资源简介

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高一下学期期末复习导学案（八）
统计与概率
知识归纳
一、获取数据的基本途径及抽样方法
1．获取数据的基本途径
获取数据的基本途径包括：统计报表和年鉴、社会调查、试验设计、普查和抽样、互联网等.
(1)统计报表是指各级企事业、行政单位按规定的表格形式、内容、时间要求报送程序，自上而下统一布置，提供统计资料的一种统计调查方式.
(2)年鉴是以全面、系统、准确地记述上年度事物运动、发展状况为主要内容的资料性工具书.汇辑一年内的重要时事、文献和统计资料，按年度连续出版的工具书.
2．总体、样本、样本容量
要考察的对象的全体叫做总体，每一个考察对象叫做个体，从总体中被抽取的考察对象的集体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量.
3．简单随机抽样
(1)定义：从元素个数为N的总体中不放回地抽取容量为n的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样.
(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法.
(3)应用范围：总体中的个体数较少.
4．分层抽样
(1)定义：在抽样时，将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样.
(2)应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样.
二、用样本估计总体及统计图表
1．频率分布直方图
(1)频率分布表的画法：
第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝；
第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，
最后一组取闭区间；
第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表.
(2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图(如图)
横轴表示样本数据，纵轴表示，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率.
2．频率分布折线图和总体密度曲线
(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图.
(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.
3．样本的数字特征
数字特征 定义
众数 在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数
中位数 将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数
平均数 样本数据的算术平均数，即＝
方差 s2＝[(x1－)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]，其中s为标准差
4．百分位数
如果将一组数据从小到大排序，并计算相应的累计百分位，则某一百分位所对应数据的值就称为这一百分位的百分位数.可表示为：一组n个观测值按数值大小排列.如，处于p%位置的值称第p百分位数.
三、事件与概率
1．样本点和样本空间
随机试验的每一个可能的结果称为样本点，记作ω；随机试验的所有样本点组成的集合称为样本空间，记作Ω.
2．概率与频率
(1)概率定义：在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率，当n很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A).
(2)概率与频率的关系：概率可以通过频率来“测量”，频率是概率的一个近似.
3．事件的关系与运算
定义 符号表示
包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) B A(或A B)
相等关系 若B A且A B A＝B
并事件(和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B)
交事件(积事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB)
互斥事件 若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 A∩B＝
对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝ P(A∪B)＝1
4．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率P(F)＝0.
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B).
四、古典概型
1．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的.
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
2．古典概型
具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型.
(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果.
(2)每一个试验结果出现的可能性相同.
3．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝.
4．古典概型的概率公式
P(A)＝.
五、事件的相互独立性
1．相互独立事件的定义
对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．
2．相互独立事件的性质
当事件A，B相互独立时，则事件A与事件相互独立，事件与事件B相互独立，事件与事件相互独立．
典例分析
题型一、随机抽样
【例1】今年月初，某市采取了鼓励地摊经济的做法，该市各区的地摊的摊位数和食品摊位比例分别如图、图所示，现用分层随机抽样的方法抽取的摊位进行调查，则抽取的样本容量与区被抽取的食品摊位数分别为( )
A.，
B.，
C.，
D.，
【例1】【解答】解：根据图1知，抽取5%的摊位时，抽取的样本容量为（1000+800+1000+1400）×5%＝210，
则抽取的样本容量中A区被抽取的食品摊位数为1000×5%×0.48＝24．故选：A．
题型二、频率分布直方图
【例2】(多选题)从某小学随机抽取名学生，将他们的身高(单位：厘米)按照区间，，，，进行分组，到频率分布直方图(如图).下列说法正确的有( )
A.若要从身高在，，三组内的学生中，用等比例分层抽样的方法选取人参加一项活动，则从身高在内的学生中应选取人
B.估计这名学生的平均身高是(厘米)
C.估计这名学生的第百分位数为(厘米)
D.估计这名学生的众数是(厘米)
【例2】【解答】解：选：ACD.
题型三、方差与标准差
【例3】(1)某班有50名学生，在一次考试中统计出平均分数为70，方差为75，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，更正后平均分和方差分别是（　　）
A．70，51 B．70，50 C．65，25 D．70，24
(2)若数据的平均数为，标准差为，则，，…，的平均数和标准差分别为( )
A.， B.， C.， D.，
【例3】(1)【解答】解：根据题意，设更正前甲的成绩为a1，乙的成绩为a2，剩下48人的成绩依次为a3，a4，…，a50，若更正前的平均分数为70，方差为75，
则a1+a2+…+a50＝50×70，即50+100+a3+…+a50＝50×70，则有a3+…+a50＝50×70﹣150，
（a1﹣70）2+（a2﹣70）2+…+（a50﹣70）2＝50×75，即402+302+（a3﹣70）2+…+（a50﹣70）2＝50×75，则有（a3﹣70）2+…+（a50﹣70）2＝50×75﹣202﹣302，更正后的平均分＝＝70，方差为S2＝[（a3﹣70）2+…+（a50﹣70）2+（50﹣70）2+（100﹣70）2+100﹣202﹣302]＝75﹣24＝51；故故选A.
(2)【解答】解：选：D．
题型四、互斥事件与对立事件
【例4】(1)从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品，设A={三件产品全不是次品}，B={三件产品全是次品}，C={三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论中错误的是（ ）
A．A与C互斥 B．B与C互斥
C．任何两个都互斥 D．任何两个都不互斥
【例4】(2)如果事件A，B互斥，那么（ ）
A．A∪B是必然事件
B．A的对立事件与B的对立事件的和事件是必然事件
C．A的对立事件与B的对立事件是互斥事件
D．A的对立事件与B的对立事件不是互斥事件
【例4】(1)【答案】D
【详解】
由题意知事件A，B，C两两不可能同时发生，因此两两互斥.
故答案选：D
(2)【答案】B
【详解】
A. 因为事件A，B互斥，若对立，则A∪B是必然事件，若不对立，则A∪B不是必然事件，故错误；
B. A的对立事件与B的对立事件的和事件是必然事件，故正确；
C. 若事件A，B互斥，不对立，则 A的对立事件与B的对立事件不是互斥事件，故错误；
D. 若事件A，B互斥，且对立，则A的对立事件与B的对立事件是对立事件，故错误；
故选：B
题型五、古典概型
【例5】(1)从含有件正品件次品的件产品中，任意取出件产品，则取出的件产品中至少有一件次品的概率为（ ）
A． B． C． D．
(2)某校新生分班，现有A、B、C三个不同的班，甲和乙两名学生将被分到这三个班，每名学生分到各班的可能性相同，则这两名学生被分到同一个班的概率为______．
(3)保险柜的密码由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的四个数字组成，假设一个人记不清自己的保险柜密码，只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列，则最多输入2次就能开锁的概率是（ ）
A． B． C． D．
【例5】(1)【答案】A
【详解】设3件正品为，2件次品为，则任意取出件产品的情况有
共10种，
其中至少有一件次品的情况有共7种，
则取出的件产品中至少有一件次品的概率为.
故选：A.
(2)【答案】
【详解】由题设，每个学生分到不同班都有3种可能，甲和乙两名学生共有种分法，而两名学生被分到同一个班有3种可能，所以两名学生被分到同一个班的概率为.
故答案为：
(3)【答案】C
【详解】密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列的结果有：，，共5个，它们等可能，
最多输入2次就能开锁的事件A，它是输入1次能开锁的事件，第2次输入才能开锁的事件的和，它们互斥，，，则，
最多输入2次就能开锁的概率是.
