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数列
第一讲 数列的概念及表示 学案
【核心知识整合】
考点1：数列的概念
1.数列的概念
一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示...第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用表示.其中第1项也叫做首项.
2.数列的分类
分类原则 类型 满足条件
项数 有穷数列 项数有限
无穷数列 项数无限
项与项间的大小关系 递增数列
递减数列
常数列
摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
考点2 ：数列的表示
1.数列的符号表示
数列的一般形式是，，…，，…，简记为.
2.数列与函数的关系
数列是从正整数集（或它的有限子集）到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项，记为.
3.数列的函数表示法及性质
数列可以用表格和图象来表示，定义数列的单调性，从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列.特别地，各项都相等的数列叫做常数列.
4.数列的通项公式
如果数列的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项.
5.数列的前n项和与其通项公式的关系
若，则称为数列的前n项和，由可求出通项公式.
已知，则.
[典型例题]
1.已知数列，，若此数列是递增数列，则的取值范围是( ).
A. B. C. D.
[答案]：A
[解析] 由对称轴为，解得.或对任意成立，得.故选A.
2.定义：在数列中，若满足(，d为常数)，称为“等差比数列”，已知在“等差比数列”中，，，则等于( ).
A. B. C. D.
[答案]：C
[解析] 由题意可得，，，根据“等差比数列”的定义可知数列是首项为1、公差为2的等差数列，则，所以，，则.故选C.
3.若数列的通项公式为，，的最大值为第x项，最小项为第y项，则( ).
A.3 B.4 C.5 D.6
[答案]：A
[解析] 令，则.
当，即时，达到最小值；
当，即时，达到最大值.故，，.
4.已知数列的前n项和，则的值为( ).
A.68 B.67 C.65 D.56
[答案]：A
[解析] 当时，.
当时，，符合上式，
所以，
所以.故选A.
[变式训练]
1.已知数列的通项公式为，则下列各数中不是数列中的项的是( )
A.2 B.40 C.56 D.90
[答案]：B
[解析] 数列的通项公式为，所给选项中，只有40不是相邻两个自然数的乘积，故选B.
2.已知数列的通项公式为，且单调递增，则实数k的取值范围是( )
A. B. C. D.
[答案]：D
[解析] ∵数列中，且单调递增，对于恒成立，即对于恒成立. 对于恒成立，即.故选D.
3.已知数列满足()，且中任何一项都不为-1，设数列的前n项和为，若，则的值为( )
A. B.1 C. D.
[答案]：D
[解析] 因为，所以，
所以，即，
所以，
，所以，所以.
故选D.
4.已知数列的通项公式是，那么这个数列是( )
A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列
[答案]：A
[解析] ，，
，因此，数列是递增数列.故选A.

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