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浙江省杭州市拱墅区2022-2023学年八年级下学期数学期末考试试卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有个选项是符合题目要求的.
1．（2023八下·拱墅期末）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2023八下·拱墅期末）若代数式有意义，则a的取值范围是（　　）
A．a≥1 B．a＝1 C．a≤1 D．a≠1
3．（2023八下·拱墅期末）若点（-3，2）在反比例函数的图象上，则下列各点也在此函数图象上的是（　　）
A．（1，6） B．（-1，6） C．（-3，-2） D．（3，2）
4．（2023八下·拱墅期末）方程的解为（　　）
A． B． C． D．
5．（2023八下·拱墅期末）关于x的方程x2-ax-2＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
6．（2023八下·拱墅期末）若一组数据2，4，5，1，a的平均数为a，则a＝（　　）
A．1 B．2.4 C．2 D．3
7．（2023八下·拱墅期末）设五边形的内角和为α，三角形的外角和为β，则（　　）
A．α＝β B． C．α＝2β D．α＝3β
8．（2023八下·拱墅期末）如图，在矩形ABCD中，以点D为圆心，AD为半径作弧与BD交于点E，以点B为圆心，AB为半径作弧与BD交于点F．设AB＝a，AD＝b，则（　　）
A．线段DF的长是方程x2+2ax＝b2的一个解
B．线段DF的长是方程x2-2ax＝b2的一个解
C．线段BE的长是方程x2+bx＝a2的一个解
D．线段BE的长是方程x2-bx＝a2的一个解
9．（2023八下·拱墅期末）已知点R1（a-2，b）与点P2（a+1，b-2）在反比例函数的图象上，（　　）
A．若k＞0，则a＞2，0＜b＜2 B．若k＞0，则a＜-1，b＞2
C．若k＜0，则a＜2，b＞2 D．若k＜0，则-1＜a＜2，0＜b＜2
10．（2023八下·拱墅期末）如图，在正方形ABCD中，点F在边CD上（不与点C，点D重合），点E是CB延长线上的一点，且满足BE＝DF，连接EF，过点A作 AH⊥EF，垂足是点H，连接BH．设AB＝a，BE＝b，BH＝c，则（　　）
A．2c＝a+b B． C． D．2c2＝a2+b
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分.
11．（2023八下·拱墅期末）若关于x的方程x2-mx＝0的一个根是1，则m＝　 　．
12．（2023八下·拱墅期末）用一个x的值来说明“”是错误的，则x的值可以是 　 　．
13．（2023八下·拱墅期末）小方在本学期的数学平时成绩、期中成绩、期末成绩分别是90分、80分、95分，若平时成绩、期中成绩、期末成绩在学期成绩所占的比例分别为30%，30%，40%，则小方在本学期的数学成绩是 　 　分．
14．（2023八下·拱墅期末）已知点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，AC＝12．BC＝18，OD＝14，则△OBC的周长为 　 　．
15．（2023八下·拱墅期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+b的图象与反比例函数的图象交于 A（1，y1）B（-3，y2）．请根据图象写出不等式的解集 　 　．
16．（2023八下·拱墅期末）如图是一张矩形纸片ABCD，点E在边BC上，且满足 AB＝2BE，把△ABE沿直线AE折叠，使点B落在点F处，EF的延长线与边CD交于点G．若CG＝DG，则＝　 　．
三、解答题：本大题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2023八下·拱墅期末）计算：
（1）
（2）．
18．（2023八下·拱墅期末）解方程：
（1）x2+x＝0；
（2）4x2+1＝4x．
19．（2023八下·拱墅期末）为确保让学生吃得放心，全力守护学生“舌尖”上的安全，区食品安全检测员随机抽取某两所学校，并对两所学校食堂菜品进行检测评分（满分10分），并将数据进行整理和分析成如下统计图和未完成的分析表．
A、B两校菜品评分情况分析表
学校 平均数 众数 中位数 方差
A校 8 8 b d
B校 a 10 c 4.4
根据以上信息，回答下列问题：
（1）求分析表中a，b，c，d的值．
（2）根据上述统计量对两校的菜品作出评价，并简述理由．
20．（2023八下·拱墅期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AO＝CO．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形．
（2）若CD＝3，，AC⊥AB，求四边形ABCD的面积．
21．（2023八下·拱墅期末）五一假期，小王一家从杭州到温州自驾游，已知杭州到温州市区A处的路程为300千米，小王家的车油箱的容积为55升，小王把油箱加满后驾驶汽车从杭州出发．
（1）求汽车行驶的总路程s（单位：千米）与平均耗油量b（单位：升/千米）的函数表达式．
（2）小王以平均每千米耗油0.1升的速度驾驶汽车到达温州市区A处，休整后沿图示路线继续出发，先到雁荡山B处，再到楠溪江C处，最后到洞头D处．由于下雨，从A处开始直到D处小王降低了车速，此时平均每千米的耗油量增加了20%．如果小王始终以此速度行驶，不需加油能否到达洞头D处？如果不能，至少还需加多少油？
22．（2023八下·拱墅期末）如图，在菱形ABCD中，60°＜∠ABC＜90°，点E在边BC上（不与点B，点C重合），线段EC的中垂线交对角线BD于点F，连接AE，AF，EF，CF．
（1）求证：AF＝EF．
（2）设∠ABC＝α，∠AEF＝β．圆圆同学通过画图和测量得到以下近似数据：
α 70 76 80 88
β 35 38 40 44
猜想：β关于α的函数表达式，并给出证明．
（3）若AB＝AE，AB∥FE，求证：BF＝CF+CE．
23．（2023八下·拱墅期末）根据以下素材，完成探索任务．
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1 某农户承包了一块长方形果园ABCD，图1是果园的平面图，其中AB＝200米，BC＝300米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为2x米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是50元/m ；出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．
素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用．
问题解决
任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． ⑴请直接写出纵向道路宽度x的取值范围． ⑵若中间种植的面积是44800m2，则路面设置的宽度是否符合要求．
任务2 解决果园种植的预期利润问题．（净利润＝草莓销售的总利润一路面造价费用一果园承包费用一新苗购置费用一其余费用， ⑶经过l年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，沿着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可一一判断得出答案.
