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高一下学期期末复习导学案（七）
空间几何体与点线面的关系
知识归纳
1．空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似
侧棱 平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点
侧面形状 平行四边形 三角形 梯形
(2)旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点
轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆
侧面展开图 矩形 扇形 扇环
2．直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.
3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l
4．空间几何体的表面积与体积公式
　　名称几何体　　　　 表面积 体积
柱　体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底h
锥　体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底h
台　体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝4πR2 V＝πR3
5．平面的基本性质
基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内.
基本性质2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线.
6．空间点、直线、平面之间的位置关系
直线与直线 直线与平面 平面与平面
平行关系 图形语言
符号语言 a∥b a∥α α∥β
相交关系 图形语言
符号语言 a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l
独有关系 图形语言
符号语言 a，b是异面直线 a α
7．异面直线所成的角
(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)范围：.
8．直线和平面所成的角
(1)定义：一条斜线和它在平面内的射影所成的角叫做斜线和平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角.
(2)范围：.
9．二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；
(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.
(3)二面角的范围：[0，π].
典例分析
题型一、空间几何体的体积与表面积
【例1-1】如图所示(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.
【例1-1】【解析】由题意知，所求几何体的表面积由三部分组成：圆台下底面、侧面和一半球面，
S半球＝8π cm2，S圆台侧＝35π cm2，S圆台底＝25π cm2，
故所求几何体的表面积为68π cm2.
由V圆台＝×[π×22＋＋π×52]×4＝52π(cm3)，
V半球＝π×23×＝π(cm3)，
所以所求几何体的体积为V圆台－V半球＝52π－π＝π(cm3).
【例1-2】冰激凌一直被众多青少年视为夏日解暑神器，图中冰激凌可近似地看作圆锥和半球的组合体，若圆锥部分的侧面展开图是面积为的半圆形，则该冰激凌的体积为　　
A． B． C． D．
【例1-2】【答案】A
【解答】解：设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，
则，解得，则，
故该冰激凌的体积为．
【例1-3】《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥为鳖臑，平面，，，则三棱锥的表面积为　　．
【例1-3】【答案】
【解答】解：三棱锥为鳖臑，平面，，，
，，，，
三棱锥的表面积为：
．
【例1-4】如图所示的屋脊状楔体，下底面是矩形，假设屋脊没有歪斜，即的中点在底面上的投影为矩形的中心点．，，，，（长度单位：丈），则楔体的体积为　　（体积单位：立方丈）
A． B． C．8 D．5
【例1-4】【答案】D
【解答】解：将楔体分成一个三棱柱、两个四棱锥，
则立方丈，立方丈，
故立方丈．
题型二、点线面的位置关系
【例2-1】、是两个不重合的平面，在下列条件下，可判定的是( )
A.、都平行于直线、 B.内有三个不共线的点到的距离相等
C.、是内的两条直线且， D.、是两条异面直线且，，，
【解答】解：对于A，当α∩β＝a，l∥m∥a时，不能推出α∥β；
对于B，当α∩β＝a，且在α内同侧有两点，另一侧一个点，三点到β的距离相等时，不能推出α∥β；
对于C，当l与m平行时，不能推出α∥β；
对于D，∵l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，∴α内存在两条相交直线与平面β平行，根据面面平行的判定，可得α∥β，故选：D．
【例2-2】已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则以下命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】D
【详解】对于A，若，，则或异面，故A错.
对于B，若，，则或异面或相交，故B错.
对于C，若，，则可平行于平面或在平面内或与平面相交，故C错误.
对于D，因为，故在平面存在直线，使得，而，
故，因为，故，故D正确.
故选：D.
【例2-3】(多选题)如图，垂直于以为直径的圆所在平面，为圆上异于，的任意一点，垂足为，点是上一点，则下列判断中正确的是　　
A．平面 B．
C． D．平面平面
【答案】ABD
【解答】解：在中，为圆上异于，的任意一点，
，，，平面，故正确；
在中，平面，平面，，，，
平面，平面，，故正确；
在中若，则平面，则，与矛盾，
故与不垂直，故错误；在中，平面，面，
平面平面，故正确．
题型三、空间中的角与距离的计算
【例3-1】如图，是平行四边形所在平面外一点，分别是的中点，若，，则异面直线与所成的角的大小为___________.
【答案】
【详解】取的中点，连接，
分别为的中点，，，
则即为直线与所成的角或其补角.
分别为的中点，，且.
在中，，，
直线与所成的角为.
【例3-2】如下图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于，的一动点.若，，则直线与平面所成角的正切值是________.
【解答】（1）证明：∵AB为圆O直径，∴∠ACB＝90°，即AC⊥BC，∵PA⊥面ABC，∴PA⊥BC，
∵AC∩PA＝A，AC 面PAC，PA 面PAC，∴BC⊥面PAC．
（2）解：∵BC⊥面PAC，∴∠BPC为PB与平面PAC所成的角，PA＝AC＝1，AB＝2，
直线PB与平面PAC所成角的正切值：tan∠BPC＝．
【例3-3】如下图，面与面所成二面角的大小为，且A，B为其棱上两点．直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面中，且都垂直于AB，已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图，作，且，则四边形ABDE为平行四边形，所以.因为，所以，又，所以是该二面角的一个平面角，即，由余弦定理.
因为，，所以，易得四边形ABDE为矩形，则，而，所以平面ACE，则，于是.
【例3-4】如图，已知点在圆柱的底面圆上，，圆的直径，圆柱的高.
（1）求点到平面的距离；
（2）求二面角的余弦值大小.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）因为，，
所以，
在中，由余弦定理可得：，
所以，，
在中，由余弦定理可得，
所，
所以，
设点到平面的距离为，
由，得，
即，
解得：，
所以点到平面的距离为；
（2）二面角即二面角，
因为是圆的直径，点在圆柱的底面圆上，所以，
因为面，面，可得，
因为，所以面，
因为面，面，所以，，
所以即为二面角的平面角，
在中，，，
所以，
所以二面角的余弦值为.
题型四、折叠问题
【例4-1】(多选题)如图，梯形中，，，，，将沿对角线折起.设折起后点的位置为，并且平面平面.给出下面四个命题正确的：()
A． B．三棱锥的体积为
C．平面 D．平面平面
【答案】CD
【解析】依次判断每个选项的正误得到答案.
如图所示：为中点，连接
，，得到
又故为等腰直角三角形
平面平面， ，所以平面，所以C正确
为中点，则平面 所以
如果，则可得到平面，故 与已知矛盾.故A错误
三棱锥的体积为 .故B错误
在直角三角形中，
在三角形中， 满足
又 所以平面，所以平面平面，故D正确
【例4-2】(多选题)如图，正方形的边长为1，，分别是，的中点，交于，现沿，及把这个正方形折成一个四面体，使，，三点重合，重合后的点记为，则在四面体中必有　　
A．平面
B．设线段的中点为，则平面
C．四面体的体积为
D．四面体的外接球的表面积为
【答案】ABD
【解答】解：（1），，，
平面，故正确；
（2）由题意可易知是的中点，
又是的中点，则，
又平面，平面，
平面，故正确；
（3），，
，
又平面，，
，故错误；
（4），，两两垂直，且，，
三棱锥的外接球可看作棱长分别为，，1的长方体的外接球，
故外接球的直径，，
外接球的表面积为：，故正确．
题型五、动点问题
【例5-1】如图所示，在长方体中，，点E是棱上的一个动点，若平面交棱于点，给出下列命题：
①四棱锥的体积恒为定值；
②存在点，使得平面；
③对于棱上任意一点，在棱上均有相应的点，使得平面；
④存在唯一的点，使得截面四边形的周长取得最小值.
