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2023年四川省数学中考试题汇编方程与不等式
一、选择题（本大题共17小题在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. (2023·四川省成都市)孙子算经是中国古代重要的数学著作，是算经十书之一书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
2. (2023·四川省南充市)孙子算经记载：“今有木，不知长短引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺木长几何？”尺、寸是长度单位，尺寸意思是，现有一根长木，不知道其长短用一根绳子去度量长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余尺问长木长多少？设长木长为尺，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
3. (2023·四川省宜宾市)“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”是孙子算经卷中著名数学问题意思是：鸡兔同笼，从上面数，有个头从下面数，有条腿问鸡兔各有多少只若设鸡有只，兔有只，则所列方程组正确的是( )
A. B. C. D.
4. (2023·四川省巴中市)某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面已知每张卡纸可以裁出个侧面，或者裁出个底面，如果个侧面和个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为( )
A. B. C. D.
5. (2023·四川省眉山市)已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为( )
A. B. C. D.
6. (2023·四川省南充市)关于，的方程组的解满足，则的值是( )
A. B. C. D.
7. (2023·四川省内江市)对于实数，定义运算“”为，例如：，则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
8. (2023·四川省乐山市)若关于的一元二次方程两根为、，且，则的值为( )
A. B. C. D.
9. (2023·四川省眉山市)关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
10. (2023·四川省泸州市)若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，则该菱形的边长为( )
A. B. C. D.
11. (2023·四川省泸州市)关于的一元二次方程的根的情况是( )
A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 实数根的个数与实数的取值有关
12. (2023·四川省达州市)某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的尚佳礼品，首批“脆红李”成熟后，当地某电商用元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了元，但数量比第一批多购进了件，求购进的第一批“脆红李”的单价，设购进的第一批“脆红李”的单价为元件，根据题意可列方程为( )
A. B.
C. D.
13. (2023·四川省宜宾市)分式方程的解为( )
A. B. C. D.
14. (2023·四川省内江市)用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入个数据，已知甲的输入速度是乙的倍，结果甲比乙少用小时输完这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入个数据，根据题意得方程正确的是( )
A. B.
C. D.
15. (2023·四川省自贡市)下列说法正确的是( )
A. 甲、乙两人次测试成绩的方差分别是，，则乙的成绩更稳定
B. 某奖券的中奖率为，买张奖券，一定会中奖次
C. 要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用抽样调查
D. 是不等式的解，这是一个必然事件
16. (2023·四川省眉山市)关于的不等式组的整数解仅有个，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
17. (2023·四川省遂宁市)若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共10小题）
18. (2023·四川省泸州市)关于，的二元一次方程组的解满足，写出的一个整数值______ ．
19. (2023·四川省内江市)已知、是方程的两根，则 ______ ．
20. (2023·四川省宜宾市)若关于的方程两根的倒数和为，则的值为______ ．
21. (2023·四川省遂宁市)若、是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为______ ．
22. (2023·四川省眉山市)已知方程的根为，，则的值为______ ．
23. (2023·四川省巴中市)关于的分式方程有增根，则 ______ ．
24. (2023·四川省宜宾市)若关于的不等式组所有整数解的和为，则整数的值为______ ．
25. (2023·四川省凉山彝族自治州)不等式组的所有整数解的和是______ ．
26. (2023·四川省乐山市)不等式的解集为______．
27. (2023·四川省眉山市)关于的方程的解为非负数，则的取值范围是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