2．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得a-1≥0，
解得a≥1.
故答案为：A.
【分析】由二次根式的被开方数不能为负数建立不等式，求解即可.
3．【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 点（-3，2）在反比例函数的图象上，
∴k=-3×2=-6，
∵1×6=-3×（-2）=3×2=6≠-6=-1×6，
∴A、C、D三个选项都不符合题意，只有B选项符合题意.
故答案为：B.
【分析】利用点（-3，2）求出k，根据反比例函数图象上点的横坐标的乘积等于定值k，即可一一判断得出答案.
4．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解： ，
未知数项的系数化为1，得.
故答案为：C.
【分析】根据等式的性质，在等式的两边都除以未知数项的系数“”将未知数项的系数化为1，结合二次根式的除法法则计算可得答案.
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： 关于x的方程x2-ax-2＝0中，二次项的系数为1，一次项的系数为-a，常数项为-2，
∴△=（-a）2-4×1×（-2）=a2+8，
∵a2≥0，
∴a2+8＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根.
故答案为：B.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当△=b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当△=b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当△=b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此算出根的判别式“△”的值，并结合偶数次幂的非负性即可判断得出答案.
6．【答案】D
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：∵ 一组数据2，4，5，1，a的平均数为a，
∴2+4+5+1+a=5a，
解得a=3.
故答案为：D.
【分析】根据平均数的定义可得：一组数据的各个数据的和等于这组数据的平均数与这组数据的个数的乘积，据此建立方程，求解即可.
7．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵五边形的内角和α=（5-2）×180°=540°，三角形的外角和β=360°，
∴，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据n边形的内角和公式“（n-2）×180°”算出五边形的内角和α，再根据任何凸多边形的外角和都等于360°求出β，进而再求α与β的比值即可.
8．【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵在Rt△ABD中，AD=b，AB=a，
∴，
由作图过程知DE=b，BF=a，
∴BE=BD-DE=-b，DF=BD-BF=-a，
解方程 x2+2ax＝b2 得，∴A选项符合题意；
解方程x2-2ax＝b2得，所以B选项不符合题意；
解方程x2+bx＝a2得， 所以C选项不符合题意；
解方程 x2-bx＝a2 得，所以D选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】首先由勾股定理求出BD的长，由作图过程知DE=b，BF=a，由线段的和差得BE=-b，DF=-a，再利用求根公式法分别求出各个选项中方程的根，从而即可一一判断得出答案.
9．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、当k＞0时，反比例函数的图象在第一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小，
∵a＞2，
∴a+1＞a-2＞0，
∴点R1（a-2，b）与点P2（a+1，b-2）都在第一象限，
∴b-2＞0，
∴b＞2，故A选项错误，不符合题意；
B、当k＞0时，反比例函数的图象在第一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小，
∵a＜-1，
∴a-2＜a+1＜0，
∴点R1（a-2，b）与点P2（a+1，b-2）都在第三象限，
∴b＜0，故B选项错误，不符合题意；
C、当k＜0时，反比例函数的图象在第二、四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大，
∵a＜2，
∴a-2＜0，
∴点R1（a-2，b）在第二象限，
∴b＞0，故C选项错误，不符合题意；
D、当k＜0时，反比例函数的图象在第二、四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大，
∵-1＜a＜2，
∴a+1＞0＞a-2，
∴点R1（a-2，b）在第二象限，点P2（a+1，b-2）在第四象限，
∴b＞0，且b-2＜0，
∴0＜b＜2，故D选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】当k＞0时，反比例函数的图象在第一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小，当k＞0时，反比例函数的图象在第一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小，然后根据各个选项所给的a的取值范围，判断出R1与P2点所在的象限，再根据各个象限点的纵坐标符号特点列出关于字母b的不等式，求解可得b的取值范围，从而一一判断得出答案.
10．【答案】C
【知识点】四边形的综合
【解析】【解答】解：如图，连接AE、AF，过点H作MN∥BC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠ABC=∠ABE=∠DAB=90°，AD=AB，AB∥CD，
在△ADF与△ABE中，
∵AD=AB，∠D=∠ABE=90°，BE=DF，
∴△ADF≌△ABE（SAS），
∴AE=AF，∠DAF=∠BAE，
∵∠DAF+∠FAB=∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠FAB=90°，即∠EAF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∵AH⊥EF，
∴AH=EH=FH，即点H是EF的中点，
∵MN∥BC，
∴点N是CF的中点，
∴NF=NC，
∵MN∥BC，AB∥CD，
∴四边形BCNM是平行四边形，
又∠ABC=90°，
∴四边形BCNM是矩形，
∴MB=NC，∠BMH=∠MNC=90°，
∴∠AMH=∠HNF=90°，
∴∠AHM+∠MAH=90°，
∵AH⊥EF，
∴∠AHM+∠NHF=90°，
∴∠MAH=∠NHF，
在△MAH和△NHF中，
∵∠AMH=∠HNF=90°，∠MAH=∠NHF，AH=HF，
∴△MAH≌△NHF（AAS），
∴NF=MH，
∴NF=MH=NC=MB，
∴△BMH是等腰直角直角三角形，
∴BH=MB，
设NF=MH=NC=MB=x，
∵CD=AB=DF+NF+NC，
∴a=b+x+x，
∴，
∴，
∴ .