题型六、独立事件的概率
【例6】(1)若随机事件满足，，，则事件与的关系是（ ）
A．互斥 B．相互独立 C．互为对立 D．互斥且独立
(1)【答案】B
【详解】因为， ，
又因为，所以有，所以事件与相互独立，不互斥也不对立
故选：B.
(2)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，，一辆车从甲地到乙地，恰好遇到2个红灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
(2)【答案】B
【详解】由各路口信号灯工作相互独立，可得某人从甲地到乙地恰好遇到2次红灯的概率：
．
故选：B．
(3)甲乙两队进行羽毛球决赛，甲队只要再胜一局就获得冠军，乙队需要再胜两局才能获得冠军，若每局甲队获胜的概率为，则甲队获得冠军的概率为（ ）
A． B． C． D．
(3)【答案】D
【详解】由已知得甲对获胜可能以下分为两种情况：
①第一局甲队获胜，此时的概率为；
②第一局乙队获胜，第二局甲队获胜，此时的概率为，
综上所述，甲队获胜的概率为，
故选：D.
(4)在如图所示的电路图中，开关a，b，c闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是（ ）
A． B． C． D．
(4)【答案】B
【详解】设开关a，b，c闭合分别为事件A，B，C，灯亮为事件E，
则灯亮这一事件，
且A，B，C相互独立，，，两两互斥，
∴
，
故选：B.
(5)甲，乙，丙三个同学独立求解同一道数学题，他们各自解出该数学题的概率分别为，则这道数学题被解出来的概率为_________．
(5)【答案】
【详解】设这道数学题被解出来的事件为，
则这道数学题被解出来的概率为.
故答案为：.
(6)有5把外形一样的钥匙，其中3把能开锁，2把不能开锁．现准备通过一一试开将其区分出来，每次随机抽出一把进行试开，试开后不放回，则恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的概率为　　
A． B． C． D．
(6)【解答】解：有5把外形一样的钥匙，其中3把能开锁，2把不能开锁．现准备通过一一试开将其区分出来，
每次随机抽出一把进行试开，试开后不放回，
恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的情况为3种：
①前三把都能开锁，②第一把不能开锁，第二把能开锁，第三把不能开锁，
③第一把能开锁，第二把不能开锁，第三把不能开锁，
恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的概率为：
．
故选：．
题型七、概率统计综合问题
【例7】饮用水水源的安全是保障饮用水安全的基础.2021年5月13日下午，习近平总书记在河南省南阳市先后考察了陶岔渠首枢纽工程、丹江口水库，听取南水北调中线工程建设管理运行和水源地生态保护等情况介绍.为了提高节约用水意识，培优联盟从参加冬季联赛的学生中随机选取100人的节约用水知识竞赛成绩作为样本，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值，并估计此次参赛学生成绩的平均分（同一组数据用该组区间的中点值代表）；
(2)在该样本中，若采用分层抽样方法，从成绩低于65分的学生中随机抽取6人调查他们的答题情况，再从这6人中随机抽取3人进行深入调研，求这3人的成绩全部不低于55分的概率.
【答案】(1)，；(2).
(1)根据频率分布直方图得到，
解得，
估计此次参赛学生的平均成绩为，
所以；
(2)根据频率分布直方图得到，成绩在内的频率分别为0.05，0.25，
所以采用分层抽样的方法从样本中抽取的6人，成绩在内的有1人，记为，成绩在内的有5人，分别记为，
从这6人中随机抽取3人，所有可能的结果为，共20种；
这3人的成绩全部在 内的有，共10种，
所以这3人的成绩全部不低于55分的概率为.
【例8】甲 乙两支足球队进行罚点球比赛，约定每轮两队各罚一球，如果有一方罚进点球而另一方罚丢，那么罚进点球的一方获胜，如果两队都罚进或都罚丢则进行下一轮，直到有一方获胜或双方都已罚3球时比赛结束.设两队每次罚进的概率均为，且各次罚球互不影响.
(1)求双方各罚1球后比赛结束的概率；
(2)求甲队获胜的概率.
【例8】【答案】(1)(2)
(1)设事件“甲队第k轮点球罚进”，其中k=1，2，3；
事件“乙队第k轮点球罚进”，其中k=1，2，3.
设事件C=“双方各罚1球后比赛结束”，
则
.
(2)设事件E=“甲队获胜”，
则
.
【例9】乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域，乙被划分为两个不相交的区域.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在上记3分，在上记1分，其它情况记0分.对落点在上的来球，小明回球的落点在上的概率为，在上的概率为；对落点在上的来球，小明回球的落点在上的概率为，在上的概率为.假设共有两次来球且落在上各一次，小明的两次回球互不影响.求：
（1）小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
（2）两次回球结束后，小明得分之和有几种情况，并求出每一种情况的概率.
【例9】【解】（1）设恰有一次的落点在乙上这一事件为，
（2）
课后作业
基础训练题
1、2022年北京冬奥会于2月4日开幕，某高中为了解本校学生收看开幕式的平均时长（单位：分钟），采用样本量比例分配的分层随机抽样，分别抽取了男生60人、女生40人，其平均收看时长分别为120分钟和90分钟，据此估计本校全体学生的平均收看时长为（ ）
A．90分钟 B．105分钟 C．108分钟 D．120分钟
1、【答案】C
【详解】依题意估计本校全体学生的平均收看时长为（分钟）
2、为了解某城市的降水情况，根据历年数据，绘制了如图所示的一年中各月平均降水量（单位：）的柱形图.下列描述正确的是（ ）
A．逐月比较，五月的月平均降水量的增加量最明显
B．一年中的前四个月的平均降水量与最后四个月的平均降水量相同
C．前九个月的月平均降水量成增加的趋势
D．月月这四个月的平均降水量高于
2、【答案】D
【详解】对于A，逐月比较，六月的月平均降水量的增加量最明显，A错误；
对于B，一年中的前四个月的平均降水量小于最后四个月的平均降水量，B错误；
对于C，前九个月的月平均降水量成先增后减的趋势，C错误；
对于D，月和月的平均降水量为和，月和月的平均降水量均高于，则四个月的平均降水量高于，D正确.
