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第五单元第1讲 平面向量的概念及线性运算
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：平面向量的概念
题型二：平面向量的线性运算
题型三：平面向量共线定理的应用
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空2题 填空2题
解答3题 解答3题
一、【讲】
【讲知识】
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．
(2)零向量：长度为0的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算 法则(或几何意义) 运算律
加法 交换律： a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 a－b＝a＋(－b)
数乘 |λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
3.向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
【讲方法】
1.平行向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆．
(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量．
2.平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略
(1)求已知向量的和或差．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用向量减法的几何意义；求首尾相连向量的和用三角形法则．
(2)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．
3.利用共线向量定理解题的策略
(1)a∥b a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用．
(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线 ，共线．
(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(4)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
二、【练】
【练题型】
【题型一】平面向量的概念
【典例1】(多选)下列命题中正确的有(　　)
A.平行向量就是共线向量
B.相反向量就是方向相反的向量
C.a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b
D.两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件
【解析】由平行向量和共线向量可知，A正确；
因为相反向量是方向相反，长度相等的两个向量，所以B是错误的；
因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，所以C是错误的；
因为两个向量平行不能推出两个向量相等，而两个向量相等，则这两个向量平行，因此两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，所以D是正确.
故选AD.
【典例2】(多选)下列命题正确的有(　　)
A.方向相反的两个非零向量一定共线
B.单位向量都相等
C.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
D.“若A，B，C，D是不共线的四点，且＝” “四边形ABCD是平行四边形”
【解析】方向相反的两个非零向量必定平行，所以方向相反的两个非零向量一定共线，故A正确；
单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故B错误；
两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，故C错误；
A，B，C，D是不共线的点，＝，即模相等且方向相同，即平行四边形ABCD对边平行且相等，反之也成立，故D正确.
故选AD.
【典例3】设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　)
A.a＝－b B.a∥b
C.a＝2b D.a∥b且|a|＝|b|
【解析】因为向量的方向与向量a方向相同，向量的方向与向量b方向相同，且＝，所以向量a与向量b方向相同，故可排除A，B，D.
当a＝2b时，＝＝，故a＝2b是＝成立的充分条件.
故选C.
【题型二】平面向量的线性运算
【典例1】已知单位向量e1，e2，…，e2 023，则|e1＋e2＋…＋e2 023|的最大值是________，最小值是________．
【解析】当单位向量e1，e2，…，e2 023方向相同时，
|e1＋e2＋…＋e2 023|取得最大值，
|e1＋e2＋…＋e2 023|＝|e1|＋|e2|＋…＋|e2 023|＝2 023；
当单位向量e1，e2，…，e2 023首尾相连时，
e1＋e2＋…＋e2 023＝0，
所以|e1＋e2＋…＋e2 023|的最小值为0.
【典例2】(多选)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2CD，E是BC边上一点，且＝3，F是AE的中点，则下列关系式正确的是(　　)
A.＝－＋
B.＝＋
C.＝－＋
D.＝－－
【解析】因为＝＋＋＝－＋＋＝－＋，
所以选项A正确；
因为＝＝(＋)
＝，
而＝－＋，
代入可得＝＋，
所以选项B正确；
因为＝－，
而＝＋，
代入得＝－＋，
所以选项C不正确；
因为＝＋＋
＝－－＋，
而＝＋，
代入得＝－－，
所以选项D正确．
故选ABD.
【典例3】已知平面四边形ABCD满足＝，平面内点E满足＝3，CD与AE交于点M，若＝x＋y，则x＋y等于(　　)
A. B．－
C. D．－
【解析】如图所示，
易知BC＝4AD，
CE＝2AD，
＝－
＝－
＝(＋)－
＝(＋6)－
＝－＋2，
∴x＋y＝.
故选C.
【题型三】平面向量共线定理的应用
【典例1】设两个非零向量a与b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
【解析】(1)证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
所以＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5，
所以，共线，又它们有公共点B，
所以A，B，D三点共线．
(2)因为ka＋b与a＋kb共线，
所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即(k－λ)a＝(λk－1)b.
又a，b是两个不共线的非零向量，
所以k－λ＝λk－1＝0，所以k2－1＝0，
所以k＝±1.