其中真命题的是____________．（填写所有正确答案的序号）
【答案】①②④
【解析】对①,,又三棱锥底面
不变,且因为∥底面,故到底面的距离即上的高长度不变.故三棱锥体积一定,即四棱锥的体积恒为定值,①正确.
对②,因为,且长方体,故四边形为正方形,
故.要平面则只需,又,故只需面.
又平面,故只需即可.因为,故当 时存在点,使得,即平面.故②正确.
对③,当在时总有与平面相交,故③错误.
对④,四边形的周长,分析即可.
将矩形沿着展开使得在延长线上时,此时的位置设为,则线段与的交点即为使得截面四边形的周长取得最小值时的唯一点.故④正确.
【例5-2】如图所示，正方体的棱长为2，E，F为，AB的中点，M点是正方形内的动点，若平面，则M点的轨迹长度为______．
【答案】
【解析】如图所示，取的中点，的中点，连接，，，．
可得：四边形是平行四边形，.
同理可得：．．平面平面，
点是正方形内的动点，若平面.
点在线段上．点的轨迹长度．故答案为．
【例5-3】如图，在棱长为的正方体，点在线段上运动，则下列判断中正确的是( )（多选）
A.三棱锥的体积是 B.平面
C.平面与平面所成的二面角为 D.异面直线与所成角的范围是
【解答】解：A．三棱锥A﹣D1PC的体积＝三棱锥C﹣AD1P的体积＝×××1×＝，正确
B．由正方体的性质与面面平行的判定定理可得：平面DBC1∥平面AB1D1，∴DP∥平面AB1D1，正确．
C．由正方体的性质可得：DB1⊥平面ACD1，∴平面PB1D与平面ACD1所成的二面角为90°．
D．∵AD1∥BC1，连接A1C1，A1B，可得△A1BC1为等边三角形，可得A1P与BC1所成角的范围是，不正确．故选：AB．
题型六、截面问题
【例6-1】(多选题)正方体的棱长为2，已知平面，则关于截此正方体所得截面的判断正确的是（ ）
A．截面形状可能为正三角形 B．截面形状可能为正方形
C．截面形状可能为正六访形 D．截面面积最大值为
【答案】ACD
【解析】如图，显然A,C成立，下面说明D成立，
如图设截面为多边形，
设，则，
则
所以多边形的面积为两个等腰梯形的面积和，
所以
因为，
，
所以
当时，，故D成立。
故选：ACD．
【例6-2】我国古代的数学著作《九章算术商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．在如图所示的“堑堵” 中，，、分别是和的中点，则平面截“堑堵” 所得截面图形的面积为　　
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：延长，与的延长线交于点，则平面，
连结，与交于点，连结，
得到的四边形是平面截“堑堵” 所得截面图形，
由题意得，，，
截“堑堵” 所得截面图形面积为：
．
故选：．
【例6-3】如图，长方体，中，，，点为的中点，为直线与平面的交点，则　　．
【答案】
【解答】解：找的六等分点，且．
易证，设，．
连接，则，，三点共线平面平面
，，易证，．所以．
题型七、球的外接与内切
【例7-1】已知三棱锥中，为等边三角形，平面，若三棱锥的最长棱为，直线与平面所成角的余弦值为，则三棱锥的外接球表面积为　　
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，
在三棱锥中，为等边三角形，平面，则为最长棱为，
又直线与平面所成角的余弦值为，，
则，．
是边长为1的等边三角形，设的外心为，则，
设三棱锥的外接球的球心为，连接，则平面，．
三棱锥的外接球的半径为．
三棱锥的外接球表面积为．
【例7-2】由正三棱锥截得的三棱台的高为，，．若三棱台的各顶点都在球的球面上，则球的表面积为　　．
【答案】
【解析】设三棱台的上底面的外接圆的圆心为，下底面的外接圆的圆心为，
则，为所在正三角形的中心，故三棱台的外接球的球心在上，
因为是边长为6的等边三角形，故，所以，
同理可得，
设三棱台的外接球的半径为，
在△中，，
在中，，
又三棱台的高为，
因为，所以，
故球心在的延长线上，
则，解得，
所以球的表面积为．
【例7-3】如图，在四棱锥的平面展开图中，四边形是边长为2的正方形，是以为斜边的等腰直角三角形，，则四棱锥外接球的球心到面的距离为　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由平面图形还原原四棱锥如图，
该四棱锥底面为正方形，边长为2，侧面底面，
，则．
取的中点，则为的外心，连接、，相交于，
则平面，
可得，即为四棱锥的外接球的球心，
延长交于，则为的中点，连接，
在中，有，，
设到的距离为，则，即．
则四棱锥外接球的球心到面的距离为．
【例7-4】已知圆台内有一个球，该球与此圆台的上下两个底面及母线都相切，若圆台的上，下两个底面的半径分别为1，4，那么这个球的体积为　 　．
【答案】
【解析】画出圆台的轴截面，如图所示：
设内切圆的半径为，由题意可知，
且，，，
故可得，，
则，
过点作，在中，易知，
可得，
又因为，所以，
故球的体积为，
【例7-5】已知点O到直三棱柱各面的距离都相等，球O是直三棱柱的内切球，若球O的表面积为，的周长为4，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设直三棱柱的高为h，AB＝c，BC＝a，AC＝b，内切球O的半径为r，则h＝2r，
由题意可知球O的表面积为，解得r＝2，∴h＝4，
又△ABC的周长为4，即a＋b＋c＝4，
∴连接OA，OB，OC，可将直三棱柱分成5个棱锥，
即三个以原来三棱柱侧面为底面，内切球球心为顶点的四棱锥，
两个以原来三棱柱底面为底面，内切球球心为顶点的的三棱锥，
∴由体积相等可得直三棱柱的体积为h＝ahr＋bhr＋chr＋2×r，
即4＝（a＋b＋c）hr＋，∴＝，
∴三棱锥的体积为h＝×4×4＝．
课后作业
基础训练题
1、已知直线，和平面，则　　
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
1、【答案】C
【解析】对于，若，，则或，故错误；
对于，若，，则或与异面，故错误；
对于，若，，则由线面垂直的性质得，故正确；
对于，若，，则与平行或，故错误．
2、如图所示，已知直三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，则三棱锥B1－ABC1的体积为(　　)
A. B.
C. D.
2、【答案】A
【解析】＝－－＝.