3、2022年2月28日，国家统计局发布了我国国民经济和社会发展统计公报，下面两图分别显示的是2017~2021全国居民人均可支配收入及其增长速度和2021年全国居民人均消费支出及其构成，则下列说法正确的是（ ）
A．2021年全国居民人均可支配收入为35128元，比上年实际增长
B．2017年~2021年五年时间，全国居民人均可支配收入逐年增加，比上年实际增长先减小后增大
C．2021年全国居民人均消费支出，食品烟酒和居住占比不足
D．2021年全国居民人均消费支出，教育文化娱乐占比最小
3、【答案】B
【详解】对于A，2021年全国居民人均可支配收入为35128元，2020年全国居民人均可支配收入为32189元，所以2021年比2020年增长，所以A错误，
对于B，由统计图可知2018全国居民人均可支配收入比2017增长，
2019全国居民人均可支配收入比2018增长，
2020全国居民人均可支配收入比2019增长，
2021全国居民人均可支配收入比2020增长，
所以2017年~2021年五年时间，全国居民人均可支配收入逐年增加，比上年实际增长先减小后增大，所以B正确，
对于C，2021年全国居民人均消费支出，食品烟酒和居住占比为，所以C错误，
对于D，由右图可知，2021年全国居民人均消费支出，其他用品及服务占比最小，为，所以D错误，
故选：B
4、某校名学生参加数学竞赛，随机抽取了名学生的考试成绩(单位：分).成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是( )
A.频率分布直方图中的值为
B.估计这名学生数学考试成绩的第百分位数为
C.估计这名学生数学考试成绩的众数为
D.估计总体中成绩落在内的学生人数为
4、【解答】解：对于A，由频率分布直方图的性质得：（2a+3a+7a+6a+2a）×10＝1，解得a＝0.005，故A错误；对于B，[50，80）的频率为：10（2a+3a+7a）＝10×12×0.005＝0.6，∴估计这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80，故B正确；对于C，估计这20名学生数学考试成绩的众数为：＝75，故C错误；对于D，估计总体中成绩落在[60，70）内的学生人数为：3×0.005×10×1000＝150，故D错误．故选：B．
5、从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A．至少有一个黑球与都是黑球
B．至少有一个黑球与至少有一个红球
C．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球
D．至少有一个黑球与都是红球
5、【答案】C
【详解】A：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，这两个事件不是互斥事件，故错误；
B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，故错误；
C：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，两个事件是互斥事件但不是对立事件，故正确
D：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，
这两个事件是对立事件，故错误；
故选：C
6、某省在新的高考改革方案中规定：每位考生的高考成绩是按照3（语文、数学、英语）（物理、历史）选（化学、生物、地理、政治）选2的模式设置的，则某考生选择全理科的概率是（ ）
A． B． C． D．
6、【答案】D
【详解】在2（物理，历史）选（化学、生物、地理、政治）选2中，
选物理的有6种，分别为：
物化生、物化地、物化政、物生地、物生政、物地政，
同时，选历史的也有6种，共计12种，
其中选择全理科的有1种，
某考生选择全理科的概率是.
7、有一列数.现进行如下分组：第一组有个数，为；第二组有个数，为，；第三组有个数，为，，，；第四组有个数，为，，，，，，，；…；依此类推.若从第七组中随机抽取一个数，则这个数是的倍数的概率是（ ）
A． B． C． D．
7、【答案】C
【详解】由题意可得前六组共有个数，第七组共有个数，分别为，其中是的倍数的数为，共个，故所求概率.
故选：C
8、《易经》是中国文化中的精髓，下图是易经八卦图(含乾 坤 巽 震 坎 离 艮 兑八卦)，每一卦由三根线组成( 表示一根阳线，表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有根阳线的概率（ ）
A． B． C． D．
8、【答案】A
【详解】从八卦中任取一卦，基本事件总数n=8，
这一卦的三根线中恰有根阳线包含的基本事件个数m=1
故这一卦的三根线中恰有根阳线的概率
9、米接力赛是田径运动中的集体项目.一根小小的木棒，要四个人共同打造一个信念，一起拼搏，每次交接都是信任的传递.甲 乙 丙 丁四位同学将代表高一年级参加校运会米接力赛，教练组根据训练情况，安排了四人的交接棒组合.已知该组合三次交接棒失误的概率分别是，，，假设三次交接棒相互独立，则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是（ ）
A． B．
C． D．
9、【答案】C
【详解】由题意，三次交接棒不失误的概率分别为：，则该组合不失误的概率为：.
10、一个旅行团到漳州旅游,有百花村与云洞岩两个景点可选择,该旅行团选择去哪个景点相互独立,若旅行团选择两个景点都去的概率是,只去百花村不去云洞岩与只去云洞岩不去百花村的概率相等,则选择去百花村的概率是
A． B． C． D．
10、【答案】A
【详解】用事件A表示“旅行团选择去百花村”,事件B表示“旅行团选择去云洞岩”,则,.设,,则解得(负值舍去),故选择去百花村的概率是.
11、(多选题)为监测某化工厂排放废气对周边空气质量指数的影响，某科学兴趣小组在校内测得月日—日指数的数据并绘成折线图如下：下列叙述不正确的是（ ）
A．这天中指数值的中位数略大于
B．这天中的空气质量为优的天数占(指数不超过50时空气质量为优)
C．月日到月日，空气质量越来越好
D．总体来说，月中旬的空气质量比上旬的空气质量好
11、【答案】ACD
【详解】这天中指数值中低于100的数据有10个，高于100的数据有10个，结合折线图可得这天中指数值的中位数略大于100，A错，
这天中指数值中小于等于50的天数为5，故这天中的空气质量为优的天数占，B对，
月日到月日期间指数值总体变换趋势是越来越大的，故空气质量越来越差,C错，
总体来说，月中旬的空气质量指数比上旬的空气质量指数高，故总体来说，月中旬的空气质量比上旬的空气质量坏，D错，
故选：ACD.
12、(多选题)经过简单随机抽样获得的样本数据为，，…，，且数据，，…，的平均数为，方差为，则下列说法正确的是( )
A.若数据，，…，，方差，则所有的数据都为
B.若数据，，…，的平均数为，则数据的平均数为
C.若数据，，…，的中位数为，则可以估计总体中有至少有的数据不大于
D．若数据x1，x2，…，xn，的众数为78，则可以说总体中的众数为78
12、【解答】解：对于A，数据x1，x2，…，xn的方差为s2＝0，则所有的数据xi（i＝1，2，…，n）相同，即x1＝x2＝ ＝xn，所以选项A正确；
对于B，数据x1，x2，…，xn的均值为3，则数据yi＝2xi+1（i＝1，2，…，n）的均值为＝2×3+1＝7，所以选项B错误；
对于C，数据x1，x2，…，xn的中位数为90，则可以估计总体中有至少有50%的数据不大于90，符合百分位数的定义，选项C正确；
对于D，样本数据具有随机性，所以样本的众数不一定是总体的众数，选项D错误．故选：AC．
13、(多选题)下列说法正确的是( )
A.用简单随机抽样的方法从含有个个体的总体中抽取一个容量为的样本，则个体被抽到的概率是；
B.已知一组数据，，，，的平均数为，则这组数据的方差是；
C.数据，，，，，，，的第百分位数是；
D.若样本数据的标准差为，则的标准差为
13、【解答】解：对于A，用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，
则个体m被抽到的概率是p＝＝0.1，故A正确；
对于B，一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则m＝4×5﹣1﹣2﹣6﹣7＝4，则这组数据的方差是：
s2＝[（1﹣4）2+（2﹣4）2+（4﹣4）2+（6﹣4）2+（7﹣4）2]＝，故B错误；
对于C，8个数据70百分数为8×70%＝5.6≈6，∴第70百分位数为第6个数为23，故C正确；
对于D，∵样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，
则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为＝16，故D正确．故答案为：ACD．
14、某学校成立了数学 英语 音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.现随机选取一个成员，则（ ）
A．他只属于音乐小组的概率为 B．他只属于英语小组的概率为
C．他属于至少2个小组的概率为 D．他属于不超过2个小组的概率为
14、【解析】由题图知参加兴趣小组的共有6+7+8+8+10+10+11=60人，
只属于数学 英语 音乐小组的人数分别为10，6，8人，
故只属于音乐小组的概率为，
只属于英语小组的概率为，
“至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，
故他属于至少2个小组的概率为，
“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，
其对立事件是“3个小组”.故他属于不超过2个小组的概率是.
故选：CD.