【典例2】已知向量a与b不共线，＝a＋mb，＝na＋b(m，n∈R)，则与共线的条件是(　　)
A．m＋n＝0 B．m－n＝0
C．mn＋1＝0 D．mn－1＝0
【解析】由＝a＋mb，＝na＋b(m，n∈R)共线，得a＋mb＝λ(na＋b)，即所以mn－1＝0.
故选D.
【典例3】如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交对角线AC于点K，其中＝，＝，＝λ，则λ＝________．
【解析】因为＝，＝，
所以＝，＝2.
由向量加法的平行四边形法则可知，
＝＋，
所以＝λ＝λ(＋)＝λ
＝λ＋2λ，
由E，F，K三点共线，可得λ＝.
【练真题】
【真题1】(2018·全国Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于(　　)
A.－ B.－
C.＋ D.＋
【解析】作出示意图如图所示．
＝＋＝＋
＝×(＋)＋(－)
＝－.
故选A.
【真题2】(2022·太原模拟)在△ABC中，AD为BC边上的中线，若点O满足＝2，则等于(　　)
A.－＋ B.－
C.－ D.－＋
【解析】如图所示，
∵D为BC的中点，
∴＝(＋)，
∵＝2，
∴＝＝＋，
∴＝－＝－
＝－＋.
故选A.
【真题3】(2022·长春调研)在△ABC中，延长BC至点M使得BC＝2CM，连接AM，点N为AM上一点且＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)
A. B.
C．－ D．－
【解析】由题意，知＝＝(＋)
＝＋×
＝＋(－)
＝－＋，
又＝λ＋μ，
所以λ＝－，μ＝，则λ＋μ＝.
故选A.
【真题4】(2022·大连模拟)在△ABC中，＝2，＝2，P为线段DE上的动点，若＝λ＋μ，λ，μ∈R，则λ＋μ等于(　　)
A．1 B. C. D．2
【解析】如图所示，由题意知，
＝，＝，
设＝x，
所以＝＋＝＋x
＝＋x(－)
＝x＋(1－x)
＝x＋(1－x)，
所以μ＝x，λ＝(1－x)，
所以λ＋μ＝x＋(1－x)＝.
故选B.
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 对于非零向量a，b，“a＋2b＝0”是“a∥b”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】若a＋2b＝0，则a＝－2b，所以a∥b.
若a∥b，则a＋2b＝0不一定成立，
故前者是后者的充分不必要条件．
故选A.
2. 如图，在正方形ABCD中，E是DC的中点，点F满足＝2，那么＝(　　)
A.－ B．＋
C.－ D．＋
【解析】因为E为DC的中点，所以＝.因为＝2，所以＝.所以＝＋＝＋＝＋＝－.
故选C.
3. 向量e1，e2，a，b在正方形网格中的位置如图所示，则a－b＝(　　)
A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2
C．e1－3e2 D．3e1－e2
【解析】结合图形易得，a＝－e1－4e2，b＝－2e1－e2，故a－b＝e1－3e2.
故选C.
4. 已知平面内一点P及△ABC，若＋＋＝，则点P与△ABC的位置关系是(　　)
A．点P在线段AB上 B．点P在线段BC上
C．点P在线段AC上 D．点P在△ABC外部
【解析】由＋＋＝，得＋＋＝－，即＝－2，故点P在线段AC上．
故选C.
【多选题】
5. 如图，设P，Q两点把线段AB三等分，则下列向量表达式正确的是(　　)
A.＝ B．＝
C．BP＝－ D．＝
【解析】由数乘向量的定义可以得到A，B，C都是正确的，只有D错误．
故选ABC.
6. 设a，b是不共线的两个平面向量，已知＝a＋sin α·b，其中α∈(0，2π)，＝2a－b.若P，Q，R三点共线，则角α的值可以为(　　)
A． B．
C． D．
【解析】因为a，b是不共线的两个平面向量，所以2a－b≠0.即≠0，因为P，Q，R三点共线，所以与共线，所以存在实数λ，使＝λ，所以a＋sin α·b＝2λa－λb，所以解得sin α＝－.又α∈(0，2π)，故α可为或.
故选CD.
【填空题】
7. 设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________.
【解析】∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则解得λ＝μ＝.
8. 设M是△ABC所在平面上的一点，且＋＋＝0，D是AC的中点，则＝________.
【解析】∵D是AC的中点，∴＋＝2，
又∵＋＋＝0，
∴＝－(＋)＝－×2，
即＝3，故＝，
∴＝.