3、若一个圆台如图所示，则其体积等于　　
A． B． C． D．
3、【解答】解：由图可知，圆台的上底面半径，下底面半径，高，
则圆台的体积．
故选：．
4、如图所示，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为　　
A． B． C．8 D．4
4、【解答】解：由斜二测画法的规则知与轴平行或重合的线段与轴平行或重合，其长度不变
与轴平行或重合的线段与轴平行或重合，其长度变成原来的一半，
正方形的对角线在的长度为，
如图，在平面图中四边形中，
对角线与轴重合，且其长度变为原来的2倍，即，
四边形中，，，
四边形的周长为：
．
故选：．
5、已知圆锥的顶点和底面圆周都在球面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为，则球的表面积等于　　
A． B． C． D．
5、【解答】解：圆锥的顶点和底面圆周都在球面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为，设母线为，所以，所以母线长为：，圆锥的底面周长为，底面半径为，圆锥的高为：，
设球的半径为：，可得，
解得，
球的表面积：．
故选：．
6、已知三棱锥中，，，则二面角的大小为（ ）．
A．30° B．60° C．90° D．120°
6、【答案】B
【详解】如图，若是中点，由题意知：，，
又，
∴面，故是二面角的平面角，
又，，故△为等边三角形.
∴.
7、如图正三棱柱的底面边长为，高为2，一只蚂蚁要从顶点沿三棱柱的表面爬到顶点，若侧面紧贴墙面（不能通行），则爬行的最短路程是（ ）
A． B． C．4 D．
7、【答案】A
【详解】将侧面与展开，如图：
连接，则.
将侧面与展开，如图：
连接，则
故选：A
8、若正四面体的所有棱长均为，则正四面体的　　
A．表面积为 B．高为
C．体积为 D．内切球半径为
8、【解答】解：根据题意，正四面体的所有棱长均为，
对于，，则其表面积，错误；
对于，设的中心为，易得面，则，则，正四面体的高为，错误；
对于，正四面体的，错误；
对于，设正四面体的内切球半径为，则有，解可得，正确；
故选：．
9、在正三棱柱中，是的中点，，则异面直线与所成的角为（ ）.
A．30° B．45° C．60° D．90°
9、【答案】C
【详解】取的中点，连接
∵是的中点，
∴即为异面直线与所成的角
连接，设，则
∴，，
则，∴
故选：C.
10、在边长为1的正方体中，，，，分别为，，，的中点，点从出发，沿折线匀速运动，点从出发，沿折线匀速运动，且点与点运动的速度相等，记，，，四点为顶点的三棱锥的体积为，点运动的路程为，在时，与的图象应为　　
A． B．
C． D．
10、【答案】C
【解析】解：（1）当时，点与点运动的速度相等根据下图得出：面把几何体分割为相等的几何体，，到面的距离为，
，
（2）当时，在上，在上，到，，
定值．
（3）当时，，到面的距离为，
，
故选：．
11、已知正六棱柱的每个顶点都在球O的球面上，且，，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
11、【答案】D
【详解】因为，所以正六边形ABCDEF外接圆的半径，
所以球O的半径，故球O的表面积为．
12、已知正四棱锥的底面边长为，侧棱PA与底面ABCD所成的角为45°，顶点P，A，B，C，D在球O的球面上，则球O的体积是（ ）
A．16π B． C．8π D．
12、【答案】B
【详解】在正四棱锥中，连接AC，BD，，连，如图，
则有平面，为侧棱PA与底面ABCD所成的角，即，
于是得，
因此，顶点P，A，B，C，D在以为球心，2为半径的球面上，即点O与重合，
所以球O的体积是.
故选：B
13、已知三棱锥的顶点都在球O的球面上，是边长为2的等边三角形，球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
13、【答案】B
【详解】设球的半径为，则
要使得三棱锥的体积的最大，需在过中心的垂直于平面的线上
设点到平面的距离为，中心到点的距离为
此时，即，解得或
即三棱锥的体积的最大值为
故选：B
14、(多选题)已知，是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是( )
A.若，，则 B.若，，，则
C.若，，，则
D.若，，且与不平行，，，则
14、【解答】解：对于A，若m⊥n，n∥α，可得m∥α或m α，m⊥α，故A错误；对于B，若m⊥α，n⊥β，α⊥β，由线面垂直的性质和面面垂直的定义，可得m⊥n，故B正确；对于C，若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，可得n β或n∥β或n，β相交，故C错误；对于D，若m α，n α，且m与n不平行，即m，n相交，由m∥β，n∥β，则α∥β，故D正确．故选：BD．
15、(多选题)圆锥内接一个正方体，现有一个平面截这个几何体，则截面图形可能是（ ）
A． B．
C． D．
15、【答案】ABD
【详解】对于A，沿图中所示位置作竖直截面，则截面图形如A所示，A正确；
对于B，按图中阴影所示作截面，则截面图形如B所示，B正确；
对于C，沿正方体面对角线（如图中位置）作轴截面，则截面图形中四边形应为矩形，如图所示，C错误；
对于D，正方体侧棱为，为底面弦的中点，按照平面作如图所示的截面，则截面图形如D所示，D正确.
16、(多选题)如图，在四面体中，截面是正方形，则在下列说法中，正确的为（ ）
A． B．截面
C． D．异面直线与所成的角为45°
16、【答案】BCD
【详解】因为截面是正方形 ，所以，
又平面，所以平面，
又平面,平面平面，
截面，故B正确；
同理可证
因为，所以，故C正确，
又，所以异面直线与所成的角为，故D正确
和 不一定相等，故A错误；
故选：A.
17、(多选题)如图，在直三棱柱中，，，，点是棱的中点，则下列说法正确的是( )（多选）
A.异面直线与所成的角为 B.在上存在点，使平面
C.二面角的大小为 D.
17、【解答】解：对于选项A，∵BC∥B1C1，∴∠MB1C1为异面直线BC与B1M所成的角，∵AB＝BC＝2，AC＝2，∴AB2+BC2＝AC2，即AB⊥BC，由直三棱柱的性质知，BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥BC，
又AB∩BB1＝B，AB、BB1 平面ABB1A1，∴BC⊥平面ABB1A1，∴B1C1⊥平面ABB1A1，∵B1M 平面ABB1A1，
∴B1C1⊥B1M，即∠MB1C1＝90°，故选项A正确；对于选项B，分别取B1C、BC的中点D、E，连接MD、DE、AE，则DE∥BB1，DE＝BB1，∵M为AA1的中点，∴AM＝AA1，∴DE＝AM，DE∥AM，∴四边形AMDE为平行四边形，∴MD∥AE，又MD 平面ABC，AE 平面ABC，∴MD∥平面ABC，即选项B正确；对于选项C，取AC的中点N，则BN⊥AC，∵BB1⊥平面ABC，∴∠BNB1即为二面角B1﹣AC﹣B的平面角，在Rt△BNB1中，tan∠BNB1＝＝＝，∴∠BNB1＝60°，即选项C正确；对于选项D，在△B1CM中，B1C＝，CM＝，B1M＝，∵B1C2≠B1M2+CM2，∴B1M不垂直CM，即选项D错误．故选：ABC．
18、(多选题)如图，正方体的棱长为1，E，F是线段上的两个动点，且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．平面ABCD
C．的面积与的面积相等 D．三棱锥的体积为定值
18、【答案】ABD
【详解】
由于，故平面，所以，所以A正确；
由于，所以平面，故B正确；
由于三角形和三角形的底边都是，而高前者是到的距离，后者是到的距离，这两个距离不相等，故C错误；
由于三棱锥的底面三角形的面积为定值.高是点到平面也即点到平面的距离也是定值，故三棱锥的体积为定值.故D正确.