15、已知甲罐中在四个相同的小球，标号1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6．现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件 “抽取的两个小球标号之和大于5”，事件 “抽取的两个小球标号之积大于8”，则　　
A．事件发生的概率为
B．事件发生的概率为
C．事件发生的概率为
D．从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为
15、【解答】解：甲罐中在四个相同的小球，标号1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6．
现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件 “抽取的两个小球标号之和大于5”，事件 “抽取的两个小球标号之积大于8”，
对于，从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，基本事件总数，
事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，共11个，
（A），故错误；
对于，事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，共11个，
（B），故正确；
对于，事件包含的基本事件有，，，，，，，，共8个，
（C）．
对于，从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为，故错误．
故选：．
16、假定生男孩和生女孩是等可能的，若一个家庭中有三个小孩，记事件 “家庭中没有女孩”， “家庭中最多有一个女孩”， “家庭中至少有两个女孩”， “家庭中既有男孩又有女孩”，则　　
A．与互斥 B． C．与对立 D．与相互独立
16、【解答】解：假定生男孩和生女孩是等可能的，
若一个家庭中有三个小孩，记事件 “家庭中没有女孩”， “家庭中最多有一个女孩”，
“家庭中至少有两个女孩”， “家庭中既有男孩又有女孩”，
对于，与不能同时发生，但能同时不发生，是互斥事件，故正确；
对于，由事件的并得到表示这个家庭中可能至少有2个女孩子，与事件不相等，故错误；
对于，事件与既不能同时发生，又不能不发生，是对立事件，故正确；
对于，事件发生与否不影响事件，同样事件发生与否不影响事件，
事件与事件相互独立，故正确．
故选：．
17、已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且（A），（C），则　　．
17、【解答】解：随机事件，，中，与互斥，与对立，且（A），（C），
（B）（C），
（A）（B）．
故答案为：0.7．
18、已知P(A)=0.4，P(B)=0.2.（1）如果B A，则P(A∪B)=________，P(AB)=________；（2）如果A，B互斥，则P(A∪B)=________，P(AB)=________.
18、【解析】（1）因为B A，所以P(A∪B)=P(A)=0.4，P(AB)=P(B)=0.2.
（2）如果A，B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.4+0.2=0.6，P(AB)=0.
故答案为：0.4；0.2；0.6；0．
19、抛掷两枚质地均匀的骰子（标注为①号和②号），事件“①号骰子的点数大于②号骰子的点数”发生的概率为___________．
19、【答案】
【详解】抛掷两枚质地均匀的骰子（标注为①号和②号），基本事件总数为，
事件“①号骰子的点数a大于②号骰子b的点数”包含的基本事件有15个，分别为：
，
∴事件“①号骰子的点数大于②号骰子的点数”发生的概率为：.
故答案为：.
20、高二某位同学参加物理、政治科目的学考，已知这位同学在物理、政治科目考试中得A的概率分别为、，这两门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得1个A的概率为______．
20、【答案】
【详解】依题意，这位考生至少得1个A的对立事件为物理、政治科目考试都没有得A，
其概率为，
所以这位考生至少得1个A的概率为.
21、某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续天苹果的日销售量(单位：)，并绘制频率分布直方图如下：
(1)请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数和平均数；(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
(2)一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需求(在天中，大约有天可以满足顾客的需求).请问每天应该进多少千克苹果？(精确到整数位)
21、【解析】(1)如图示：区间频率最大，所以众数为，平均数为：
.
(2)日销售量的频率为，日销量的频率为，
故所求的量位于.由，得，
故每天应该进千克苹果.
22、某高校自主招生考试分笔试与面试两部分，每部分考试成绩只记“通过”与“不通过”，两部分考试都“通过”者，则考试“通过”，并给予录取.甲 乙两人在笔试中“通过”的概率依次为，在面试中“通过”的概率依次为，笔试和面试是否“通过”是独立的，那么
(1)甲 乙两人都参加此高校的自主招生考试，谁获得录取的可能性大？
(2)甲 乙两人都参加此高校的自主招生考试，求恰有一人获得录取的概率.
22、【答案】(1)甲获得录取的可能性大；(2).
(1)记“甲通过笔试”为事件，“甲通过面试”为事件，“甲获得录取”为事件A，“乙通过笔试”为事件，“乙通过面试”为事件，“乙获得录取”为事件B，则
，，即，
所以甲获得录取的可能性大.
(2)记“甲乙两人恰有一人获得录取”为事件C，则.
提高训练题
23、某公司为了促进技术部门之间良好的竞争风气，公司决定进行一次信息化技术比赛，三个技术部门分别为麒麟部，龙吟部，鹰隼部，比赛规则如下：①每场比赛有两个部门参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的部门与未参加此场比赛的部门进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个部门首先获胜两场，则本次比赛结束，该部门就获得此次信息化比赛的“优胜部门”．已知在每场比赛中，麒麟部胜龙吟部的概率为，麒麟部胜鹰隼部的概率为，龙吟部胜鹰隼部的概率为．当麒麟部与龙吟部进行首场比赛时，麒麟部获得“优胜部门”的概率是　　
A． B． C． D．
23、【解答】解：设事件：麒麟部与龙吟部先比赛麒麟部获胜，
由于在每场比赛中，麒麟部胜龙吟部的概率为，麒麟部胜鹰隼部的概率为，龙吟部胜鹰隼部的概率为，
则麒麟部获胜的概率分别是：
．
故选：．
24、甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是　　
A．甲得9张，乙得3张 B．甲得6张，乙得6张
C．甲得8张，乙得4张 D．甲得10张，乙得2张
24、【解答】解：由题意，为了决出胜负，最多再赛两局，用“甲”表示甲胜，用“乙”表示乙胜，于是这两局有四种可能：（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲），（乙，乙）．
其中甲获胜有3种，而乙只有1种，
所以甲获胜的概率是，乙获胜的概率是．
所以甲得到的游戏牌为，乙得到游戏牌为；
当甲得3分时获得12张游戏牌，当甲得1分时获得3张牌，当甲得2分时获得9张牌，
故选：．
25．如图是某个闭合电路的一部分，每个元件出现故障的概率为，则从到这部分电源能通电的概率为　　
A． B． C． D．
25、【解答】解：如下图：
从到这部分电源不能通电的概率为：
，
从到这部分电源能通电的概率为：
．
故选：．
26、某选修课的考试按A级，B级依次进行，只有当A级成绩合格时，才可继续参加B级的考试．已知每级考试允许有一次补考机会，两个级别的成绩均合格方可获得该选修课的合格证书．现某人参加这个选修课的考试，他A级考试成绩合格的概率为，B级考试合格的概率为.假设各级考试成绩合格与否均互不影响．
(1)求他不需要补考就可获得该选修课的合格证书的概率；
(2)在这个考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的概率．
26、【解】设“A级第一次考试合格”为事件A1，“A级补考合格”为事件A2；“B级第一次考试合格”为事件B1，“B级补考合格”为事件B2.
(1)不需要补考就获得合格证书的事件为A1B1，注意到A1与B1相互独立，
则P(A1B1)＝P(A1)×P(B1)＝×＝.
故该考生不需要补考就获得该选修课的合格证书的概率为.
(2)由已知，得ξ＝2,3,4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得：
P(ξ＝2)＝P(A1B1)＋P(12)＝×＋×＝＋＝.