28. (2023·四川省凉山彝族自治州)
凉山州雷波县是全国少有的优质脐橙最适生态区经过近年的发展，雷波脐橙多次在中国西部农业博览会上获得金奖，雷波县也被誉名为“中国优质脐橙第一县”，某水果商为了解雷波脐橙的市场销售情况，购进了雷波脐橙和资中血橙进行试销在试销中，水果商将两种水果搭配销售，若购买雷波脐橙千克，资中血橙千克，共需元人民币；若购买雷波脐橙千克，资中血橙千克，共需元人民币．
求雷波脐橙和资中血橙每千克各多少元？
一顾客用不超过元购买这两种水果共千克，要求雷波脐橙尽量多，他最多能购买雷波脐橙多少千克？
29. (2023·四川省自贡市)
某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行，租用同型号客车辆，还剩人没有座位；租用辆，还空个座位求该客车的载客量．
30. (2023·四川省眉山市)
习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书共本，已知购买本甲种书和本乙种书共需元；购买本甲种书和本乙种书共需元．
求甲，乙两种书的单价分别为多少元；
若学校决定购买以上两种书的总费用不超过元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
31. (2023·四川省巴中市)
计算：．
求不等式组的解集．
先化简，再求值，其中的值是方程的根．
32. (2023·四川省遂宁市)
我们规定：对于任意实数、、、有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：．
求的值；
已知关于的方程有两个实数根，求的取值范围．
33. (2023·四川省乐山市)
为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在规定时间内种植梨树棵开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了，结果提前天完成任务问原计划每天种植梨树多少棵？
34. (2023·四川省成都市
年月日至月日，第届世界大学生运动会将在成都举行“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买，两种食材制作小吃已知购买千克种食材和千克种食材共需元，购买千克种食材和千克种食材共需元．
求，两种食材的单价；
该小吃店计划购买两种食材共千克，其中购买种食材千克数不少于种食材千克数的倍，当，两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．
35. (2023·四川省成都市)
计算：．
解不等式组：．
1.【答案】
【解析】
【分析】
设木长为尺，根据等量关系“将绳子对折再量长木，长木还剩余尺”列出方程即可解答．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【解答】
解：设木长尺，由“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺”，得绳长为尺，
再根据“将绳子对折再量长木，长木还剩余尺”，得方程：．
故选A．
2.【答案】
【解析】解：设长木长为尺，
用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺，
绳子长为尺，
绳子对折再量木条，木条剩余尺，
得方程为：．
故选：．
设长木长为尺，则用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺，可知绳子长为尺；绳子对折再量木条，木条剩余尺可知：，即可列出相应的方程．
本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的一元一次方程．
3.【答案】
【解析】解：由题意得：，
故选：．
根据鸡有两条腿，兔子有四条腿，共有个头，条腿，列出二元一次方程组即可．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：设用张卡纸做侧面，用张卡纸做底面，
由题意得，，
解得，
用张卡纸做侧面，用张卡纸做底面，则做出侧面的数量为个，底面的数量为个，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为个．
故选：．
设用张卡纸做侧面，用张卡纸做底面，则做出侧面的数量为个，底面的数量为个，然后根据等量关系：底面数量侧面数量的倍，列出方程组即可．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组．还需注意本题的等量关系是：底面数量侧面数量的倍．
5.【答案】
【解析】解：关于、的二元一次方程组为，
，得：
，
，
，
，
．
故选：．
把方程组的两个方程相减得到，结合，得到的值．
本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是把方程组的两个方程相加得到的方程，此题难度不大．
6.【答案】
【解析】解：方程组，
得，，
，
，
，
，
．
故选：．
根据方程组得，，即，再根据，得，所以．
本题考查了二元一次方程组的解，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法法则，能熟练掌握运算法则是解此题的关键．
7.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
关于的方程有两个不相等的实数根．
故选：．
根据运算“”的定义将方程转化为一般式，由根的判别式，即可得出该方程有两个不相等的实数根．
本题考查了根的判别式和实数的运算，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解决问题的关键．
8.【答案】
【解析】解：一元二次方程的两根为，，
，
，
解得，，
．
故选：．
首先根据根与系数的关系得出，再根据，求得，，进一步得出求得答案即可．