故选：ABD
19、(多选题)如图，在四棱锥中，底面是正方形，且平面平面，则　　
A．可能为
B．若是等边三角形，则也是等边三角形
C．若是等边三角形，则异面直线和所成角的余弦值为
D．若是直角三角形，则平面
19、【解答】解：由题意，底面是正方形，所以，
又平面，平面平面，平面平面，
故平面．
对于，若，则，但，所以产生矛盾，则，故选项错误；
对于，若是等边三角形，则有，所以不是等边三角形，故选项错误；
对于，若是等边三角形，设边长为2，则，
因为，则即为异面直线与所成的角，
所以，故选项正确；
对于，当是以为直角的直角三角形时，平面，
当是以（或为直角的直角三角形时，与平面不垂直，故选项错误．
故选：．
20、已知四边形是等腰梯形（如图，，，，．将沿折起，使得（如图，连结，，设是的中点．下列结论中正确的是　　
A．
B．点到平面的距离为
C．平面
D．四面体的外接球表面积为
20、【解答】解：在图1中，过作，
，四边形是矩形，
，．
四边形是等腰梯形，，．
，．
连接，则，
，，得，则
在图2中，，，，平面．
平面，．
，平面．
若，又，，平面，
过一点与垂直的平面有两个，与过一点有且只有一个平面与已知直线垂直矛盾，故错误；
由，，得，又，
，而，
设点到平面的距离为，
由，得，
即，故正确；
假设平面，
，平面，平面，
平面，
又，平面平面，
而平面，平面，与平面平面矛盾．
假设不成立，故与平面不平行，故错误；
连接，
为△，为△，且为的中点，
，即为四面体的外接球的球心，
四面体的外接球的半径为，
则四面体的外接球表面积为，故正确．
故选：．
21、已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为1和2，其侧面积等于两底面积之和，则该正四棱台的高是　　．
【解答】解：设正四棱台的高为，斜高为，由题意可得，．
再由棱台的高、斜高、边心距构成直角梯形、可得，
故答案为：．
22、已知正四棱锥中，底面面积为16，一条侧棱的长为，则该棱锥的高为　　．
22、【解答】解：如图所示，正四棱锥中，底面面积为16，所以底面边长为；
由一条侧棱长为，过顶点作面，垂足为，取中点，连结、，
则，所以正四棱锥的斜高为：
；
所以正四棱锥的高为：
．
故答案为：6．
23、如图，是圆的直径，点是的中点．若，则图中阴影部分绕所在直线旋转一周形成的几何体的表面积等于　　．
23、【解答】解：图中阴影部分绕所在直线旋转一周所形成的几何体为圆锥与半球的组合体，
且圆锥的底面圆半径为1，高为1，所以母线长为，
所以圆锥的侧面积为，
球的半径为1，所以半球的表面积为，
所以该几何体的表面积为：
．
故答案为：．
24、如图，已知六棱锥的底面是正六边形，平面，，则下列结论中：
①；②平面平面；③直线平面；④．
其中正确的有　 　（把所有正确的序号都填上）．
24、【解答】解：对于①、由平面，平面，得，
又由正六边形的性质得，，得平面，又平面，
，①正确；
对于②、又平面平面，所以平面平面不成立，②错；
对于③、由正六边形的性质得，又平面，平面，直线平面也不成立，③错；
对于④、在中，，，④正确．
故答案为：①④
二、提高训练题
25、已知在中，斜边，，若将沿斜边上的中线折起，使平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
25、【解答】解：如图，设点为外接圆的圆心，则三棱锥外接球的球心一定在过点且与平面垂直的直线上，
不妨设点为外接圆的圆心，则平面，且，
过点作平面，则点为外接圆的圆心，在中，由余弦定理有，，
，
，
延长交于，连接，
，
为边长为1的正三角形，为中点，
，
由于平面平面，故四边形为矩形，则，
在中，，即，解得，
三棱锥的外接球的表面积为．
故选：．
26、在棱长为1的正方体中，点，分别是棱，的中点，是上底面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
26、【解答】解：如下图所示：
分别取棱、的中点、，连接，连接，
、、、为所在棱的中点，，，
，又平面，平面，
平面；
连接，由，，，，
可得，，则四边形为平行四边形，
则，而平面，平面，则平面．
又，平面平面．
又是上底面内一点，且平面，
点在线段上．
在△中，，
同理，在△中，求得，则为等腰三角形．
当在的中点时，最小为，
当与或重合时，最大为．
线段长度的取值范围是，．
故选：．
27、(多选题)如图，在棱长为6的正方体中，为棱上一点，且为棱的中点，点是线段上的动点，则（ ）
A．无论点在线段上如何移动，都有
B．四面体的体积为24
C．直线与所成角的余弦值为
D．直线与平面所成最大角的余弦值为
27、【答案】ABD
【解析】在正方体中，易证面又平面所以则A正确；
则B正确；在棱上取点使，连结如图则易知为直线与所成角或其补角，可得则则直线与所成角的余弦值为则C错误；
由题意知三棱锥为棱长为的正四面体，作平面为垂足，则为正的中心，且为直线与平面所成角，所以当点移动到的中点时最短，如图，此时最小，最大，此时则D正确.
故选：ABD
28、在三棱锥中，平面ABC，是边长为2的正三角形，，Q为三棱锥外接球球面上一动点，则点Q到平面PAB的距离的最大值为______
28、【答案】
【解析】令三棱锥外接球球心为O，正所在平面截球面所得小圆圆心为，连接，如图，
则平面ABC，而正边长为2，即有，
因平面ABC，则三棱锥外接球球心为O在过线段PA中点，且垂直于线段PA的平面内，
显然过线段PA中点垂直于线段PA的平面与平面ABC平行，则，
于是得球O的半径，
取PB中点，AB中点D，连接，
因是直角三角形，则是平面PAB截球O所得截面小圆圆心，因此，平面PAB，
而，，则平面ABC，必有，，于是得四边形是平行四边形，，
由球面的性质知，点Q是经过点的球面直径端点且球心在点与Q之间时，点Q到平面PAB的距离最大，
此最大距离为，
所以点Q到平面PAB的距离的最大值为.
29、已知三棱柱，侧棱底面，，分别是，的中点，且，，，过点作一个截面与平面平行，则截面的周长为　　．
29、【解答】解：如图，取的中点，分别在，上取点，，使，，
连接，，，．又，分别是，的中点，
．又，，，，
四边形为平行四边形，，，平面．
，，，，
平面又，平面平面．
又平面，，，分别是，的中点，，，
，，，
，．
在中，，，，
，，
平面的周长为，
即所求的截面周长为．
故答案为：．
30、在边长为4的正方体中，为棱上一点，过、、的平面将正方体的体积分成两部分，则下列说法正确的序号是　　．
①；
②平面截正方体所得的截面是一个面积等于的等腰梯形；
③异面直线和成的角；
④直线和平面成的角．
30、【解答】解：对于①，设，连接，过作，交于，连接，
，
整理得，解得，（舍去），
所以，所以①对；
②平面截正方体所得的截面是等腰梯形，过作于，过作于，
则四边形为矩形，，，，
截面面积等于，所以②对；
对于③，在上取点，使，连接，则，，假设异面直线和成的角，
则与成角，所以△为等边三角形，矛盾，所以③错；
对于④，假设④对，直线和平面成的角，因为平面平面，
所以直线和平面成的角，于是，所以，与矛盾，所以④错．
故答案为：①②．
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高一下学期期末复习导学案（七）
空间几何体与点线面的关系
知识归纳
1．空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似
侧棱 平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点
侧面形状 平行四边形 三角形 梯形
(2)旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点
轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆
侧面展开图 矩形 扇形 扇环
2．直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.