故答案为：C.
【分析】根据正方形的性质及三角形全等的判定方法“SAS”判断出△ADF≌△ABE，由全等三角形的性质可推出△AEF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的三线合一可得点H是EF的中点，进而根据三角形的中位线定理得点N是CF的中点，判断出四边形BCNM是矩形可得CN=FN=BM，再证△MAH≌△NHF，得NF=MH，则推出△BMH是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得BH=MB，用含a、b的式子表示出BM，从而即可得出a、b、c之间的关系.
11．【答案】1
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵ 关于x的方程x2-mx＝0的一个根是1，
∴将x=1代入方程x2-mx=0，得1-m=0，
解得m=1.
故答案为：1.
【分析】根据方程根的概念，将x=1代入原方程可得关于字母m的方程，求解可得m的值.
12．【答案】-2
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：当x=-2时，，
∴是错误的.
故答案为：-2.
【分析】开放性命题，答案不唯一，由于，故要举例说明是错误的，只需要让x的值为负数即可.
13．【答案】89
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解： 小方在本学期的数学成绩是90×30％+80×30％+95×40％=89（分）.
故答案为：89.
【分析】求出小方在本学期的数学平时成绩、期中成绩、期末成绩分别乘以各自的所占的百分比的积的和即可得出答案.
14．【答案】38
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，且O是对角线AC与BD的交点，
∴OC=AC=6，OB=OD=14，
∴△OBC的周长为：OB+OC+BC=6+14+18=38.
故答案为：38.
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分可得OC=AC=6，OB=OD=14，进而根据三角形的周长计算方法计算可得答案.
15．【答案】-3＜x＜0或x>1
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：求关于x的不等式的解集，就是求不等式x+b＞的解集，
由图象可得其解集为：-3＜x＜0或x>1，
故答案为：-3＜x＜0或x>1.
【分析】求关于x的不等式的解集，就是求不等式x+b＞的解集，从图象来看，就是求一次函数的图象在反比例函数的图象的上方部分相应的自变量的取值范围，结合交点坐标即可得出答案.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接AG，
设BE=x，则AB=2BE=2x，设FG=m，
由翻折知AB=AF=2x，BE=EF=x，
∵CG=DG，CD=AB=2x，
∴DG=CG=x，
由勾股定理，得AF2+FG2=AD2+DG2，
∴（2x）2+m2=AD2+x2，
∴AD2=3x2+m2，
由勾股定理得CE2+CG2=EG2，
∴CE2=x2+2mx+m2-x2=2mx+m2，
∴，
∴BC=BE+EC=，
∵AD2=BC2，
∴3x2+m2=(x+)2，即3x2+m2=x2+2mx+m2+2x，
∴2x2-2mx=2x，
∴x-m=，
∴（x-m）2=()2，即x2-2mx+m2=2mx+m2，
∴x2=4mx，
∴m=x，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】连接AG，设BE=x，则AB=2BE=2x，设FG=m，由翻折知AB=AF=2x，BE=EF=x，根据矩形的性质及已知得DG=CG=x，由勾股定理建立方程可得AD2=3x2+m2，BC=BE+EC=，再根据矩形的对边相等可得AD2=BC2，据此建立方程m=x，从而可用含x的式子表示出CE，最后求出CE、BE的比值即可.
17．【答案】（1）解：原式=；
（2）解：原式=.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先利用乘法分配律去括号，再根据二次根式的性质及二次根式的乘法法则进行计算即可；
（2）先根据二次根式的性质及二次根式的乘法法则进行计算，再根据二次根式的性质化简，最后计算有理数的加法可得答案.
18．【答案】（1）解：（1）∵ x2+x＝0 ，
∴x(x+1)=0，
∴x=0或x+1=0，
解得x1=0，x2=-1；
（2）解：∵ 4x2+1＝4x ，
∴ 4x2-4x+1＝0，
∴(2x－1)2＝0，
∴2x－1＝0，
解得x1＝x2＝.
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）由于该方程缺常数项，故使用因式分解法较为简单；将方程的左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于0，则至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求出原方程的解；
（2）移项将方程整理成一般形式，发现方程的左边是一个完全平方式，故此题利用直接开平方法求解较为简单；将方程的左边利用完全平方公式分解因式，进而根据平方根的定义将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求出原方程的解.
19．【答案】（1）解：B校的平均分为：a=×（9+5+6+10+10）=8；
A校评分按从低到高排列为：7，8，8，8，9，∴中位数为b=8；
B校评分按从低到高排列为：5，6，9，10，10，∴中位数为c=9；
A校评分的方差为：d=[（7-8）2+（8-8）2+（8-8）2+（8-8）2+（9-8）2]=0.4；
（2）解：从平均分看，两所学校都是一样；从众数看，A校众数为8，B校众数为10，所以B校菜品更好；从中位数看，A校为8，B校为9选B校更好；从方差看，A校的方差为0.4，B校的方差为4.4，方差越小越稳定，A校菜品更好.