【解答题】
9. 已知a，b不共线，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，设t∈R，如果3a＝c，2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值；若不存在，请说明理由.
【解析】由题设知，＝d－c＝2b－3a，＝e－c＝(t－3)a＋tb，
C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得＝k，
即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，
整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.
因为a，b不共线，
所以有解得t＝.
故存在实数t＝使C，D，E三点在一条直线上.
10. 如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近B点，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设＝a，＝b.
(1)试用a，b表示，，；
(2)证明：B，E，F三点共线.
【解析】(1)解　在△ABC中，因为＝a，＝b，
所以＝－＝b－a，
＝＋＝＋
＝a＋(b－a)＝a＋b，
＝＋＝－＋＝－a＋b.
(2)证明　因为＝－a＋b，
＝＋＝－＋
＝－a＋＝－a＋b
＝，
所以＝，与共线，
且有公共点B，
所以B，E，F三点共线.
11. 如图，EF是等腰梯形ABCD的中位线，M，N是EF上的两个三等分点，若＝a，＝b，＝2.
(1)用a，b表示；
(2)证明：A，M，C三点共线．
【解析】(1)＝＋＋
＝a＋b＋＝a＋b，
又E为AD中点，
所以＝＝a＋b，
因为EF是梯形的中位线，且＝2，
所以＝(＋)＝＝a，
又M，N是EF的三等分点，
所以＝＝a，
所以＝＋＝a＋b＋a
＝a＋b.
(2)证明：由(1)知＝＝a，
所以＝＋＝a＋b＝，
又与有公共点M，所以A，M，C三点共线．
【测能力】
【单选题】
1. 如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝t＋，则实数t的值为(　　)
A． B．
C． D．
【解析】通解：因为＝，所以＝.
设＝λ，则＝＋＝＋λ＝＋λ(＋)＝＋λ＝λ＋(1－λ)，又＝t＋，
所以t＋＝λ＋(1－λ)，得，解得t＝λ＝，故选C．
优解：因为＝，
所以＝，
所以＝t＋＝t＋，
因为B，P，N三点共线，所以t＋＝1，所以t＝，
故选C．
2. 如图，A，B分别是射线OM，ON上的点，给出下列向量：①＋2；②＋；③＋；④＋；⑤－.若这些向量均以O为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的有(　　)
A．①② B．②④
C．①③ D．③⑤
【解析】在ON上取点C，使得OC＝2OB，以OA，OC为邻边作平行四边形OCDA，则＝＋2，其终点不在阴影区域内，排除A，C；取OA上一点E，作AE＝OA，作EF∥OB，交AB于点F，则EF＝OB，由于EF故选B.
3. 已知P为△ABC所在平面内一点，＋＋＝0，||＝||＝||＝2，则△ABC的面积为(　　)
A. B．2
C．3 D．4
【解析】设BC的中点为D，AC的中点为M，连接PD，MD，BM，如图所示，
则有＋＝2.
由＋＋＝0，
得＝－2，
又D为BC的中点，M为AC的中点，
所以＝－2，则＝，
则P，D，M三点共线且D为PM的中点，
又D为BC的中点，
所以四边形CPBM为平行四边形．
又||＝||＝||＝2，
所以||＝||＝2，则||＝4，
且||＝||＝2，
所以△AMB为等边三角形，∠BAC＝60°，
则S△ABC＝×2×4×＝2.
故选B.
4. 已知A1，A2，A3为平面上三个不共线的定点，平面上点M满足＝λ(＋)(λ是实数)，且＋＋是单位向量，则这样的点M有(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
【解析】方法一　由题意得，＝－λ(＋)，＝＋，＝＋，
∴＋＋＝(1－3λ)·(＋)，如图所示，设D为A2A3的中点，
∴(1－3λ)(＋)是与共起点且共线的一个向量，显然直线A1D与以A1为圆心的单位圆有两个交点，故λ有两个值，即符合题意的点M有两个，故选C.
方法二　以A1为原点建立平面直角坐标系，
设A2(a，b)，A3(m，n)，
则＋＝(a＋m，b＋n)，
∴M(λ(a＋m)，λ(b＋n))，
∴＝(－λ(a＋m)，－λ(b＋n))，
＝(a－λ(a＋m)，b－λ(b＋n))，
＝(m－λ(a＋m)，n－λ(b＋n))，
∴＋＋＝((1－3λ)(a＋m)，(1－3λ)(b＋n))．
∵＋＋是单位向量，
∴(1－3λ)2[(a＋m)2＋(b＋n)2]＝1，
∵A1，A2，A3是平面上三个不共线的定点，
∴(a＋m)2＋(b＋n)2>0，所以关于λ的方程有两解，
故满足条件的M有两个.