3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l
4．空间几何体的表面积与体积公式
　　名称几何体　　　　 表面积 体积
柱　体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底h
锥　体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底h
台　体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝4πR2 V＝πR3
5．平面的基本性质
基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内.
基本性质2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线.
6．空间点、直线、平面之间的位置关系
直线与直线 直线与平面 平面与平面
平行关系 图形语言
符号语言 a∥b a∥α α∥β
相交关系 图形语言
符号语言 a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l
独有关系 图形语言
符号语言 a，b是异面直线 a α
7．异面直线所成的角
(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)范围：.
8．直线和平面所成的角
(1)定义：一条斜线和它在平面内的射影所成的角叫做斜线和平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角.
(2)范围：.
9．二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；
(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.
(3)二面角的范围：[0，π].
典例分析
题型一、空间几何体的体积与表面积
【例1-1】如图所示(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.
【例1-2】冰激凌一直被众多青少年视为夏日解暑神器，图中冰激凌可近似地看作圆锥和半球的组合体，若圆锥部分的侧面展开图是面积为的半圆形，则该冰激凌的体积为　　
A． B．
C． D．
【例1-3】《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥为鳖臑，平面，，，则三棱锥的表面积为　 　．
【例1-4】如图所示的屋脊状楔体，下底面是矩形，假设屋脊没有歪斜，即的中点在底面上的投影为矩形的中心点．，，，，（长度单位：丈），则楔体的体积为　　（体积单位：立方丈）
A． B． C．8 D．5
题型二、点线面的位置关系
【例2-1】、是两个不重合的平面，在下列条件下，可判定的是( )
A．、都平行于直线、
B．内有三个不共线的点到的距离相等
C．、是内的两条直线且，
D．、是两条异面直线且，，，
【例2-2】已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则以下命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【例2-3】(多选题)如图，垂直于以为直径的圆所在平面，为圆上异于，的任意一点，垂足为，点是上一点，则下列判断中正确的是　　
A．平面
B．
C．
D．平面平面
题型三、空间中的角与距离的计算
【例3-1】如图，是平行四边形所在平面外一点，分别是的中点，若，，则异面直线与所成的角的大小为___________.
【例3-2】如下图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于，的一动点.若，，则直线与平面所成角的正切值是________.
【例3-3】如下图，面与面所成二面角的大小为，且A，B为其棱上两点．直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面中，且都垂直于AB，已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【例3-4】如图，已知点在圆柱的底面圆上，，圆的直径，圆柱的高.
（1）求点到平面的距离；
（2）求二面角的余弦值大小.
题型四、折叠问题
【例4-1】(多选题)如图，梯形中，，，，，将沿对角线折起.设折起后点的位置为，并且平面平面.给出下面四个命题正确的( )
A．
B．三棱锥的体积为
C．平面
D．平面平面
【例4-2】(多选题)如图，正方形的边长为1，，分别是，的中点，交于，现沿，及把这个正方形折成一个四面体，使，，三点重合，重合后的点记为，则在四面体中必有　　
A．平面
B．设线段的中点为，则平面
C．四面体的体积为
D．四面体的外接球的表面积为
题型五、动点问题
【例5-1】如图所示，在长方体中，，点E是棱上的一个动点，若平面交棱于点，给出下列命题：
①四棱锥的体积恒为定值；
②存在点，使得平面；
③对于棱上任意一点，在棱上均有相应的点，使得平面；
④存在唯一的点，使得截面四边形的周长取得最小值.
其中真命题的是____________．（填写所有正确答案的序号）
【例5-2】如图所示，正方体的棱长为2，E，F为，AB的中点，M点是正方形内的动点，若平面，则M点的轨迹长度为______．
【例5-3】(多选题)如图，在棱长为的正方体，点在线段上运动，则下列判断中正确的是( )
A．三棱锥的体积是
B．平面
C．平面与平面所成的二面角为
D．异面直线与所成角的范围是
题型六、截面问题
【例6-1】(多选题)正方体的棱长为2，已知平面，则关于截此正方体所得截面的判断正确的是（ ）
A．截面形状可能为正三角形 B．截面形状可能为正方形
C．截面形状可能为正六访形 D．截面面积最大值为
【例6-2】我国古代的数学著作《九章算术商功》中，将底面是直角三角形
的直三棱柱称为“堑堵”．在如图所示的“堑堵” 中，，、分别是和的中点，则平面截“堑堵” 所得截面图形的面积为　　
A． B．
C． D．
【例6-3】如图，长方体，中，，，点为的中点，为直线与平面的交点，则　　．
题型七、球的外接与内切
【例7-1】已知三棱锥中，为等边三角形，平面，若三棱锥的最长棱为，直线与平面所成角的余弦值为，则三棱锥的外接球表面积为　　
A． B． C． D．
【例7-2】由正三棱锥截得的三棱台的高为，，．若三棱台的各顶点都在球的球面上，则球的表面积为　　．
【例7-3】如图，在四棱锥的平面展开图中，四边形是边长为2的正方形，是以为斜边的等腰直角三角形，，则四棱锥外接球的球心到面的距离为　　
A． B． C． D．
【例7-4】已知圆台内有一个球，该球与此圆台的上下两个底面及母线都相切，若圆台的上，下两个底面的半径分别为1，4，那么这个球的体积为　 　．
【例7-5】已知点O到直三棱柱各面的距离都相等，球O是直三棱柱的内切球，若球O的表面积为，的周长为4，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
课后作业
基础训练题
1、已知直线，和平面，则　　
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
2、如图所示，已知直三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，则三棱锥B1－ABC1的体积为(　　)
A. B.
C. D.
3、若一个圆台如图所示，则其体积等于　　
A． B．
C． D．
4、如图所示，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为　　
A． B． C．8 D．4
5、已知圆锥的顶点和底面圆周都在球面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为，则球的表面积等于　　
A． B． C． D．
6、已知三棱锥中，，，则二面角的大小为( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
7、如图正三棱柱的底面边长为，高为2，一只蚂蚁要从顶点沿三棱柱的表面爬到顶点，若侧面紧贴墙面（不能通行），则爬行的最短路程是( )
A． B． C．4 D．
8、若正四面体的所有棱长均为，则正四面体的　　
A．表面积为 B．高为 C．体积为 D．内切球半径为
9、在正三棱柱中，是的中点，，则异面直线与所成的角为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
10、在边长为1的正方体中，，，，分别为，，，的中点，点从出发，沿折线匀速运动，点从出发，沿折线匀速运动，且点与点运动的速度相等，记，，，四点为顶点的三棱锥的体积为，点运动的路程为，在时，与的图象应为　　
A． B．
C． D．
11、已知正六棱柱的每个顶点都在球O的球面上，且，，则球O的表面积为( )
A． B． C． D．
12、已知正四棱锥的底面边长为，侧棱PA与底面ABCD所成的角为45°，顶点P，A，B，C，D在球O的球面上，则球O的体积是( )
A．16π B． C．8π D．
13、已知三棱锥的顶点都在球O的球面上，是边长为2的等边三角形，球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为( )
A． B． C． D．
14、(多选题)已知，是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是( )
A.若，，则
B.若，，，则
C.若，，，则
D.若，，且与不平行，，，则
15、(多选题)圆锥内接一个正方体，现有一个平面截这个几何体，则截面图形可能是( )
A． B． C． D．
16、(多选题)如图，在四面体中，截面是正方形，
则在下列说法中，正确的为( )
A．
B．截面
C．
D．异面直线与所成的角为45°
17、(多选题)如图，在直三棱柱中，，，，点是棱的中点，则下列说法正确的是( )
A.异面直线与所成的角为 B.在上存在点，使平面
C.二面角的大小为 D.