【知识点】折线统计图；方差；分析数据的集中趋势
【解析】【分析】（1）根据统计图表提供的信息，由平均数就是一组数据的总和除以这组数据的总个数可求出a的值；利用将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数 叫做这组数据的中位数，可求出b、c的值；利用方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的平均数可算出d的值；
（2）从平均数、众数、中位数及方差几个统计量进行比较得出结论.
20．【答案】（1）证明：因为AB∥CD，
所以∠ABD＝∠CDB，∠BAC＝∠DCA，
又因为OA=OC，
所以△AOB≌△COD，
所以AB=CD，
所以四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AC＝2CO，BO＝DO＝BD＝，AB=CD=3，
因为AC⊥AB，
所以∠BAC＝90°，
在Rt△ABO中，AO2＝BO2－AB2，
所以AO＝2，
所以AC＝4，
所以四边形ABCD的面积为：AB×AC=3×4＝12．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）由二直线平行，内错角相等，得∠ABD＝∠CDB，∠BAC＝∠DCA，从而利用AAS判断出△AOB≌△COD，根据全等三角形的对应边相等得AB=CD，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论；
（2）根据平行四边形的对角线互相平分得AC＝2AO，BO＝DO＝BD＝，AB=CD=3，在Rt△ABO中，利用勾股定理算出AO，从而可得AC的长，进而根据平行四边形的面积等于底乘以高，计算即可.
21．【答案】（1）解：由题意得：；
（2）解：小王需要加油才能到达洞头D处，理由如下：
从杭州到温州A处，一共耗油0.1×300=30（升），
从A-B-C-D处：
b=0.1（1+20%）=0.12 升/千米 ，
一共耗油（79+40+131）×0.12=30（升），
∵30+30=60＞55，
∴不加油不能到达洞头D处，
至少还需加油：30+30-55=5（升），
答：还需加油5升以上.
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）利用路程等于总容积÷平均耗油量，即可求出汽车行驶的总路程s（单位：千米）与平均耗油量b（单位：升/千米）的函数表达式；
（2）求出从杭州到达温州市区A处所需加油量及从A处到达洞头D处所需油量之和，再与油箱中的油量55升进行比较即可得出答案.
22．【答案】（1）证明：因为四边形ABCD是菱形，
所以∠ABD＝∠CBD，AB＝CB，
因为BF＝BF，
所以△ABF≌△CBF，
所以AF＝CF，
又因为线段EC的中垂线交BD于点F，
所以EF＝CF，
所以AF＝FE；
（2）解：猜想：α＝2β．
证明：因为△ABF≌△CBF，
所以∠BAF＝∠BCF，
因为EF＝CF，
所以∠FEC＝∠ECF，
因为∠FEC＋∠FEB＝180°，
所以∠BAF＋∠FEB＝180°，
所以∠ABC＋∠AFE＝180°，
即∠AFE＝180°－α，
因为AF＝FE，
所以∠AEF＝(180°－∠AFE)＝α，
所以α＝2β．
（3）证明：因为AB＝AE，
所以∠ABE＝∠AEB＝2β，
因为AB∥FE，
所以∠FEC＝∠ABE＝2β，
所以∠FEC＝∠ABE＝∠AEB＝∠ECF＝2β，
因为∠AEB＋∠FEC＋∠AEF＝180°，
所以β＝36°，
计算可得：∠BFC＝72°，∠BFE＝36°，
因为∠BFC＝∠BCF＝72°，
所以BF＝BC，
因为∠BFE＝∠FBC＝36°，
所以BE＝EF，
所以BF＝BC＝BE＋CE＝CF＋CE．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由菱形的性质得∠ABD＝∠CBD，AB＝CB，结合BF=BF，可用SAS判断出△ABF≌△CBF，由全等三角形的对应边相等得AF=CF，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得EF=CF，从而由等量代换可得AF=FE；
（2）猜想：α＝2β，理由如下：由全等三角形的对应角相等得∠BAF＝∠BCF，由等边对等角得∠FEC＝∠ECF，由邻补角定义及等量代换可得∠BAF＋∠FEB＝180°，进而由四边形的内角和定理可得∠ABC＋∠AFE＝180°，然后根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠AEF＝(180°－∠AFE)＝α，从而得出结论；
（3）由等边对等角得∠ABE＝∠AEB＝2β，由二直线平行，同位角相等，得∠FEC＝∠ABE＝2β，根据平角的定义可得∠AEB＋∠FEC＋∠AEF＝180°，据此可求出β＝36°，然后根据三角形的内角和定理可得∠BFC＝72°，∠BFE＝36°，则∠BFC＝∠BCF＝72°，∠BFE＝∠FBC＝36°，由等角对等边得BF＝BC，BE＝EF，最后根据线段的和差及等量代换可得结论.
23．【答案】解：（1）由题意得
解得5≤x≤6；
（2）由题意得，(200－4x)(300－2x)＝44800，
x2－200x＋1900＝0
解得：x1＝10，x2＝190，都不满足5≤x≤6，
所以不符合；
（3）由题意得：100(200－4x)(300－2x)－50[200×300－(200－4x)(300－2x)]－330000-250000-250000＝4000000，
化简得：x2－200x＋975＝0
解得：x1＝5，x2＝195（舍去），
所以可以达到预期．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据道路宽度不超过12米，且不小于5米建立不等式组，求解即可；
（2）由题意，果园种植区域是一个长为（300-2x）m，宽为（200-4x）m的矩形，根据矩形的面积计算公式建立方程，求解方程的解，再根据（1）中x的取值范围进行检验即可得出结论；
（3）根据净利润＝草莓销售的总利润-路面造价费用-果园承包费用-新苗购置费用-其余费用建立方程，求解并根据（1）中x的取值进行检验可得答案.