P(ξ＝3)＝P(A1B2)＋P(A1)＋P(A2B1)
＝××＋××＋××＝＋＋＝，
P(ξ＝4)＝P(A2B2)＋P(A2)
＝×××＋×××＝＋＝，
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高一下学期期末复习导学案（八）
统计与概率
知识归纳
一、获取数据的基本途径及抽样方法
1．获取数据的基本途径
获取数据的基本途径包括：统计报表和年鉴、社会调查、试验设计、普查和抽样、互联网等.
(1)统计报表是指各级企事业、行政单位按规定的表格形式、内容、时间要求报送程序，自上而下统一布置，提供统计资料的一种统计调查方式.
(2)年鉴是以全面、系统、准确地记述上年度事物运动、发展状况为主要内容的资料性工具书.汇辑一年内的重要时事、文献和统计资料，按年度连续出版的工具书.
2．总体、样本、样本容量
要考察的对象的全体叫做总体，每一个考察对象叫做个体，从总体中被抽取的考察对象的集体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量.
3．简单随机抽样
(1)定义：从元素个数为N的总体中不放回地抽取容量为n的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样.
(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法.
(3)应用范围：总体中的个体数较少.
4．分层抽样
(1)定义：在抽样时，将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样.
(2)应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样.
二、用样本估计总体及统计图表
1．频率分布直方图
(1)频率分布表的画法：
第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝；
第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，
最后一组取闭区间；
第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表.
(2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图(如图)
横轴表示样本数据，纵轴表示，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率.
2．频率分布折线图和总体密度曲线
(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图.
(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.
3．样本的数字特征
数字特征 定义
众数 在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数
中位数 将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数
平均数 样本数据的算术平均数，即＝
方差 s2＝[(x1－)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]，其中s为标准差
4．百分位数
如果将一组数据从小到大排序，并计算相应的累计百分位，则某一百分位所对应数据的值就称为这一百分位的百分位数.可表示为：一组n个观测值按数值大小排列.如，处于p%位置的值称第p百分位数.
三、事件与概率
1．样本点和样本空间
随机试验的每一个可能的结果称为样本点，记作ω；随机试验的所有样本点组成的集合称为样本空间，记作Ω.
2．概率与频率
(1)概率定义：在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率，当n很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A).
(2)概率与频率的关系：概率可以通过频率来“测量”，频率是概率的一个近似.
3．事件的关系与运算
定义 符号表示
包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) B A(或A B)
相等关系 若B A且A B A＝B
并事件(和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B)
交事件(积事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB)
互斥事件 若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 A∩B＝
对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝ P(A∪B)＝1
4．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率P(F)＝0.
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B).
四、古典概型
1．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的.
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
2．古典概型
具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型.
(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果.
(2)每一个试验结果出现的可能性相同.
3．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝.
4．古典概型的概率公式
P(A)＝.
五、事件的相互独立性
1．相互独立事件的定义
对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．
2．相互独立事件的性质
当事件A，B相互独立时，则事件A与事件相互独立，事件与事件B相互独立，事件与事件相互独立．
典例分析
题型一、随机抽样
【例1】今年月初，某市采取了鼓励地摊经济的做法，该市各区的地摊的摊位数和食品摊位比例分别如图、图所示，现用分层随机抽样的方法抽取的摊位进行调查，则抽取的样本容量与区被抽取的食品摊位数分别为( )
A．，
B．，
C．，
D．，
题型二、频率分布直方图
【例2】(多选题)从某小学随机抽取名学生，将他们的身高(单位：厘米)按照区间，，，，进行分组，到频率分布直方图(如图).下列说法正确的有( )
A．若要从身高在，，三组内的学生中，用等比例分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在内的学生中应选取人
B．估计这名学生的平均身高是(厘米)
C．估计这名学生的第百分位数为(厘米)
D．估计这名学生的众数是(厘米)
题型三、方差与标准差
【例3】(1)某班有50名学生，在一次考试中统计出平均分数为70，方差为75，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，更正后平均分和方差分别是( )
A．70，51 B．70，50 C．65，25 D．70，24
(2)若数据的平均数为，标准差为，则，，…，的平均数和标准差分别为( )
A．， B．， C．， D．，
题型四、互斥事件与对立事件
【例4】(1)从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品，设A={三件产品全不是次品}，B={三件产品全是次品}，C={三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论中错误的是( )
A．A与C互斥 B．B与C互斥
C．任何两个都互斥 D．任何两个都不互斥
(2)如果事件A，B互斥，那么( )
A．A∪B是必然事件
B．A的对立事件与B的对立事件的和事件是必然事件
C．A的对立事件与B的对立事件是互斥事件
D．A的对立事件与B的对立事件不是互斥事件
题型五、古典概型
【例5】(1)从含有件正品件次品的件产品中，任意取出件产品，则取出的件产品中至少有一件次品的概率为( )
A． B． C． D．
(2)某校新生分班，现有A、B、C三个不同的班，甲和乙两名学生将被分到这三个班，每名学生分到各班的可能性相同，则这两名学生被分到同一个班的概率为______．
(3)保险柜的密码由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的四个数字组成，假设一个人记不清自己的保险柜密码，只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列，则最多输入2次就能开锁的概率是( )
A． B． C． D．
题型六、独立事件的概率
【例6】(1)若随机事件满足，，，则事件与的关系是( )
A．互斥 B．相互独立 C．互为对立 D．互斥且独立
(2)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，，一辆车从甲地到乙地，恰好遇到2个红灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
(3)甲乙两队进行羽毛球决赛，甲队只要再胜一局就获得冠军，乙队需要再胜两局才能获得冠军，若每局甲队获胜的概率为，则甲队获得冠军的概率为（ ）
A． B． C． D．
(4)在如图所示的电路图中，开关a，b，c闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是（ ）
A． B． C． D．
(5)甲，乙，丙三个同学独立求解同一道数学题，他们各自解出该数学题的概率分别为，则这道数学题被解出来的概率为_________．
(6)有5把外形一样的钥匙，其中3把能开锁，2把不能开锁．现准备通过一一试开将其区分出来，每次随机抽出一把进行试开，试开后不放回，则恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的概率为　　
A． B． C． D．
题型七、概率统计综合问题
【例7】饮用水水源的安全是保障饮用水安全的基础.2021年5月13日下午，习近平总书记在河南省南阳市先后考察了陶岔渠首枢纽工程、丹江口水库，听取南水北调中线工程建设管理运行和水源地生态保护等情况介绍.为了提高节约用水意识，培优联盟从参加冬季联赛的学生中随机选取100人的节约用水知识竞赛成绩作为样本，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值，并估计此次参赛学生成绩的平均分（同一组数据用该组区间的中点值代表）；
(2)在该样本中，若采用分层抽样方法，从成绩低于65分的学生中随机抽取6人调查他们的答题情况，再从这6人中随机抽取3人进行深入调研，求这3人的成绩全部不低于55分的概率.
【例8】甲 乙两支足球队进行罚点球比赛，约定每轮两队各罚一球，如果有一方罚进点球而另一方罚丢，那么罚进点球的一方获胜，如果两队都罚进或都罚丢则进行下一轮，直到有一方获胜或双方都已罚3球时比赛结束.设两队每次罚进的概率均为，且各次罚球互不影响.
(1)求双方各罚1球后比赛结束的概率；
(2)求甲队获胜的概率.