18、(多选题)如图，正方体的棱长为1，E，F是线段上的两个动点，且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．平面ABCD
C．的面积与的面积相等 D．三棱锥的体积为定值
19、(多选题)如图，在四棱锥中，底面是正方形，且平面平面，则下列结论错误的是　　
A．可能为
B．若是等边三角形，则也是等边三角形
C．若是等边三角形，则异面直线和所成角的余弦值为
D．若是直角三角形，则平面
20、(多选题)已知四边形是等腰梯形（如图，，，，．将沿折起，使得（如图，连结，，设是的中点．下列结论中正确的是　　
A．
B．点到平面的距离为
C．平面
D．四面体的外接球表面积为
21、已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为1和2，其侧面积等于两底面积之和，则该正四棱台的高是　 　．
22、已知正四棱锥中，底面面积为16，一条侧棱的长为，则该棱锥的高为　 　．
23、如图，是圆的直径，点是的中点．若，则图中阴影部分绕所在直线旋转一周形成的几何体的表面积等于　 　．
24、如图，已知六棱锥的底面是正六边形，平面，，则下列结论中：
①；②平面平面；③直线平面；④．
其中正确的有　 　（把所有正确的序号都填上）．
二、提高训练题
25、已知在中，斜边，，若将沿斜边上的中线折起，使平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
26、在棱长为1的正方体中，点，分别是棱，的中点，是上底面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
27、(多选题)如图，在棱长为6的正方体中，为棱上一点，且为棱的中点，点是线段上的动点，则（ ）
A．无论点在线段上如何移动，都有
B．四面体的体积为24
C．直线与所成角的余弦值为
D．直线与平面所成最大角的余弦值为
28、在三棱锥中，平面ABC，是边长为2的正三角形，，Q为三棱锥外接球球面上一动点，则点Q到平面PAB的距离的最大值为______
29、已知三棱柱，侧棱底面，，分别是，的中点，且，，，过点作一个截面与平面平行，则截面的周长为　 　．
30、在边长为4的正方体中，为棱上一点，过、、的平面将正方体的体积分成两部分，则下列说法正确的序号是　 　．
①；
②平面截正方体所得的截面是一个面积等于的等腰梯形；
③异面直线和成的角；
④直线和平面成的角．
高一下学期期末复习导学案（七）
空间几何体与点线面的关系参考答案
【例1-1】【解析】由题意知，所求几何体的表面积由三部分组成：圆台下底面、侧面和一半球面，
S半球＝8π cm2，S圆台侧＝35π cm2，S圆台底＝25π cm2，故所求几何体的表面积为68π cm2.
由V圆台＝×[π×22＋＋π×52]×4＝52π(cm3)，V半球＝π×23×＝π(cm3)，
所以所求几何体的体积为V圆台－V半球＝52π－π＝π(cm3).
【例1-2】【答案】A
【解析】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，
则，解得，则，
故该冰激凌的体积为．
【例1-3】【答案】
【解析】三棱锥为鳖臑，平面，，，
，，，，
三棱锥的表面积为：
．
【例1-4】【答案】D
【解析】将楔体分成一个三棱柱、两个四棱锥，
则立方丈，立方丈，
故立方丈．
【例2-1】【答案】D
【解答】对于A，当α∩β＝a，l∥m∥a时，不能推出α∥β；
对于B，当α∩β＝a，且在α内同侧有两点，另一侧一个点，三点到β的距离相等时，不能推出α∥β；
对于C，当l与m平行时，不能推出α∥β；
对于D，∵l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，∴α内存在两条相交直线与平面β平行，根据面面平行的判定，可得α∥β，故选：D．
【例2-2】【答案】D
【解析】对于A，若，，则或异面，故A错.
对于B，若，，则或异面或相交，故B错.
对于C，若，，则可平行于平面或在平面内或与平面相交，故C错误.
对于D，因为，故在平面存在直线，使得，而，
故，因为，故，故D正确.
【例2-3】【答案】ABD
【解析】在中，为圆上异于，的任意一点，
，，，平面，故正确；
在中，平面，平面，，
，，平面，
平面，，故正确；
在中若，则平面，则，与矛盾，
故与不垂直，故错误；在中，平面，面，
平面平面，故正确．
【例3-1】【答案】
【解析】取的中点，连接，
分别为的中点，，，
则即为直线与所成的角或其补角.
分别为的中点，，且.
在中，，，
直线与所成的角为.
【例3-2】【答案】
【解析】∵BC⊥面PAC，∴∠BPC为PB与平面PAC所成的角，PA＝AC＝1，AB＝2，
直线PB与平面PAC所成角的正切值：tan∠BPC＝．
【例3-3】【答案】B
【解析】如图，作，且，则四边形ABDE为平行四边形，
所以.因为，所以，
又，所以是该二面角的一个平面角，即，
由余弦定理.
因为，，所以，易得四边形ABDE为矩形，
则，而，所以平面ACE，则，于是.
【例3-4】【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）因为，，所以，
在中，由余弦定理可得：，
所以，，
在中，由余弦定理可得，
所，所以，
设点到平面的距离为，由，得，
即，解得：，
所以点到平面的距离为；
（2）二面角即二面角，
因为是圆的直径，点在圆柱的底面圆上，所以，
因为面，面，可得，因为，所以面，
因为面，面，所以，，
所以即为二面角的平面角，
在中，，，所以，
所以二面角的余弦值为.
【例4-1】【答案】CD
【解析】如图所示：为中点，连接
，，得到
又故为等腰直角三角形
平面平面， ，所以平面，
所以C正确
为中点，则平面 所以
如果，则可得到平面，故 与已知矛盾.故A错误
三棱锥的体积为 .故B错误
在直角三角形中，
在三角形中， 满足
又 所以平面，所以平面平面，故D正确
【例4-2】【答案】ABD
【解析】对于A，，，
平面，故正确；
对于B,由题意可易知是的中点，
又是的中点，则，
又平面，平面，
平面，故正确；
对于C,，，，
又平面，，，故错误；
对于D,，，两两垂直，且，，
三棱锥的外接球可看作棱长分别为，，1的长方体的外接球，
故外接球的直径，，
外接球的表面积为：，故正确．
【例5-1】【答案】①②④
【解析】对①,,
又三棱锥底面
不变,且因为∥底面,
故到底面的距离即上的高长度不变.
故三棱锥体积一定,即四棱锥的体积恒为定值,①正确.
对②,因为,且长方体,故四边形为正方形,
故.要平面则只需,又,故只需面.
又平面,故只需即可.因为,故当 时存在点,使得,即平面.故②正确.
对③,当在时总有与平面相交,故③错误.
对④,四边形的周长,分析即可.
将矩形沿着展开使得在延长线上时,此时的位置设为,则线段与的交点即为使得截面四边形的周长取得最小值时的唯一点.故④正确.