1 / 1浙江省杭州市拱墅区2022-2023学年八年级下学期数学期末考试试卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有个选项是符合题目要求的.
1．（2023八下·拱墅期末）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，沿着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可一一判断得出答案.
2．（2023八下·拱墅期末）若代数式有意义，则a的取值范围是（　　）
A．a≥1 B．a＝1 C．a≤1 D．a≠1
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得a-1≥0，
解得a≥1.
故答案为：A.
【分析】由二次根式的被开方数不能为负数建立不等式，求解即可.
3．（2023八下·拱墅期末）若点（-3，2）在反比例函数的图象上，则下列各点也在此函数图象上的是（　　）
A．（1，6） B．（-1，6） C．（-3，-2） D．（3，2）
【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 点（-3，2）在反比例函数的图象上，
∴k=-3×2=-6，
∵1×6=-3×（-2）=3×2=6≠-6=-1×6，
∴A、C、D三个选项都不符合题意，只有B选项符合题意.
故答案为：B.
【分析】利用点（-3，2）求出k，根据反比例函数图象上点的横坐标的乘积等于定值k，即可一一判断得出答案.
4．（2023八下·拱墅期末）方程的解为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解： ，
未知数项的系数化为1，得.
故答案为：C.
【分析】根据等式的性质，在等式的两边都除以未知数项的系数“”将未知数项的系数化为1，结合二次根式的除法法则计算可得答案.
5．（2023八下·拱墅期末）关于x的方程x2-ax-2＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： 关于x的方程x2-ax-2＝0中，二次项的系数为1，一次项的系数为-a，常数项为-2，
∴△=（-a）2-4×1×（-2）=a2+8，
∵a2≥0，
∴a2+8＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根.
故答案为：B.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当△=b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当△=b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当△=b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此算出根的判别式“△”的值，并结合偶数次幂的非负性即可判断得出答案.
6．（2023八下·拱墅期末）若一组数据2，4，5，1，a的平均数为a，则a＝（　　）
A．1 B．2.4 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：∵ 一组数据2，4，5，1，a的平均数为a，
∴2+4+5+1+a=5a，
解得a=3.
故答案为：D.
【分析】根据平均数的定义可得：一组数据的各个数据的和等于这组数据的平均数与这组数据的个数的乘积，据此建立方程，求解即可.
7．（2023八下·拱墅期末）设五边形的内角和为α，三角形的外角和为β，则（　　）
A．α＝β B． C．α＝2β D．α＝3β
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵五边形的内角和α=（5-2）×180°=540°，三角形的外角和β=360°，
∴，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据n边形的内角和公式“（n-2）×180°”算出五边形的内角和α，再根据任何凸多边形的外角和都等于360°求出β，进而再求α与β的比值即可.
8．（2023八下·拱墅期末）如图，在矩形ABCD中，以点D为圆心，AD为半径作弧与BD交于点E，以点B为圆心，AB为半径作弧与BD交于点F．设AB＝a，AD＝b，则（　　）
A．线段DF的长是方程x2+2ax＝b2的一个解
B．线段DF的长是方程x2-2ax＝b2的一个解
C．线段BE的长是方程x2+bx＝a2的一个解
D．线段BE的长是方程x2-bx＝a2的一个解
【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵在Rt△ABD中，AD=b，AB=a，
∴，
由作图过程知DE=b，BF=a，
∴BE=BD-DE=-b，DF=BD-BF=-a，
解方程 x2+2ax＝b2 得，∴A选项符合题意；
解方程x2-2ax＝b2得，所以B选项不符合题意；
解方程x2+bx＝a2得， 所以C选项不符合题意；
解方程 x2-bx＝a2 得，所以D选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】首先由勾股定理求出BD的长，由作图过程知DE=b，BF=a，由线段的和差得BE=-b，DF=-a，再利用求根公式法分别求出各个选项中方程的根，从而即可一一判断得出答案.
9．（2023八下·拱墅期末）已知点R1（a-2，b）与点P2（a+1，b-2）在反比例函数的图象上，（　　）
A．若k＞0，则a＞2，0＜b＜2 B．若k＞0，则a＜-1，b＞2
C．若k＜0，则a＜2，b＞2 D．若k＜0，则-1＜a＜2，0＜b＜2
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、当k＞0时，反比例函数的图象在第一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小，
∵a＞2，
∴a+1＞a-2＞0，
∴点R1（a-2，b）与点P2（a+1，b-2）都在第一象限，
∴b-2＞0，
∴b＞2，故A选项错误，不符合题意；
B、当k＞0时，反比例函数的图象在第一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小，
∵a＜-1，
∴a-2＜a+1＜0，
∴点R1（a-2，b）与点P2（a+1，b-2）都在第三象限，
∴b＜0，故B选项错误，不符合题意；
C、当k＜0时，反比例函数的图象在第二、四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大，
∵a＜2，
∴a-2＜0，
∴点R1（a-2，b）在第二象限，
∴b＞0，故C选项错误，不符合题意；
D、当k＜0时，反比例函数的图象在第二、四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大，
∵-1＜a＜2，
∴a+1＞0＞a-2，
∴点R1（a-2，b）在第二象限，点P2（a+1，b-2）在第四象限，
∴b＞0，且b-2＜0，
∴0＜b＜2，故D选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】当k＞0时，反比例函数的图象在第一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小，当k＞0时，反比例函数的图象在第一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小，然后根据各个选项所给的a的取值范围，判断出R1与P2点所在的象限，再根据各个象限点的纵坐标符号特点列出关于字母b的不等式，求解可得b的取值范围，从而一一判断得出答案.