【例9】乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域，乙被划分为两个不相交的区域.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在上记3分，在上记1分，其它情况记0分.对落点在上的来球，小明回球的落点在上的概率为，在上的概率为；对落点在上的来球，小明回球的落点在上的概率为，在上的概率为.假设共有两次来球且落在上各一次，小明的两次回球互不影响.求：
（1）小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
（2）两次回球结束后，小明得分之和有几种情况，并求出每一种情况的概率.
课后作业
基础训练题
1、2022年北京冬奥会于2月4日开幕，某高中为了解本校学生收看开幕式的平均时长（单位：分钟），采用样本量比例分配的分层随机抽样，分别抽取了男生60人、女生40人，其平均收看时长分别为120分钟和90分钟，据此估计本校全体学生的平均收看时长为（ ）
A．90分钟 B．105分钟 C．108分钟 D．120分钟
2、为了解某城市的降水情况，根据历年数据，绘制了如图所示的一年中各月平均降水量（单位：）的柱形图.下列描述正确的是（ ）
A．逐月比较，五月的月平均降水量的增加量最明显
B．一年中的前四个月的平均降水量与最后四个月的平均降水量相同
C．前九个月的月平均降水量成增加的趋势
D．月到8月这四个月的平均降水量高于
3、2022年2月28日，国家统计局发布了我国国民经济和社会发展统计公报，下面两图分别显示的是2017~2021全国居民人均可支配收入及其增长速度和2021年全国居民人均消费支出及其构成，则下列说法正确的是（ ）
A．2021年全国居民人均可支配收入为35128元，比上年实际增长
B．2017年~2021年五年时间，全国居民人均可支配收入逐年增加，比上年实际增长先减小后增大
C．2021年全国居民人均消费支出，食品烟酒和居住占比不足
D．2021年全国居民人均消费支出，教育文化娱乐占比最小
4、某校名学生参加数学竞赛，随机抽取了名学生的考试成绩(单位：分).成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是( )
A．频率分布直方图中的值为
B．估计这名学生数学考试成绩的第百分位数为
C．估计这名学生数学考试成绩的众数为
D．估计总体中成绩落在内的学生人数为
5、从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A．至少有一个黑球与都是黑球
B．至少有一个黑球与至少有一个红球
C．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球
D．至少有一个黑球与都是红球
6、某省在新的高考改革方案中规定：每位考生的高考成绩是按照3（语文、数学、英语）（物理、历史）选（化学、生物、地理、政治）选2的模式设置的，则某考生选择全理科的概率是（ ）
A． B． C． D．
7、有一列数.现进行如下分组：第一组有个数，为；第二组有个数，为，；第三组有个数，为，，，；第四组有个数，为，，，，，，，；…；依此类推.若从第七组中随机抽取一个数，则这个数是的倍数的概率是（ ）
A． B． C． D．
8、《易经》是中国文化中的精髓，下图是易经八卦图(含乾 坤 巽 震 坎 离 艮 兑八卦)，每一卦由三根线组成( 表示一根阳线，表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有根阳线的概率（ ）
A． B．
C． D．
9、米接力赛是田径运动中的集体项目.一根小小的木棒，要四个人共同打造一个信念，一起拼搏，每次交接都是信任的传递.甲 乙 丙 丁四位同学将代表高一年级参加校运会米接力赛，教练组根据训练情况，安排了四人的交接棒组合.已知该组合三次交接棒失误的概率分别是，，，假设三次交接棒相互独立，则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是（ ）
A． B．
C． D．
10、一个旅行团到漳州旅游,有百花村与云洞岩两个景点可选择,该旅行团选择去哪个景点相互独立,若旅行团选择两个景点都去的概率是,只去百花村不去云洞岩与只去云洞岩不去百花村的概率相等,则选择去百花村的概率是
A． B． C． D．
11、(多选题)为监测某化工厂排放废气对周边空气质量指数的影响，某科学兴趣小组在校内测得月日—日指数的数据并绘成折线图如下：下列叙述不正确的是（ ）
A．这天中指数值的中位数略大于
B．这天中的空气质量为优的天数占(指数不超过50时空气质量为优)
C．月日到月日，空气质量越来越好
D．总体来说，月中旬的空气质量比上旬的空气质量好
12、(多选题)经过简单随机抽样获得的样本数据为，，…，，且数据，，…，的平均数为，方差为，则下列说法正确的是( )
A．若数据，，…，，方差，则所有的数据都为
B．若数据，，…，的平均数为，则数据的平均数为
C．若数据，，…，的中位数为，则可以估计总体中有至少有的数据不大于
D．若数据x1，x2，…，xn，的众数为78，则可以说总体中的众数为78
13、(多选题)下列说法正确的是( )
A．用简单随机抽样的方法从含有个个体的总体中抽取一个容量为的样本，则个体被抽到的概率是；
B．已知一组数据，，，，的平均数为，则这组数据的方差是；
C．数据，，，，，，，的第百分位数是；
D．若样本数据的标准差为，则的标准差为
14、某学校成立了数学 英语 音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.现随机选取一个成员，则（ ）
A．他只属于音乐小组的概率为 B．他只属于英语小组的概率为
C．他属于至少2个小组的概率为 D．他属于不超过2个小组的概率为
15、已知甲罐中在四个相同的小球，标号1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6．现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件 “抽取的两个小球标号之和大于5”，事件 “抽取的两个小球标号之积大于8”，则　　
A．事件发生的概率为
B．事件发生的概率为
C．事件发生的概率为
D．从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为
16、假定生男孩和生女孩是等可能的，若一个家庭中有三个小孩，记事件 “家庭中没有女孩”， “家庭中最多有一个女孩”， “家庭中至少有两个女孩”， “家庭中既有男孩又有女孩”，则　　
A．与互斥 B． C．与对立 D．与相互独立
17、已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且（A），（C），则　　．
18、已知P(A)=0.4，P(B)=0.2.（1）如果B A，则P(A∪B)=________，P(AB)=________；（2）如果A，B互斥，则P(A∪B)=________，P(AB)=________.
19、抛掷两枚质地均匀的骰子（标注为①号和②号），事件“①号骰子的点数大于②号骰子的点数”发生的概率为___________．
20、高二某位同学参加物理、政治科目的学考，已知这位同学在物理、政治科目考试中得A的概率分别为、，这两门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得1个A的概率为______．
21、某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续天苹果的日销售量(单位：)，并绘制频率分布直方图如下：
(1)请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数和平均数；(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
(2)一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需求(在天中，大约有天可以满足顾客的需求).请问每天应该进多少千克苹果？(精确到整数位)
22、某高校自主招生考试分笔试与面试两部分，每部分考试成绩只记“通过”与“不通过”，两部分考试都“通过”者，则考试“通过”，并给予录取.甲 乙两人在笔试中“通过”的概率依次为，在面试中“通过”的概率依次为，笔试和面试是否“通过”是独立的，那么
(1)甲 乙两人都参加此高校的自主招生考试，谁获得录取的可能性大？
(2)甲 乙两人都参加此高校的自主招生考试，求恰有一人获得录取的概率.