【例5-2】【答案】
【解析】如图所示，取的中点，的中点，
连接，，，．
可得：四边形是平行四边形，.
同理可得：．．
平面平面，
点是正方形内的动点，若平面.
点在线段上．点的轨迹长度．
【例5-3】【答案】AB
【解析】，A正确
由正方体的性质与面面平行的判定定理可得：平面DBC1∥平面AB1D1，
∴DP∥平面AB1D1，B正确．
由正方体的性质可得：DB1⊥平面ACD1，
∴平面PB1D与平面ACD1所成的二面角为90°．
∵AD1∥BC1，连接A1C1，A1B，可得△A1BC1为等边三角形，
可得A1P与BC1所成角的范围是，不正确．
【例6-1】【答案】ACD
【解析】如图，显然A,C成立，下面说明D成立，
如图设截面为多边形，设，则，
则
所以多边形的面积为两个等腰梯形的面积和，
所以
因为，
，
所以
当时，，故D成立。
【例6-2】【答案】A
【解析】延长，与的延长线交于点，则平面，
连结，与交于点，连结，
得到的四边形是平面截“堑堵” 所得截面图形，
由题意得，，，
截“堑堵” 所得截面图形面积为：
．
【例6-3】【答案】
【解析】找的六等分点，且．
易证，设，．
连接，则，，三点共线平面平面
，，易证，．
所以．
【例7-1】【答案】B
【解析】如图，在三棱锥中，为等边三角形，
平面，则为最长棱为，
又直线与平面所成角的余弦值为，
，则，．
是边长为1的等边三角形，设的外心为，
则，
设三棱锥的外接球的球心为，连接，则平面，．
三棱锥的外接球的半径为．
三棱锥的外接球表面积为．
【例7-2】【答案】
【解析】设三棱台的上底面的外接圆的圆心为，下底面的外接圆的圆心为，
则，为所在正三角形的中心，故三棱台的外接球的球心在上，
因为是边长为6的等边三角形，故，所以，
同理可得，
设三棱台的外接球的半径为，
在△中，，
在中，，
又三棱台的高为，
因为，所以，
故球心在的延长线上，
则，解得，
所以球的表面积为．
【例7-3】【答案】C
【解析】由平面图形还原原四棱锥如图，
该四棱锥底面为正方形，边长为2，侧面底面，
，则．
取的中点，则为的外心，连接、，相交于，
则平面，
可得，即为四棱锥的外接球的球心，
延长交于，则为的中点，连接，
在中，有，，
设到的距离为，则，即．
则四棱锥外接球的球心到面的距离为．
【例7-4】【答案】
【解析】画出圆台的轴截面，如图所示：
设内切圆的半径为，由题意可知，
且，，，
故可得，，
则，
过点作，在中，易知，
可得，
又因为，所以，故球的体积为，
【例7-5】【答案】B
【解析】设直三棱柱的高为h，AB＝c，BC＝a，AC＝b，内切球O的半径为r，则h＝2r，
由题意可知球O的表面积为，解得r＝2，∴h＝4，
又△ABC的周长为4，即a＋b＋c＝4，
∴连接OA，OB，OC，可将直三棱柱分成5个棱锥，
即三个以原来三棱柱侧面为底面，内切球球心为顶点的四棱锥，
两个以原来三棱柱底面为底面，内切球球心为顶点的的三棱锥，
∴由体积相等可得直三棱柱的体积为
h＝ahr＋bhr＋chr＋2×r，
即4＝（a＋b＋c）hr＋，∴＝，
∴三棱锥的体积为h＝×4×4＝．
课后作业
1、【答案】C
【解析】对于，若，，则或，故错误；
对于，若，，则或与异面，故错误；
对于，若，，则由线面垂直的性质得，故正确；
对于，若，，则与平行或，故错误．
2、【答案】A
【解析】＝－－＝.
3、【答案】．
【解析】由图可知，圆台的上底面半径，下底面半径，高，
则圆台的体积．
4、【答案】．
【解析】由斜二测画法的规则知与轴平行或重合的线段与轴平行或重合，其长度不变
与轴平行或重合的线段与轴平行或重合，其长度变成原来的一半，
正方形的对角线在的长度为，
如图，在平面图中四边形中，
对角线与轴重合，且其长度变为原来的2倍，即，
四边形中，，，
四边形的周长为：
．
5、【答案】．
【解析】圆锥的顶点和底面圆周都在球面上，
圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为，
设母线为，所以，所以母线长为：，
圆锥的底面周长为，底面半径为，圆锥的高为：，
设球的半径为：，可得，解得，
球的表面积：．
6、【答案】B
【解析】如图，若是中点，由题意知：，，
又，∴面，故是二面角的平面角，
又，，故△为等边三角形. ∴.
7、【答案】A
【解析】将侧面与展开，如图：
连接，则.
将侧面与展开，如图：
连接，则
故选：A
8、【答案】D
【解析】根据题意，正四面体的所有棱长均为，
对于，，
则其表面积，错误；
对于，设的中心为，易得面，则，
则，正四面体的高为，错误；
对于，正四面体的，错误；
对于，设正四面体的内切球半径为，
则有，解可得，正确．
9、【答案】C
【解析】取的中点，连接,∵是的中点，
∴即为异面直线与所成的角
连接，设，则
∴，，,则，∴
10、【答案】C
【解析】（1）当时，点与点运动的速度相等根据下图得出：面把几何体分割为相等的几何体，，到面的距离为，
，
（2）当时，在上，在上，到，，
定值．
（3）当时，，到面的距离为，
，故选：．
11、【答案】D
【解析】因为，所以正六边形ABCDEF外接圆的半径，
所以球O的半径，故球O的表面积为．
12、【答案】B
【解析】在正四棱锥中，连接AC，BD，，连，如图，则有平面，为侧棱PA与底面ABCD所成的角，
即，于是得，
因此，顶点P，A，B，C，D在以为球心，2为半径的球面上，
即点O与重合，所以球O的体积是.
13、【答案】B
【解析】设球的半径为，则
要使得三棱锥的体积的最大，需在过中心的垂直于平面的线上
设点到平面的距离为，中心到点的距离为
此时，即，解得或
即三棱锥的体积的最大值为
14、【答案】BD
【解析】对于A，若m⊥n，n∥α，可得m∥α或m α，m⊥α，故A错误；对于B，若m⊥α，n⊥β，α⊥β，由线面垂直的性质和面面垂直的定义，可得m⊥n，故B正确；对于C，若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，可得n β或n∥β或n，β相交，故C错误；对于D，若m α，n α，且m与n不平行，即m，n相交，由m∥β，n∥β，则α∥β，故D正确．
15、【答案】ABD
【解析】对于A，沿图中所示位置作竖直截面，则截面图形如A所示，A正确；
对于B，按图中阴影所示作截面，则截面图形如B所示，B正确；
对于C，沿正方体面对角线（如图中位置）作轴截面，则截面图形中四边形应为矩形，如图所示，C错误；
对于D，正方体侧棱为，为底面弦的中点，按照平面作如图所示的截面，则截面图形如D所示，D正确.