本题考查了根与系数的关系．二次项系数为，常用以下关系：，是方程的两根时，，，反过来可得，，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
9.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：．
故选：．
根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，对照四个选项即可得出结论．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：设菱形的两条对角线长分别为、，
由题意，得．
菱形的边长
．
故选：．
先设出菱形两条对角线的长，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再根据菱形的边长与对角线的关系求出菱形的边长．
本题主要考查了根与系数的关系及菱形的性质，掌握菱形对角线与菱形的面积、边长间的关系，根与系数的关系及等式的变形是解决本题的关键．
11.【答案】
【解析】解：
．
关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：．
先计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式得结论．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握“根的判别式与根的解的关系”是解决本题的关键．
12.【答案】
【解析】解：由题意可得，
，
故选：．
根据单价比第一批每件便宜了元，但数量比第一批多购进了件，可以列出相应的分式方程，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
13.【答案】
【解析】解：两边同时乘以得：，
解得，
把代入最简公分母得：
，
是原方程的解，
故选：．
先去分母化为整式方程，解出的值，再检验即可．
本题考查解分式方程，解题的关键是掌握将分式方程化为整式方程的方法，注意要检验．
14.【答案】
【解析】解：乙每分钟能输入个数据，
根据题意得：．
故选：．
有工作总量，求的是工作效率，那么一定是根据工作时间来列等量关系的．关键描述语是：“甲比乙少用小时输完”等量关系为：甲用的时间乙用的时间．
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
15.【答案】
【解析】解：、，，甲的成绩更稳定，故本选项不符合题意；
B、某奖券的中奖率为，则买张奖券，不一定会中奖，是随机事件，故本选项不符合题意；
C、要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用全面调查，故本选项不符合题意；
D、不等式的解集是，是这个不等式的解，是必然事件，故本选项符合题意；
故选：．
根据必然事件，随机事件，方差的意义，调查方式，分别进行判断即可．
本题考查了必然事件，随机事件，方差，抽样调查，全面调查，掌握这些定义是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：解不等式组得：，
由题意得：，
解得：，
故选：．
先解不等式组，再根据仅有个整数解得出的不等式组，再求解．
本题考查了一元一次不等式组的整数解，掌握解不等式组的方法是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集是，
．
故选：．
用含的式子表示出不等式的解，结合条件进行求解即可．
本题主要考查解一元一次不等式组，解答的关键是明确“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则．
18.【答案】
【解析】解：
得：．
，
，
解得．
，
．
，
取整数值，
可取大于的所有整数．
故本题答案为：答案不唯一．
解方程组得到的关系式，再根据题目所给的求出取值范围即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组、不等式以及无理数的估算，能正确估计一个无理数在哪两个整数之间是解决问题的关键．
19.【答案】
【解析】解：是方程的根，
，
，
，是方程的两根，
，
．
故答案为：．
根据一元二次方程的解的定义得到，，再根据根与系数的关系得到，然后把要求的式子进行变形，再代入计算即可．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，，则，，也考查了一元二次方程的解．
20.【答案】
【解析】解：设关于的方程两根为，，
，，
两根的倒数和为，
，
，
，
解得，
经检验，是分式方程的解，
当时，原方程为，
，
符合题意，
故答案为：．
设关于的方程两根为，，可得，，根据两根的倒数和为，有，即，得，再检验可得答案．
本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握元二次方程根与系数的关系，注意最后需要检验原方程是否有实数根．
21.【答案】
【解析】解：、是一元二次方程的两个实数根，
，，
．
故答案为：．
根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．
22.【答案】
【解析】解：方程的根为，，
，，
．
故答案为：．
直接利用根与系数的关系作答．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，．
23.【答案】
【解析】解：方程两边同乘得：，
由题意得：是该整式方程的解，
，
解得：，
故答案为：．
先去分母，再根据增根的意义列方程求解．
本题考查了分式方程的增根，理解增根的意义是解题的关键．
24.【答案】或
【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
，
所有整数解的和为，
不等式组的整数解为，，，或，，，，，，，
或，
或，
为整数，
或，
故答案为：或．
求出，根据所有整数解的和为，列出关于的不等式组，解得的范围，即可求得答案．
