点个数无限，也不等可能。
古典概型的概率公式
一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率。其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数。
概率的性质
性质1：对任意的事件，都有；
性质2：必然事件的概率为，不可能事件的概率为，即，；
性质3：如果事件与事件互斥，那么；
性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么，；
性质5：如果，那么，由该性质可得，对于任意事件，因为，所以。
性质6：设是一个随机试验中的两个事件，有。
典型例题
母题1：事件类型的判断
判断事件类型的思路
要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的，第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件。
指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：
（1）中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军；
（2）出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯；
（3）若x∈R，则x2＋1≥1；
（4）抛一枚骰子两次，朝上面的数字之和小于2。
下面的事件：①在标准大气压下，水加热到80℃时会沸腾；②a，b∈R，则ab＝ba；③一枚硬币连掷两次，两次都出现正面向上．其中是不可能事件的为(　　)
A．②　　　　　　B．① C．①② D．③
给出下列四个命题：①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；②当“x为某一实数时可使x2＜0”是不可能事件；③“2025年的国庆节是晴天”是必然事件；④“从100个灯泡(有10个是次品)中取出5个，5个都是次品”是随机事件。其中正确命题的个数是(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
母题2：样本点与样本空间
写样本空间的关键是找样本点，具体有三种方法：
（1）列举法：适用样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏。
（2）列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法，列表法的优点是准确、全面、不易遗漏。
（3）树状图法：树状图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法，树状图法便于分析样本点间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验的题目，一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举。
同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为，转盘②得到的数为，结果为。
（1）写出这个试验的样本空间；
（2）求这个试验的样本点的总数；
（3）“”这一事件包含哪几个样本点？“且”呢？
（4）“”这一事件包含哪几个样本点？“”呢？
甲、乙两人做出拳游戏(锤、剪、布)。
（1）写出样本空间；（2）用集合表示事件“甲赢”；（3）用集合表示事件“平局”。
写出下列试验的样本空间：
（1）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子出现的点数之和；
（2）从含有两件正品和两件次品的四件产品中任取两件，观察取出产品的结果；
（3）用红、黄、蓝三种颜色给图中个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，观察涂色的情况。
写出下列试验的样本空间：
（1）随意安排甲、乙、丙、丁4人在4天节日中值班，每人值班1天，记录值班的情况；
（2）从一批产品中，依次任选三件，记录出现正品与次品的情况。
试验：甲、乙两人玩出拳游戏(锤子、剪刀、布)，观察甲、乙出拳的情况。设事件表示随机事件“甲乙平局”；事件表示随机事件“甲赢得游戏”；事件表示随机事件“乙不输”。试用集合表示事件。
如图，从正方形的四个顶点及其中心这5个点中，任取两点观察取点的情况，设事件为“这两点的距离不大于该正方形的边长”，试用样本点表示事件。
一只口袋内装有5个大小相同的球，白球3个，黑球2个，从中一次摸出2个球。
（1）共有多少个样本点？
（2）“2个都是白球”包含几个样本点？
袋中有2个标号分别为1，2的白球和2个标号分别为3，4的黑球。这4个球除颜色、标号外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出1个球，求样本点的个数。
母题3：随机事件的含义
在试验E：“连续抛掷一枚均匀的骰子2次，观察每次掷出的点数”中，指出下列随机事件的含义：
（1）事件A＝{(1,3)，(2,3)，(3,3)，(4,3)，(5,3)，(6,3)}；
（2）事件B＝{(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)}；
（3）事件C＝{(1,3)，(3,1)，(4,2)，(2,4)，(3,5)，(5,3)，(4,6)，(6,4)}.
柜子里有3双不同的鞋，随机抽取2只，用A1，A2，B1，B2，C1，C2分别表示3双不同的鞋，其中下标为奇数表示左脚，下标为偶数表示右脚.指出下列随机事件的含义.
（1）M＝{A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}；
（2）N＝{A1B1，B1C1，A1C1}；
（3）P＝{A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1}.