提高训练题
23、某公司为了促进技术部门之间良好的竞争风气，公司决定进行一次信息化技术比赛，三个技术部门分别为麒麟部，龙吟部，鹰隼部，比赛规则如下：①每场比赛有两个部门参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的部门与未参加此场比赛的部门进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个部门首先获胜两场，则本次比赛结束，该部门就获得此次信息化比赛的“优胜部门”．已知在每场比赛中，麒麟部胜龙吟部的概率为，麒麟部胜鹰隼部的概率为，龙吟部胜鹰隼部的概率为．当麒麟部与龙吟部进行首场比赛时，麒麟部获得“优胜部门”的概率是　　
A． B． C． D．
24、甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是　　
A．甲得9张，乙得3张 B．甲得6张，乙得6张
C．甲得8张，乙得4张 D．甲得10张，乙得2张
25．如图是某个闭合电路的一部分，每个元件出现故障的概率为，则从到这部分电源能通电的概率为　　
A． B． C． D．
26、某选修课的考试按A级，B级依次进行，只有当A级成绩合格时，才可继续参加B级的考试．已知每级考试允许有一次补考机会，两个级别的成绩均合格方可获得该选修课的合格证书．现某人参加这个选修课的考试，他A级考试成绩合格的概率为，B级考试合格的概率为.假设各级考试成绩合格与否均互不影响．
(1)求他不需要补考就可获得该选修课的合格证书的概率；
(2)在这个考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的概率．
高一下学期期末复习导学案（八）
统计与概率参考答案
【例1】【答案】A
【解析】根据图1知，抽取5%的摊位时，抽取的样本容量为（1000+800+1000+1400）×5%＝210，
则抽取的样本容量中A区被抽取的食品摊位数为1000×5%×0.48＝24．故选：A．
【例2】【答案】ACD.
【例3】(1)【答案】A
【解析】根据题意，设更正前甲的成绩为a1，乙的成绩为a2，剩下48人的成绩依次为a3，a4，…，a50，若更正前的平均分数为70，方差为75，
则a1+a2+…+a50＝50×70，即50+100+a3+…+a50＝50×70，则有a3+…+a50＝50×70﹣150，
（a1﹣70）2+（a2﹣70）2+…+（a50﹣70）2＝50×75，即402+302+（a3﹣70）2+…+（a50﹣70）2＝50×75，则有（a3﹣70）2+…+（a50﹣70）2＝50×75﹣202﹣302，更正后的平均分＝＝70，方差为S2＝[（a3﹣70）2+…+（a50﹣70）2+（50﹣70）2+（100﹣70）2+100﹣202﹣302]＝75﹣24＝51；(2)【答案】D．
【例4】(1)【答案】D
【解析】由题意知事件A，B，C两两不可能同时发生，因此两两互斥.
(2)【答案】B
【解析】A. 因为事件A，B互斥，若对立，则A∪B是必然事件，若不对立，则A∪B不是必然事件，故错误；
B. A的对立事件与B的对立事件的和事件是必然事件，故正确；
C. 若事件A，B互斥，不对立，则 A的对立事件与B的对立事件不是互斥事件，故错误；
D. 若事件A，B互斥，且对立，则A的对立事件与B的对立事件是对立事件，故错误；
【例5】(1)【答案】A
【解析】设3件正品为，2件次品为，则任意取出件产品的情况有
共10种，
其中至少有一件次品的情况有共7种，
则取出的件产品中至少有一件次品的概率为.
(2)【答案】
【解析】由题设，每个学生分到不同班都有3种可能，甲和乙两名学生共有种分法，而两名学生被分到同一个班有3种可能，所以两名学生被分到同一个班的概率为.
(3)【答案】C
【解析】密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列的结果有：，，共5个，它们等可能，
最多输入2次就能开锁的事件A，它是输入1次能开锁的事件，第2次输入才能开锁的事件的和，它们互斥，，，则，
最多输入2次就能开锁的概率是.
【例6】(1)【答案】B
【解析】因为， ，又因为，所以有，所以事件与相互独立，不互斥也不对立
(2)【答案】B
【解析】由各路口信号灯工作相互独立，可得某人从甲地到乙地恰好遇到2次红灯的概率：
．
(3)【答案】D
【解析】由已知得甲对获胜可能以下分为两种情况：
①第一局甲队获胜，此时的概率为；②第一局乙队获胜，第二局甲队获胜，此时的概率为，
综上所述，甲队获胜的概率为，
(4)【答案】B
【解析】设开关a，b，c闭合分别为事件A，B，C，灯亮为事件E，
则灯亮这一事件，且A，B，C相互独立，，，两两互斥，
∴，
(5)【答案】
【解析】设这道数学题被解出来的事件为，
则这道数学题被解出来的概率为.
(6)【答案】A
【解析】有5把外形一样的钥匙，其中3把能开锁，2把不能开锁．现准备通过一一试开将其区分出来，
每次随机抽出一把进行试开，试开后不放回，
恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的情况为3种：
①前三把都能开锁，②第一把不能开锁，第二把能开锁，第三把不能开锁，
③第一把能开锁，第二把不能开锁，第三把不能开锁，
恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的概率为：
．
【例7】【解析】(1)根据频率分布直方图得到，解得，
估计此次参赛学生的平均成绩为，
所以；
(2)根据频率分布直方图得到，成绩在内的频率分别为0.05，0.25，
所以采用分层抽样的方法从样本中抽取的6人，成绩在内的有1人，记为，成绩在内的有5人，分别记为，
从这6人中随机抽取3人，所有可能的结果为，共20种；
这3人的成绩全部在 内的有，共10种，
所以这3人的成绩全部不低于55分的概率为.
【例8】【解析】(1)设事件“甲队第k轮点球罚进”，其中k=1，2，3；
事件“乙队第k轮点球罚进”，其中k=1，2，3.
设事件C=“双方各罚1球后比赛结束”，
则.
(2)设事件E=“甲队获胜”，
则.
【例9】【解析】（1）设恰有一次的落点在乙上这一事件为，
（2）
课后作业
1、【答案】C
【解析】依题意估计本校全体学生的平均收看时长为（分钟）
2、【答案】D
【解析】对于A，逐月比较，六月的月平均降水量的增加量最明显，A错误；
对于B，一年中的前四个月的平均降水量小于最后四个月的平均降水量，B错误；
对于C，前九个月的月平均降水量成先增后减的趋势，C错误；
对于D，月和月的平均降水量为和，月和月的平均降水量均高于，则四个月的平均降水量高于，D正确.
3、【答案】B
【解析】对于A，2021年全国居民人均可支配收入为35128元，2020年全国居民人均可支配收入为32189元，所以2021年比2020年增长，所以A错误，
对于B，由统计图可知2018全国居民人均可支配收入比2017增长，
2019全国居民人均可支配收入比2018增长，
2020全国居民人均可支配收入比2019增长，
2021全国居民人均可支配收入比2020增长，
所以2017年~2021年五年时间，全国居民人均可支配收入逐年增加，比上年实际增长先减小后增大，所以B正确，
对于C，2021年全国居民人均消费支出，食品烟酒和居住占比为，所以C错误，
对于D，由右图可知，2021年全国居民人均消费支出，其他用品及服务占比最小，为，所以D错误，
故选：B
4、【答案】B
【解析】对于A，由频率分布直方图的性质得：（2a+3a+7a+6a+2a）×10＝1，解得a＝0.005，故A错误；对于B，[50，80）的频率为：10（2a+3a+7a）＝10×12×0.005＝0.6，∴估计这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80，故B正确；
对于C，估计这20名学生数学考试成绩的众数为：＝75，故C错误；
对于D，估计总体中成绩落在[60，70）内的学生人数为：3×0.005×10×1000＝150，故D错误．
5、【答案】C
【解析】A：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，这两个事件不是互斥事件，故错误；
B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，故错误；
C：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，两个事件是互斥事件但不是对立事件，故正确
D：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，
这两个事件是对立事件，故错误；
6、【答案】D
【解析】在2（物理，历史）选（化学、生物、地理、政治）选2中，
选物理的有6种，分别为：物化生、物化地、物化政、物生地、物生政、物地政，
同时，选历史的也有6种，共计12种，其中选择全理科的有1种，某考生选择全理科的概率是.