16、【答案】BCD
【解析】因为截面是正方形 ，所以，
又平面，所以平面，
又平面,平面平面，
截面，故B正确；
同理可证
因为，所以，故C正确，
又，所以异面直线与所成的角为，故D正确
和 不一定相等，故A错误；
17、【答案】ABC
【解析】对于选项A，∵BC∥B1C1，∴∠MB1C1为异面直线BC与B1M所成的角，
∵AB＝BC＝2，AC＝，∴AB2+BC2＝AC2，即AB⊥BC，由直三棱柱的性质知，BB1⊥平面ABC，
∴BB1⊥BC，又AB∩BB1＝B，AB、BB1 平面ABB1A1，∴BC⊥平面ABB1A1，
∴B1C1⊥平面ABB1A1，∵B1M 平面ABB1A1，∴B1C1⊥B1M，即∠MB1C1＝90°，故选项A正确；
对于选项B，分别取B1C、BC的中点D、E，连接MD、DE、AE，则DE∥BB1，DE＝BB1，
∵M为AA1的中点，∴AM＝AA1，∴DE＝AM，DE∥AM，∴四边形AMDE为平行四边形，
∴MD∥AE，又MD 平面ABC，AE 平面ABC，∴MD∥平面ABC，即选项B正确；
对于选项C，取AC的中点N，则BN⊥AC，∵BB1⊥平面ABC，
∴∠BNB1即为二面角B1﹣AC﹣B的平面角，在Rt△BNB1中，tan∠BNB1＝，
∴∠BNB1＝60°，即选项C正确；对于选项D，在△B1CM中，B1C＝，CM＝，B1M＝，∵B1C2≠B1M2+CM2，∴B1M不垂直CM，即选项D错误．
18、【答案】ABD
【解析】由于，故平面，
所以，所以A正确；
由于，所以平面，故B正确；
由于三角形和三角形的底边都是，
而高前者是到的距离，后者是到的距离，
这两个距离不相等，故C错误；
由于三棱锥的底面三角形的面积为定值.高是点到平面也即点到平面的距离也是定值，
故三棱锥的体积为定值.故D正确.
19、【答案】ABD
【解析】由题意，底面是正方形，所以，
又平面，平面平面，平面平面，故平面．
对于，若，则，但，所以产生矛盾，则，故选项错误；
对于，若是等边三角形，则有，所以不是等边三角形，故选项错误；
对于，若是等边三角形，设边长为2，则，
因为，则即为异面直线与所成的角，
所以，故选项正确；
对于，当是以为直角的直角三角形时，平面，
当是以（或为直角的直角三角形时，与平面不垂直，故选项错误．
20、【答案】BD
【解析】在图1中，过作，
，四边形是矩形，，．
四边形是等腰梯形，，．
，．连接，则，
，，得，则
在图2中，，，，平面．
平面，．，平面．
若，又，，平面，
过一点与垂直的平面有两个，与过一点有且只有一个平面与已知直线垂直矛盾，故错误；
由，，得，又，，而，
设点到平面的距离为，
由，得，
即，故正确；
假设平面，
，平面，平面，
平面，
又，平面平面，
而平面，平面，与平面平面矛盾．
假设不成立，故与平面不平行，故错误；
连接，为△，为△，且为的中点，
，即为四面体的外接球的球心，
四面体的外接球的半径为，
则四面体的外接球表面积为，故正确．
21、【答案】
【解析】设正四棱台的高为，斜高为，由题意可得，．
再由棱台的高、斜高、边心距构成直角梯形、可得，
22、【答案】6
【解析】如图所示，正四棱锥中，
底面面积为16，所以底面边长为；
由一条侧棱长为，过顶点作面，
垂足为，取中点，连结、，
则，所以正四棱锥的斜高为：
；
所以正四棱锥的高为：
．
23、【答案】
【解析】图中阴影部分绕所在直线旋转一周所形成的几何体为圆锥与半球的组合体，
且圆锥的底面圆半径为1，高为1，所以母线长为，
所以圆锥的侧面积为，
球的半径为1，所以半球的表面积为，
所以该几何体的表面积为：．
24、【答案】①④
【解析】对于①、由平面，平面，得，
又由正六边形的性质得，，得平面，又平面，
，①正确；
对于②、又平面平面，所以平面平面不成立，②错；
对于③、由正六边形的性质得，又平面，平面，直线平面也不成立，③错；
对于④、在中，，，④正确．
25、【答案】A
【解析】如图，设点为外接圆的圆心，则三棱锥外接球的球心一定在过点且与平面垂直的直线上，
不妨设点为外接圆的圆心，则平面，且，
过点作平面，则点为外接圆的圆心，
在中，由余弦定理有，
，
，，
延长交于，连接，，
为边长为1的正三角形，为中点，，
由于平面平面，故四边形为矩形，则，
在中，，即，解得，
三棱锥的外接球的表面积为．
26、【答案】B
【解析】如下图所示：分别取棱、的中点、，连接，连接，
、、、为所在棱的中点，
，，
，又平面，平面，
平面；
连接，由，，，，
可得，，则四边形为平行四边形，
则，而平面，平面，
则平面．
又，平面平面．
又是上底面内一点，且平面，
点在线段上．
在△中，，
同理，在△中，求得，则为等腰三角形．
当在的中点时，最小为，
当与或重合时，最大为．
线段长度的取值范围是，．
27、【答案】ABD
【解析】在正方体中，易证面
又平面所以则A正确；
则B正确；
在棱上取点使，连结如图
则易知为直线与所成角或其补角，
可得则
则直线与所成角的余弦值为则C错误；
由题意知三棱锥为棱长为的正四面体，
作平面为垂足，则为正的中心，
且为直线与平面所成角，
所以
当点移动到的中点时最短，如图，此时最小，最大，此时则D正确.
28、【答案】
【解析】令三棱锥外接球球心为O，
正所在平面截球面所得小圆圆心为，连接，
如图，则平面ABC，而正边长为2，即有，
因平面ABC，则三棱锥外接球球心为O在过线段PA中点，
且垂直于线段PA的平面内，
显然过线段PA中点垂直于线段PA的平面与平面ABC平行，
则，
于是得球O的半径，
取PB中点，AB中点D，连接，
因是直角三角形，则是平面PAB截球O所得截面小圆圆心，因此，平面PAB，
而，，则平面ABC，必有，，
于是得四边形是平行四边形，，
由球面的性质知，点Q是经过点的球面直径端点且球心在点与Q之间时，
点Q到平面PAB的距离最大，此最大距离为，
所以点Q到平面PAB的距离的最大值为.
29、【答案】
【解析】如图，取的中点，分别在，上取点，，使，，
连接，，，．又，分别是，的中点，
．又，，，，
四边形为平行四边形，
，，平面．
，，，，
平面又，
平面平面．
又平面，，
，分别是，的中点，，，
，，
，
，
．
在中，，，，
，，
平面的周长为，
即所求的截面周长为．
30、【答案】①②
【解析】对于①，设，连接，过作，交于，连接，
，
整理得，解得，（舍去），
所以，所以①对；
②平面截正方体所得的截面是等腰梯形，过作于，过作于，
则四边形为矩形，，，，
截面面积等于，所以②对；
对于③，在上取点，使，连接，则，，
假设异面直线和成的角，
则与成角，所以△为等边三角形，矛盾，所以③错；
对于④，假设④对，直线和平面成的角，
因为平面平面，
所以直线和平面成的角，于是，
所以，与矛盾，所以④错．
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