母题4：互斥事件与对立事件的判定
(1)包含关系、相等关系的判定
①事件的包含关系与集合的包含关系相似；
②两事件相等的实质为相同事件，即同时发生或同时不发生．
(2)判断事件是否互斥的两个步骤
第一步，确定每个事件包含的结果；
第二步，确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生，若是，则两个事件不互斥，否则就是互斥的．
(3)判断事件是否对立的两个步骤
第一步，判断是互斥事件；
第二步，确定两个事件必然有一个发生，否则只有互斥，但不对立．
某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件。
（1）恰有1名男生与恰有2名男生；
（2）至少有1名男生与全是男生；
（3）至少有1名男生与全是女生；
（4）至少有1名男生与至少有1名女生。
判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取1张．
（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
（3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”。
某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”.判断下列事件是否为互斥事件，如果是，判断它们是否为对立事件。
（1）A与C；（2）B与E；（3）B与D；（4）B与C；（5）C与E。
从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是(　　)
A.至少有一个红球与都是红球 B.至少有一个红球与都是白球
C.至少有一个红球与至少有一个白球 D.恰有一个红球与恰有两个红球
有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向，事件“甲向南”与事件“乙向南”是(　　)
A.互斥但非对立事件 B.对立事件
C.非互斥事件 D.以上都不对
母题5：事件的运算
清楚随机事件的运算与集合运算的对应关系有助于解决此类问题：
符号 事件的运算 集合的运算
A 随机事件 子集
A的对立事件 A的补集
AB 事件A与B的交事件 集合A与B的交集
A∪B 事件A与B的并事件 集合A与B的并集
事件间运算方法：
（1）利用事件间运算的定义：列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算。
（2）利用Venn图：借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算。
盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}，事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有一个白球}。
求：（1）事件D与A、B是什么样的运算关系？
（2）事件C与A的交事件是什么事件？
（3）事件C与A、B、E是什么运算关系？
（4）C与F的交事件是什么？
掷一枚骰子，下列事件：A＝{出现奇数点}，B＝{出现偶数点}，C＝{点数小于3}，D＝{点数不大于2}，E＝{点数是3的倍数}．求：(1)A∩B，BC；(2)A∪B，B＋C；(3)D，AC.
在掷骰子的试验中，可以定义许多事件.例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：
(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；
(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件.
抛掷相同硬币3次，设事件A＝{至少有一次正面向上}，事件B＝{一次正面向上，两次反面向上}，事件C＝{两次正面向上，一次反面向上}，事件D＝{至少一次反面向上}，事件E＝{3次都正面向上}.
(1)试判断事件A与事件B，C，E的关系；
(2)试求事件A与事件D的交事件，事件B与事件C的并事件，并判断二者的关系.
设表示三个随机事件，试将下列事件用表示出来。
（1）三个事件都发生；
（2）三个事件至少有一个发生；
（3）发生，不发生；
（4）都发生，不发生；
（5）至少有一个发生，不发生；
（6）中恰好有两个发生.
（7）三个事件都不发生；
（8）三个事件至少有两个发生。
5个相同的小球，分别标上数字1,2,3,4,5，依次有放回的抽取两个小球.记事件A为“第一次抽取的小球上的数字为奇数”，事件B为“抽取的两个小球上的数字至少有一个是偶数”，事件C为“两个小球上的数字之和为偶数”，试用集合的形式表示A，B，C，A∩B，∩，∩C.
母题6：互斥事件与对立事件概率公式的应用
互斥事件、对立事件概率的求解方法：
（1）互斥事件的概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
（2）对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和．
（3）当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．
[注意]有限个彼此互斥事件的和的概率，等于这些事件的概率的和，即P(Ai)＝P(Ai)．
一名射击运动员在一次射击中射中10环，9环，8环，7环，7环以下的概率分别为0.24，0.28，0.19，0.16，0.13.计算这名射击运动员在一次射击中：
（1）射中10环或9环的概率；
（2）至少射中7环的概率；
（3）射中环数小于8环的概率。
某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示：
人数 0 1 2 3 4 大于等于5
概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04
（1）求派出医生至多2人的概率；
（2）求派出医生至少2人的概率．
在数学考试中，小明的成绩在90分及90分以上的概率是0.18，在80～89分(包括80分与89分，下同)的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09,60分以下的概率是0.07.计算下列事件的概率：
（1）小明在数学考试中取得80分及80分以上的成绩；
（2）小明考试及格(60分及60分以上为及格).