10．（2023八下·拱墅期末）如图，在正方形ABCD中，点F在边CD上（不与点C，点D重合），点E是CB延长线上的一点，且满足BE＝DF，连接EF，过点A作 AH⊥EF，垂足是点H，连接BH．设AB＝a，BE＝b，BH＝c，则（　　）
A．2c＝a+b B． C． D．2c2＝a2+b
【答案】C
【知识点】四边形的综合
【解析】【解答】解：如图，连接AE、AF，过点H作MN∥BC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠ABC=∠ABE=∠DAB=90°，AD=AB，AB∥CD，
在△ADF与△ABE中，
∵AD=AB，∠D=∠ABE=90°，BE=DF，
∴△ADF≌△ABE（SAS），
∴AE=AF，∠DAF=∠BAE，
∵∠DAF+∠FAB=∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠FAB=90°，即∠EAF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∵AH⊥EF，
∴AH=EH=FH，即点H是EF的中点，
∵MN∥BC，
∴点N是CF的中点，
∴NF=NC，
∵MN∥BC，AB∥CD，
∴四边形BCNM是平行四边形，
又∠ABC=90°，
∴四边形BCNM是矩形，
∴MB=NC，∠BMH=∠MNC=90°，
∴∠AMH=∠HNF=90°，
∴∠AHM+∠MAH=90°，
∵AH⊥EF，
∴∠AHM+∠NHF=90°，
∴∠MAH=∠NHF，
在△MAH和△NHF中，
∵∠AMH=∠HNF=90°，∠MAH=∠NHF，AH=HF，
∴△MAH≌△NHF（AAS），
∴NF=MH，
∴NF=MH=NC=MB，
∴△BMH是等腰直角直角三角形，
∴BH=MB，
设NF=MH=NC=MB=x，
∵CD=AB=DF+NF+NC，
∴a=b+x+x，
∴，
∴，
∴ .
故答案为：C.
【分析】根据正方形的性质及三角形全等的判定方法“SAS”判断出△ADF≌△ABE，由全等三角形的性质可推出△AEF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的三线合一可得点H是EF的中点，进而根据三角形的中位线定理得点N是CF的中点，判断出四边形BCNM是矩形可得CN=FN=BM，再证△MAH≌△NHF，得NF=MH，则推出△BMH是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得BH=MB，用含a、b的式子表示出BM，从而即可得出a、b、c之间的关系.
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分.
11．（2023八下·拱墅期末）若关于x的方程x2-mx＝0的一个根是1，则m＝　 　．
【答案】1
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵ 关于x的方程x2-mx＝0的一个根是1，
∴将x=1代入方程x2-mx=0，得1-m=0，
解得m=1.
故答案为：1.
【分析】根据方程根的概念，将x=1代入原方程可得关于字母m的方程，求解可得m的值.
12．（2023八下·拱墅期末）用一个x的值来说明“”是错误的，则x的值可以是 　 　．
【答案】-2
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：当x=-2时，，
∴是错误的.
故答案为：-2.
【分析】开放性命题，答案不唯一，由于，故要举例说明是错误的，只需要让x的值为负数即可.
13．（2023八下·拱墅期末）小方在本学期的数学平时成绩、期中成绩、期末成绩分别是90分、80分、95分，若平时成绩、期中成绩、期末成绩在学期成绩所占的比例分别为30%，30%，40%，则小方在本学期的数学成绩是 　 　分．
【答案】89
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解： 小方在本学期的数学成绩是90×30％+80×30％+95×40％=89（分）.
故答案为：89.
【分析】求出小方在本学期的数学平时成绩、期中成绩、期末成绩分别乘以各自的所占的百分比的积的和即可得出答案.
14．（2023八下·拱墅期末）已知点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，AC＝12．BC＝18，OD＝14，则△OBC的周长为 　 　．
【答案】38
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，且O是对角线AC与BD的交点，
∴OC=AC=6，OB=OD=14，
∴△OBC的周长为：OB+OC+BC=6+14+18=38.
故答案为：38.
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分可得OC=AC=6，OB=OD=14，进而根据三角形的周长计算方法计算可得答案.
15．（2023八下·拱墅期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+b的图象与反比例函数的图象交于 A（1，y1）B（-3，y2）．请根据图象写出不等式的解集 　 　．
【答案】-3＜x＜0或x>1
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：求关于x的不等式的解集，就是求不等式x+b＞的解集，
由图象可得其解集为：-3＜x＜0或x>1，
故答案为：-3＜x＜0或x>1.
【分析】求关于x的不等式的解集，就是求不等式x+b＞的解集，从图象来看，就是求一次函数的图象在反比例函数的图象的上方部分相应的自变量的取值范围，结合交点坐标即可得出答案.