故选C.
【多选题】
5. 设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是(　　)
A．若＝＋，则点M是边BC的中点
B．若＝2－，则点M在边BC的延长线上
C．若＝－－，则点M是△ABC的重心
D．若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的
【解析】若＝＋，则点M是边BC的中点，故A正确；
若＝2－，即有－＝－，即＝，
则点M在边CB的延长线上，故B错误；
若＝－－，
即＋＋＝0，
则点M是△ABC的重心，故C正确；
如图，＝x＋y，且x＋y＝，
可得2＝2x＋2y，
设＝2，
则M为AN的中点，
则△MBC的面积是△ABC面积的，故D正确．
故选ACD.
6. 设a，b是不共线的两个平面向量， 已知＝a＋sin α·b，其中α∈(0,2π)，＝2a－b.若P，Q，R三点共线，则角α的值可以为(　　)
A. B. C. D.
【解析】因为a，b是不共线的两个平面向量，所以2a－b≠0.即≠0，因为P，Q，R三点共线，所以与共线，所以存在实数λ，使＝λ，所以a＋sin α·b＝2λa－λb，所以解得sin α＝－.又α∈(0,2π)，故α的值可为或.
故选CD.
【填空题】
7. 设P是△ABC所在平面内的一点，且＝2，则△PAB与△PBC的面积的比值是________．
【解析】因为＝2，所以＝，又△PAB在边PA上的高与△PBC在边PC上的高相等，所以＝＝.
8. 在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝4，且＝＋λ(λ∈R)，则λ＝________，AD的长为________．
【解析】∵B，D，C三点共线，
∴＋λ＝1，解得λ＝.
如图，过D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，
则＝，＝，
∵在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于D，
∴四边形AMDN是菱形，
∵AB＝4，∴AN＝AM＝3，
∴AD＝3.
【解答题】
9. 已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q.若＝λ，△ABC与△APQ的面积之比为，求实数λ的值．
【解析】
设＝x，
因为P，G，Q三点共线，
所以可设＝μ＋(1－μ)，
所以＝λμ＋(1－μ)x，
因为G为△ABC的重心，所以＝(＋)，
所以＋＝λμ＋(1－μ)x，
所以两式相乘得＝λxμ(1－μ)，①
因为＝，
所以λx＝，②
②代入①即＝μ(1－μ)，
解得μ＝或，即λ＝或.
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第五单元第1讲 平面向量的概念及线性运算
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：平面向量的概念
题型二：平面向量的线性运算
题型三：平面向量共线定理的应用
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空2题 填空2题
解答3题 解答3题
一、【讲】
【讲知识】
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．
(2)零向量：长度为0的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算 法则(或几何意义) 运算律
加法 交换律： a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 a－b＝a＋(－b)
数乘 |λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
3.向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
【讲方法】
1.平行向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆．
(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量．
2.平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略
(1)求已知向量的和或差．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用向量减法的几何意义；求首尾相连向量的和用三角形法则．
(2)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．
3.利用共线向量定理解题的策略
(1)a∥b a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用．
(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线 ，共线．
(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(4)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
二、【练】
【练题型】
【题型一】平面向量的概念
【典例1】(多选)下列命题中正确的有(　　)
A.平行向量就是共线向量
B.相反向量就是方向相反的向量
C.a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b
D.两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件
【典例2】(多选)下列命题正确的有(　　)
A.方向相反的两个非零向量一定共线
B.单位向量都相等
C.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
D.“若A，B，C，D是不共线的四点，且＝” “四边形ABCD是平行四边形”
【典例3】设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　)
A.a＝－b B.a∥b
C.a＝2b D.a∥b且|a|＝|b|
【题型二】平面向量的线性运算
【典例1】已知单位向量e1，e2，…，e2 023，则|e1＋e2＋…＋e2 023|的最大值是________，最小值是________．
【典例2】(多选)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2CD，E是BC边上一点，且＝3，F是AE的中点，则下列关系式正确的是(　　)
A.＝－＋
B.＝＋
C.＝－＋
D.＝－－
【典例3】已知平面四边形ABCD满足＝，平面内点E满足＝3，CD与AE交于点M，若＝x＋y，则x＋y等于(　　)
A. B．－
C. D．－
【题型三】平面向量共线定理的应用
【典例1】设两个非零向量a与b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
【典例2】已知向量a与b不共线，＝a＋mb，＝na＋b(m，n∈R)，则与共线的条件是(　　)
A．m＋n＝0 B．m－n＝0
C．mn＋1＝0 D．mn－1＝0
【典例3】如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交对角线AC于点K，其中＝，＝，＝λ，则λ＝________．
【练真题】
【真题1】(2018·全国Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于(　　)
A.－ B.－
C.＋ D.＋
【真题2】(2022·太原模拟)在△ABC中，AD为BC边上的中线，若点O满足＝2，则等于(　　)
A.－＋ B.－
C.－ D.－＋
【真题3】(2022·长春调研)在△ABC中，延长BC至点M使得BC＝2CM，连接AM，点N为AM上一点且＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)