母题7：古典概型的判断
古典概型需满足两个条件
(1)样本点总数有限.
(2)各个样本点出现的可能性相等.
下列概率模型是古典概型吗？为什么？
（1）从区间[1,10]内任意取出一个实数，求取到的实数大于2的概率；
（2）向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；
（3）从1,2,3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率。
下列问题中是古典概型的是(　　)
A.种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率
B.掷一颗质地不均匀的骰子，求掷出1点的概率
C.在区间[1,4]上任取一数，求这个数大于1.5的概率
D.同时掷两颗质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率
母题8：古典概型的概率计算
求古典概型概率的步骤
(1)判断是否为古典概型．
(2)算出样本点的总数n.
(3)算出事件A中包含的样本点个数m.
(4)算出事件A的概率，即P(A)＝.
在运用公式计算时，关键在于求出m，n.在求n时，应注意这n种结果必须是等可能的，在这一点上比较容易出错．
在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数.故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，更方便.
一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球.求：
(1)样本空间的样本点的总数n；
(2)事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数；
(3)摸出2个黑球的概率.
有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为(　　)
A.　　　　　　　　B. C. D.
某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．
如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为(　　)
A. B. C. D.
从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为(　　)
A. B. C. D.
为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是________.
先后抛掷两枚质地均匀的骰子。
（1）求点数之和为7的概率；
（2）求掷出两个4点的概率；
（3）求点数之和能被3整除的概率。
某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游.
（1）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
（2）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.
母题9：互斥、对立事件与古典概型的综合应用
求复杂事件的概率常见的两种方法：
（1）将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件；
（2）若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”，它常用来求“至少…”或“至多…”型事件的概率。　
某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：
（1）该队员只属于一支球队的概率；
（2）该队员最多属于两支球队的概率。
一个盒子里有三张卡片，分别标记有数字，这三张卡片除标记的数字外完全相同。随机有放回地抽取次，每次抽取张，将抽取的卡片上的数字依次记为。
（1）求“抽取的卡片上的数字满足”的概率；
（2）求“抽取的卡片上的数字不完全相同”的概率。
一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球，从中随机取出1球，求：
（1）取出1球是红球或黑球的概率；
（2）取出1球是红球或黑球或白球的概率。
母题10：数学建模——古典概型的实际应用
如何建立概率模型(古典概型)：
（1）在建立概率模型(古典概型)时，把什么看作一个样本点(即一个试验结果)是人为规定的．我们只要求每次试验有且只有一个样本点出现．对于同一个随机试验，可以根据需要(建立概率模型的主观原因)建立满足我们要求的概率模型。
（2）注意验证是否满足古典概型的两个特性，即①样本点的有限性；②每个样本点发生的可能性相等。
（3）求解时将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题。
已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为、、。现采用分层随机抽样的方法从中抽取名同学去某敬老院参加献爱心活动。
（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
（2）设抽出的名同学分别用表示，现从中随机抽取名同学承担敬老院的卫生工作。
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设为事件“抽取的名同学来自同一年级”，求事件发生的概率。
年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除。某单位老、中、青员工分别有、、人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取人调查专项附加扣除的享受情况。
（1）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
（2）抽取的人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有人，分别记为。享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受。现从这人中随机抽取人接受采访。
　　员工 项目
子女教育 ○ ○ × ○ × ○
继续教育 × × ○ × ○ ○
大病医疗 × × × ○ × ×
住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○
住房租金 × × ○ × × ×
赡养老人 ○ ○ × × × ○
试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设为事件“抽取的人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件发生的概率。

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