本题考查不等式组的整数解，解题的关键是根据题意列出关于的不等式组．
25.【答案】
【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得，
不等式组的解集为，
由为整数，可取，，，，，，，
则所有整数解的和为，
故答案为：．
求出不等式组的解集，确定出整数解，求出之和即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
26.【答案】
【解析】解：解不等式得，．
根据不等式的基本性质，左右两边同时加上，就可求出的取值范围．
解答此题的关键是要熟知不等式两边同时加上一个数，不等号的方向不变．
27.【答案】且
【解析】解：，
去分母得：，
去括号移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：，
，
，即，
，
解为非负数，
，
，
且．
故答案为：且．
根据解分式方程的方法，用含的式子表示的值，再根据解为非负数和分母不为即可求解．
本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，一定要注意分式方程的最简公分母不能为．
28.【答案】解：设雷波脐橙每千克元，资中血橙每千克元，
根据题意得：，
解得：．
答：雷波脐橙每千克元，资中血橙每千克元；
设购买雷波脐橙千克，则购买资中血橙千克，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为．
答：他最多能购买雷波脐橙千克．
【解析】设雷波脐橙每千克元，资中血橙每千克元，根据“购买雷波脐橙千克，资中血橙千克，共需元人民币；购买雷波脐橙千克，资中血橙千克，共需元人民币”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买雷波脐橙千克，则购买资中血橙千克，利用总价单价数量，结合总价不超过元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
29.【答案】解：设该客车的载客量为人，
根据题意得：，
解得：．
答：该客车的载客量为人．
【解析】设该客车的载客量为人，根据去研学的人数不变，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
30.【答案】解：设甲种书的单价是元，乙种书的单价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：甲种书的单价是元，乙种书的单价是元；
设该校购买甲种书本，则购买乙种书本，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为．
答：该校最多可以购买甲种书本．
【解析】设甲种书的单价是元，乙种书的单价是元，根据“购买本甲种书和本乙种书共需元；购买本甲种书和本乙种书共需元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设该校购买甲种书本，则购买乙种书本，利用总价单价数量，结合总价不超过元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
31.【答案】解：
；
解不等式得，；
解不等式得，，
原不等式组的解集为；
，
解方程得，，
，
，，
，
原式．
【解析】根据绝对值的定义，负整数指数幂，特殊角的三角函数，计算即可；
根据不等式组的解法解不等式组即可；
根据整式的混合运算化简后代入的值计算即可．
本题考查了一元二次方程的解，实数的运算，分式的化简和求值，解一元一次不等式，正确地进行运算是解题的关键．
32.【答案】解：；
根据题意得，
整理得，
关于的方程有两个实数根，
且，
解得且．
【解析】用新定义运算法则列式计算；
先根据新定义得到，再把方程化为一般式，接着根据题意得到且，解不等式即可．
本题属于新定义题型，考查一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，根据题意得到关于的不等式是解题的关键．
33.【答案】解：设原计划每天种植梨树棵，则实际每天种植梨树棵，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：原计划每天种植梨树棵．
【解析】设原计划每天种植梨树棵，则实际每天种植梨树棵，利用工作时间工作总量工作效率，结合实际比原计划提前天完成任务，可得出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
34.【答案】解：设种食材的单价为元，种食材的单价为元，
根据题意有：
解得：
答：种食材的单价为元，种食材的单价为元；
设购买种食材千克，则购买种食材千克，
解得，
设购买两种食材的总费用为元，
则，
，
随着的增大而增大，
当时，总费用最小为元．
答：购买种食材千克，购买种食材千克时，总费用最低，是元．
【解析】设种食材的单价为元，种食材的单价为元，根据购买千克种食材和千克种食材共需元，购买千克种食材和千克种食材共需元，列出二元一次方程组，再解方程组即可．
设购买种食材千克，则购买种食材千克，根据题意得到，解得，设总费用为，用表示出总费用，得到，再根据一次函数的性质求解即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式及一次函数等知识点，是中考常考考点．
35.【答案】解：原式
；
，
解不等式，得，
解不等式，得，
所以原不等式组的解集为．
【解析】分别根据算术平方根的定义，特殊角的三角函数值，零指数幂的定义以及绝对值的性质计算即可；
先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．
本题考查了实数的运算以及解一元一次不等式组，掌握相关定义与运算法则是解答本题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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