A. B.
C．－ D．－
【真题4】(2022·大连模拟)在△ABC中，＝2，＝2，P为线段DE上的动点，若＝λ＋μ，λ，μ∈R，则λ＋μ等于(　　)
A．1 B. C. D．2
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 对于非零向量a，b，“a＋2b＝0”是“a∥b”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2. 如图，在正方形ABCD中，E是DC的中点，点F满足＝2，那么＝(　　)
A.－ B．＋
C.－ D．＋
3. 向量e1，e2，a，b在正方形网格中的位置如图所示，则a－b＝(　　)
A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2
C．e1－3e2 D．3e1－e2
4. 已知平面内一点P及△ABC，若＋＋＝，则点P与△ABC的位置关系是(　　)
A．点P在线段AB上 B．点P在线段BC上
C．点P在线段AC上 D．点P在△ABC外部
【多选题】
5. 如图，设P，Q两点把线段AB三等分，则下列向量表达式正确的是(　　)
A.＝ B．＝
C．BP＝－ D．＝
6. 设a，b是不共线的两个平面向量，已知＝a＋sin α·b，其中α∈(0，2π)，＝2a－b.若P，Q，R三点共线，则角α的值可以为(　　)
A． B．
C． D．
【填空题】
7. 设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________.
8. 设M是△ABC所在平面上的一点，且＋＋＝0，D是AC的中点，则＝________.
【解答题】
9. 已知a，b不共线，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，设t∈R，如果3a＝c，2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值；若不存在，请说明理由.
10. 如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近B点，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设＝a，＝b.
(1)试用a，b表示，，；
(2)证明：B，E，F三点共线.
11. 如图，EF是等腰梯形ABCD的中位线，M，N是EF上的两个三等分点，若＝a，＝b，＝2.
(1)用a，b表示；
(2)证明：A，M，C三点共线．
【测能力】
【单选题】
1. 如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝t＋，则实数t的值为(　　)
A． B．
C． D．
2. 如图，A，B分别是射线OM，ON上的点，给出下列向量：①＋2；②＋；③＋；④＋；⑤－.若这些向量均以O为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的有(　　)
A．①② B．②④
C．①③ D．③⑤
3. 已知P为△ABC所在平面内一点，＋＋＝0，||＝||＝||＝2，则△ABC的面积为(　　)
A. B．2
C．3 D．4
4. 已知A1，A2，A3为平面上三个不共线的定点，平面上点M满足＝λ(＋)(λ是实数)，且＋＋是单位向量，则这样的点M有(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
【多选题】
5. 设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是(　　)
A．若＝＋，则点M是边BC的中点
B．若＝2－，则点M在边BC的延长线上
C．若＝－－，则点M是△ABC的重心
D．若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的
6. 设a，b是不共线的两个平面向量， 已知＝a＋sin α·b，其中α∈(0,2π)，＝2a－b.若P，Q，R三点共线，则角α的值可以为(　　)
A. B. C. D.
【填空题】
7. 设P是△ABC所在平面内的一点，且＝2，则△PAB与△PBC的面积的比值是________．
8. 在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝4，且＝＋λ(λ∈R)，则λ＝________，AD的长为________．
【解答题】
9. 已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q.若＝λ，△ABC与△APQ的面积之比为，求实数λ的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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