16．（2023八下·拱墅期末）如图是一张矩形纸片ABCD，点E在边BC上，且满足 AB＝2BE，把△ABE沿直线AE折叠，使点B落在点F处，EF的延长线与边CD交于点G．若CG＝DG，则＝　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接AG，
设BE=x，则AB=2BE=2x，设FG=m，
由翻折知AB=AF=2x，BE=EF=x，
∵CG=DG，CD=AB=2x，
∴DG=CG=x，
由勾股定理，得AF2+FG2=AD2+DG2，
∴（2x）2+m2=AD2+x2，
∴AD2=3x2+m2，
由勾股定理得CE2+CG2=EG2，
∴CE2=x2+2mx+m2-x2=2mx+m2，
∴，
∴BC=BE+EC=，
∵AD2=BC2，
∴3x2+m2=(x+)2，即3x2+m2=x2+2mx+m2+2x，
∴2x2-2mx=2x，
∴x-m=，
∴（x-m）2=()2，即x2-2mx+m2=2mx+m2，
∴x2=4mx，
∴m=x，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】连接AG，设BE=x，则AB=2BE=2x，设FG=m，由翻折知AB=AF=2x，BE=EF=x，根据矩形的性质及已知得DG=CG=x，由勾股定理建立方程可得AD2=3x2+m2，BC=BE+EC=，再根据矩形的对边相等可得AD2=BC2，据此建立方程m=x，从而可用含x的式子表示出CE，最后求出CE、BE的比值即可.
三、解答题：本大题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2023八下·拱墅期末）计算：
（1）
（2）．
【答案】（1）解：原式=；
（2）解：原式=.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先利用乘法分配律去括号，再根据二次根式的性质及二次根式的乘法法则进行计算即可；
（2）先根据二次根式的性质及二次根式的乘法法则进行计算，再根据二次根式的性质化简，最后计算有理数的加法可得答案.
18．（2023八下·拱墅期末）解方程：
（1）x2+x＝0；
（2）4x2+1＝4x．
【答案】（1）解：（1）∵ x2+x＝0 ，
∴x(x+1)=0，
∴x=0或x+1=0，
解得x1=0，x2=-1；
（2）解：∵ 4x2+1＝4x ，
∴ 4x2-4x+1＝0，
∴(2x－1)2＝0，
∴2x－1＝0，
解得x1＝x2＝.
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）由于该方程缺常数项，故使用因式分解法较为简单；将方程的左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于0，则至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求出原方程的解；
（2）移项将方程整理成一般形式，发现方程的左边是一个完全平方式，故此题利用直接开平方法求解较为简单；将方程的左边利用完全平方公式分解因式，进而根据平方根的定义将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求出原方程的解.
19．（2023八下·拱墅期末）为确保让学生吃得放心，全力守护学生“舌尖”上的安全，区食品安全检测员随机抽取某两所学校，并对两所学校食堂菜品进行检测评分（满分10分），并将数据进行整理和分析成如下统计图和未完成的分析表．
A、B两校菜品评分情况分析表
学校 平均数 众数 中位数 方差
A校 8 8 b d
B校 a 10 c 4.4
根据以上信息，回答下列问题：
（1）求分析表中a，b，c，d的值．
（2）根据上述统计量对两校的菜品作出评价，并简述理由．
【答案】（1）解：B校的平均分为：a=×（9+5+6+10+10）=8；
A校评分按从低到高排列为：7，8，8，8，9，∴中位数为b=8；
B校评分按从低到高排列为：5，6，9，10，10，∴中位数为c=9；
A校评分的方差为：d=[（7-8）2+（8-8）2+（8-8）2+（8-8）2+（9-8）2]=0.4；
（2）解：从平均分看，两所学校都是一样；从众数看，A校众数为8，B校众数为10，所以B校菜品更好；从中位数看，A校为8，B校为9选B校更好；从方差看，A校的方差为0.4，B校的方差为4.4，方差越小越稳定，A校菜品更好.
【知识点】折线统计图；方差；分析数据的集中趋势
【解析】【分析】（1）根据统计图表提供的信息，由平均数就是一组数据的总和除以这组数据的总个数可求出a的值；利用将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数 叫做这组数据的中位数，可求出b、c的值；利用方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的平均数可算出d的值；
（2）从平均数、众数、中位数及方差几个统计量进行比较得出结论.
20．（2023八下·拱墅期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AO＝CO．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形．
（2）若CD＝3，，AC⊥AB，求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）证明：因为AB∥CD，
所以∠ABD＝∠CDB，∠BAC＝∠DCA，
又因为OA=OC，
所以△AOB≌△COD，
所以AB=CD，
所以四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AC＝2CO，BO＝DO＝BD＝，AB=CD=3，
因为AC⊥AB，
所以∠BAC＝90°，
在Rt△ABO中，AO2＝BO2－AB2，
所以AO＝2，
所以AC＝4，
所以四边形ABCD的面积为：AB×AC=3×4＝12．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）由二直线平行，内错角相等，得∠ABD＝∠CDB，∠BAC＝∠DCA，从而利用AAS判断出△AOB≌△COD，根据全等三角形的对应边相等得AB=CD，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论；
（2）根据平行四边形的对角线互相平分得AC＝2AO，BO＝DO＝BD＝，AB=CD=3，在Rt△ABO中，利用勾股定理算出AO，从而可得AC的长，进而根据平行四边形的面积等于底乘以高，计算即可.
21．（2023八下·拱墅期末）五一假期，小王一家从杭州到温州自驾游，已知杭州到温州市区A处的路程为300千米，小王家的车油箱的容积为55升，小王把油箱加满后驾驶汽车从杭州出发．
（1）求汽车行驶的总路程s（单位：千米）与平均耗油量b（单位：升/千米）的函数表达式．
（2）小王以平均每千米耗油0.1升的速度驾驶汽车到达温州市区A处，休整后沿图示路线继续出发，先到雁荡山B处，再到楠溪江C处，最后到洞头D处．由于下雨，从A处开始直到D处小王降低了车速，此时平均每千米的耗油量增加了20%．如果小王始终以此速度行驶，不需加油能否到达洞头D处？如果不能，至少还需加多少油？
【答案】（1）解：由题意得：；
（2）解：小王需要加油才能到达洞头D处，理由如下：
从杭州到温州A处，一共耗油0.1×300=30（升），
从A-B-C-D处：
b=0.1（1+20%）=0.12 升/千米 ，
一共耗油（79+40+131）×0.12=30（升），
∵30+30=60＞55，
∴不加油不能到达洞头D处，
至少还需加油：30+30-55=5（升），
答：还需加油5升以上.
