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长春吉大附高2022-2023学年高一下学期期末考试
数学学科试卷
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷（选择题60分）
一、单项选择题（本大题包括8个小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）．
1．已知a，，（i为虚数单位），则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．已知向量，不共线，，，若，则实数（ ）
A． B． C． D．
3．己知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则是锐角三角形
C．若，则为等腰三角形
D．若，则
4．某校1500名学主参加交通安全知识竞赛，随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．频率分布直方图中的值为0.0045 B．估计这100名学生竞赛成绩的中位数为73
C．估计这100名学生竞赛成绩的众数为80 D．估计总体中成绩落在内的学生人数为525
5．已知m，n为异面直线，平面，平面．若直线满足，，且，．则下列说法正确的是（ ）
A．， B．，
C．与相交，且交线平行于 D．与相交，且交线垂直于
6．党的十八大以来的十年，是砥砺奋进、矢志“为中国人民谋幸福”的十年．在党中央的正确领导下，我国坚定不移贯彻新发展理念，着力推进高质量发展，推动构建新发展格局，实施供给侧结构性改革，制定一系列具有全局性意义的区域重大战略，经济实力实现历史性跃升．国内生产总值（GDP）从五十四万亿元增长到一百一十四万亿元，稳居世界第二位：下表是2022年我国大陆31省市区GDP数据．则由各省市区GDP组成的这组数据的第75百分位数为（单位：亿元）
2022年中国大陆31省市区GDP（单位：亿元）
排名 省份 GDP 排名 省份 GDP 排名 省份 GDP
1 广东 129118.6 12 河北 42370.4 23 新疆 17741.3
2 江苏 122875.6 13 北京 41610.9 24 天津 16311.3
3 山东 87435.1 14 陕西 32772.7 25 黑龙江 15901.0
4 浙江 77715.4 15 江西 32074.7 26 吉林 13070.2
5 河南 61345.1 16 重庆 29129.0 27 甘肃 11201.6
6 四川 56749.8 17 辽宁 28975.1 28 海南 6818.2
7 湖北 53734.9 18 云南 28954.2 29 宁夏 5069.6
8 福建 53109.9 19 广西 26300.9 30 青海 3610.1
9 湖南 48670.4 20 山西 25642.6 31 西藏 2132.6
10 安徽 45045.0 21 内蒙古 23158.7
11 上海 44652.8 22 贵州 20164.6
A．16311.3 B．17741.3 C．48670.4 D．53109.9
7．庑殿（图1）是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，多用于宫殿、坛庙、重要门楼等高级建筑上，庑殿的基本结构包括四个坡面，坡面相交处形成5根屋脊，故又称“四阿殿”或“五脊殿”．图2是根据庑殿顶构造的多面体模型，底面是矩形，且四个侧面与底面的夹角均相等，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题包括4个小题，每小题5分，共20分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）．
9．已知，为复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则或 D．若，则
10．抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件“第一枚出现奇数点”，事件“第二枚出现偶数点”，事件“两枚骰子出现点数和为8”，事件“两枚骰子出现点数和为9”，则（ ）
A．A与B互斥 B．C与D互斥 C．A与D独立 D．B与C独立
11．如图，正方体中，M，N，Q分别是AD，，的中点，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则平面MPN B．若，则平面MPN
C．若平面MPQ，则 D．若，则平面MPN截正方体所得的截面是五边形
12．现有甲、乙、丙三位篮球运动员连续5场篮球比赛得分情况的记录数据，已知三位球员得分情况的数据满足以下条件：
甲球员：5个数据的中位数是26，众数是24；
乙球员；5个数据的中位数是29，平均数是26；
丙球员：5个数据有1个是32，平均数是26，方差是9.6；
根据以上统计数据，下列统计结论一定正确的是（ ）
A．甲球员连续5场比赛得分都不低于24分
B．乙球员连续5场比赛得分都不低于24分
C．丙球员连续5场比赛得分都不低于24分
D．丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于24
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题（本大题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则__________．
14．在空间直角坐标系中，向量，，，若O，A，B，C四点共面，则实数__________．
15．某校采用分层随机抽样采集了高一、高二、高三年级学生的身高情况，部分调查数据如下：
项目 样本量 样本平均数 样本方差
高一 100 167 120
高二 100 170 150
高三 100 173 150
则总的样本均值__________，总的样本方差__________．
16．直三棱柱的底面是等腰直角三角形，，．若以点C为球心，为半径的球与侧面的交线长为，且所对的弦长为r，则球C与三棱柱的交线长为__________．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．
17．（本小题10分）
如图，在直三棱柱中，，，，点D是AB的中点．
（1）证明：；
（2）证明：平面．
18．（本小题12分）
我校开展体能测试，甲、乙两名男生准备在跳远测试中挑战280米的远度，己知每名男生有两次挑战机会，若第一跳成功，则等级为优秀，挑战结束；若第一跳失败，则再跳一次，若第二跳成功，则等级也为优秀，若第二跳失败，则等级为良好，挑战结束．已知甲、乙成功跳过280米的概率分别是，，且每名男生每跳相互独立．记“甲、乙在这次跳远挑战中获得优秀”分别为事件A，B．
（1）求、；
（2）求甲、乙两人在这次跳远挑战中恰有一人获得良好的概率．
19．（本小题12分）
在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，其面积为S，且满足．
（1）求角的大小；
（2）设BC边上的高，求S的最小值．
20．（本小题12分）
某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日的微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：
（1）从3月1日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率；
（2）下图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名（按照从大到小排序）分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图，请说明理由．
21．（本小题12分）
请在这三个条件：①；②；③，中任选一个条件补充在下面的横线上，并加以解答．
如图．锐角中，__________，，在上，且，点在边上，且，交于点F．
（1）求、的长；
（2）求的长．
22．（本小题12分）
在四棱台中，平面，，，，，，垂足为M．
（1）证明：平面平面；
（2）若二面角正弦值为，求直线平面所成角的余弦值．

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