7、【答案】C
【解析】由题意可得前六组共有个数，第七组共有个数，分别为，其中是的倍数的数为，共个，故所求概率.
8、【答案】A
【解析】从八卦中任取一卦，基本事件总数n=8，这一卦的三根线中恰有根阳线包含的基本事件个数m=1
故这一卦的三根线中恰有根阳线的概率
9、【答案】C
【解析】三次交接棒不失误的概率分别为：，则该组合不失误的概率为：.
10、【答案】A
【解析】用事件A表示“旅行团选择去百花村”,事件B表示“旅行团选择去云洞岩”,
则,.设,,
则解得(负值舍去),故选择去百花村的概率是.
11、【答案】ACD
【解析】这天中指数值中低于100的数据有10个，高于100的数据有10个，结合折线图可得这天中指数值的中位数略大于100，A错，
这天中指数值中小于等于50的天数为5，故这天中的空气质量为优的天数占，B对，
月日到月日期间指数值总体变换趋势是越来越大的，故空气质量越来越差,C错，
总体来说，月中旬的空气质量指数比上旬的空气质量指数高，故总体来说，月中旬的空气质量比上旬的空气质量坏，D错，
12、【答案】AC
【解析】对于A，数据x1，x2，…，xn的方差为s2＝0，则所有的数据xi（i＝1，2，…，n）相同，即x1＝x2＝ ＝xn，所以选项A正确；
对于B，数据x1，x2，…，xn的均值为3，则数据yi＝2xi+1（i＝1，2，…，n）的均值为＝2×3+1＝7，所以选项B错误；
对于C，数据x1，x2，…，xn的中位数为90，则可以估计总体中有至少有50%的数据不大于90，符合百分位数的定义，选项C正确；
对于D，样本数据具有随机性，所以样本的众数不一定是总体的众数，选项D错误．故选：AC．
13、【答案】ACD
【解析】对于A，用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，
则个体m被抽到的概率是p＝＝0.1，故A正确；
对于B，一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则m＝4×5﹣1﹣2﹣6﹣7＝4，则这组数据的方差是：
s2＝[（1﹣4）2+（2﹣4）2+（4﹣4）2+（6﹣4）2+（7﹣4）2]＝，故B错误；
对于C，8个数据70百分数为8×70%＝5.6≈6，∴第70百分位数为第6个数为23，故C正确；
对于D，∵样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，
则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为＝16，故D正确．故答案为：ACD．
14、【答案】CD
【解析】由题图知参加兴趣小组的共有6+7+8+8+10+10+11=60人，
只属于数学 英语 音乐小组的人数分别为10，6，8人，故只属于音乐小组的概率为，
只属于英语小组的概率为，“至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，
故他属于至少2个小组的概率为，
“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，
其对立事件是“3个小组”.故他属于不超过2个小组的概率是.
15、【答案】BC
【解析】甲罐中在四个相同的小球，标号1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6．
现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件 “抽取的两个小球标号之和大于5”，事件 “抽取的两个小球标号之积大于8”，
对于，从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，基本事件总数，
事件包含的基本事件有：,,,,,,,,,,，共11个，
（A），故错误；
对于，事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，共11个，（B），故正确；
对于，事件包含的基本事件有，，，，，，，，共8个，（C）．
对于，从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为，故错误．
16、【答案】ACD
【解析】假定生男孩和生女孩是等可能的，
若一个家庭中有三个小孩，记事件 “家庭中没有女孩”， “家庭中最多有一个女孩”，
“家庭中至少有两个女孩”， “家庭中既有男孩又有女孩”，
对于，与不能同时发生，但能同时不发生，是互斥事件，故正确；
对于，由事件的并得到表示这个家庭中可能至少有2个女孩子，与事件不相等，故错误；
对于，事件与既不能同时发生，又不能不发生，是对立事件，故正确；
对于，事件发生与否不影响事件，同样事件发生与否不影响事件，
事件与事件相互独立，故正确．
17、【答案】0.7
【解析】随机事件，，中，与互斥，与对立，且（A），（C），
（B）（C），（A）（B）．
18、【答案】0.4；0.2；0.6；0
【解析】因为B A，所以P(A∪B)=P(A)=0.4，P(AB)=P(B)=0.2.
如果A，B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.4+0.2=0.6，P(AB)=0.
19、【答案】
【详解】抛掷两枚质地均匀的骰子（标注为①号和②号），基本事件总数为，
事件“①号骰子的点数a大于②号骰子b的点数”包含的基本事件有15个，分别为：
，
∴事件“①号骰子的点数大于②号骰子的点数”发生的概率为：.
20、【答案】
【解析】这位考生至少得1个A的对立事件为物理、政治科目考试都没有得A，其概率为，
所以这位考生至少得1个A的概率为.
21、【解】(1)如图示：区间频率最大，所以众数为，平均数为：
.
(2)日销售量的频率为，日销量的频率为，
故所求的量位于.由，得 ，
故每天应该进千克苹果.
22、【解】(1)记“甲通过笔试”为事件，“甲通过面试”为事件，“甲获得录取”为事件A，“乙通过笔试”为事件，“乙通过面试”为事件，“乙获得录取”为事件B，则
，，即，
所以甲获得录取的可能性大.
(2)记“甲乙两人恰有一人获得录取”为事件C，则.
23、【答案】D
【解析】设事件：麒麟部与龙吟部先比赛麒麟部获胜，由于在每场比赛中，麒麟部胜龙吟部的概率为，麒麟部胜鹰隼部的概率为，龙吟部胜鹰隼部的概率为，
则麒麟部获胜的概率分别是：．
24、【答案】A
【解析】由题意，为了决出胜负，最多再赛两局，用“甲”表示甲胜，用“乙”表示乙胜，于是这两局有四种可能：（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲），（乙，乙）．
其中甲获胜有3种，而乙只有1种，所以甲获胜的概率是，乙获胜的概率是．
所以甲得到的游戏牌为，乙得到游戏牌为；
当甲得3分时获得12张游戏牌，当甲得1分时获得3张牌，当甲得2分时获得9张牌，
25、【答案】A
【解析】如下图：
从到这部分电源不能通电的概率为：
，
从到这部分电源能通电的概率为：．
26、【解】设“A级第一次考试合格”为事件A1，“A级补考合格”为事件A2；“B级第一次考试合格”为事件B1，“B级补考合格”为事件B2.
(1)不需要补考就获得合格证书的事件为A1B1，注意到A1与B1相互独立，
则P(A1B1)＝P(A1)×P(B1)＝×＝.
故该考生不需要补考就获得该选修课的合格证书的概率为.
(2)由已知，得ξ＝2,3,4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得：
P(ξ＝2)＝P(A1B1)＋P(12)＝×＋×＝＋＝.
P(ξ＝3)＝P(A1B2)＋P(A1)＋P(A2B1)＝××＋××＋××＝＋＋＝，
P(ξ＝4)＝P(A2B2)＋P(A2)＝×××＋×××＝＋＝
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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