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）利用路程等于总容积÷平均耗油量，即可求出汽车行驶的总路程s（单位：千米）与平均耗油量b（单位：升/千米）的函数表达式；
（2）求出从杭州到达温州市区A处所需加油量及从A处到达洞头D处所需油量之和，再与油箱中的油量55升进行比较即可得出答案.
22．（2023八下·拱墅期末）如图，在菱形ABCD中，60°＜∠ABC＜90°，点E在边BC上（不与点B，点C重合），线段EC的中垂线交对角线BD于点F，连接AE，AF，EF，CF．
（1）求证：AF＝EF．
（2）设∠ABC＝α，∠AEF＝β．圆圆同学通过画图和测量得到以下近似数据：
α 70 76 80 88
β 35 38 40 44
猜想：β关于α的函数表达式，并给出证明．
（3）若AB＝AE，AB∥FE，求证：BF＝CF+CE．
【答案】（1）证明：因为四边形ABCD是菱形，
所以∠ABD＝∠CBD，AB＝CB，
因为BF＝BF，
所以△ABF≌△CBF，
所以AF＝CF，
又因为线段EC的中垂线交BD于点F，
所以EF＝CF，
所以AF＝FE；
（2）解：猜想：α＝2β．
证明：因为△ABF≌△CBF，
所以∠BAF＝∠BCF，
因为EF＝CF，
所以∠FEC＝∠ECF，
因为∠FEC＋∠FEB＝180°，
所以∠BAF＋∠FEB＝180°，
所以∠ABC＋∠AFE＝180°，
即∠AFE＝180°－α，
因为AF＝FE，
所以∠AEF＝(180°－∠AFE)＝α，
所以α＝2β．
（3）证明：因为AB＝AE，
所以∠ABE＝∠AEB＝2β，
因为AB∥FE，
所以∠FEC＝∠ABE＝2β，
所以∠FEC＝∠ABE＝∠AEB＝∠ECF＝2β，
因为∠AEB＋∠FEC＋∠AEF＝180°，
所以β＝36°，
计算可得：∠BFC＝72°，∠BFE＝36°，
因为∠BFC＝∠BCF＝72°，
所以BF＝BC，
因为∠BFE＝∠FBC＝36°，
所以BE＝EF，
所以BF＝BC＝BE＋CE＝CF＋CE．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由菱形的性质得∠ABD＝∠CBD，AB＝CB，结合BF=BF，可用SAS判断出△ABF≌△CBF，由全等三角形的对应边相等得AF=CF，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得EF=CF，从而由等量代换可得AF=FE；
（2）猜想：α＝2β，理由如下：由全等三角形的对应角相等得∠BAF＝∠BCF，由等边对等角得∠FEC＝∠ECF，由邻补角定义及等量代换可得∠BAF＋∠FEB＝180°，进而由四边形的内角和定理可得∠ABC＋∠AFE＝180°，然后根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠AEF＝(180°－∠AFE)＝α，从而得出结论；
（3）由等边对等角得∠ABE＝∠AEB＝2β，由二直线平行，同位角相等，得∠FEC＝∠ABE＝2β，根据平角的定义可得∠AEB＋∠FEC＋∠AEF＝180°，据此可求出β＝36°，然后根据三角形的内角和定理可得∠BFC＝72°，∠BFE＝36°，则∠BFC＝∠BCF＝72°，∠BFE＝∠FBC＝36°，由等角对等边得BF＝BC，BE＝EF，最后根据线段的和差及等量代换可得结论.
23．（2023八下·拱墅期末）根据以下素材，完成探索任务．
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1 某农户承包了一块长方形果园ABCD，图1是果园的平面图，其中AB＝200米，BC＝300米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为2x米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是50元/m ；出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．
素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用．
问题解决
任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． ⑴请直接写出纵向道路宽度x的取值范围． ⑵若中间种植的面积是44800m2，则路面设置的宽度是否符合要求．
任务2 解决果园种植的预期利润问题．（净利润＝草莓销售的总利润一路面造价费用一果园承包费用一新苗购置费用一其余费用， ⑶经过l年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由．
【答案】解：（1）由题意得
解得5≤x≤6；
（2）由题意得，(200－4x)(300－2x)＝44800，
x2－200x＋1900＝0
解得：x1＝10，x2＝190，都不满足5≤x≤6，
所以不符合；
（3）由题意得：100(200－4x)(300－2x)－50[200×300－(200－4x)(300－2x)]－330000-250000-250000＝4000000，
化简得：x2－200x＋975＝0
解得：x1＝5，x2＝195（舍去），
所以可以达到预期．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据道路宽度不超过12米，且不小于5米建立不等式组，求解即可；
（2）由题意，果园种植区域是一个长为（300-2x）m，宽为（200-4x）m的矩形，根据矩形的面积计算公式建立方程，求解方程的解，再根据（1）中x的取值范围进行检验即可得出结论；
（3）根据净利润＝草莓销售的总利润-路面造价费用-果园承包费用-新苗购置费用-其余费用建立方程，求解并根据（1）中x的取值进行检验可得答案.
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